Polyhedra
Stereometrian pääasiallinen tutkimuskohde ovat kolmiulotteiset kappaleet. Runko on osa avaruutta, jota rajoittaa jokin pinta.
monitahoinen Kehoa, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä tasopolygoneja kutsutaan. Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se sijaitsee jokaisen pinnallaan olevan tasaisen monikulmion tason toisella puolella. Tällaisen tason ja monitahoisen pinnan yhteistä osaa kutsutaan reuna. Kuperan polyhedronin pinnat ovat litteitä kuperaa monikulmiota. Kasvojen puolia kutsutaan monitahoisen reunat, ja kärjet monitahoisen kärjet.
Esimerkiksi kuutio koostuu kuudesta ruudusta, jotka ovat sen sivuja. Se sisältää 12 reunaa (neliöiden sivuja) ja 8 kärkeä (neliöiden kärkiä).
Yksinkertaisimmat polyhedrat ovat prismat ja pyramidit, joita tutkimme edelleen.
Prisma
Prisman määritelmä ja ominaisuudet
prisma kutsutaan monikulmioksi, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisissa tasoissa olevasta litteästä monikulmiosta, jotka on yhdistetty rinnakkaisella translaatiolla, ja kaikista näiden monikulmioiden vastaavia pisteitä yhdistävistä segmenteistä. Monikulmioita kutsutaan prisman pohjat, ja polygonien vastaavat kärjet yhdistävät segmentit ovat prisman sivureunat.
Prisman korkeus kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen tasojen välillä (). Kutsutaan segmenttiä, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan prisman diagonaali(). Prismaa kutsutaan n-hiili jos sen kanta on n-kulmio.
Jokaisella prismalla on seuraavat ominaisuudet, jotka johtuvat siitä, että prisman kantat yhdistetään rinnakkaissiirrolla:
1. Prisman kantat ovat yhtä suuret.
2. Prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.
Prisman pinta koostuu kantajista ja sivupinta. Prisman sivupinta koostuu suunnikasista (tämä seuraa prisman ominaisuuksista). Prisman sivupinnan pinta-ala on sivupintojen pinta-alojen summa.
suora prisma
Prismaa kutsutaan suoraan jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Muuten prismaa kutsutaan vino.
Suoran prisman pinnat ovat suorakulmioita. Suoran prisman korkeus on yhtä suuri kuin sen sivupinnat.
täysi prisman pinta on sivupinta-alan ja kantapintojen summa.
Oikea prisma kutsutaan suoraksi prismaksi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio.
Lause 13.1. Suoran prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin prisman kehän ja korkeuden tulo (tai vastaavasti sivureuna).
Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita, joiden kantat ovat prisman kantojen monikulmioiden sivut ja korkeudet ovat prisman sivureunat. Sitten määritelmän mukaan sivupinta-ala on:
,
missä on suoran prisman kannan ympärysmitta.
Suuntaissärmiö
Jos suunnikkaat sijaitsevat prisman kannassa, sitä kutsutaan suuntaissärmiö. Suuntasärmiön kaikki pinnat ovat suunnikkaat. Tässä tapauksessa suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.
Lause 13.2. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja leikkauspiste jaetaan puoliksi.
Todiste. Tarkastellaan esimerkiksi kahta mielivaltaista diagonaalia ja . Koska suuntaissärmiön pinnat ovat suunnikkaat, sitten ja , mikä tarkoittaa, että T:n mukaan noin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia kolmannen kanssa. Lisäksi tämä tarkoittaa, että linjat ja ovat samassa tasossa (tasossa). Tämä taso intersects yhdensuuntaisia tasoja ja pitkin yhdensuuntaisia linjoja ja . Näin ollen nelikulmio on suuntaviiva, ja suunnikkaan ominaisuuden perusteella sen diagonaalit ja leikkaavat ja leikkauspiste on jaettu puoliksi, mikä oli todistettava.
Kutsutaan suoraa suuntaissärmiötä, jonka kanta on suorakulmio kuutiomainen. Kaikki kuution pinnat ovat suorakulmioita. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ei-samansuuntaisten reunojen pituuksia kutsutaan sen lineaarisiksi mitoiksi (mittauksiksi). Kokoja on kolme (leveys, korkeus, pituus).
Lause 13.3. Kuutiomuodossa minkä tahansa diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin summa kolmiulotteisia neliöitä 
(todistettu soveltamalla Pythagoraan T:tä kahdesti).
Kutsutaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuutio.
Tehtävät
13.1 Kuinka monta diagonaalia tekee n- hiiliprisma
13.2 Kaltevassa kolmiomaisessa prismassa sivureunojen väliset etäisyydet ovat 37, 13 ja 40. Laske etäisyys suuremman sivupinnan ja vastakkaisen sivureunan välillä.
13.3 Säännöllisen kolmion muotoisen prisman alapohjan sivun läpi piirretään taso, joka leikkaa sivupinnat segmenttejä pitkin, joiden välinen kulma on . Etsi tämän tason kaltevuuskulma prisman kantaan nähden.
Eri prismat eroavat toisistaan. Samalla heillä on paljon yhteistä. Prisman pohjan alueen löytämiseksi sinun on selvitettävä, miltä se näyttää.
Yleinen teoria
Prisma on mikä tahansa monitahoinen, jonka sivuilla on suunnikas. Lisäksi mikä tahansa monitahoinen voi olla tyvessään - kolmiosta n-kulmioon. Lisäksi prisman kantat ovat aina yhtä suuret keskenään. Mikä ei koske sivupintoja - niiden koko voi vaihdella huomattavasti.
Ongelmia ratkaistaessa ei kohtaa vain prisman pohjan aluetta. Saattaa olla tarpeen tuntea sivupinta, eli kaikki pinnat, jotka eivät ole pohjaa. Koko pinta on jo kaikkien prisman muodostavien kasvojen liitto.
Joskus korkeudet näkyvät tehtävissä. Se on kohtisuorassa pohjaan nähden. Monitahoisen diagonaali on segmentti, joka yhdistää pareittain mitkä tahansa kaksi kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan.
On huomattava, että suoran tai kaltevan prisman pohjan pinta-ala ei riipu niiden ja sivupintojen välisestä kulmasta. Jos niillä on samat luvut ylä- ja alapuolella, niiden pinta-alat ovat yhtä suuret.
Kolmisivuinen prisma
Sen pohjassa on kuvio, jossa on kolme kärkeä, eli kolmio. Sen tiedetään olevan erilainen. Jos sitten riittää muistaa, että sen pinta-ala määräytyy puoleen jalkojen tulosta.
Matemaattinen merkintätapa näyttää tältä: S = ½ av.
Tukikohdan alueen löytäminen yleisnäkymä, kaavat ovat hyödyllisiä: Heron ja se, jossa puolet sivusta viedään siihen piirretylle korkeudelle.
Ensimmäinen kaava tulisi kirjoittaa näin: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Tämä merkintä sisältää puolikehän (p), eli kolmen sivun summan jaettuna kahdella.
Toinen: S = ½ n a * a.
Jos haluat tietää säännöllisen kolmioprisman pohjan alueen, kolmio osoittautuu tasasivuiseksi. Sillä on oma kaava: S = ¼ a 2 * √3.
nelikulmainen prisma
Sen kanta on mikä tahansa tunnetuista nelikulmista. Se voi olla suorakulmio tai neliö, suuntaissärmiö tai rombi. Kussakin tapauksessa tarvitset oman kaavansi prisman pohjan alueen laskemiseksi.
Jos kanta on suorakulmio, niin sen pinta-ala määritetään seuraavasti: S = av, missä a, b ovat suorakulmion sivut.
Kun me puhumme noin nelikulmaisesta prismasta, niin säännöllisen prisman pohjan pinta-ala lasketaan neliön kaavalla. Koska se on hän, joka makaa tukikohdassa. S \u003d a 2.
Jos kanta on suuntaissärmiö, tarvitaan seuraava yhtäläisyys: S \u003d a * n a. Tapahtuu, että suuntaissärmiön sivu ja yksi kulmista on annettu. Sitten sinun on käytettävä korkeuden laskemiseksi lisäkaava: n a \u003d b * sin A. Lisäksi kulma A on sivun "b" vieressä ja korkeus n ja vastapäätä tätä kulmaa.
Jos rombi sijaitsee prisman pohjalla, sen pinta-alan määrittämiseen tarvitaan sama kaava kuin suunnikkaalle (koska se on sen erikoistapaus). Mutta voit käyttää myös tätä: S = ½ d 1 d 2. Tässä d 1 ja d 2 ovat rombin kaksi diagonaalia.
Säännöllinen viisikulmainen prisma
Tässä tapauksessa monikulmio jaetaan kolmioiksi, joiden alueet on helpompi selvittää. Vaikka tapahtuukin, että hahmoilla voi olla eri määrä pisteitä.
Koska prisman kanta on säännöllinen viisikulmio, se voidaan jakaa viiteen tasasivuiseen kolmioon. Sitten prisman pohjan pinta-ala on yhtä suuri kuin yhden tällaisen kolmion pinta-ala (kaava näkyy yllä), kerrottuna viidellä.
Säännöllinen kuusikulmainen prisma
Viisikulmaiselle prismalle kuvatun periaatteen mukaan on mahdollista jakaa kantakuusikulmio 6 tasasivuiseen kolmioon. Tällaisen prisman pohjan pinta-alan kaava on samanlainen kuin edellinen. Vain siinä tulisi kertoa kuudella.
Kaava näyttää tältä: S = 3/2 ja 2 * √3.
Tehtävät
Nro 1. Annetaan säännöllinen suora, jonka lävistäjä on 22 cm, monitahoisen korkeus 14 cm. Laske prisman pohjan pinta-ala ja koko pinta.
Ratkaisu. Prisman kanta on neliö, mutta sen sivua ei tunneta. Löydät sen arvon neliön diagonaalista (x), joka liittyy prisman lävistäjään (d) ja sen korkeuteen (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Toisaalta tämä segmentti "x" on hypotenuusa kolmiossa, jonka jalat ovat yhtä suuret kuin neliön sivu. Eli x 2 \u003d a 2 + a 2. Siten käy ilmi, että a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Korvaa numero 22 d:n sijaan ja korvaa "n" sen arvolla - 14, niin käy ilmi, että neliön sivu on 12 cm. Nyt on helppo selvittää pohjapinta-ala: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Koko pinnan alueen selvittämiseksi sinun on lisättävä kaksinkertainen perusalueen arvo ja nelinkertaistettava sivu. Jälkimmäinen on helppo löytää suorakulmion kaavalla: kerro polyhedronin korkeus ja pohjan sivu. Eli 14 ja 12, tämä luku on yhtä suuri kuin 168 cm 2. kokonaisalue prisman pinta-ala on 960 cm 2 .
Vastaus. Prisman pohjapinta-ala on 144 cm2. Koko pinta - 960 cm 2 .
Nro 2. Dana Pohjalla on kolmio, jonka sivu on 6 cm. Tässä tapauksessa sivupinnan lävistäjä on 10 cm. Laske pinta-alat: pohja ja sivupinta.
Ratkaisu. Koska prisma on säännöllinen, sen kanta on tasasivuinen kolmio. Siksi sen pinta-ala on 6 neliökertaa ¼ ja neliöjuuri 3. Yksinkertainen laskelma johtaa tulokseen: 9√3 cm 2. Tämä on prisman yhden pohjan alue.
Kaikki sivupinnat ovat samat ja ovat suorakulmioita, joiden sivut ovat 6 ja 10 cm. Niiden pinta-alojen laskemiseksi riittää kertomalla nämä luvut. Kerro ne sitten kolmella, koska prismassa on täsmälleen niin monta sivupintaa. Sitten sivupinnan pinta-ala kääritään 180 cm 2 .
Vastaus. Pinta-alat: pohja - 9√3 cm 2, prisman sivupinta - 180 cm 2.
Yhdensuuntaisissa tasoissa olevia polygoneja ABCDE ja FHKMP kutsutaan prisman kannaksi, ja kohtisuoraa OO 1, joka on pudotettu mistä tahansa kannan pisteestä toisen tasolle, kutsutaan prisman korkeudeksi. Rinnakkaiset ABHF, BCKH jne. Niitä kutsutaan prisman sivupinnoiksi, ja niiden sivuja CK, DM jne., jotka yhdistävät kantajen vastaavat kärjet, kutsutaan sivureunoiksi. Prismassa kaikki sivureunat ovat yhtä suuret toistensa kanssa samansuuntaisten viivojen segmentteinä, jotka on suljettu väliin. yhdensuuntaiset tasot.
Prismaa kutsutaan suoraksi ( kuva 282,b) tai vino ( Kuva 282, tuumaa) riippuen siitä, ovatko sen sivureunat kohtisuorassa vai vinossa pohjaan nähden. Suorassa prismassa sivupinnat ovat suorakulmioita. Sivureuna voidaan ottaa tällaisen prisman korkeudeksi.
Suoraa prismaa kutsutaan säännölliseksi, jos sen kantat ovat säännöllisiä monikulmioita. Tällaisessa prismassa kaikki sivupinnat ovat yhtä suuria suorakulmioita.
Prisman kuvaamiseksi monimutkaisessa piirustuksessa on tiedettävä ja osattava kuvata elementit, joista se koostuu (piste, suora viiva, litteä kuvio).
ja niiden kuva integroidussa piirustuksessa (kuva 283, a - i)
a) Prisman monimutkainen piirustus. Prisman kanta sijaitsee projektiotasolla P 1 ; yksi prisman sivuista on yhdensuuntainen projektioiden tason П 2 kanssa.
b) Prisman DEF alakanta on tasainen kuvio - säännöllinen kolmio, joka sijaitsee tasossa P 1; kolmion DE sivu on yhdensuuntainen x-akselin kanssa 12 - Vaakasuora projektio sulautuu annettuun kantaan ja on siten yhtä suuri kuin sen luonnollinen koko; etuprojektio sulautuu x-12-akseliin ja on yhtä suuri kuin prisman pohjan sivu.
c) Prisman ABC yläkanta on litteä kuva - kolmio, joka sijaitsee vaakatasossa. Vaakasuora projektio sulautuu alapohjan projektioon ja peittää sen itsellään, koska prisma on suora; etuprojektio - suora viiva, yhdensuuntainen x 12 -akselin kanssa, etäisyydellä prisman korkeudesta.
d) ABED-prisman sivupinta on litteä hahmo - suorakulmio, joka sijaitsee etutasossa. Etuprojektio - suorakulmio, joka on yhtä suuri kuin kasvojen luonnollinen koko; vaakasuora projektio - suora viiva, joka on yhtä suuri kuin prisman pohjan sivu.
e) ja f) Prisman ACFD ja CBEF sivupinnat ovat litteitä hahmoja - suorakulmioita, jotka sijaitsevat vaakasuorassa ulkonevissa tasoissa, jotka ovat 60°:n kulmassa projektiotasoon П 2 nähden. Vaakaprojektiot ovat suoria viivoja, jotka sijaitsevat 60 °:n kulmassa x-akseliin 12 nähden ja ovat yhtä suuria kuin prisman pohjan sivujen luonnollinen koko; etuprojektiot - suorakulmiot, joiden kuva on pienempi kuin luonnollinen koko: kunkin suorakulmion kaksi sivua ovat yhtä suuret kuin prisman korkeus.
g) Prisman reuna AD on suora, joka on kohtisuorassa projektioiden P 1 tasoon nähden. Vaakaprojektio - piste; frontaalinen - suora viiva, joka on kohtisuorassa x 12 -akseliin nähden, yhtä suuri kuin prisman sivureuna (prisman korkeus).
h) Yläpohjan sivu AB on suora, yhdensuuntainen tasojen P 1 ja P 2 kanssa. Vaaka- ja etuprojektio ovat suoria, yhdensuuntaisia x12-akselin kanssa ja yhtä suuria kuin prisman annetun kannan sivu. Etuprojektio on erotettu x-akselista 12:lla prisman korkeuden verran.
i) Prisman huiput. Piste E - alemman alustan yläosa sijaitsee tasossa P 1 . Vaakaprojektio osuu itse pisteeseen; frontal - sijaitsee akselilla x 12. Piste C - ylemmän pohjan yläosa - sijaitsee avaruudessa. Vaakaprojektiossa on syvyys; etuosa - korkeus, yhtä suuri kuin korkeus tämä prisma.
Tämä tarkoittaa: Mitä tahansa polyhedriaa suunniteltaessa se on jaettava mielessään sen osaelementteihin ja määritettävä niiden esitysjärjestys, joka koostuu peräkkäisistä graafisista operaatioista. Päällä (Kuva 284 ja Kuva 285) esitetään esimerkkejä peräkkäisistä graafisista operaatioista suoritettaessa monimutkaista piirtämistä ja visuaalista kuvaa (aksonometriaa) prismoista.
(Kuva 284).
Annettu:
1. Alusta sijaitsee projektioiden P 1 tasolla.
2. Kumpikaan pohjan sivu ei ole yhdensuuntainen x12-akselin kanssa.
I. Integroitu piirustus.
Minä, a. Suunnittelemme alemman pohjan - monikulmion, joka ehdon mukaan sijaitsee tasossa P 1.
Minä, b. Suunnittelemme ylemmän pohjan - monikulmion, joka on yhtä suuri kuin alapohja, jonka sivut vastaavat samansuuntaisia alemman jalustan kanssa, ja jotka on erotettu alemmasta alustasta tämän prisman korkeudella H.
Minä, c. Suunnittelemme prisman sivureunat - yhdensuuntaiset segmentit; niiden vaakasuorat projektiot ovat pisteitä, jotka sulautuvat pohjan yläosien projektioihin; etuosa - segmentit (rinnakkaiset), jotka on saatu samannimisen kannan kärkien projektioiden suorien viivojen yhdistämisestä. Alemman pohjan kärkien B ja C projektioista piirretyt kylkiluiden etuprojektiot on kuvattu katkoviivoilla näkymättöminä.
Minä, Mr. Annettu: pisteen F vaakasuora projektio F 1 ylemmällä pohjalla ja pisteen K etuprojektio K 2 sivupinnalla. Niiden toisten projektioiden paikat on määritettävä.
Kohdalle F. Pisteen F toinen (etu) projektio F 2 osuu yhteen ylemmän kannan projektion kanssa pisteenä, joka sijaitsee tämän kannan tasossa; sen paikan määrää pystysuora viestintälinja.
Pisteelle K - pisteen K toinen (vaakasuora) projektio K 1 osuu sivupinnan vaakasuoraan projektioon pisteenä, joka sijaitsee kasvojen tasossa; sen paikan määrää pystysuora viestintälinja.
II. Prisman pinnan avautuminen- litteä hahmo, joka koostuu sivupinnoista - suorakulmioista, joissa kaksi sivua ovat yhtä suuria kuin prisman korkeus ja kaksi muuta ovat yhtä suuret kuin pohjan vastaavat sivut, ja kahdesta toistensa kanssa yhtä suuresta pohjasta - epäsäännölliset monikulmiot.
Lakaisun rakentamiseen tarvittavat kasvojen pohjien ja sivujen luonnolliset mitat paljastuvat ulokkeissa; niille ja me rakennamme; suoralla linjalla siirrämme peräkkäin sivuun monikulmion sivut AB, BC, CD, DE ja EA - prisman kantat, jotka on otettu vaakaprojektiosta. Pisteistä A, B, C, D, E ja A piirretyissä kohtisuorassa sivuun tämän prisman etuprojektiosta otettu korkeus H ja piirretään suora viiva merkkien läpi. Tuloksena saadaan prisman sivupintojen kehitys.
Jos kiinnitämme prisman pohjat tähän skannaukseen, saamme skannauksen prisman koko pinnasta. Prisman pohjat tulee kiinnittää vastaavaan sivupintaan kolmiomittausmenetelmällä.
Prisman yläpohjassa määritetään säteiden R ja R 1 avulla pisteen F sijainti ja sivupinnalla säteiden R 3 ja H 1 avulla piste K.
III. Prisman visuaalinen esitys dimetriassa.
III, a. Kuvataan prisman alakanta pisteiden A, B, C, D ja E koordinaatteja pitkin (kuva 284 I, a).
III, b. Kuvaamme ylemmän pohjan yhdensuuntaisena alemman kanssa, erotettuna siitä prisman korkeudella H.
III, c. Kuvaamme sivureunat, joita varten yhdistämme pohjan vastaavat kärjet suorilla viivoilla. Määritämme prisman näkyvät ja näkymätön elementit ja piirrämme ne vastaavilla viivoilla,
III, d. Määritämme prisman pinnalla olevat pisteet F ja K - piste F - ylemmältä pohjalta määritetään mitoilla i ja e; piste K - sivupinnalla käyttäen i 1 ja H" .
Prisman isometrisessä kuvassa ja pisteiden F ja K sijainnin määrittämisessä tulee noudattaa samaa järjestystä.
kuva 285).
Annettu:
1. Alusta sijaitsee tasossa P 1.
2. Sivurivat ovat yhdensuuntaiset tason P 2 kanssa.
3. Kumpikaan pohjan sivu ei ole yhdensuuntainen x-akselin 12 kanssa
I. Integroitu piirustus.
Minä, a. Suunnittelemme sen mukaan tämä ehto: alempi kanta on P 1 -tasossa oleva monikulmio ja sivureuna on segmentti, joka on yhdensuuntainen P 2 -tason kanssa ja kallistuu P 1 -tasoon nähden.
Minä, b. Suunnittelemme loput sivureunat - segmentit, jotka ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset ensimmäisen reunan CE kanssa.
Minä, c. Suunnittelemalla prisman ylempi kanta monikulmioksi, joka on yhtä suuri ja yhdensuuntainen alemman kannan kanssa, saadaan monimutkainen prisman piirustus.
Paljastamme näkymättömiä elementtejä projektioissa. BM-rivan etuprojektio ja pohja-CD:n sivun vaakasuora projektio on kuvattu katkoviivoilla näkymättöminä.
I, d. Ottaen huomioon pisteen Q frontaaliprojektio Q 2 sivupinnan projektiossa A 2 K 2 F 2 D 2; sinun on löydettävä sen vaakasuora projektio. Tätä varten vedetään prisman pinnan projektion A 2 K 2 F 2 D 2 pisteen Q 2 läpi apusuora, joka on yhdensuuntainen tämän pinnan sivureunojen kanssa. Löydämme apuviivan vaakaprojektion ja määritämme siitä pystysuoraa viestintäviivaa käyttämällä pisteen Q halutun vaakaprojektion Q 1 paikan.
II. Prisman pintaskannaus.
Koska pohjan sivujen luonnolliset mitat ovat vaakasuorassa projektiossa ja ripojen mitat etuulokkeessa, on mahdollista rakentaa tämän prisman pinnan täydellinen avautuminen.
Pyöritämme prismaa kääntäen sitä joka kerta lateraalinen kylkiluu, silloin prisman jokainen sivupinta tasossa jättää jäljen (rinnakkaiskuvan), joka on yhtä suuri kuin sen luonnollinen koko. Rakennamme sivuskannauksen seuraavassa järjestyksessä:
a) pisteistä A 2, B 2, D 2. . . E 2 (pohjien yläosien etuprojektiot) piirrämme apusuorat viivat kohtisuoraan kylkiluiden projektioihin nähden;
b) säde R ( yhtä suuri kuin sivu pohjat CD) teemme loven pisteeseen D pisteestä D 2 vedetylle apusuoralle; yhdistämällä suorat pisteet C 2 ja D ja piirtämällä suorat E 2 C 2:n ja C 2 D:n suuntaiset, saadaan sivupinta CEFD ;
c) sitten samalla tavalla kiinnittämällä seuraavat sivupinnat saadaan prisman sivupintojen kehitys. Saadaksesi täydellisen pyyhkäisyn tämän prisman pinnasta, kiinnitämme sen pohjan vastaaviin pintoihin.
III. Prisman visuaalinen esitys isometriassa.
III, a. Kuvaamme prisman alapohjaa ja reunaa CE käyttämällä koordinaatteja kohdan (
Yleistä suorasta prismasta
Prisman sivupinta (tarkemmin sivupinta-ala) on nimeltään summa sivukasvojen alueet. Prisman kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sivupinnan ja kantapintojen summa.
Lause 19.1. Suoran prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo eli sivureunan pituus.
Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Näiden suorakulmioiden kantat ovat prisman pohjalla olevan monikulmion sivut ja korkeudet ovat yhtä suuria kuin sivureunojen pituus. Tästä seuraa siis sivupinta prisma on
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
missä a 1 ja n ovat pohjan ripojen pituudet, p on prisman kannan ympärysmitta ja I on sivuripojen pituus. Lause on todistettu.
Käytännön tehtävä
Tehtävä (22) . Kaltevassa prismassa osio, kohtisuorassa sivureunoihin nähden ja leikkaa kaikki sivureunat. Etsi prisman sivupinta, jos poikkileikkauksen kehä on p ja sivureunat l.
Ratkaisu. Piirretyn leikkauksen taso jakaa prisman kahteen osaan (kuva 411). Tehdään yksi niistä rinnakkaiskäännökselle, joka yhdistää prisman kantat. Tässä tapauksessa saadaan suora prisma, jossa alkuperäisen prisman leikkaus toimii pohjana ja sivureunat ovat yhtä suuria kuin l. Tässä prismassa on sama sivupinta kuin alkuperäisellä prismalla. Siten alkuperäisen prisman sivupinta on yhtä suuri kuin pl.
Aiheen yleistys
Ja nyt yritetään kanssasi tehdä yhteenveto prisman aiheesta ja muistaa, mitä ominaisuuksia prismalla on.
Prisman ominaisuudet
Ensinnäkin prismassa kaikki sen kantat ovat yhtä suuria monikulmioita;
Toiseksi prismassa kaikki sen sivupinnat ovat suunnikkaita;
Kolmanneksi, sellaisessa monitahoisessa kuviossa kuin prisma, kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;
On myös muistettava, että sellaiset polyhedrat kuin prismat voivat olla suoria ja kaltevia.
Mikä on suora prisma?
Jos prisman sivureuna on kohtisuorassa sen kannan tasoon nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan suoraksi.
Ei ole tarpeetonta muistaa, että suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita.
Mikä on vino prisma?
Mutta jos prisman sivureuna ei ole kohtisuorassa sen pohjan tasoon nähden, voimme turvallisesti sanoa, että tämä on kalteva prisma.
Mikä on oikea prisma?
Jos säännöllinen monikulmio on suoran prisman pohjalla, niin tällainen prisma on säännöllinen.
Muistetaan nyt tavallisen prisman ominaisuudet.
Säännöllisen prisman ominaisuudet
Ensinnäkin säännölliset monikulmiot toimivat aina säännöllisen prisman kantana;
Toiseksi, jos tarkastelemme säännöllisen prisman sivupintoja, ne ovat aina yhtä suuret suorakaiteet;
Kolmanneksi, jos vertaamme sivuripojen kokoja, niin oikeassa prismassa ne ovat aina yhtä suuret.
Neljänneksi säännöllinen prisma on aina suora;
Viidenneksi, jos säännöllisessä prismassa sivupinnat ovat neliöiden muodossa, niin tällaista kuviota kutsutaan yleensä puolisäännölliseksi monikulmioksi.
Prisman osa
Katsotaan nyt prisman poikkileikkausta:
Kotitehtävät
Ja nyt yritetään lujittaa tutkittua aihetta ratkaisemalla ongelmia.
Piirretään kalteva kolmioprisma, jossa sen reunojen välinen etäisyys on: 3 cm, 4 cm ja 5 cm, ja tämän prisman sivupinta on 60 cm2. Etsi näillä parametreilla annetun prisman sivureuna.
Tiesitkö, että geometriset hahmot ympäröivät meitä jatkuvasti paitsi geometrian tunneilla, myös sisällä Jokapäiväinen elämä on esineitä, jotka muistuttavat yhtä tai toista geometristä kuviota.
Jokaisessa kodissa, koulussa tai työpaikalla on tietokone, jonka järjestelmäyksikkö on suoran prisman muodossa.
Jos otat yksinkertaisen kynän, näet, että kynän pääosa on prisma.
Kävellessämme kaupungin pääkadulla näemme, että jalkojemme alla on kuusikulmainen prisman muotoinen laatta.
A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille
Määritelmä 1. Prismaattinen pinta
Lause 1. Tietoja yhdensuuntaiset osat prismaattinen pinta
Määritelmä 2. Prismapinnan kohtisuora leikkaus
Määritelmä 3. Prisma
Määritelmä 4. Prisman korkeus
Määritelmä 5. Suora prisma
Lause 2. Prisman sivupinnan pinta-ala
Rinnakkaisputki:
Määritelmä 6. Rinnakkaisputki
Lause 3. Suuntasärmiön lävistäjien leikkauspisteestä
Määritelmä 7. Oikea suuntaissärmiö
Määritelmä 8. Suorakulmainen suuntaissärmiö
Määritelmä 9. Suuntasärmiön mitat
Määritelmä 10. Kuutio
Määritelmä 11. Romboedri
Lause 4. Suorakaiteen suuntaissärmiön lävistäjät
Lause 5. Prisman tilavuus
Lause 6. Suoran prisman tilavuus
Lause 7. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuus
prisma kutsutaan monitahoksi, jossa kaksi pintaa (kantaa) on yhdensuuntaisissa tasoissa ja reunat, jotka eivät ole näissä pinnoissa, ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
Muita kasvoja kuin pohjaa kutsutaan lateraalinen.
Sivupintojen ja alustojen sivuja kutsutaan prisman reunat, reunojen päitä kutsutaan prisman huiput. Lateraaliset kylkiluut kutsutaan reunoiksi, jotka eivät kuulu kantoihin. Sivupintojen liittoa kutsutaan prisman sivupinta, ja kaikkien kasvojen liitto on nimeltään prisman koko pinta. Prisman korkeus kutsutaan kohtisuoraksi, joka on pudonnut ylemmän kannan pisteestä alemman kannan tasoon tai tämän kohtisuoran pituuteen. 
suora prisma kutsutaan prismaksi, jossa sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden. 
Oikea kutsutaan suoraksi prismaksi (kuva 3), jonka pohjalla on säännöllinen monikulmio.
Nimitykset:
l - sivujousto;
P - pohjakehä;
S o - peruspinta-ala;
H - korkeus;
P ^ - kohtisuoran leikkauksen kehä;
S b - sivupinta-ala;
V - tilavuus;
S p - prisman kokonaispinnan pinta-ala.
|
V = SH |
*Oletetaan, että jokainen kaksi peräkkäistä tasoa leikkaa ja että viimeinen taso leikkaa ensimmäisen.
Lause 1 . Prismaattisen pinnan poikkileikkaukset toistensa kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla (mutta eivät samansuuntaiset sen reunojen kanssa) ovat yhtä suuria polygoneja.
Olkoot ABCDE ja A"B"C"D"E prismaattisen pinnan poikkileikkauksia kahden yhdensuuntaisen tason verran. Näiden kahden monikulmion yhtäläisyyden varmistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kolmiot ABC ja A"B"C" ovat yhtä suuret ja niillä on sama pyörimissuunta, ja sama pätee kolmioihin ABD ja A"B"D", ABE ja A"B"E. Mutta näiden kolmioiden vastaavat sivut ovat yhdensuuntaiset (esimerkiksi AC on yhdensuuntainen A"C") jonkin tason ja kahden yhdensuuntaisen tason leikkausviivoina; tästä seuraa, että nämä sivut ovat yhtä suuret (esimerkiksi AC on yhtä suuri kuin A"C") vastakkaiset puolet suuntaviiva ja että näiden sivujen muodostamat kulmat ovat yhtä suuret ja niillä on sama suunta.
Määritelmä 2 . Prismapinnan kohtisuora leikkaus on tämän pinnan leikkaus sen reunoihin nähden kohtisuorassa olevalla tasolla. Edellisen lauseen perusteella kaikki saman prismapinnan kohtisuorat osat ovat yhtä suuria polygoneja.
Määritelmä 3
. Prisma on monitahoinen, jota rajoittaa prismaattinen pinta ja kaksi toistensa kanssa yhdensuuntaista tasoa (mutta ei yhdensuuntaisia prismaattisen pinnan reunojen kanssa)
Näissä viimeisissä tasoissa makaavia kasvoja kutsutaan prisman pohjat; prismaattiseen pintaan kuuluvat kasvot - sivupinnat; prismaattisen pinnan reunat - prisman sivureunat. Edellisen lauseen mukaan prisman kanta ovat yhtä suuret polygonit. Prisman kaikki sivupinnat suunnikkaat; kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret.
On selvää, että jos prisman ABCDE kanta ja yksi reunoista AA" on annettu suuruuden ja suunnan suhteen, on mahdollista rakentaa prisma piirtämällä reunat BB", CC", .., yhtä suuret ja yhdensuuntaiset kuin reuna AA".
Määritelmä 4 . Prisman korkeus on sen kantatasojen välinen etäisyys (HH").
Määritelmä 5
. Prismaa kutsutaan suoraksi, jos sen kantat ovat kohtisuorassa prismapinnassa. Tässä tapauksessa prisman korkeus on tietysti sen korkeus sivujousi; sivureunat tulevat suorakulmiot.
Prismat voidaan luokitella sivupintojen lukumäärän mukaan, joka on yhtä suuri kuin sen pohjana toimivan polygonin sivujen lukumäärä. Siten prismat voivat olla kolmion muotoisia, nelikulmaisia, viisikulmaisia jne.
Lause 2
. Prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sivureunan ja kohtisuoran leikkauksen kehän tulo.
Olkoon ABCDEA"B"C"D"E" annettu prisma ja abcde sen kohtisuora leikkaus, niin että janat ab, bc, .. ovat kohtisuorassa sen sivureunoihin nähden. Pinta ABA"B" on suunnikas, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin kantaluvun AA tulo korkeudelle, joka vastaa ab; pinnan pinta-ala VSV "C" on yhtä suuri kuin kannan BB tulo "korkeudella bc jne. Siksi sivupinta (eli sivupintojen pinta-alojen summa) on yhtä suuri kuin sivureunan tulo, toisin sanoen segmenttien AA", BB " .. kokonaispituus summalla ab+bc+cd+de+ea.
