Ohje

Jos annettu kolmio on tasakylkinen tai säännöllinen, se on
kaksi tai kolme sivua, sitten sen puolittaja ominaisuuden mukaan kolmio, on myös mediaani. Ja siksi päinvastoin jakaa puolittajan puoliksi.

Mittaa vastakkainen puoli viivaimella kolmio missä puolittaja pyrkii. Jaa tämä puoli puoliksi ja laita piste sivun keskelle.

Piirrä suora viiva rakennetun pisteen ja vastakkaisen kärjen läpi. Tästä tulee puolittaja kolmio.

Lähteet:

• Kolmion mediaanit, puolittajat ja korkeudet

Kulman jakaminen kahtia ja sen ylhäältä vastakkaiselle puolelle vedetyn viivan pituuden laskeminen on välttämätöntä leikkurien, katsastajien, asentajien ja joidenkin muiden ammattien henkilöille.

Tarvitset

• Työkalu Lyijykynä Viivain Asteiko Sini- ja kosinitaulukot Matemaattiset kaavat ja käsitteet: Bisectorin määritelmä Sini- ja kosinilauseet Bisector-lause

Ohje

Rakenna tarvittava ja suuruusluokkainen kolmio riippuen siitä, mitä sinulle annetaan? dfe-sivut ja niiden välinen kulma, kolme sivua tai kaksi kulmaa ja niiden välissä oleva sivu.

Merkitse kulmien ja sivujen kärjet perinteisillä latinalaisilla A, B ja C. Kulmien kärjet on merkitty, vastakkaiset sivut pienillä kirjaimilla. Merkitse kulmat kreikkalaisilla kirjaimilla?,? Ja?

Laske kulmat ja sivut käyttämällä sini- ja kosinilauseita kolmio.

Muista puolittajat. Bisector - kulman jakaminen puoliksi. Kulman puolittaja kolmio jakaa vastapuolen kahteen segmenttiin, mikä on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen sivun suhde kolmio.

Piirrä kulman puolittajat. Merkitse tuloksena olevat segmentit kirjoitettujen kulmien nimillä pienet kirjaimet, alaindeksillä l. Sivu c on jaettu segmenteiksi a ja b indekseillä l.

Laske tuloksena olevien segmenttien pituudet sinilauseen avulla.

Liittyvät videot

Huomautus

Janan pituus, joka on samanaikaisesti kolmion sivu, jonka muodostavat yksi alkuperäisen kolmion sivuista, puolittaja ja itse jana, lasketaan sinilauseen avulla. Laskeaksesi saman sivun toisen segmentin pituuden, käytä tuloksena olevien segmenttien ja alkuperäisen kolmion vierekkäisten sivujen suhdetta.

Hyödyllinen neuvo

Piirrä puolittajat, jotta et joutuisi sekaannukseen eri kulmat eri väriä.

puolittaja kulma kutsutaan säteeksi, joka alkaa kärjestä kulma ja jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Nuo. kuluttaa puolittaja, sinun on löydettävä keskikohta kulma. Helpoin tapa tehdä tämä on kompassin avulla. Tässä tapauksessa sinun ei tarvitse tehdä laskelmia, eikä tulos riipu siitä, onko arvo kulma koko numero.

Tarvitset

• kompassi, kynä, viivain.

Ohje

Jätä kompassin aukon leveys ennalleen, aseta neula segmentin päähän yhdelle sivulle ja piirrä osa ympyrästä niin, että se sijaitsee sisällä kulma. Tee sama toisen kanssa. Saat kaksi osaa ympyröistä, jotka leikkaavat sisällä kulma- suunnilleen keskellä. Ympyrän osat voivat leikkiä yhdessä tai kahdessa pisteessä.

Liittyvät videot

Hyödyllinen neuvo

Voit käyttää astemittaria kulman puolittajan rakentamiseen, mutta tämä menetelmä vaatii enemmän tarkkuutta. Tässä tapauksessa, jos kulman arvo ei ole kokonaisluku, puolittajan konstruoinnin virheiden todennäköisyys kasvaa.

Rakennettaessa tai kehitettäessä kodin suunnitteluprojekteja on usein tarpeen rakentaa kulma sama kuin jo olemassa oleva. Mallit ja koulun geometrian tuntemus tulevat apuun.

Ohje

Kulman muodostavat kaksi suoraa, jotka lähtevät samasta pisteestä. Tätä pistettä kutsutaan kulman kärjeksi, ja viivat ovat kulman sivuja.

Käytä kolmea osoittamaan kulmat: yksi ylhäällä, kaksi sivuilla. kutsutaan kulma, alkaen toisella puolella olevasta kirjaimesta, sitten he kutsuvat yläosassa olevaa kirjainta ja sitten toisella puolella olevaa kirjainta. Käytä muita kulmien merkitsemiseen, jos haluat toisin. Joskus kutsutaan vain yhtä kirjainta, joka on yläreunassa. Ja voit merkitä kulmia kreikkalaisilla kirjaimilla, esimerkiksi α, β, γ.

On tilanteita, joissa se on välttämätöntä kulma niin, että se on jo annettu nurkkaan. Jos astelevyä ei voi käyttää rakentamisessa, pärjää vain viivaimella ja kompassilla. Oletetaan, että kirjaimilla MN merkityllä rivillä sinun on rakennettava kulma pisteessä K niin, että se on yhtä suuri kuin kulma B. Eli pisteestä K on piirrettävä suora linjalla MN kulma, joka on yhtä suuri kuin kulma B.

Merkitse ensin piste tämän kulman kummallekin puolelle, esimerkiksi pisteet A ja C, ja yhdistä sitten pisteet C ja A suoralla viivalla. Hanki tre kulma nik ABC.

Rakenna nyt linjalle MN samat kolme kulma kärki B on suoralla pisteessä K. Käytä sääntöä kolmion rakentamiseen kulma kello kolme. Irrota jana KL pisteestä K. Sen on oltava yhtä suuri kuin jana BC. Hanki piste L.

Piirrä pisteestä K ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin jana BA. Piirrä L:stä ympyrä, jonka säde on CA. Yhdistä saatu piste (P) kahden ympyrän leikkauspisteestä K:hen. Hanki kolme kulma nick KPL, joka on yhtä suuri kuin kolme kulma niku ABC. Joten saat kulma K. Se on yhtä suuri kuin kulma B. Jotta se olisi helpompaa ja nopeampaa, syrjäytä samat segmentit kärjestä B käyttämällä yhtä kompassiratkaisua jalkoja liikuttamatta, kuvaile ympyrä, jolla on sama säde pisteestä K.

Liittyvät videot

Vinkki 5: Kuinka piirtää kolmio, jossa on kaksi sivua ja mediaani

Kolmio on yksinkertaisin geometrinen kuvio, jossa on kolme kärkeä, jotka on yhdistetty pareittain segmenteillä, jotka muodostavat tämän monikulmion sivut. Janaa, joka yhdistää kärjen vastakkaisen puolen keskipisteeseen, kutsutaan mediaaniksi. Kun tiedät molempien sivujen pituudet ja yhteen kärkeen yhdistävän mediaanin, voit rakentaa kolmion tietämättä kolmannen sivun pituutta tai kulmia.

Ohje

Piirrä pisteestä A jana, jonka pituus on yksi kolmion (a) tunnetuista sivuista. Merkitse tämän janan päätepiste kirjaimella B. Tämän jälkeen halutun kolmion toinen sivu (AB) voidaan jo katsoa rakennetuksi.

Piirrä kompassilla ympyrä, jonka säde on kaksi kertaa mediaanin pituus (2∗m) ja jonka keskipiste on pisteessä A.

Piirrä kompassilla toinen ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin tunnetun sivun pituus (b) ja jonka keskipiste on pisteessä B. Laita kompassi hetkeksi sivuun, mutta jätä mitattu siihen - tarvitset sitä uudelleen hieman myöhemmin.

Muodosta jana, joka yhdistää pisteen A piirtämiesi kahden leikkauspisteen kanssa. Puolet tästä segmentistä on se, jota rakennat - mittaa tämä puolikas ja aseta piste M. Tässä vaiheessa sinulla on halutun kolmion toinen sivu (AB) ja sen mediaani (AM).

Piirrä kompassilla ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin toisen tunnetun sivun pituus (b) ja jonka keskipiste on pisteessä A.

Piirrä jana, jonka pitäisi alkaa pisteestä B, kulkea pisteen M läpi ja päättyä edellisessä vaiheessa piirtämäsi ympyrän leikkauspisteeseen. Merkitse leikkauspiste kirjaimella C. Nyt halutulle puolelle rakennetaan myös sivu BC, jota ongelman ehdoilla ei tunneta.

Kyky jakaa mikä tahansa kulma puolittajalla on välttämätöntä paitsi "A":n saamiseksi matematiikassa. Tämä tieto on erittäin hyödyllistä rakentajalle, suunnittelijalle, katsastajalle ja ompelijalle. Elämässä on monia asioita, jotka on jaettava.

Kaikki koulussa opettivat vitsin rottasta, joka juoksee kulmien ympäri ja jakaa kulman kahtia. Tätä ketterää ja älykästä jyrsijää kutsuttiin Bisectoriksi. Ei tiedetä, kuinka rotta jakoi kulman, ja matemaatikot koulukirjassa "Geometria" voivat tarjota seuraavat menetelmät.

Astimen avulla

Helpoin tapa piirtää puolittaja on käyttää laitetta. On tarpeen kiinnittää astelevy kulman toiselle puolelle kohdistamalla vertailupiste sen kärjen O kanssa. Mittaa sitten kulma asteina tai radiaaneina ja jaa se kahdella. Siirrä saman astelevyn avulla sivuun yhdeltä sivulta saadut asteet ja vedä suora viiva, josta tulee puolittaja, pisteeseen, jossa kulma O alkaa.

Ympyrän avulla

Sinun on otettava kompassi ja kasvatettava se mihin tahansa mielivaltaiseen kokoon (piirustuksen sisällä). Kun olet asettanut kärjen kulman O alkupisteeseen, piirrä kaari, joka leikkaa säteet ja merkitse niihin kaksi pistettä. Nimeä ne A1 ja A2. Sitten asettamalla kompassi vuorotellen näihin pisteisiin, tulee piirtää kaksi ympyrää, joilla on sama mielivaltainen halkaisija (piirustuksen mittakaavassa). Niiden leikkauspisteet on merkitty C:ksi ja B:ksi. Seuraavaksi sinun on piirrettävä suora viiva pisteiden O, C ja B läpi, joka on haluttu puolittaja.

Viivaimella

Jotta voit piirtää kulman puolittajan viivaimella, sinun on jätettävä samanpituisia segmenttejä pisteestä O säteille (sivuille) ja osoitettava ne pisteillä A ja B. Sitten sinun tulee yhdistää ne suoralla viivalla ja jaa tuloksena oleva jana viivaimella kahtia, merkitse piste C. Puolittaja saadaan piirtämällä suora viiva pisteiden C ja O kautta.

Ilman työkaluja

Jos mittaustyökaluja ei ole, voit käyttää kekseliäisyyttä. Riittää vain piirtää kulma kuultopaperille tai tavalliselle ohuelle paperille ja taittaa arkki varovasti niin, että kulman säteet ovat kohdakkain. Piirustuksen taittoviiva on haluttu puolittaja.

Laajennettu kulma

Yli 180 astetta suurempi kulma voidaan jakaa puolittajalla samalla tavalla. Vain sitä ei tarvitse jakaa, vaan sen vieressä oleva terävä kulma, joka jää ympyrästä. Löydetyn puolittajan jatkeesta tulee haluttu suora, joka jakaa laajennetun kulman puoliksi.

Kulmat kolmiossa

On muistettava, että tasasivuisessa kolmiossa puolittaja on myös mediaani ja korkeus. Siksi puolittaja siinä voidaan löytää yksinkertaisesti laskemalla kohtisuoraa kulman vastakkaiselle puolelle (korkeus) tai jakamalla tämä puoli puoliksi ja yhdistämällä keskipiste vastakkaiseen kulmaan (mediaani).

Liittyvät videot

Muistosääntö "puolittaja on rotta, joka juoksee kulmien ympäri ja jakaa ne kahtia" kuvaa käsitteen olemusta, mutta ei anna suosituksia puolittajan rakentamiseen. Sen piirtämiseen tarvitset säännön lisäksi kompassin ja viivaimen.

Ohje

Oletetaan, että sinun täytyy rakentaa puolittaja kulma A. Ota kompassi, aseta se pisteellä pisteeseen A (kulma) ja piirrä ympyrä mistä tahansa . Kun se leikkaa kulman sivut, aseta pisteet B ja C.

Mittaa ensimmäisen ympyrän säde. Piirrä toinen samalla säteellä asettamalla kompassi pisteeseen B.

Piirrä seuraava ympyrä (samankokoinen kuin edelliset) pisteen C keskipisteenä.

Kaikkien kolmen ympyrän on leikattava yhdessä pisteessä - kutsutaan sitä F. Piirrä viivaimella pisteiden A ja F kautta kulkeva säde. Tämä on kulman A haluttu puolittaja.

On olemassa useita sääntöjä, jotka auttavat sinua löytämään. Esimerkiksi se on vastakkainen vuonna , yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen sivun suhde. tasakylkisessä

Kolmion puolittaja on yleinen geometrinen käsite, joka ei aiheuta suuria vaikeuksia oppimisessa. Kun tiedät sen ominaisuudet, monet ongelmat voidaan ratkaista ilman suuria vaikeuksia. Mikä on puolittaja? Yritämme tutustuttaa lukijaan kaikkiin tämän matemaattisen linjan salaisuuksiin.

Yhteydessä

Konseptin ydin

Käsitteen nimi tuli latinankielisten sanojen käytöstä, joiden merkitys on "bi" - kaksi, "sectio" - leikattu. Ne viittaavat erityisesti geometrinen merkitys käsitteet - säteiden välisen tilan hajottaminen kahteen yhtä suureen osaan.

Kolmion puolittaja on jana, joka lähtee kuvion yläosasta, ja toinen pää sijoitetaan sitä vastakkaiselle puolelle jakaen samalla tilan kahteen identtiseen osaan.

Monet opettajat käyttävät matemaattisten käsitteiden nopeaa assosiatiivista ulkoamista varten erilaista terminologiaa, joka esitetään säkeissä tai assosiaatioissa. Tietenkin tätä määritelmää suositellaan vanhemmille lapsille.

Miten tämä viiva on merkitty? Tässä luotamme segmenttien tai säteiden nimeämissääntöihin. Jos me puhumme kolmiohahmon kulman puolittajan nimeämisestä, niin se kirjoitetaan yleensä janaksi, jonka päät ovat kärki ja leikkauspiste kärjen vastakkaisen puolen kanssa. Lisäksi nimityksen alku on kirjoitettu tarkalleen ylhäältä.

Huomio! Kuinka monta puolittajaa kolmiossa on? Vastaus on ilmeinen: niin monta kuin on pisteitä - kolme.

Ominaisuudet

Määritelmän lisäksi tämän geometrisen käsitteen ominaisuuksia ei ole niin paljon koulun oppikirjassa. Kolmion puolittajan ensimmäinen ominaisuus, johon koululaiset tutustutaan, on piirretty keskipiste, ja toinen, suoraan siihen liittyvä, on segmenttien suhteellisuus. Lopputulos on tämä:

1. Olipa jakoviiva mikä tahansa, siinä on pisteitä, jotka ovat samalla etäisyydellä sivuista, jotka muodostavat säteiden välisen tilan.
2. Ympyrän merkitsemiseksi kolmiomaiseen kuvioon on tarpeen määrittää piste, jossa nämä segmentit leikkaavat. Sitä se on keskipiste ympyrät.
3. Kolmion muotoisen geometrisen kuvion sivun osat, joihin se on jaettu jakoviivalla, ovat V suhteellinen riippuvuus kaarresivuilta.

Yritämme tuoda loput ominaisuudet järjestelmään ja esittää lisää faktoja, jotka auttavat ymmärtämään paremmin tämän geometrisen käsitteen ansioita.

Pituus

Yksi koululaisille vaikeuttavista tehtävistä on kolmion kulman puolittajan pituuden löytäminen. Ensimmäinen vaihtoehto, jossa sen pituus sijaitsee, sisältää seuraavat tiedot:

• säteiden välisen tilan koko, jonka yläosasta tietty segmentti tulee;
• tämän kulman muodostavien sivujen pituudet.

Ongelman ratkaisemiseksi kaavaa käytetään, jonka tarkoitus on löytää kulman muodostavien sivujen arvojen kaksinkertaisen tulon suhde sen puolikkaan kosinilla sivujen summaan.

Katsotaanpa konkreettista esimerkkiä. Oletetaan, että meille annetaan kuva ABC, jossa jana piirretään kulmasta A ja leikkaa sivun BC pisteessä K. Merkitsemme A:n arvoa Y:llä. Tämän perusteella AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Tehtävän toinen versio, jossa määritetään kolmion puolittajan pituus, sisältää seuraavat tiedot:

• kuvan kaikkien puolien arvot tunnetaan.

Kun tämän tyyppistä ongelmaa ratkaistaan, aluksi määrittää puolikehän. Tee tämä lisäämällä kaikkien puolien arvot ja jakamalla puoliksi: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Seuraavaksi käytämme laskennallista kaavaa, jota käytettiin määrittämään tämän segmentin pituus edellisessä tehtävässä. On vain tarpeen tehdä joitain muutoksia kaavan olemukseen uusien parametrien mukaisesti. Joten on tarpeen löytää toisen asteen kaksinkertaisen juuren suhde yläreunan viereisten sivujen pituuksien tulosta puolikehän sekä puolikehän ja pituuden väliseen eroon. vastakkainen puoli kulman muodostavien sivujen summaan nähden. Eli AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Huomio! Materiaalin hallitsemisen helpottamiseksi voit viitata Internetissä oleviin sarjakuviin, jotka kertovat tämän linjan "seikkailuista".

Kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua, tai suljettu katkoviiva, jossa on kolme linkkiä, tai kuvio, joka muodostuu kolmesta segmentistä, jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla (ks. kuva 1).

Tarvittavat elementit kolmio abc

Huiput – pisteet A, B ja C;

Juhlat – kärkejä yhdistävät janat a = BC, b = AC ja c = AB;

kulmat – α , β, γ, jotka muodostuvat kolmesta sivuparista. Kulmat merkitään usein samalla tavalla kuin kärjet kirjaimilla A, B ja C.

Kolmion sivujen muodostamaa ja sen sisällä olevaa kulmaa kutsutaan sisäkulmaksi ja sen vieressä olevaa kulmaa kolmion viereiseksi kulmaksi (2, s. 534).

Kolmion korkeudet, mediaanit, puolittajat ja keskiviivat

Kolmion pääelementtien lisäksi huomioidaan myös muita segmenttejä, joilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia: korkeudet, mediaanit, puolittajat ja keskiviivat.

Korkeus

Kolmion korkeudet ovat kohtisuorat, jotka on pudonnut kolmion kärjestä vastakkaisille puolille.

Korkeuden rakentamiseksi toimi seuraavasti:

1) piirrä suora viiva, joka sisältää kolmion yhden sivun (jos korkeus piirretään tylpän kolmion terävän kulman kärjestä);

2) piirretään piirrettyä viivaa vastapäätä olevasta kärjestä jana pisteestä tälle suoralle muodostaen sen kanssa 90 asteen kulman.

Korkeuden ja kolmion sivun leikkauspistettä kutsutaan korkeus pohja (katso kuva 2).

Kolmion korkeusominaisuudet

Suorakulmaisessa kolmiossa kärjestä vedetty korkeus oikea kulma, jakaa sen kahdeksi kolmioksi, joka on samanlainen kuin alkuperäinen kolmio.

Terävässä kolmiossa sen kaksi korkeutta leikkaavat siitä samanlaisia ​​kolmioita.

Jos kolmio on teräväkulmainen, niin kaikki korkeuksien kantat kuuluvat kolmion sivuille, ja tylpälle kolmiolle kaksi korkeutta putoaa sivujen jatkeelle.

Terävän kolmion kolme korkeutta leikkaavat yhdessä pisteessä ja tätä pistettä kutsutaan ortokeskus kolmio.

Mediaani

mediaanit(latinasta mediana - "keski") - nämä ovat segmenttejä, jotka yhdistävät kolmion kärjet vastakkaisten sivujen keskipisteisiin (katso kuva 3).

Luo mediaani seuraavasti:

1) etsi sivun keskiosa;

2) yhdistä piste, joka on kolmion sivun keskipiste, vastakkaiseen kärkeen segmentillä.

Kolmion mediaaniominaisuudet

Mediaani jakaa kolmion kahteen saman alueen kolmioon.

Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä, joka jakaa ne suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna. Tätä kohtaa kutsutaan Painovoiman keskipiste kolmio.

Koko kolmio on jaettu mediaaneistaan ​​kuuteen yhtä suureen kolmioon.

Bisector

puolittajia(Lat. bis - kahdesti "ja seko - leikkaan) kutsuvat kolmion sisäpuolella olevia suorien viivojen segmenttejä, jotka jakavat sen kulmat (katso kuva 4).

Puolittajan muodostamiseksi sinun on suoritettava seuraavat vaiheet:

1) rakentaa kulman kärjestä tuleva säde, joka jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan (kulman puolittaja);

2) löytää kolmion kulman puolittajan leikkauspiste vastakkaisen sivun kanssa;

3) valitse jana, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen puolen leikkauspisteeseen.

Kolmion puolittajan ominaisuudet

Kolmion kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivun suhteessa kahden vierekkäisen sivun suhteen.

Kolmion sisäkulmien puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä. Tätä pistettä kutsutaan piirretyn ympyrän keskipisteeksi.

Sisä- ja ulkokulman puolittajat ovat kohtisuorassa.

Jos kolmion ulkokulman puolittaja leikkaa vastakkaisen sivun jatkeen, niin ADBD=ACBC.

Kolmion yhden sisä- ja kahden ulkokulman puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on yhden näistä kolmesta keskipiste kiertää tämä kolmio.

Kolmion kahden sisäkulman ja yhden ulkokulman puolittajakannat ovat samalla suoralla, jos ulkokulman puolittaja ei ole samansuuntainen kolmion vastakkaisen sivun kanssa.

Jos kolmion ulkokulmien puolittajat eivät ole samansuuntaisia ​​vastakkaisten sivujen kanssa, niin niiden kantat ovat samalla viivalla.

Tänään tulee olemaan erittäin helppo oppitunti. Tarkastelemme vain yhtä objektia - kulman puolittajaa - ja todistamme sen tärkeimmän ominaisuuden, joka on meille erittäin hyödyllinen tulevaisuudessa.

Älä vain rentoudu: joskus opiskelijat, jotka haluavat saada korkean pistemäärän samasta OGE:stä tai USE:sta, eivät voi ensimmäisellä oppitunnilla edes muotoilla tarkkaa puolittajan määritelmää.

Ja sen sijaan, että tekisimme todella mielenkiintoisia tehtäviä, käytämme aikaa niin yksinkertaisiin asioihin. Joten lue, katso - ja adoptoi. :)

Aluksi hieman outo kysymys: mikä on kulma? Aivan oikein: kulma on vain kaksi sädettä, jotka lähtevät samasta pisteestä. Esimerkiksi:

Esimerkkejä kulmista: terävä, tylpä ja oikea

Kuten kuvasta näkyy, kulmat voivat olla teräviä, tylsiä, suoria - sillä nyt ei ole väliä. Usein mukavuussyistä jokaiseen säteeseen merkitään lisäpiste ja he sanovat, sanovat, että meillä on kulma $AOB$ (kirjoitettuna $\angle AOB$).

Kapteeni näyttää vihjaavan, että säteiden $OA$ ja $OB$ lisäksi pisteestä $O$ voi aina vetää nippu säteitä. Mutta niiden joukossa on yksi erityinen - sitä kutsutaan puolittajaksi.

Määritelmä. Kulman puolittaja on säde, joka tulee ulos kulman kärjestä ja puolittaa kulman.

Yllä oleville kulmille puolittajat näyttävät tältä:

Esimerkkejä terävän, tylpän ja suoran kulman puolittajista

Koska todellisissa piirustuksissa ei ole läheskään aina selvää, että tietty säde (meissä tapauksessa tämä on $OM$-säde) jakaa alkukulman kahteen yhtä suureen osaan, geometriassa on tapana merkitä yhtäläiset kulmat sama määrä kaaria (piirustuksessamme se on 1 kaari terävälle kulmille, kaksi tylpälle, kolme suoralle).

Okei, keksimme määritelmän. Nyt sinun on ymmärrettävä, mitä puolittajalla on ominaisuuksia.

Kulman puolittajan perusominaisuus

Itse asiassa puolittajalla on paljon ominaisuuksia. Ja harkitsemme niitä ehdottomasti seuraavassa oppitunnissa. Mutta on yksi temppu, joka sinun on ymmärrettävä nyt:

Lause. Kulman puolittaja on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana annetun kulman sivuista.

Käännettynä matematiikasta venäjäksi tämä tarkoittaa kahta tosiasiaa kerralla:

1. Jokainen kulman puolittajalla oleva piste on samalla etäisyydellä kulman sivuista.
2. Ja päinvastoin: jos piste sijaitsee samalla etäisyydellä tietyn kulman sivuista, se on taatusti tämän kulman puolittajalla.

Ennen kuin todistamme nämä väitteet, selvitetään yksi kohta: mitä itse asiassa kutsutaan etäisyydeksi pisteestä kulman sivuun? Vanha kunnon pisteen ja suoran etäisyyden määritelmä auttaa meitä tässä:

Määritelmä. Etäisyys pisteestä viivaan on kohtisuoran pituus, joka on vedetty tästä pisteestä kyseiseen viivaan.

Oletetaan esimerkiksi suora $l$ ja piste $A$, jotka eivät ole tällä viivalla. Piirrä kohtisuora $AH$, jossa $H\in l$. Tällöin tämän kohtisuoran pituus on etäisyys pisteestä $A$ suoraan $l$.

Graafinen esitys pisteen ja suoran välisestä etäisyydestä

Koska kulma on vain kaksi sädettä ja jokainen säde on pala suoraa, on helppo määrittää etäisyys pisteestä kulman sivuihin. Se on vain kaksi kohtisuoraa:

Määritä etäisyys pisteestä kulman sivuihin

Siinä kaikki! Nyt tiedämme mikä on etäisyys ja mikä puolittaja on. Siksi voimme todistaa pääominaisuuden.

Kuten luvattiin, jaamme todistuksen kahteen osaan:

1. Etäisyydet puolittajan pisteestä kulman sivuihin ovat samat

Tarkastellaan mielivaltaista kulmaa, jossa on kärkipiste $O$ ja puolittaja $OM$:

Osoitetaan, että tämä sama piste $M$ on samalla etäisyydellä kulman sivuista.

Todiste. Piirretään kohtisuorat pisteestä $M$ kulman sivuille. Kutsutaan niitä $M((H)_(1))$ ja $M((H)_(2))$:

Piirrä kohtisuorat kulman sivuille

sai kaksi suorakulmainen kolmio: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$. Niillä on yhteinen hypotenuusa $OM$ ja samat kulmat:

1. $\kulma MO((H)_(1))=\kulma MO((H)_(2))$ oletuksena (koska $OM$ on puolittaja);
2. $\kulma M((H)_(1))O=\kulma M((H)_(2))O=90()^\circ $ rakenteen mukaan;
3. $\kulma OM((H)_(1))=\kulma OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ koska summa terävät kulmat suorakulmaisen kolmion kulma on aina 90 astetta.

Siksi kolmiot ovat yhtä suuria sivu- ja kahdessa vierekkäisessä kulmassa (katso kolmioiden tasa-arvomerkit). Siksi erityisesti $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ts. etäisyydet pisteestä $O$ kulman sivuihin ovat todellakin yhtä suuret. K.E.D. :)

2. Jos etäisyydet ovat yhtä suuret, piste on puolittajalla

Nyt tilanne on päinvastainen. Olkoon kulma $O$ ja piste $M$ yhtä kaukana tämän kulman sivuista:

Osoitetaan, että säde $OM$ on puolittaja, ts. $\kulma MO((H)_(1))=\kulma MO((H)_(2))$.

Todiste. Aluksi piirretään tämä säde $OM$, muuten ei ole mitään todistettavaa:

Käytti säteen $OM$ kulman sisällä

Saimme jälleen kaksi suorakulmaista kolmiota: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ilmeisesti ne ovat tasa-arvoisia, koska:

1. Hypotenuusa $OM$ on yleinen;
2. Jalat $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ ehdon mukaan (koska piste $M$ on yhtä kaukana kulman sivuista);
3. Loput jalat ovat myös yhtä suuret, koska Pythagoraan lauseella $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Siksi kolmiot $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$ kolmella sivulla. Erityisesti niiden kulmat ovat yhtä suuret: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ja tämä tarkoittaa vain, että $OM$ on puolittaja.

Todistuksen lopuksi merkitsemme muodostuneet yhtäläiset kulmat punaisilla kaarilla:

Puolittaja jakaa kulman $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ kahteen yhtä suureen osaan

Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Olemme osoittaneet, että kulman puolittaja on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tämän kulman sivuista. :)

Nyt kun olemme enemmän tai vähemmän päättäneet terminologiasta, on aika siirtyä uudelle tasolle. Seuraavalla oppitunnilla analysoimme puolittajan monimutkaisempia ominaisuuksia ja opimme soveltamaan niitä todellisten ongelmien ratkaisemiseen.

Lukuisten lukion oppiaineiden joukossa on esimerkiksi "geometria". Perinteisesti uskotaan, että tämän systemaattisen tieteen perustajat ovat kreikkalaiset. Nykyään kreikkalaista geometriaa kutsutaan alkeelliseksi, koska hän aloitti yksinkertaisimpien muotojen: tasojen, viivojen ja kolmioiden tutkimuksen. Keskitymme jälkimmäiseen, tai pikemminkin tämän luvun puolittajaan. Niille, jotka ovat jo unohtaneet, kolmion puolittaja on kolmion yhden kulman puolittajan segmentti, joka jakaa sen puoliksi ja yhdistää kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.

Kolmion puolittajalla on useita ominaisuuksia, jotka sinun on tiedettävä ratkaistaessa tiettyjä ongelmia:

• Kulman puolittaja on niiden pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana kulman viereisistä sivuista.
• Kolmion puolittaja jakaa kulman vastakkaisen puolen segmenteiksi, jotka ovat verrannollisia viereisiin sivuihin. Esim. annettu kolmio MKB, jossa kulmasta K tulee puolittaja, joka yhdistää tämän kulman kärjen MB:n vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen A. Kun olemme analysoineet tämän ominaisuuden ja kolmion, meillä on MA/AB=MK/KB.
• Piste, jossa kolmion kaikkien kolmen kulman puolittajat leikkaavat, on samaan kolmioon piirretyn ympyrän keskipiste.
• Yhden ulko- ja kahden sisäkulman puolittajien kanta ovat samalla linjalla, mikäli ulkokulman puolittaja ei ole samansuuntainen kolmion vastakkaisen puolen kanssa.
• Jos kaksi puolittajaa yhdestä, niin tämä

On huomattava, että jos annetaan kolme puolittajaa, kolmion rakentaminen niiden avulla, jopa kompassin avulla, on mahdotonta.

Hyvin usein tehtäviä ratkaistaessa kolmion puolittaja on tuntematon, mutta sen pituus on määritettävä. Tällaisen ongelman ratkaisemiseksi on tiedettävä kulma, joka jaetaan puolittajalla puoliksi, ja tämän kulman vieressä olevat sivut. Tässä tapauksessa haluttu pituus määritellään kulman viereisten sivujen kaksoistulon ja puoliksi jaetun kulman kosinin suhteena kulman viereisten sivujen summaan. Esimerkiksi sama kolmio MKB. Puolittaja jättää kulman K ja leikkaa vastakkainen puoli MV pisteessä A. Kulma, josta puolittaja lähtee, merkitään y:llä. Nyt kirjoitetaan kaikki sanoilla sanottu muistiin kaavan muodossa: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jos kulman arvoa, josta kolmion puolittaja tulee ulos, ei tunneta, mutta sen kaikki sivut ovat tiedossa, niin puolittajan pituuden laskemiseen käytämme lisämuuttujaa, jota kutsumme puolikehäksi ja merkitsemme kirjaimella P: P=1/2*(MK+KB+MB). Sen jälkeen teemme joitain muutoksia edelliseen kaavaan, jonka mukaan puolittajan pituus määritettiin, nimittäin murto-osuuden osoittajaan laitetaan kaksi kertaa kulman viereisten sivujen pituuksien tulo puolikehän mukaan. ja osamäärä, jossa puolikehästä vähennetään kolmannen sivun pituus. Jätämme nimittäjän ennalleen. Kaavan muodossa se näyttää tältä: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Tasakylkisen kolmion puolittajalla on yhteisten ominaisuuksien ohella useita omia. Muistetaan mikä on kolmio. Tällaisessa kolmiossa kaksi sivua ovat yhtä suuret ja pohjan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret. Tästä seuraa, että puolittajat, jotka laskeutuvat tasakylkisen kolmion sivuille, ovat keskenään yhtä suuret. Lisäksi alustaan ​​laskettu puolittaja on samanaikaisesti sekä korkeus että mediaani.