Käsitteet sini (), kosini (), tangentti (), kotangentti () liittyvät erottamattomasti kulman käsitteeseen. Ymmärtääksesi nämä hyvin ensi silmäyksellä, monimutkaisia käsitteitä(jotka aiheuttavat kauhun tilan monissa koululaisissa) ja varmista, että "paholainen ei ole niin pelottava kuin hän on maalattu", aloitetaan alusta ja ymmärretään kulman käsite.
Kulman käsite: radiaani, aste
Katsotaanpa kuvaa. Vektori "kääntyi" suhteessa pisteeseen tietyn verran. Joten tämän kierron mitta suhteessa alkuasentoon on kulma.
Mitä muuta sinun on tiedettävä kulman käsitteestä? No, kulmayksiköt tietysti!
Kulma, sekä geometriassa että trigonometriassa, voidaan mitata asteina ja radiaaneina.
Kulmaa (yksi astetta) kutsutaan keskikulma ympyrässä, joka perustuu ympyrän kaareen, joka on yhtä suuri kuin osa ympyrästä. Siten koko ympyrä koostuu ympyränkaarien "paloista" tai ympyrän kuvaama kulma on yhtä suuri.
Toisin sanoen yllä oleva kuva esittää kulmaa, joka on yhtä suuri, eli tämä kulma perustuu ympyräkaareen, joka on kehän kokoinen.
Radiaaneissa olevaa kulmaa kutsutaan ympyrän keskikulmaksi, joka perustuu ympyränkaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde. No, ymmärsitkö? Jos ei, niin katsotaan kuvaa.
Joten kuvassa on kulma, joka on yhtä suuri kuin radiaani, eli tämä kulma perustuu ympyräkaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde (pituus on yhtä suuri kuin pituus tai säde on yhtä suuri kuin kaaren pituus). Näin ollen kaaren pituus lasketaan kaavalla:
Missä on keskikulma radiaaneina.
No, tietäen tämän, voitko vastata kuinka monta radiaania sisältää ympyrän kuvaaman kulman? Kyllä, tätä varten sinun on muistettava ympyrän kehän kaava. Tässä hän on:
No, nyt korreloidaan nämä kaksi kaavaa ja saadaan, että ympyrän kuvaama kulma on yhtä suuri. Eli korreloimalla arvoa asteina ja radiaaneina, saamme sen. Vastaavasti,. Kuten näette, toisin kuin "asteet", sana "radiaani" jätetään pois, koska mittayksikkö on yleensä selvä asiayhteydestä.
Kuinka monta radiaania on? Oikein!
Sain sen? Kiinnitä sitten eteenpäin:
Onko vaikeuksia? Katso sitten vastauksia:
Suorakulmainen kolmio: kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti
Joten, kun kulman käsite on selvitetty. Mutta mikä on kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti? Selvitetään se. Tässä suorakulmainen kolmio auttaa meitä.
Mitä kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuiksi? Aivan oikein, hypotenuusa ja jalat: hypotenuusa on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva puoli (esimerkissämme tämä on sivu); jalat ovat kaksi muuta sivua ja (viereiset oikea kulma), lisäksi, jos tarkastelemme jalkoja suhteessa kulmaan, niin jalka on viereinen jalka ja jalka on vastakkainen. Joten, nyt vastataan kysymykseen: mitkä ovat kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti?
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
meidän kolmiossamme.
Kulman kosini- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
meidän kolmiossamme.
Kulman tangentti- tämä on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde viereiseen (läheiseen).
meidän kolmiossamme.
Kulman kotangentti- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaumaan).
meidän kolmiossamme.
Nämä määritelmät ovat välttämättömiä muistaa! Jotta olisi helpompi muistaa, mikä jalka jakaa millä, sinun on ymmärrettävä se selvästi tangentti Ja kotangentti vain jalat istuvat, ja hypotenuusa ilmestyy vain sisään sinus Ja kosini. Ja sitten voit keksiä assosiaatioketjun. Esimerkiksi tämä:
kosini→kosketus→kosketus→viereinen;
Kotangentti→kosketus→kosketus→viereinen.
Ensinnäkin on muistettava, että sini, kosini, tangentti ja kotangentti kolmion sivujen suhteina eivät riipu näiden sivujen pituuksista (yhdessä kulmassa). Älä usko? Varmista sitten katsomalla kuvaa:
Otetaan esimerkiksi kulman kosini. Määritelmän mukaan kolmiosta: , mutta voimme laskea kulman kosinin kolmiosta: . Katsos, sivujen pituudet ovat erilaisia, mutta yhden kulman kosinin arvo on sama. Siten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuvat yksinomaan kulman suuruudesta.
Jos ymmärrät määritelmät, mene eteenpäin ja korjaa ne!
Alla olevassa kuvassa näkyvälle kolmiolle löydämme.
No, saitko sen? Kokeile sitten itse: laske sama kulmaan.
Yksikkö (trigonometrinen) ympyrä
Ymmärtäessämme asteiden ja radiaanien käsitteet tarkastelimme ympyrää, jonka säde on yhtä suuri. Sellaista ympyrää kutsutaan yksittäinen. Se on erittäin hyödyllinen trigonometrian tutkimuksessa. Siksi käsittelemme sitä hieman yksityiskohtaisemmin.
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on origossa, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselin suuntainen koordinaatti ja akselin suuntainen koordinaatti. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Muista tätä varten harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.
Mikä on yhtä suuri kuin kolmiosta? Oikein. Lisäksi tiedämme, että on yksikköympyrän säde, ja siksi . Korvaa tämä arvo kosinikaavaamme. Tässä on mitä tapahtuu:
Ja mikä on yhtä kuin kolmiosta? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:
Joten, voitko kertoa minulle, mitkä ovat ympyrään kuuluvan pisteen koordinaatit? No ei mitenkään? Ja jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinoi! Eli pointti.
Ja mitkä sitten ovat tasa-arvoisia ja? Se on oikein, käytetään sopivia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, a.
Entä jos kulma on suurempi? Tässä esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännymme jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mikä on kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvo? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet ovat sovellettavissa mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn kokoisen kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria verran tai verran? No tottakai voit! Siksi ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.
Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täydellistä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla oleva kuva näyttää kulman. Sama kuva vastaa nurkkaa ja niin edelleen. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)
Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitä arvot ovat yhtä suuria:
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
Täältä määritämme tiettyjä kulman mittaa vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:
Ei ole olemassa;
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:
Älä pelkää, nyt näytämme yhden esimerkeistä melko yksinkertainen vastaavien arvojen muistaminen:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulman mittalle () sekä kulman tangentin arvo. Nämä arvot tiedossa on melko helppoa palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat koko arvon taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?
No tietysti voit! Otetaan esiin yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.
Tässä meillä on esimerkiksi tällainen ympyrä:
Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
Sitten meillä on se pisteelle koordinaatti.
Samalla logiikalla löydämme pisteen y-koordinaatin arvon. Täten,
Sisään siis yleisnäkymä pistekoordinaatit määritetään kaavoilla:
Ympyrän keskipisteen koordinaatit,
ympyrän säde,
Sädevektorin kiertokulma.
Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä suuri:
No, kokeillaanpa näitä kaavoja maistiaisena, harjoitellaan pisteiden etsimistä ympyrästä?
1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kytkemällä piste päälle.
2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, jotka saadaan kytkemällä piste päälle.
4. Piste - ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
5. Piste - ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?
Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai ymmärrä ratkaisua hyvin), niin opit löytämään ne!
1.
Sen voi nähdä. Ja tiedämme, mikä vastaa aloituspisteen täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Tämän tietäen löydämme pisteen halutut koordinaatit:
2. Ympyrä on yksikkö, jonka keskipiste on pisteessä, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi nähdä. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täydellistä kiertoa. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Tämän tietäen löydämme pisteen halutut koordinaatit:
Sini ja kosini ovat taulukkoarvoja. Muistamme heidän arvonsa ja saamme:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
3. Ympyrä on yksikkö, jonka keskipiste on pisteessä, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi nähdä. Kuvataan tarkasteltu esimerkki kuvassa:
Säde muodostaa kulmat akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin ja. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukkoarvot ovat yhtä suuret, ja kun olemme päättäneet, että kosini saa negatiivisen arvon ja sini on positiivinen, meillä on:
Vastaavia esimerkkejä analysoidaan tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
4.
Sädevektorin kiertokulma (ehdon mukaan)
Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:
Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:
Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä
Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme
Ympyrän säde (ehdon mukaan)
Sädevektorin kiertokulma (ehdon mukaan).
Korvaa kaikki arvot kaavaan ja saa:
ja - taulukon arvot. Muistamme ja korvaamme ne kaavaan:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVA
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde viereiseen (läheiseen).
Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaukaiseen).
KÄYTÄ 4:lle? Etkö ole onnesta täynnä?
Kysymys, kuten sanotaan, on mielenkiintoinen ... Voit, voit välittää 4! Ja samaan aikaan, älä räjähdä ... Pääehto on harjoitella säännöllisesti. Tässä on perusvalmistelut matematiikan tenttiin. Kaikilla yhtenäisen valtiontutkinnon salaisuuksilla ja mysteereillä, joista et lue oppikirjoista... Tutustu tähän osioon, ratkaise lisää tehtäviä eri lähteistä - ja kaikki selviää! Oletetaan, että perusosio "Riittää sinulle ja kolmelle!" ei aiheuta sinulle ongelmia. Mutta jos yhtäkkiä ... Seuraa linkkejä, älä ole laiska!
Ja aloitamme suurella ja kauhealla aiheesta.
Trigonometria
Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")
Tämä aihe aiheuttaa opiskelijoille paljon ongelmia. Sitä pidetään yhtenä vakavimmista. Mikä on sini ja kosini? Mikä on tangentti ja kotangentti? Mitä on tapahtunut numero ympyrä? Näitä vaarattomia kysymyksiä kannattaa kysyä, kun ihminen kalpeaa ja yrittää kääntää keskustelun sivuun... Mutta turhaan. Nämä ovat yksinkertaisia käsitteitä. Ja tämä aihe ei ole vaikeampi kuin muut. Sinun on vain ymmärrettävä selkeästi vastaukset näihin kysymyksiin heti alusta alkaen. Se on erittäin tärkeää. Jos keksit sen, pidät trigonometriasta. Niin,
Mikä on sini ja kosini? Mikä on tangentti ja kotangentti?
Aloitetaan muinaisista ajoista. Älä huoli, käymme läpi kaikki 20 vuosisataa trigonometriaa 15 minuutissa. Ja toistamme itsellemme huomaamattomasti geometrian palan luokasta 8.
Piirrä suorakulmainen kolmio, jossa on sivut a, b, c ja kulma X. Tässä yksi.
Haluan muistuttaa, että sivuja, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. a ja c- luistimet. Niitä on kaksi. Toista puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Kanssa- hypotenuusa.
Kolmio ja kolmio, ajattele sitä! Mitä tehdä hänen kanssaan? Mutta muinaiset ihmiset tiesivät mitä tehdä! Toistetaan heidän tekonsa. Mittaataan sivu V. Kuvassa solut on piirretty erityisesti, kuten kuvassa KÄYTÄ tehtäviä Se tapahtuu. Sivu V on yhtä suuri kuin neljä solua. OK. Mittaataan sivu A. Kolme solua.
Jaetaan nyt sivun pituus A per sivupituus V. Tai, kuten sanotaan, otetaan suhde A Vastaanottaja V. ilmastointi= 3/4.
Vaihtoehtoisesti voit jakaa V päällä A. Saamme 4/3. Voi V jaettuna Kanssa. hypotenuusa Kanssaälä laske solujen mukaan, mutta se on yhtä suuri kuin 5. Saamme ilmastointi= 4/5. Lyhyesti sanottuna voit jakaa sivujen pituudet keskenään ja saada joitain numeroita.
Mitä sitten? Mikä on tämän mielenkiintoisen toiminnan tarkoitus? Toistaiseksi ei yhtään. Tyhmä työ, rehellisesti sanottuna.)
Ja nyt tehdään tämä. Suurennetaan kolmiota. Pidennetään sivuja sinne ja takaisin, mutta niin, että kolmio pysyy suorakulmaisena. Kulma X, ei tietenkään muutu. Näet sen viemällä hiiren kuvan päälle tai koskettamalla sitä (jos sinulla on tabletti). Juhlat a, b ja c muuttua m, n, k, ja tietysti sivujen pituudet muuttuvat.
Mutta heidän suhteensa ei ole!
Asenne ilmastointi oli: ilmastointi= 3/4, tuli m/n= 6/8 = 3/4. Myös muiden asianosaisten suhteet ei muutu . Voit mielivaltaisesti muuttaa suorakulmaisen kolmion sivujen pituutta, lisätä, pienentää, muuttamatta kulmaa x – osapuolten suhde ei muutu . Voit tarkistaa, tai voit ottaa muinaisten ihmisten sanan.
Tämä on nyt erittäin tärkeää! Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteet eivät riipu millään tavalla sivujen pituuksista (samalla kulmalla). Tämä on niin tärkeää, että osapuolten suhteet ovat ansainneet erityisnimensä. Heidän nimensä, niin sanotusti.) Tutustu.
Mikä on kulman x sini ? Tämä on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
sinx = ilmastointi
Mikä on kulman x kosini ? Tämä on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Kanssaosx= ilmastointi
Mikä on kulman x tangentti ? Tämä on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
tgx=ilmastointi
Mikä on kulman x kotangentti ? Tämä on viereisen jalan suhde vastakkaiseen:
ctgx = in/a
Kaikki on hyvin yksinkertaista. Sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat joitain lukuja. Mitattomat. Pelkkiä numeroita. Jokaiselle kulmille - omansa.
Miksi toistan itseäni niin tylsästi? Mikä se sitten on täytyy muistaa. Ironisesti muistaa. Muistaminen voidaan tehdä helpommaksi. Onko ilmaus "Aloitamme kaukaa ..." tuttu? Aloita siis kaukaa.
Sinus kulma on suhde kaukana jalan kulmasta hypotenuusaan. Kosini on lähimmän hypotenuusan suhde.
Tangentti kulma on suhde kaukana katetrin kulmasta lähimpään. Kotangentti- päinvastoin.
Jo helpompaa, eikö?
No, jos muistat, että vain jalat istuvat tangentissa ja kotangentissa ja hypotenuusa esiintyy sinissä ja kosinissa, kaikki muuttuu melko yksinkertaiseksi.
Tätä koko loistavaa perhettä - sini, kosini, tangentti ja kotangentti kutsutaan myös trigonometriset funktiot.
Ja nyt kysymys pohdittavaksi.
Miksi sanomme sini, kosini, tangentti ja kotangentti kulma? Puhumme osapuolten suhteista, kuten ... Mitä sillä on tekemistä kulma?
Katsotaanpa toista kuvaa. Täsmälleen sama kuin ensimmäinen.
Vie hiiri kuvan päälle. Vaihdoin kulmaa X. suurennettu siitä x x. Kaikki suhteet ovat muuttuneet! Asenne ilmastointi oli 3/4 ja vastaava suhde tina tuli 6/4.
Ja kaikista muista ihmissuhteista on tullut erilaisia!
Siksi sivujen suhteet eivät millään tavalla riipu niiden pituudesta (yhdessä kulmassa x), vaan riippuvat jyrkästi tästä kulmasta! Ja vain häneltä. Siksi termit sini, kosini, tangentti ja kotangentti viittaavat kulma. Kulma tässä on tärkein.
On ironisesti ymmärrettävä, että kulma liittyy erottamattomasti sen trigonometrisiin funktioihin. Jokaisella kulmalla on oma sini ja kosini. Ja melkein jokaisella on oma tangenttinsa ja kotangenttinsa. On tärkeää. Uskotaan, että jos meille annetaan kulma, niin sen sini, kosini, tangentti ja kotangentti me tiedämme ! Ja päinvastoin. Annettu sini tai mikä tahansa muu trigonometrinen funktio- Joten tiedämme kulman.
On olemassa erityisiä taulukoita, joihin kullekin kulman trigonometriset funktiot kirjoitetaan. Bradys-taulukoita kutsutaan. Niitä on tehty todella pitkään. Silloin kun ei ollut laskimia tai tietokoneita...
Tietenkään kaikkien kulmien trigonometrisiä funktioita ei voida muistaa. Sinun tarvitsee tuntea ne vain muutamasta näkökulmasta, siitä lisää myöhemmin. Mutta loitsu Tiedän kulman, joten tiedän sen trigonometriset funktiot" - toimii aina!
Joten toistimme geometrian palan 8. luokasta. Tarvitsemmeko sitä tenttiin? Välttämätön. Tässä on tyypillinen ongelma kokeesta. Jonka ratkaisuun riittää 8. luokka. Kuva annettu:
Kaikki. Tietoja ei ole enempää. Meidän on löydettävä jalan pituus BC.
Solut auttavat vähän, kolmio on jotenkin väärin sijoitettu... Tarkoituksella, kai... Tiedoista löytyy hypotenuusan pituus. 8 solua. Jostain syystä kulma on annettu.
Tässä meidän on heti muistettava trigonometria. On olemassa kulma, joten tiedämme kaikki sen trigonometriset funktiot. Mikä neljästä toiminnosta tulisi ottaa käyttöön? Katsotaan mitä tiedämme, eikö niin? Tiedämme hypotenuusan, kulman, mutta meidän on löydettävä vieressä tähän nurkkakattiin! On selvää, että kosini on pantava toimeen! Täällä käynnistetään. Kirjoitamme vain kosinin määritelmän mukaan (suhde vieressä jalka hypotenuusaan):
cosC = BC/8
Kulma C on 60 astetta ja sen kosini on 1/2. Sinun on tiedettävä tämä ilman taulukoita! Tuo on:
1/2 = aurinko/8
perus lineaarinen yhtälö. Tuntematon - Aurinko. Kuka unohti yhtälöiden ratkaisemisen, kävele linkissä, loput ratkaise:
aurinko = 4
Kun muinaiset ihmiset ymmärsivät, että jokaisella kulmalla on omat trigonometriset funktionsa, heillä oli järkevä kysymys. Eikö sini, kosini, tangentti ja kotangentti liity jotenkin toisiinsa? Joten kun tiedät yhden kulman funktion, voit löytää loput? Ilman itse kulman laskemista?
Niin he olivat levottomat...)
Yhteys yhden kulman trigonometristen funktioiden välillä.
Tietenkin saman kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti liittyvät toisiinsa. Kaikki lausekkeiden välinen yhteys ilmaistaan matematiikassa kaavoilla. Trigonometriassa on valtava määrä kaavoja. Mutta tässä tarkastellaan alkeellisimpia. Näitä kaavoja kutsutaan: trigonometriset perusidentiteetit. Täällä he ovat:
Näiden kaavojen on tiedettävä rauta. Ilman niitä trigonometriassa ei ole mitään tekemistä. Näistä perusidentiteeteistä seuraa kolme muuta apu-identiteettiä:
Varoitan heti, että kolme viimeistä kaavaa putoavat nopeasti muistista. Jostain syystä.) Voit tietysti johtaa nämä kaavat kolmesta ensimmäisestä. Mutta sisään Kovaa aikaa... Sinä ymmärrät.)
Vakiotehtävissä, kuten alla olevissa, on tapa kiertää nämä unohdettavat kaavat. JA vähentää huomattavasti virheitä unohtamisesta ja myös laskelmissa. Tämä käytäntö on kohdassa 555, oppitunti "Yhden kulman trigonometristen funktioiden välinen suhde."
Missä tehtävissä ja miten trigonometrisiä perusidentiteettejä käytetään? Suosituin tehtävä on löytää jokin kulman funktio, jos toinen annetaan. Tentissä tällainen tehtävä on olemassa vuodesta toiseen.) Esimerkiksi:
Etsi sinx:n arvo, jos x on terävä kulma ja cosx=0,8.
Tehtävä on lähes alkeellista. Etsimme kaavaa, jossa on sini ja kosini. Tässä se kaava:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Korvaamme tähän tunnetun arvon, nimittäin 0,8:n kosinin sijaan:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
No, harkitsemme tavalliseen tapaan:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x \u003d 1 - 0,64
Täällä melkein kaikki. Olemme laskeneet sinin neliön, jäljellä on poimia neliöjuuri ja vastaus on valmis! Arvon 0,36 juuri on 0,6.
Tehtävä on lähes alkeellista. Mutta sana "melkein" ei ole tässä turha... Tosiasia on, että vastaus sinx = - 0,6 sopii myös ... (-0,6) 2 on myös 0,36.
Saatiin kaksi erilaista vastausta. Ja tarvitset sellaisen. Toinen on väärä. Kuinka olla!? Kyllä, kuten tavallista.) Lue tehtävä huolellisesti. Jostain syystä siinä lukee... jos x on terävä kulma... Ja tehtävissä jokaisella sanalla on merkitys, kyllä... Tämä lause on lisätietoa ratkaisuun.
Terävä kulma on kulma, joka on pienempi kuin 90°. Ja sellaisista kulmista Kaikki trigonometriset funktiot - sekä sini että kosini ja tangentti kotangentin kanssa - positiivinen. Nuo. hylkäämme tässä kielteisen vastauksen. Meillä on oikeus.
Itse asiassa kahdeksasluokkalaiset eivät tarvitse tällaisia hienouksia. Ne toimivat vain suorakulmaisten kolmioiden kanssa, joissa kulmat voivat olla vain teräviä. Ja he eivät tiedä, onnelliset, että on olemassa negatiivisia kulmia ja 1000 asteen kulmia ... Ja kaikilla näillä painajaismaisilla kulmilla on omat trigonometriset funktionsa, joissa on sekä plus- että miinus...
Mutta lukiolaisille ottamatta huomioon merkkiä - ei mitenkään. Paljon tietoa moninkertaistaa surut, kyllä...) Ja oikean ratkaisun saamiseksi tehtävässä on oltava lisätietoa (tarvittaessa). Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavasti:
Tai jollain muulla tavalla. Näet alla olevissa esimerkeissä.) Tällaisten esimerkkien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä mihin neljännekseen se kuuluu ennalta määrätty kulma x ja mikä etumerkki halutulla trigonometrisellä funktiolla on tällä neljänneksellä.
Näitä trigonometrian perusteita käsitellään tunneilla mikä on trigonometrinen ympyrä, tämän ympyrän kulmien laskeminen, kulman radiaanimitta. Joskus sinun on myös tiedettävä tangenttien ja kotangenttien kosinien sinitaulukko.
Eli huomioidaan tärkeimmät:
1. Muista sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät. Todella hyödyllinen.
2. Assimiloidaan selvästi: sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat tiukasti yhteydessä kulmiin. Tiedämme yhden asian, joten tiedämme jotain muuta.
3. Assimiloidaan selkeästi: yhden kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat yhteydessä toisiinsa pääkulmalla trigonometriset identiteetit. Tiedämme yhden funktion, mikä tarkoittaa, että voimme (jos meillä on tarvittavat lisätiedot) laskea kaikki muut.
Ja nyt päätetään, kuten tavallista. Ensin tehtävät 8. luokan volyymissa. Mutta lukiolaiset voivat myös ...)
1. Laske tgA:n arvo, jos ctgA = 0,4.
2. β - kulma suorakulmaisessa kolmiossa. Etsi tgβ:n arvo, jos sinβ = 12/13.
3. Määrittele sini terävä kulma x jos tgx = 4/3.
4. Etsi lausekkeen arvo:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Etsi lausekkeen arvo:
(1-cosx)(1+cosx), jos sinx = 0,3
Vastaukset (eroteltu puolipisteillä, sekaisin):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Tapahtui? Loistava! Kahdeksasluokkalaiset voivat jo seurata A-kirjaimiaan.)
Eikö kaikki mennyt? Tehtävät 2 ja 3 eivät ole jotenkin kovin...? Ei ongelmaa! Tällaisiin tehtäviin on yksi kaunis tekniikka. Kaikki päätetään käytännössä ilman kaavoja! Ja siksi ilman virheitä. Tämä tekniikka on kuvattu oppitunnissa: "Yhden kulman trigonometristen funktioiden välinen suhde" luvussa 555. Myös kaikki muut tehtävät puretaan siellä.
Nämä olivat ongelmia, kuten Unified State Examination, mutta pelkistetyssä versiossa. KÄYTÄ - valo). Ja nyt melkein samat tehtävät, mutta täysimittaisessa muodossa. Tietotaakkaisille lukiolaisille.)
6. Etsi tgβ:n arvo, jos sinβ = 12/13 ja
7. Määritä sinx, jos tgx = 4/3 ja x kuuluu väliin (-540°; -450°).
8. Etsi lausekkeen sinβ cosβ arvo, jos ctgβ = 1.
Vastaukset (sekaisin):
0,8; 0,5; -2,4.
Tässä tehtävässä 6 kulma on annettu jotenkin ei kovin yksiselitteisesti... Mutta tehtävässä 8 sitä ei ole asetettu ollenkaan! Se on tarkoituksella). lisäinformaatio ei vain otettu tehtävästä, vaan myös päästä.) Mutta jos päätät - yksi oikea tehtävä on taattu!
Entä jos et ole päättänyt? Öh... No, § 555 auttaa tässä. Siellä kaikkien näiden tehtävien ratkaisut on kuvattu yksityiskohtaisesti, sitä on vaikea olla ymmärtämättä.
Tällä oppitunnilla annetaan hyvin rajallinen käsite trigonometrisista funktioista. 8 luokan sisällä. Senioreilla on kysymyksiä...
Esimerkiksi jos kulma X(katso toinen kuva tällä sivulla) - tee siitä tyhmä!? Kolmio hajoaa! Ja kuinka olla? Ei tule jalkaa, ei hypotenuusaa ... Sini on poissa ...
Jos muinaiset ihmiset eivät olisi löytäneet ulospääsyä tästä tilanteesta, meillä ei nyt olisi matkapuhelimia, televisiota tai sähköä. Kyllä kyllä! Teoreettinen perusta kaikki nämä asiat ilman trigonometrisiä toimintoja - nolla ilman sauvaa. Mutta muinaiset ihmiset eivät pettäneet. Kuinka he pääsivät ulos - seuraavassa oppitunnissa.
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Viitetiedot tangentille (tg x) ja kotangentille (ctg x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko tangenteista ja kotangenteista, derivaatoista, integraaleista, sarjalaajennuksista. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.
Geometrinen määritelmä
|BD| - pisteen A keskipisteen ympyrän kaaren pituus.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.
Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .
Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .
Tangentti
Missä n-kokonainen.
Länsimaisessa kirjallisuudessa tangenttia merkitään seuraavasti:
.
;
;
.
Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x
Kotangentti
Missä n-kokonainen.
Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.
Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x
Tangentin ja kotangentin ominaisuudet
Jaksoisuus
Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.
Pariteetti
Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.
Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva
Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Laajuus ja jatkuvuus | ||
| Arvoalue | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Nouseva | - | |
| Laskeva | - | |
| Äärimmäisyydet | - | - |
| Nollat, y= 0 | ||
| Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0 | y= 0 | - |
Kaavat
Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen
;
;
;
;
;
Summan ja erotuksen tangentin ja kotangentin kaavat
Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada
Tangenttien tulo
Tangenttien summan ja erotuksen kaava
Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille. 
Lausekkeet kompleksilukuina
Hyperbolisten funktioiden lausekkeet
;
;
Johdannaiset
; .
.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>
Integraalit
Laajennukset sarjoiksi
Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssien x, sinun on otettava useita funktioiden laajennuksen termejä potenssisarjassa synti x Ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.
klo .
osoitteessa .
Missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
Missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan: 
Käänteiset funktiot
Käänteiset funktiot tangentti ja kotangentti ovat vastaavasti arktangentti ja arkotangentti.
Arktangentti, arktg
, Missä n-kokonainen.
Kaaretangentti, arcctg
, Missä n-kokonainen.
Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille, 2012.
Kun suorakulmaisen kolmion ratkaisutehtävät pohdittiin, lupasin esitellä tekniikan sinin ja kosinin määritelmien muistamiseen. Sen avulla muistat aina nopeasti, mikä jalka kuuluu hypotenuusaan (viereinen tai vastapäätä). Päätin, etten lykkää sitä loputtomiin, tarvittava materiaali on alla, lue se 😉
Tosiasia on, että olen toistuvasti havainnut, kuinka 10-11-luokkien oppilailla on vaikeuksia muistaa nämä määritelmät. He muistavat hyvin, että jalka viittaa hypotenuusaan, mutta kumpi- unohda ja hämmentynyt. Virheen hinta, kuten kokeessa tiedät, on menetetty pistemäärä.
Tiedolla, jonka esitän suoraan matematiikalle, ei ole mitään tekemistä. Hän liittyy figuratiivista ajattelua, ja verbaal-loogisen yhteyden menetelmillä. Aivan oikein, minä itsekin muistan kertakaikkiaanmääritelmätiedot. Jos unohdat ne silti, esiteltyjen tekniikoiden avulla se on aina helppo muistaa.
Muistutan sinua sinin ja kosinin määritelmät suorakulmaisessa kolmiossa:
Kosini suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Joten mitä assosiaatioita sana kosini herättää sinussa?
Luultavasti jokaisella on omansaMuista linkki:
Siten sinulla on välittömästi ilmaus muistissasi -
«… vierekkäisen jalan suhde hypotenuusaan».
Kosinin määritelmän ongelma on ratkaistu.
Jos sinun on muistettava suoran kolmion sinin määritelmä, muistamalla kosinin määritelmä, voit helposti todeta, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Loppujen lopuksi on vain kaksi jalkaa, jos viereisen haaran "varaa" kosini, niin sinille jää vain vastakkainen puoli.
Entä tangentti ja kotangentti? Sama hämmennys. Opiskelijat tietävät, että tämä on jalkojen suhde, mutta ongelmana on muistaa, kumpi viittaa mihinkin - joko vastapäätä viereistä vai päinvastoin.
Määritelmät:
Tangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Kotangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde vastakkaiseen:
Kuinka muistaa? On kaksi tapaa. Toinen käyttää myös verbaal-loogista yhteyttä, toinen - matemaattista.
MATEMAATTINEN MENETELMÄ
On olemassa tällainen määritelmä - terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
* Kun muistat kaavan, voit aina määrittää, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.
Samoin.Terävän kulman kotangentti on kulman kosinin suhde sen siniin:
Niin! Kun muistat nämä kaavat, voit aina määrittää, että:
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
VERBAALILOOGINEN MENETELMÄ
Tietoja tangentista. Muista linkki:
Eli jos sinun on muistettava tangentin määritelmä, käyttämällä tätä loogista yhteyttä, voit helposti muistaa, mikä se on
"... vastakkaisen jalan suhde viereiseen"
Jos kyse on kotangentista, muista tangentin määritelmä, voit helposti ilmaista kotangentin määritelmän -
"... viereisen jalan suhde vastakkaiseen"
Sivustolla on mielenkiintoinen tekniikka tangentin ja kotangentin muistamiseen " Matemaattinen tandem " , Katso.
MENETELMÄ UNIVERSAL
Voit vain jauhaa.Mutta kuten käytäntö osoittaa, sanallisten ja loogisten yhteyksien ansiosta ihminen muistaa tiedot pitkään, eikä vain matemaattisia.
Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
Yksi matematiikan haaroista, joiden kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavoilla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään numeroa pi laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia loogisia ketjuja.
Trigonometrian alkuperä
Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.
Historiallisesti tämän osion tärkein tutkimuskohde matemaattinen tiede olivat suorakulmaisia kolmioita. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa suorittamisen erilaisia operaatioita, jonka avulla voidaan määrittää tarkasteltavana olevan kuvan kaikkien parametrien arvot kahdella sivulla ja yhdellä kulmalla tai kahdella kulmalla ja yhdellä sivulla. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän kuvion ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.
Ensimmäinen taso
Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat käytön rajojen laajentamisen Jokapäiväinen elämä tämä matematiikan ala.
Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen oppilaat käyttävät opiskelua fysiikassa ja abstraktien ongelmien ratkaisemisessa. trigonometriset yhtälöt, jonka kanssa työ alkaa lukiossa.
Pallomainen trigonometria
Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi maanpinta, ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pinnan merkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteisessa avaruudessa.
Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.
Suorakulmainen kolmio
Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.
Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.
Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.
Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.
Määritelmä
Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.
Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.
Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.
Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.
Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.
Yksinkertaisimmat kaavat
Trigonometriassa ei voi tulla ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.
Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.
Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio toimii trigonometrinen kaava täysin tunnistamaton. Muista: kun tiedät, mikä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itse johtaa tarvittavat lisätiedot monimutkaisia kaavoja paperille.
Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen
Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.
Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu edellisistä - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suuri kuin kulma beeta.
Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.
Lauseet
Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.
Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.
Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että vähennä kahden sivun neliöiden summasta niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.
Virheitä huolimattomuudesta
Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.
Ensinnäkin, sinun ei pitäisi muuntaa tavallisia murtolukuja desimaaleiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen muotoon murtoluku ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.
Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.
Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska sini on 30 astetta yhtä suuri kuin kosini 60 ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.
Sovellus
Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.
Lopulta
Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.
Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.
Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.
