Tämän kanssa online-laskin voit löytää suorien viivojen välisen etäisyyden avaruudessa. Yksityiskohtainen ratkaisu selityksineen annetaan. Laskeaksesi viivojen välisen etäisyyden avaruudessa asettamalla viivojen yhtälön tyyppi ("kanoninen" tai "parametrinen"), syötä soluihin viivojen yhtälöiden kertoimet ja napsauta "Ratkaise" -painiketta.

×

Varoitus

Tyhjennä kaikki solut?

Sulje Tyhjennä

Tietojen syöttöohjeet. Numerot syötetään kokonaislukuina (esimerkit: 487, 5, -7623 jne.), desimaalilukuina (esim. 67., 102,54 jne.) tai murtolukuina. Murtoluku on syötettävä muodossa a/b, jossa a ja b (b>0) ovat kokonaislukuja tai desimaaliluvut. Esimerkit 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 jne.

Viivojen välinen etäisyys avaruudessa - teoria, esimerkkejä ja ratkaisuja

Olkoon suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxyz L 1 ja L 2:

.

(1)

,

(2)

Missä M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − suorilla viivoilla sijaitsevat pisteet L 1 ja L 2, a q 1 ={m 1 , s 1 , l 1) ja q 2 ={m 2 , s 2 , l 2 ) – suorien viivojen suuntavektorit L 1 ja L 2, vastaavasti.

Suorat (1) ja (2) avaruudessa voivat kohdata, olla yhdensuuntaisia, leikkaavia tai leikkaavia. Jos avaruuden suorat leikkaavat tai osuvat yhteen, niiden välinen etäisyys on nolla. Käsittelemme kahta tapausta. Ensimmäinen on, että suorat ovat yhdensuuntaisia, ja toinen on, että suorat leikkaavat. Loput ovat yleisiä tapauksia. Jos laskettaessa yhdensuuntaisten viivojen välistä etäisyyttä saamme etäisyyden yhtä suureksi kuin nolla, tämä tarkoittaa, että nämä viivat ovat samat. Jos risteävien viivojen välinen etäisyys on nolla, nämä suorat leikkaavat.

1. Avaruuden yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys

Tarkastellaan kahta tapaa laskea viivojen välinen etäisyys.

Menetelmä 1. Pisteestä M 1 suora L 1 piirrä kone α , kohtisuorassa linjaan nähden L 2. Pisteen löytäminen M 3 (x 3 , y 3 , y 3) tasojen leikkauspisteet α ja suoraan L 3. Pohjimmiltaan löydämme pisteen projektion M 1 suora L 2. Kuinka löytää pisteen projektio suoralle, katso. Seuraavaksi lasketaan pisteiden välinen etäisyys M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Esimerkki 1. Etsi viivojen välinen etäisyys L 1 ja L 2:

Suoraan L 2 kulkee pisteen läpi M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Korvaavat arvot m 2 , s 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 in (5) saamme:

Etsitään suoran leikkauspiste L 2 ja lentokone α , tätä varten rakennamme suoran parametrisen yhtälön L 2 .

Suoran leikkauspisteen löytäminen L 2 ja lentokone α , korvaa muuttujien arvot x, y, z(7) - (6):

Tuloksena olevan arvon korvaaminen t kohdassa (7) saadaan suoran leikkauspiste L 2 ja lentokone α :

On vielä löydettävä pisteiden välinen etäisyys M 1 ja M 3:

L 1 ja L 2 on yhtä suuri d=7.2506.

Menetelmä 2. Etsi viivojen välinen etäisyys L 1 ja L 2 (yhtälöt (1) ja (2)). Ensin tarkastetaan viivojen yhdensuuntaisuus L 1 ja L 2. Jos suorien viivojen suuntavektorit L 1 ja L 2 ovat kollineaarisia, ts. jos on sellainen luku λ, että yhtälö q 1 =λ q 2, sitten suoraan L 1 ja L 2 ovat yhdensuuntaisia.

Tämä rinnakkaisten vektorien välisen etäisyyden laskentamenetelmä perustuu vektorien vektoritulon käsitteeseen. On tunnettua, että vektorien vektoritulon normi ja q Kuva 1 antaa näiden vektorien muodostaman suunnikkaan alueen (kuva 2). Kun tiedät suunnikkaan alueen, voit löytää suuntaviivan kärjen d, jakaa alueen pohjalla q 1 suunnikas.

q 1:

.

Etäisyys rivien välillä L 1 ja L 2 vastaa:

,

,

Esimerkki 2. Ratkaistaan ​​esimerkki 1 menetelmällä 2. Etsi viivojen välinen etäisyys

Suoraan L 2 kulkee pisteen läpi M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) ja sillä on suuntavektori

q 2 ={m 2 , s 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vektorit q 1 ja q 2 ovat kollineaarisia. Siis suoraan L 1 ja L 2 ovat yhdensuuntaisia. Yhdensuuntaisten viivojen välisen etäisyyden laskemiseksi käytämme vektorien vektorituloa.

Tehdään vektori =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Lasketaan vektorien ja vektoritulo q 1 . Tätä varten luomme 3×3 matriisin, jonka ensimmäinen rivi on kantavektorit i, j, k, ja loput rivit on täytetty vektorien ja elementeillä q 1:

Siten vektorien ja vektoritulon tulos q 1 on vektori:

Vastaus: Rivien välinen etäisyys L 1 ja L 2 on yhtä suuri d=7.25061.

2. Etäisyys risteävien viivojen välillä avaruudessa

Olkoon suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxyz ja annetaan tässä koordinaattijärjestelmässä suoria viivoja L 1 ja L 2 (yhtälöt (1) ja (2)).

Anna suoraan L 1 ja L 2 eivät ole yhdensuuntaisia ​​(keskustelimme samansuuntaisista viivoista edellisessä kappaleessa). Rivien välisen etäisyyden selvittäminen L 1 ja L 2 sinun on rakennettava yhdensuuntaisia ​​tasoja α 1 ja α 2 niin, että se on suora L 1 makasi lentokoneessa α 1 suora L 2 - lentokoneessa α 2. Sitten rivien välinen etäisyys L 1 ja L 2 on yhtä suuri kuin tasojen välinen etäisyys L 1 ja L 2 (kuvio 3).

Missä n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − tason normaalivektori α 1 . Jotta lentokone α 1 kulki suoran linjan läpi L 1, normaalivektori n 1 on oltava kohtisuora suuntavektoriin nähden q 1 suora L 1, eli näiden vektorien skalaaritulon on oltava nolla:

Järjestelmän ratkaiseminen lineaariset yhtälöt(27)−(29), kolme yhtälöä ja neljä tuntematonta A 1 , B 1 , C 1 , D 1, ja korvaamalla yhtälön

Lentokoneet α 1 ja α 2 ovat yhdensuuntaisia, joten tuloksena olevat normaalivektorit n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) ja n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) nämä tasot ovat kollineaarisia. Jos nämä vektorit eivät ole yhtä suuria, voimme kertoa (31) tietyllä luvulla niin, että tuloksena oleva normaalivektori n 2 osui yhteen yhtälön (30) normaalivektorin kanssa.

Sitten välimatka yhdensuuntaiset tasot lasketaan kaavalla:

(33)

Ratkaisu. Suoraan L 1 kulkee pisteen läpi M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ja sillä on suuntavektori q 1 ={m 1 , s 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Suoraan L 2 kulkee pisteen läpi M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) ja sillä on suuntavektori q 2 ={m 2 , s 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Rakennetaan lentokone α 1 kulkee linjan läpi L 1, yhdensuuntainen suoran kanssa L 2 .

Lentokoneesta lähtien α 1 kulkee linjan läpi L 1, niin se myös kulkee pisteen läpi M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ja normaalivektori n 1 ={m 1 , s 1 , l 1) lentokone α 1 kohtisuorassa suuntavektoriin nähden q 1 suora L 1 . Sitten tason yhtälön tulee täyttää ehto:

Lentokoneesta lähtien α 1 on oltava yhdensuuntainen viivan kanssa L 2, seuraavan ehdon on täytyttävä:

Esitetään nämä yhtälöt matriisimuodossa:

(40)

Ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä (40) suhteessa A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Tässä artikkelissa analysoidaan Unified State Examinationin tehtävän C2 ratkaisun esimerkkiä käyttämällä koordinaattimenetelmän löytämismenetelmää. Muista, että suorat viivat ovat vinossa, jos ne eivät ole samassa tasossa. Erityisesti, jos yksi suora on tasossa ja toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei ole ensimmäisellä suoralla, tällaiset suorat leikkaavat (katso kuva).

Löytää risteyslinjojen väliset etäisyydet tarpeellista:

1. Piirrä yhden leikkaavan suoran läpi taso, joka on yhdensuuntainen toisen leikkaavan suoran kanssa.
2. Pudota kohtisuora mistä tahansa toisen suoran pisteestä tuloksena olevaan tasoon. Tämän kohtisuoran pituus on vaadittu viivojen välinen etäisyys.

Selvitetään se tämä algoritmi Opi lisää käyttämällä esimerkkiä ongelman C2 ratkaisusta matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta.

Rivien välinen etäisyys avaruudessa

Tehtävä. Yksikkökuutiossa ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 etsi rivien välinen etäisyys B.A. 1 ja D.B. 1 .

Riisi. 1. Piirustus tehtävää varten

Ratkaisu. Kuution diagonaalin keskeltä D.B. 1 (kohta O) piirrä suoran kanssa yhdensuuntainen viiva A 1 B. Tämän suoran ja reunojen leikkauspisteet B.C. Ja A 1 D 1 on merkitty vastaavasti N Ja M. Suoraan MN makaa lentokoneessa MNB 1 ja yhdensuuntainen linjan kanssa A 1 B, joka ei ole tässä tasossa. Tämä tarkoittaa, että suora viiva A 1 B yhdensuuntainen tason kanssa MNB 1 suoran ja tason samansuuntaisuuden perusteella (kuva 2).

Riisi. 2. Vaadittu etäisyys risteävien viivojen välillä on yhtä suuri kuin etäisyys mistä tahansa valitun viivan pisteestä kuvattuun tasoon

Nyt etsimme etäisyyttä jostain pisteestä viivalla A 1 B lentokoneeseen MNB 1 . Tämä etäisyys on määritelmän mukaan vaadittu etäisyys risteyslinjojen välillä.

Tämän etäisyyden löytämiseksi käytämme koordinaattimenetelmää. Esitetään suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä siten, että sen origo on sama kuin pisteen B akseli X oli suunnattu reunaa pitkin B.A., akseli Y- reunaa pitkin B.C., akseli Z- reunaa pitkin BB 1 (kuvio 3).

Riisi. 3. Valitsemme suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän kuvan osoittamalla tavalla

Tason yhtälön löytäminen MNB 1 tässä koordinaattijärjestelmässä. Tätä varten määritämme ensin pisteiden koordinaatit M, N Ja B 1: Korvaamme saadut koordinaatit suoran yleiseen yhtälöön ja saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän:

Järjestelmän toisesta yhtälöstä saamme kolmannen, jonka jälkeen ensimmäisestä saamme Korvaa saadut arvot suoran yleisen yhtälön:

Huomaa, että muuten kone MNB 1 kulkisi alkuperän läpi. Jaa tämän yhtälön molemmat puolet ja saa:

Etäisyys pisteestä tasoon määräytyy kaavan mukaan.

Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Stereometria Ristikkäislinjojen välinen etäisyys

Kahden leikkaavan suoran yhteinen kohtisuora on jana, jonka päät ovat näillä viivoilla ja joka on kohtisuorassa kumpaankin niistä. a b A B Ristikkäisten viivojen välinen etäisyys on niiden yhteisen kohtisuoran pituus.

Leikkaavien viivojen välisen etäisyyden laskentamenetelmät. Leikkaavien viivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin etäisyys minkä tahansa näiden viivojen pisteestä toisen suoran läpi kulkevaan tasoon, joka on yhdensuuntainen ensimmäisen suoran kanssa.

Leikkaavien viivojen välisen etäisyyden laskentamenetelmät. Ristikkäisten viivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin etäisyys kahden samansuuntaisen tason välillä, jotka sisältävät nämä viivat.

Nro 1 Etsi yksikkökuutiosta

Nro 2 Etsi yksikkökuutiosta

Nro 3 Etsi yksikkökuutiosta

Nro 4 Etsi yksikkökuutiosta

Kahden vinoviivan yhteinen kohtisuora on jana, joka yhdistää janan keskipisteet ja E - keskipiste F - keskipiste

Nro 5 Etsi yksikkökuutiosta ~

Leikkaavien viivojen välisen etäisyyden laskentamenetelmät. Leikkaavien viivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden projektioiden välinen etäisyys tasoon, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan niistä.

Nro 5 Etsi yksikkökuutiosta O - suoran AC projektio tasoon

Nro 6 Dana tavallinen pyramidi PABC sivureuna PA = 3 ja pohjapuoli 2. löytö

Suorakaiteen muotoinen - suorakaiteen muotoinen - suorakaiteen muotoinen

Nro 7 Etsi yksikkökuutiosta viivojen ja etäisyys

Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot

Leikkaavien viivojen välinen kulma

Esittely, johon valmistaudutaan yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen matematiikassa aiheesta "Kulma vinojen viivojen välillä"...

Kehitetty yhdessä 11. luokan oppilaiden kanssa. Harkitaan erilaisia ​​menetelmiä ratkaisemaan tämän aiheen ongelmia....

Artikkelin tarkoituksena on löytää risteysviivojen välinen etäisyys koordinaattimenetelmällä. Näiden viivojen välisen etäisyyden määrittämistä harkitaan, saamme algoritmin, jonka avulla muunnamme risteävien viivojen välisen etäisyyden määrityksen. Yhdistetään aihetta ratkaisemalla vastaavia esimerkkejä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ensin on todistettava lause, joka määrittelee yhteyden annettujen risteysviivojen välillä.

Luku suhteellinen sijainti Suorat viivat avaruudessa sanovat, että jos kahta suoraa kutsutaan leikkaaviksi, jos niiden sijainti ei ole samassa tasossa.

Lause

Jokaisen leikkaavan suoran parin kautta voi kulkea tietyn kanssa yhdensuuntainen taso ja vain yksi.

Todiste

Ehdolla meille annetaan vinoviivat a ja b. On tarpeen todistaa yksittäisen tason läpäisevyys tietyn suoran a kanssa yhdensuuntaisen suoran b kautta. Samanlaista todistetta on käytettävä suoralle a, jonka kautta kulkee tietyn suoran b kanssa yhdensuuntainen taso.

Ensin sinun on merkittävä piste Q riville b. Jos seuraamme suorien yhdensuuntaisuuden määritelmästä, huomaamme, että avaruuden pisteen kautta on mahdollista piirtää tietyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ja vain yksi. Tämä tarkoittaa, että vain yksi suora kulkee pisteen Q läpi, yhdensuuntainen suoran a kanssa. Otetaan merkintä a a 1 .

Tason määrittelymenetelmiä käsittelevässä osiossa sanottiin, että yhden tason kulku on mahdollista kahden leikkaavan suoran kautta. Tämä tarkoittaa, että havaitsemme, että suorat b ja a 1 ovat leikkaavia viivoja, joiden kautta χ:lla merkitty taso kulkee.

Sen merkin perusteella, että suora on yhdensuuntainen tason kanssa, voidaan päätellä, että annettu suora a on yhdensuuntainen tason χ kanssa, koska suora a on yhdensuuntainen tasossa χ sijaitsevan suoran a 1 kanssa.

χ-taso on ainutlaatuinen, koska tietyn avaruudessa sijaitsevan suoran läpi kulkeva suora on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa. Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Kun siirrytään leikkaavien suorien välisen etäisyyden määrittämisestä, määritetään etäisyys suoran ja sen suuntaisen tason välisen etäisyyden kautta.

Määritelmä 1

Etäisyyttä toisen leikkaavan suoran ja sen kanssa samansuuntaisen toisen suoran läpi kulkevan tason välillä kutsutaan.

Eli suoran ja tason välinen etäisyys on etäisyys annettu piste lentokoneeseen. Tällöin risteyslinjojen välisen etäisyyden määrittämiseen käytettävä muotoilu on sovellettavissa.

Määritelmä 2

Risteyslinjojen välinen etäisyys kutsua etäisyyttä tietystä leikkaavien viivojen pisteestä tasoon, joka kulkee toisen suoran kautta, joka on yhdensuuntainen ensimmäisen suoran kanssa.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti rivejä a ja b. Piste M 1 sijaitsee suoralla a, suoran b kautta piirretään taso χ yhdensuuntaisesti suoran a kanssa. Pisteestä M 1 piirretään kohtisuora M 1 H 1 tasoon χ. Tämän kohtisuoran pituus on risteysviivojen a ja b välinen etäisyys. Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Risteysviivojen välisen etäisyyden löytäminen - teoria, esimerkkejä, ratkaisuja

Leikkaavien viivojen väliset etäisyydet löydetään segmenttiä rakennettaessa. Tarvittava etäisyys on yhtä suuri kuin tämän segmentin pituus. Tehtävän ehtojen mukaan sen pituus määräytyy Pythagoraan lauseella, kolmioiden tasa- tai samankaltaisuuden merkeillä tai muilla.

Kun meillä on kolmiulotteinen avaruus, jossa on koordinaattijärjestelmä O x y z ja jossa on suorat a ja b, niin laskelmat tulee suorittaa annettujen risteytysten välisestä etäisyydestä koordinaattimenetelmällä. Katsotaanpa yksityiskohtaisesti.

Olkoon χ ehdon mukaan taso, joka kulkee suoran b kautta, joka on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Vaadittu etäisyys risteysviivojen a ja b välillä on yhtä suuri kuin etäisyys suoralla a sijaitsevasta pisteestä M 1 tasoon _ χ. χ-tason normaaliyhtälön saamiseksi on tarpeen määrittää suoralla a olevan pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinaatit. Sitten saadaan cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, joka on tarpeen etäisyyden M 1 H 1 määrittämiseksi pisteestä M 1 x 1, y 1, z 1 χ-tasoon. . Laskelmat tehdään kaavalla M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Vaadittu etäisyys on yhtä suuri kuin vaadittu etäisyys risteysviivojen välillä.

Tässä tehtävässä hankitaan pisteen M 1, joka sijaitsee suoralla a, koordinaatit ja löydetään tason χ normaaliyhtälö.

Pisteen M 1 koordinaattien määrittäminen on välttämätöntä ja mahdollista, jos tunnet avaruuden suoran yhtälön perustyypit. χ-tason yhtälön saamiseksi on tarpeen tarkastella lähemmin laskenta-algoritmia.

Jos koordinaatit x 2 , y 2 , z 2 määritetään käyttämällä pistettä M 2, jonka läpi taso χ piirretään, saadaan tason χ normaalivektori vektorin muodossa n → = (A, B, C ). Tästä seuraamalla voidaan kirjoittaa χ-tason yleinen yhtälö muotoon A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.

Pisteen M 2 sijasta voidaan ottaa mikä tahansa muu suoralle b kuuluva piste, koska sen läpi kulkee taso χ. Tämä tarkoittaa, että pisteen M 2 koordinaatit on löydetty. On tarpeen edetä tason χ normaalivektorin löytämisessä.

Meillä on, että taso χ kulkee suoran b läpi ja on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Tämä tarkoittaa, että tason χ normaalivektori on kohtisuorassa suoran a suuntavektoriin, jota merkitään a →, ja suoran b suuntavektoriin, jota merkitään b →. Vektori n → on yhtä suuri kuin a → ja b → vektoritulo, mikä tarkoittaa n → = a → × b →. Kun on määritetty annettujen suorien a ja b suuntavektorien koordinaatit a x , a y , a z ja b x , b y , b z , lasketaan

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Täältä löydämme χ-tason normaalivektorin koordinaattien A, B, C arvon.

Tiedämme, että χ-tason yleinen yhtälö on muotoa A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.

On tarpeen saattaa yhtälö normaalimuotoon cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Sitten sinun on laskettava tarvittava etäisyys risteysviivojen a ja b välillä kaavan M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p perusteella.

Löytääksesi risteyslinjojen a ja b välisen etäisyyden sinun on noudatettava algoritmia:

• suorilla a ja b sijaitsevien pisteiden M 1 ja M 2 koordinaattien (x 1, y 1, z 1) ja x 2, y 2, z 2 määrittäminen;
• saadaan suorien a ja b suuntavektoreihin kuuluvat koordinaatit a x , a y , a z ja b x , b y , b z ;
• etsitään vektoriin n → kuuluvat koordinaatit A, B, C a:n suuntaisen suoran b kautta kulkevalta tasolta χ yhtälöllä n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z;
• ennätys yleinen yhtälö taso χ muodossa A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
• tuodaan tuloksena oleva χ-tason yhtälö normaalimuotoiseen yhtälöön cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;
• laskemalla etäisyys M 1 H 1 kohdista M 1 x 1, y 1, z 1 χ-tasoon kaavan M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - perusteella s.

Esimerkki 1

Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä O x y z on kaksi risteysviivaa. Suora a määritetään avaruudessa olevan suoran parametrisella yhtälöllä x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ, suora b käyttäen avaruudessa olevan suoran kanonista yhtälöä x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6. Etsi risteävien viivojen välinen etäisyys.

Ratkaisu

On selvää, että suora a leikkaa pisteen M 1 (- 2, 1, 4) suuntavektorin a → = (0, 2, - 3) kanssa ja suora b leikkaa pisteen M 2 (0, 1, - 4) ) suuntavektorilla b → = (1 , - 2 , 6) .

Ensin sinun tulee laskea suuntavektorit a → = (0, 2, - 3) ja b → = (1, - 2, 6) käyttämällä kaavaa. Sitten saamme sen

a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →

Tästä saadaan, että n → = a → × b → on tason χ vektori, joka kulkee a:n suuntaisen suoran b kautta koordinaatilla 6, - 3, - 2. Saamme:

6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0

Löydämme normalisointikertoimen tason 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0 yleiselle yhtälölle. Lasketaan kaavalla 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7. Tämä tarkoittaa, että normaaliyhtälö on muodossa 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0.

Kaavan avulla on tarpeen löytää etäisyys pisteestä M 1 - 2, 1, 4 yhtälön 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 tasoon. Me ymmärrämme sen

M 1 H 1 = 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 = - 28 7 = 4

Tästä seuraa, että vaadittu etäisyys on annettujen risteysviivojen välinen etäisyys, arvo on 4.

Vastaus: 4 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Geometria. Luokka 11

Oppitunnin aihe: Risteyslinjojen välinen etäisyys

Ter-Ovanesyan G.L., opettaja korkein luokka, Soros-säätiön palkinnon saaja

Moskova

Tarkastellaan risteyslinjojen välisen etäisyyden löytämisen ongelmaa. Ristikkäisten viivojen välinen etäisyys on yhteisen, kohtisuorassa näihin linjoihin nähden.

Annetaan kuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, jonka reuna on yhtä suuri kuin yksikkö AB = 1. Sinun on löydettävä suorien AB ja DC 1 välinen etäisyys: ρ(AB;DC 1) - ?

Nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisissa tasoissa: AB on tasossa AA 1 B 1 B, DC 1 on tasossa D 1 DC 1 C. Etsitään ensin kohtisuora näihin kahteen tasoon nähden. Kuvassa on monia tällaisia ​​kohtisuoraa. Tämä on segmentti BC, B 1 C 1, A 1 D 1 ja AD. Näistä on järkevää valita segmentti, joka ei ole vain kohtisuora näihin tasoihin nähden ja siten kohtisuorassa suoriihimme AB ja DC 1 nähden, vaan myös kulkee näiden suorien läpi. Tällainen segmentti on AD. Se on samanaikaisesti kohtisuorassa suoraa AB:tä vastaan, koska se on kohtisuorassa tasoon AA 1 B 1 B ja suoraan DC 1 nähden, koska se on kohtisuorassa tasoon D 1 DC 1 C nähden. Tämä tarkoittaa, että AD on yhteinen. kohtisuorassa risteävien suorien AB ja DC 1 kanssa. Näiden suorien välinen etäisyys on tämän kohtisuoran pituus, eli janan AD pituus. Mutta AD on kuution reuna. Siksi etäisyys on 1:

ρ(AB;DC 1)=AD=1

Tarkastellaan toista, hieman monimutkaisempaa ongelmaa, joka liittyy leikkaavien viivojen välisen etäisyyden löytämiseen.

Annetaan taas kuutio, jonka reuna on yhtä suuri kuin yksi. Sinun on löydettävä vastakkaisten pintojen lävistäjien välinen etäisyys. Eli annettu kuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Reuna AB = 1. Sinun on löydettävä suorien viivojen BA 1 ja DC 1 välinen etäisyys: ρ(A 1 B; DC 1) - ?

Nämä kaksi suoraa leikkaavat, mikä tarkoittaa, että etäisyys on yhteisen kohtisuoran pituus. Et voi piirtää yleistä kohtisuoraa, vaan muotoile se seuraavasti: tämä on kohtisuoran pituus niiden yhdensuuntaisten tasojen välillä, joissa nämä viivat sijaitsevat. Suora BA 1 on tasossa АВВ 1 А 1 ja suora DC 1 on tasossa D 1 DCC 1 . Ne ovat yhdensuuntaisia, mikä tarkoittaa, että niiden välinen etäisyys on näiden suorien viivojen välinen etäisyys. Ja kuution pintojen välinen etäisyys on reunan pituus. Esimerkiksi kylkiluiden pituus BC. Koska BC on kohtisuorassa sekä tasoon АВВ 1 А 1 että tasoon DСС 1 D 1 nähden. Tämä tarkoittaa, että ehdossa annettujen suorien välinen etäisyys on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys ja on yhtä suuri kuin 1:

ρ(A1B;DC1)=BC=1

Tarkastellaan toista ongelmaa risteyslinjojen välisen etäisyyden löytämisestä.

Annetaan meille oikea Kolmisivuinen prisma, jonka kaikki reunat tunnetaan. Sinun on löydettävä ylä- ja alapohjan reunojen välinen etäisyys. Eli meille annetaan prisma ABCA 1 B 1 C 1. Lisäksi AB=3=AA 1. Sinun on löydettävä suorien BC ja A 1 C 1 välinen etäisyys: ρ(BC;A 1 C 1) - ?

Koska nämä suorat leikkaavat, niiden välinen etäisyys on yhteisen kohtisuoran pituus tai kohtisuoran pituus niihin yhdensuuntaisiin tasoihin, joissa ne sijaitsevat. Etsitään nämä yhdensuuntaiset tasot.

Suora BC on tasossa ABC ja suora A 1 C 1 on tasossa A 1 B 1 C 1. Nämä kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia, koska ne ovat prisman ylä- ja alakanta. Tämä tarkoittaa, että suorien viivojen välinen etäisyys on näiden yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys. Ja niiden välinen etäisyys on täsmälleen yhtä suuri kuin sivureunan AA 1 pituus, eli yhtä suuri kuin 3:

ρ(BC;A1C1)=AA1=3

Tässä nimenomaisessa tehtävässä voit löytää paitsi yhteisen kohtisuoran pituuden, myös rakentaa sen. Tätä varten valitsemme kaikista sivureunoista sen, jolla on yhteisiä kohtia suoralla BC ja A 1 C 1. Kuvassamme tämä on reuna CC 1. Se on kohtisuorassa suoraa A 1 C 1 vastaan, koska se on kohtisuorassa ylemmän kannan tasoon nähden, ja suoraa linjaa BC vastaan, koska se on kohtisuorassa alemman kannan tasoon nähden. Siten voimme löytää etäisyyden lisäksi myös tämän yleisen kohtisuoran.

Tänään oppitunnilla muistelimme kuinka löytää yhteisen kohtisuoran pituus risteävien viivojen välillä.