1. Pienin numero Tetraedrillä on 6 reunaa.

2. Prismassa on n pintaa. Mikä monikulmio sijaitsee sen pohjalla?

(n - 2) - neliö.

3. Onko prisma suora, jos sen kaksi vierekkäistä sivupintaa ovat kohtisuorassa kannan tasoon nähden?

Kyllä se on.

4. Minkä prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset sen korkeuden kanssa?

Suorassa prismassa.

5. Onko prisma säännöllinen, jos sen kaikki reunat ovat yhtä suuret?

Ei, se ei välttämättä ole suoraa.

6. Voiko kaltevan prisman yhden sivupinnan korkeus olla myös prisman korkeus?

Kyllä, jos tämä kasvo on kohtisuorassa pohjaan nähden.

7. Onko olemassa prismaa, jossa: a) sivureuna on kohtisuorassa vain alustan toiseen reunaan nähden; b) vain yksi sivupinta on kohtisuorassa alustaan ​​nähden?

a) kyllä. b) ei.

8. Säännöllinen kolmion muotoinen prisma jaetaan kahdeksi prismaksi kannan keskiviivojen läpi kulkevalla tasolla. Mikä on näiden prismien sivupintojen suhde?

Lauseen 27 perusteella havaitaan, että sivupinnat ovat suhteessa 5:3

9. Onko pyramidi säännöllinen, jos sen sivupinnat ovat säännöllisiä kolmioita?

10. Kuinka monta pintaa kohtisuorassa pohjan tasoon nähden pyramidilla voi olla?

11. Onko olemassa nelikulmaista pyramidia, jonka vastakkaiset sivupinnat ovat kohtisuorassa kantaan nähden?

Ei, muuten pyramidin huipun läpi kulkisi vähintään kaksi suoraa linjaa kohtisuorassa kantaan nähden.

12. Voivatko kolmiopyramidin kaikki pinnat olla suorakulmaisia ​​kolmioita?

Kyllä (kuva 183).

"Get an A" -videokurssi sisältää kaikki tarvitsemasi aiheet onnistuneen valmistumisen Matematiikan yhtenäinen valtiokoe 60-65 pistettä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja Unified State Exam ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia ​​käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Yleistä suorasta prismasta

Prisman sivupintaa (tarkemmin sanottuna lateraalista pinta-alaa) kutsutaan summa sivupintojen alueet. Prisman kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sivupinnan ja kantapintojen summa.

Lause 19.1. Suoran prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo eli sivureunan pituus.

Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Näiden suorakulmioiden kantat ovat prisman pohjalla olevan monikulmion sivut ja korkeudet ovat yhtä suuria kuin sivureunojen pituus. Tästä seuraa, että prisman sivupinta on yhtä suuri

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

missä a 1 ja n ovat kantareunojen pituudet, p on prisman kannan ympärysmitta ja I on sivureunojen pituus. Lause on todistettu.

Käytännön tehtävä

Ongelma (22) . Se suoritetaan kaltevassa prismassa osio, kohtisuorassa sivuripoihin nähden ja leikkaa kaikki sivurivat. Etsi prisman sivupinta, jos poikkileikkauksen kehä on yhtä suuri kuin p ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin l.

Ratkaisu. Piirretyn leikkauksen taso jakaa prisman kahteen osaan (kuva 411). Tehdään yksi niistä rinnakkaiskäännökselle yhdistämällä prisman kantat. Tässä tapauksessa saadaan suora prisma, jonka kanta on alkuperäisen prisman poikkileikkaus ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin l. Tällä prismalla on sama sivupinta kuin alkuperäisellä prismalla. Siten alkuperäisen prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pl.

Yhteenveto käsitellystä aiheesta

Yritetään nyt tehdä yhteenveto käsittelemästämme aiheesta prismoista ja muistaa, mitä ominaisuuksia prismalla on.

Prisman ominaisuudet

Ensinnäkin prismalla on kaikki kantansa yhtäläisinä monikulmioina;
Toiseksi prismassa on kaikki sen sivupinnat ovat suunnikkaat;
Kolmanneksi, sellaisessa monitahoisessa kuviossa kuin prisma, kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;

On myös muistettava, että monitahot, kuten prismat, voivat olla suoria tai vinoja.

Mitä prismaa kutsutaan suoraksi prismaksi?

Jos prisman sivureuna sijaitsee kohtisuorassa sen kannan tasoon nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan suoraksi.

Ei olisi tarpeetonta muistaa, että suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita.

Millaista prismaa kutsutaan vinoksi?

Mutta jos prisman sivureuna ei ole kohtisuorassa sen kannan tasoon nähden, voimme turvallisesti sanoa, että se on kalteva prisma.

Kumpaa prismaa kutsutaan oikeaksi?

Jos säännöllinen monikulmio on suoran prisman pohjalla, niin tällainen prisma on säännöllinen.

Muistakaamme nyt tavallisen prisman ominaisuudet.

Säännöllisen prisman ominaisuudet

Ensinnäkin säännölliset polygonit toimivat aina säännöllisen prisman kantana;
Toiseksi, jos otamme huomioon säännöllisen prisman sivupinnat, ne ovat aina yhtä suuret suorakaiteet;
Kolmanneksi, jos verrataan sivuripojen kokoja, niin tavallisessa prismassa ne ovat aina yhtä suuret.
Neljänneksi oikea prisma on aina suora;
Viidenneksi, jos säännöllisessä prismassa sivupinnat ovat neliön muotoisia, niin tällaista kuviota kutsutaan yleensä puolisäännölliseksi monikulmioksi.

Prisman poikkileikkaus

Katsotaan nyt prisman poikkileikkausta:

Kotitehtävät

Yritetään nyt vahvistaa opittua aihetta ratkaisemalla ongelmia.

Piirretään kalteva kolmioprisma, jonka reunojen välinen etäisyys on 3 cm, 4 cm ja 5 cm, ja tämän prisman sivupinta on 60 cm2. Kun sinulla on nämä parametrit, etsi tämän prisman sivureuna.

Tiesitkö, että geometriset hahmot ympäröivät meitä jatkuvasti paitsi geometrian tunneilla, myös sisällä Jokapäiväinen elämä On esineitä, jotka muistuttavat yhtä tai toista geometristä kuviota.

Jokaisessa kodissa, koulussa tai työpaikalla on tietokone, jonka järjestelmäyksikkö on suoran prisman muotoinen.

Jos otat yksinkertaisen kynän, näet, että kynän pääosa on prisma.

Kävellessämme kaupungin keskuskadulla näemme, että jalkojemme alla on laatta, joka on muodoltaan kuusikulmainen prisma.

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille

Polyhedra

Stereometrian pääasiallinen tutkimuskohde on spatiaaliset kappaleet. Runko edustaa tietyn pinnan rajoittamaa tilaa.

Polyhedron on kappale, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä litteitä polygoneja. Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se sijaitsee jokaisen pinnallaan olevan monikulmion tason toisella puolella. Tällaisen tason ja monitahoisen pinnan yhteistä osaa kutsutaan reuna. Kuperan polyhedronin pinnat ovat litteitä kuperaa monikulmiota. Kasvojen puolia kutsutaan monitahoisen reunat, ja kärjet ovat monitahoisen kärjet.

Esimerkiksi kuutio koostuu kuudesta ruudusta, jotka ovat sen pinnat. Siinä on 12 reunaa (neliöiden sivut) ja 8 kärkeä (neliöiden yläosa).

Yksinkertaisimmat polyhedrat ovat prismat ja pyramidit, joita tutkimme edelleen.

Prisma

Prisman määritelmä ja ominaisuudet

Prisma on monitahoinen, joka koostuu kahdesta litteästä monikulmiosta, jotka sijaitsevat sisällä yhdensuuntaiset tasot yhdistetty rinnakkaissiirrolla ja kaikki segmentit, jotka yhdistävät näiden polygonien vastaavat pisteet. Monikulmioita kutsutaan prismapohjat, ja polygonien vastaavat kärjet yhdistävät segmentit ovat prisman sivureunat.

Prisman korkeus kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen tasojen välillä (). Kutsutaan segmenttiä, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan prisman diagonaali(). Prismaa kutsutaan n-hiili, jos sen kanta sisältää n-kulman.

Jokaisella prismalla on seuraavat ominaisuudet, jotka johtuvat siitä, että prisman kantat yhdistetään rinnakkaissiirrolla:

1. Prisman kantat ovat yhtä suuret.

2. Prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.

Prisman pinta koostuu alustasta ja sivupinta. Prisman sivupinta koostuu suunnikasista (tämä seuraa prisman ominaisuuksista). Prisman sivupinnan pinta-ala on sivupintojen pinta-alojen summa.

Suora prisma

Prismaa kutsutaan suoraan, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Muuten prismaa kutsutaan taipuvainen.

Oikean prisman pinnat ovat suorakulmioita. Suoran prisman korkeus on yhtä suuri kuin sen sivupinnat.

Täysprisman pinta kutsutaan sivupinta-alan ja kantapintojen summaksi.

Oikealla prismalla kutsutaan suoraksi prismaksi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio.

Lause 13.1. Suoran prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin prisman kehän ja korkeuden tulo (tai, mikä on sama, sivureunalla).

Todiste. Suorakulmaisen prisman sivupinnat ovat suorakulmioita, joiden kantat ovat prisman kantassa olevien monikulmioiden sivut ja korkeudet ovat prisman sivureunat. Sitten määritelmän mukaan sivupinta-ala on:

,

missä on suoran prisman kannan ympärysmitta.

Suuntaissärmiö

Jos suunnikkaat sijaitsevat prisman kannassa, sitä kutsutaan suuntaissärmiö. Suuntasärmiön kaikki pinnat ovat suunnikkaat. Tässä tapauksessa suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.

Lause 13.2. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja jaetaan leikkauspisteellä puoliksi.

Todiste. Tarkastellaan esimerkiksi kahta mielivaltaista diagonaalia ja . Koska kasvot suuntaissärmiö ovat suuntaviivat, sitten ja , mikä tarkoittaa, mukaan To on kaksi suoraa yhdensuuntaista kolmannen. Lisäksi tämä tarkoittaa, että suorat viivat ja sijaitsevat samassa tasossa (tasossa). Tämä taso intersects yhdensuuntaisia ​​tasoja ja pitkin yhdensuuntaisia ​​linjoja ja . Näin ollen nelikulmio on suuntaviiva, ja suunnikkaan ominaisuuden perusteella sen lävistäjät leikkaavat ja jaetaan puoliksi leikkauspisteellä, mikä oli todistettava.

Kutsutaan suoraa suuntaissärmiötä, jonka kanta on suorakulmio suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö. Kaikki suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön pinnat ovat suorakulmioita. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ei-samansuuntaisten reunojen pituuksia kutsutaan sen lineaarisiksi mitoiksi (dimensioiksi). Tällaisia ​​kokoja on kolme (leveys, korkeus, pituus).

Lause 13.3. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä minkä tahansa lävistäjän neliö yhtä suuri kuin summa kolmiulotteisia neliöitä (todistettu soveltamalla Pythagoraan T:tä kahdesti).

Kutsutaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuutio.

Tehtävät

13.1 Kuinka monta diagonaalia siinä on? n-hiiliprisma

13.2 Kaltevassa kolmiomaisessa prismassa sivureunojen väliset etäisyydet ovat 37, 13 ja 40. Laske etäisyys suuremman sivureunan ja vastakkaisen sivureunan välillä.

13.3 Oikean alaosan puolen läpi Kolmisivuinen prisma taso piirretään leikkaamalla sivupinnat segmenttejä pitkin, joiden välinen kulma on . Etsi tämän tason kaltevuuskulma prisman kantaan nähden.

Määritelmä. Prisma on monitahoinen, jonka kaikki kärjet sijaitsevat kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa ja näissä samoissa kahdessa tasossa sijaitsevat prisman kaksi sivua, jotka ovat yhtä suuria monikulmioita, joilla on vastaavasti yhdensuuntaiset sivut, ja kaikki reunat, jotka eivät ole näillä tasoilla, ovat yhdensuuntaiset.

Kaksi samanarvoista kasvoa kutsutaan prismapohjat(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kaikki muut prisman pinnat kutsutaan sivupinnat(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kaikki sivupinnat muodostuvat prisman sivupinta .

Kaikki prisman sivupinnat ovat suunnikkaita .

Reunoja, jotka eivät ole tyvillä, kutsutaan prisman sivureunoksi ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisman diagonaali on segmentti, jonka päät ovat kaksi prisman kärkeä, jotka eivät ole samalla pinnalla (AD 1).

Prisman kantat yhdistävän ja molempiin kantaan samanaikaisesti kohtisuorassa olevan janan pituus on ns. prisman korkeus .

Nimitys:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Ensin läpikulkujärjestyksessä merkitään yhden kannan kärjet ja sitten samassa järjestyksessä toisen kärjet; kunkin sivureunan päät on merkitty samoilla kirjaimilla, vain yhdessä kantassa olevat kärjet on merkitty kirjaimilla ilman indeksiä ja toisessa - indeksillä)

Prisman nimi liittyy sen pohjalla olevan kuvan kulmien lukumäärään, esim. kuvassa 1 pohjassa on viisikulmio, joten prisma on ns. viisikulmainen prisma. Mutta koska sellaisella prismalla on 7 pintaa, niin se heptaedri(2 pintaa - prisman pohjat, 5 pintaa - suunnikkaat, - sen sivupinnat)

Suorista prismoista erottuu tietty tyyppi: tavalliset prismat.

Suoraa prismaa kutsutaan oikea, jos sen kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.

Säännöllisen prisman kaikki sivupinnat ovat yhtä suuret suorakulmiot. Prisman erikoistapaus on suuntaissärmiö.

Suuntaissärmiö

Suuntaissärmiö on nelikulmainen prisma, jonka pohjalla on suunnikas (kalteva suuntaissärmiö). Oikea suuntaissärmiö- suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa pohjan tasoihin nähden.

Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö- suora suuntaissärmiö, jonka kanta on suorakulmio.

Ominaisuudet ja lauseet:

Jotkut suuntaissärmiön ominaisuudet ovat samanlaisia ​​kuin suunnikkaan tunnetut ominaisuudet. Suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jolla on samat mitat, kutsutaan kuutio .Kuution kaikki pinnat ovat yhtä suuria neliöitä. Diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa

,

missä d on neliön diagonaali;
a on neliön sivu.

Käsityksen prismasta antaa:

• eri arkkitehtoniset rakenteet;
• Lasten lelut;
• pakkauslaatikot;
• design-esineitä jne.

Prisman kokonais- ja sivupinnan pinta-ala

Prisman kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pinta-alojen summa Sivuttaispinta-ala kutsutaan sen sivupintojen pinta-alojen summaksi. Prisman kantat ovat yhtä suuret monikulmiot, jolloin niiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Siksi

S täysi = S puoli + 2S pää,

Missä S täynnä- kokonaispinta-ala, S puoli- sivupinta-ala, S pohja- perusalue

Suoran prisman sivupinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo.

S puoli= P perus * h,

Missä S puoli-suoran prisman sivupinnan pinta-ala,

P main - suoran prisman pohjan kehä,

h on suoran prisman korkeus, yhtä suuri kuin sivureuna.

Prisman tilavuus

Prisman tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo.