Määritelmä. Prisma on monitahoinen, jonka kaikki kärjet sijaitsevat kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa ja näissä samoissa kahdessa tasossa sijaitsevat prisman kaksi sivua, jotka ovat yhtä suuria monikulmioita, joilla on vastaavasti yhdensuuntaiset sivut, ja kaikki reunat, jotka eivät ole näillä tasoilla, ovat yhdensuuntaiset.

Kaksi samanarvoista kasvoa kutsutaan prismapohjat(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kaikki muut prisman pinnat kutsutaan sivupinnat(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kaikki sivupinnat muodossa prisman sivupinta .

Kaikki prisman sivupinnat ovat suunnikkaita .

Reunoja, jotka eivät ole tyvillä, kutsutaan prisman sivureunoksi ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisman diagonaali on segmentti, jonka päät ovat kaksi prisman kärkeä, jotka eivät ole samalla pinnalla (AD 1).

Prisman kantat yhdistävän ja molempiin kantaan samanaikaisesti kohtisuorassa olevan janan pituus on ns. prisman korkeus .

Nimitys:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Ensin läpikulkujärjestyksessä merkitään yhden kannan kärjet ja sitten samassa järjestyksessä toisen kärjet; kunkin sivureunan päät on merkitty samoilla kirjaimilla, vain yhdessä kantassa olevat kärjet on merkitty kirjaimilla ilman indeksiä ja toisessa - indeksillä)

Prisman nimi liittyy sen pohjalla olevan kuvan kulmien lukumäärään, esim. kuvassa 1 pohjassa on viisikulmio, joten prisma on ns. viisikulmainen prisma. Mutta koska sellaisella prismalla on 7 pintaa, niin se heptaedri(2 pintaa - prisman pohjat, 5 pintaa - suunnikkaat, - sen sivupinnat)

Suorista prismoista erottuu tietty tyyppi: tavalliset prismat.

Suoraa prismaa kutsutaan oikea, jos sen kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.

Suuntaissärmiö

Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö- suora suuntaissärmiö, jonka kanta on suorakulmio.

Ominaisuudet ja lauseet:

,

missä d on neliön diagonaali;
a on neliön sivu.

Käsityksen prismasta antaa:

• eri arkkitehtoniset rakenteet;
• Lasten lelut;
• pakkauslaatikot;
• design-esineitä jne.

Prisman kokonais- ja sivupinnan pinta-ala

S täysi = S puoli + 2S pää,

Missä S täynnä- kokonaispinta-ala, S puoli- sivupinta-ala, S pohja- perusalue

Suoran prisman sivupinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo.

S puoli= P perus * h,

Missä S puoli-suoran prisman sivupinnan pinta-ala,

P main - suoran prisman pohjan kehä,

h on suoran prisman korkeus, yhtä suuri kuin sivureuna.

Prisman tilavuus

Prisman tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo.

Videokurssi “Get an A” sisältää kaikki menestymiseen tarvittavat aiheet yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen matematiikassa 60-65 pistettä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja Unified State Exam ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia ​​käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Määritelmä 1. Prismaattinen pinta
Lause 1. Tietoja yhdensuuntaiset osat prismaattinen pinta
Määritelmä 2. Prismapinnan kohtisuora leikkaus
Määritelmä 3. Prisma
Määritelmä 4. Prisman korkeus
Määritelmä 5. Oikea prisma
Lause 2. Prisman sivupinnan pinta-ala

Suuntaissärmiö:
Määritelmä 6. Rinnakkaisputki
Lause 3. Suuntasärmiön lävistäjien leikkauspisteestä
Määritelmä 7. Oikea suuntaissärmiö
Määritelmä 8. Suorakulmainen suuntaissärmiö
Määritelmä 9. Suuntaissärmiön mittaukset
Määritelmä 10. Kuutio
Määritelmä 11. Romboedri
Lause 4. Suorakaiteen suuntaissärmiön lävistäjät
Lause 5. Prisman tilavuus
Lause 6. Suoran prisman tilavuus
Lause 7. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuus

Prisma on monitahoinen, jonka kaksi pintaa (kantaa) ovat yhdensuuntaisissa tasoissa ja reunat, jotka eivät ole näillä pinnoilla, ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
Muut kasvot kuin pohjat ovat nimeltään lateraalinen.
Sivupintojen ja alustojen sivuja kutsutaan prisman kylkiluut, reunojen päitä kutsutaan prisman kärjet. Lateraaliset kylkiluut reunoja, jotka eivät kuulu kantaan, kutsutaan. Sivupintojen liittoa kutsutaan prisman sivupinta, ja kaikkien kasvojen liitto on nimeltään prisman koko pinta. Prisman korkeus kutsutaan kohtisuoraksi, joka on pudonnut ylemmän kannan pisteestä alemman kannan tasoon tai tämän kohtisuoran pituuteen. Suora prisma kutsutaan prismaksi, jonka sivurivat ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden. Oikea kutsutaan suoraksi prismaksi (kuva 3), jonka pohjalla on säännöllinen monikulmio.

Nimitykset:
l - sivujousto;
P - pohjakehä;
S o - peruspinta-ala;
H - korkeus;
P^ - kohtisuora poikkileikkauksen kehä;
S b - sivupinta-ala;
V - tilavuus;
S p on prisman kokonaispinnan pinta-ala.

Määritelmä 2 . Prismapinnan kohtisuora leikkaus on tämän pinnan leikkaus sen reunoihin nähden kohtisuorassa olevalla tasolla. Edellisen lauseen perusteella kaikki saman prismapinnan kohtisuorat osat ovat yhtä suuria polygoneja.

Määritelmä 3 . Prisma on monitahoinen, jota rajoittaa prismaattinen pinta ja kaksi toistensa kanssa yhdensuuntaista tasoa (mutta ei yhdensuuntaisia ​​prismaattisen pinnan reunojen kanssa)
Näissä viimeisissä tasoissa makaavia kasvoja kutsutaan prismapohjat; prismaattiseen pintaan kuuluvat kasvot - sivupinnat; prismaattisen pinnan reunat - prisman sivurivat. Edellisen lauseen mukaan prisman kanta on yhtä suuret polygonit. Prisman kaikki sivupinnat - suunnikkaat; kaikki sivuribat ovat keskenään samanarvoisia.
Ilmeisesti jos prisman ABCDE kanta ja yksi reunoista AA" on annettu kooltaan ja suunnaltaan, niin on mahdollista rakentaa prisma piirtämällä reunat BB", CC", ... yhtä suuret ja yhdensuuntaiset reunan AA" kanssa. .

Määritelmä 4 . Prisman korkeus on sen kantatasojen välinen etäisyys (HH").

Määritelmä 5 . Prismaa kutsutaan suoraksi, jos sen kantat ovat kohtisuorassa prismapinnassa. Tässä tapauksessa prisman korkeus on tietysti sen korkeus sivujousi; sivureunat ovat suorakulmiot.
Prismat voidaan luokitella sivupintojen lukumäärän mukaan, yhtä suuri määrä sen pohjana toimivan polygonin sivut. Siten prismat voivat olla kolmion muotoisia, nelikulmaisia, viisikulmaisia ​​jne.

Lause 2 . Prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sivureunan ja kohtisuoran leikkauksen kehän tulo.
Olkoon ABCDEA"B"C"D"E" annettu prisma ja abcde sen kohtisuora leikkaus niin, että janat ab, bc, .. ovat kohtisuorassa sen sivureunoihin nähden. Pinta ABA"B" on suunnikas; sen pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan AA tulo korkeudelle, joka on sama kuin ab; pinnan pinta-ala ВСВ "С" on yhtä suuri kuin kannan ВВ tulo korkeudella bc jne. Näin ollen sivupinta (eli sivupintojen pinta-alojen summa) on yhtä suuri kuin tulo sivureunan, toisin sanoen segmenttien AA", ВВ", .. kokonaispituus määrälle ab+bc+cd+de+ea.

Yleistä suorasta prismasta

Prisman sivupintaa (tarkemmin sanottuna lateraalista pinta-alaa) kutsutaan summa sivupintojen alueet. Prisman kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sivupinnan ja kantapintojen summa.

Lause 19.1. Suoran prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo eli sivureunan pituus.

Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Näiden suorakulmioiden kantat ovat prisman pohjalla olevan monikulmion sivut ja korkeudet ovat yhtä suuria kuin sivureunojen pituus. Tästä seuraa, että prisman sivupinta on yhtä suuri

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

missä a 1 ja n ovat kantareunojen pituudet, p on prisman kannan ympärysmitta ja I on sivureunojen pituus. Lause on todistettu.

Käytännön tehtävä

Ongelma (22) . Se suoritetaan kaltevassa prismassa osio, kohtisuorassa sivuripoihin nähden ja leikkaa kaikki sivurivat. Etsi prisman sivupinta, jos poikkileikkauksen kehä on yhtä suuri kuin p ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin l.

Ratkaisu. Piirretyn leikkauksen taso jakaa prisman kahteen osaan (kuva 411). Tehdään yksi niistä rinnakkaiskäännökselle yhdistämällä prisman kantat. Tässä tapauksessa saadaan suora prisma, jonka kanta on alkuperäisen prisman poikkileikkaus ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin l. Tällä prismalla on sama sivupinta kuin alkuperäisellä prismalla. Siten alkuperäisen prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pl.

Yhteenveto käsitellystä aiheesta

Yritetään nyt tehdä yhteenveto käsittelemästämme aiheesta prismoista ja muistaa, mitä ominaisuuksia prismalla on.

Prisman ominaisuudet

Ensinnäkin prismalla on kaikki kantansa yhtäläisinä monikulmioina;
Toiseksi prismassa kaikki sen sivupinnat ovat suunnikkaita;
Kolmanneksi, sellaisessa monitahoisessa kuviossa kuin prisma, kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;

On myös muistettava, että monitahot, kuten prismat, voivat olla suoria tai vinoja.

Mitä prismaa kutsutaan suoraksi prismaksi?

Jos prisman sivureuna sijaitsee kohtisuorassa sen kannan tasoon nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan suoraksi.

Ei olisi tarpeetonta muistaa, että suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita.

Millaista prismaa kutsutaan vinoksi?

Mutta jos prisman sivureuna ei ole kohtisuorassa sen kannan tasoon nähden, voimme turvallisesti sanoa, että se on kalteva prisma.

Kumpaa prismaa kutsutaan oikeaksi?

Jos säännöllinen monikulmio on suoran prisman pohjalla, niin tällainen prisma on säännöllinen.

Muistakaamme nyt tavallisen prisman ominaisuudet.

Säännöllisen prisman ominaisuudet

Ensinnäkin säännölliset polygonit toimivat aina säännöllisen prisman kantana;
Toiseksi, jos otamme huomioon säännöllisen prisman sivupinnat, ne ovat aina yhtä suuret suorakaiteet;
Kolmanneksi, jos verrataan sivuripojen kokoja, niin tavallisessa prismassa ne ovat aina yhtä suuret.
Neljänneksi oikea prisma on aina suora;
Viidenneksi, jos säännöllisessä prismassa sivupinnat ovat neliön muotoisia, niin tällaista kuviota kutsutaan yleensä puolisäännölliseksi monikulmioksi.

Prisman poikkileikkaus

Katsotaan nyt prisman poikkileikkausta:

Kotitehtävät

Yritetään nyt vahvistaa opittua aihetta ratkaisemalla ongelmia.

Piirretään kalteva kolmioprisma, jonka reunojen välinen etäisyys on 3 cm, 4 cm ja 5 cm, ja tämän prisman sivupinta on 60 cm2. Kun sinulla on nämä parametrit, etsi tämän prisman sivureuna.

Tiesitkö, että geometriset hahmot ympäröivät meitä jatkuvasti paitsi geometrian tunneilla, myös sisällä Jokapäiväinen elämä On esineitä, jotka muistuttavat yhtä tai toista geometristä kuviota.

Jokaisessa kodissa, koulussa tai työpaikalla on tietokone, jonka järjestelmäyksikkö on suoran prisman muotoinen.

Jos otat yksinkertaisen kynän, näet, että kynän pääosa on prisma.

Kävellessämme kaupungin keskuskadulla näemme, että jalkojemme alla on laatta, joka on muodoltaan kuusikulmainen prisma.

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille

1. Pienin numero Tetraedrillä on 6 reunaa.

2. Prismassa on n pintaa. Mikä monikulmio sijaitsee sen pohjalla?

(n - 2) - neliö.

3. Onko prisma suora, jos sen kaksi vierekkäistä sivupintaa ovat kohtisuorassa kannan tasoon nähden?

Kyllä se on.

4. Minkä prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset sen korkeuden kanssa?

Suorassa prismassa.

5. Onko prisma säännöllinen, jos sen kaikki reunat ovat yhtä suuret?

Ei, se ei välttämättä ole suoraa.

6. Voiko kaltevan prisman yhden sivupinnan korkeus olla myös prisman korkeus?

Kyllä, jos tämä kasvo on kohtisuorassa pohjaan nähden.

7. Onko olemassa prismaa, jossa: a) sivureuna on kohtisuorassa vain alustan toiseen reunaan nähden; b) vain yksi sivupinta on kohtisuorassa alustaan ​​nähden?

a) kyllä. b) ei.

8. Säännöllinen kolmion muotoinen prisma jaetaan kahdeksi prismaksi kannan keskiviivojen läpi kulkevalla tasolla. Mikä on näiden prismien sivupintojen suhde?

Lauseen 27 avulla saamme sen sivupinnat suhde on 5:3

9. Onko pyramidi säännöllinen, jos sen sivupinnat ovat säännöllisiä kolmioita?

10. Kuinka monta pintaa kohtisuorassa pohjan tasoon nähden pyramidilla voi olla?

11. Onko olemassa nelikulmaista pyramidia, jonka vastakkaiset sivupinnat ovat kohtisuorassa kantaan nähden?

Ei, muuten pyramidin huipun läpi kulkisi vähintään kaksi suoraa linjaa kohtisuorassa kantaan nähden.

12. Voivatko kolmiopyramidin kaikki pinnat olla suorakulmaisia ​​kolmioita?

Kyllä (kuva 183).