Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksesi yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Liittyvät ja pystysuorat kulmat on geometrian olennainen osa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostetaan leikkaamalla kaksi suoraa tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin pisteitä, joihin kulma muodostetaan.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. On siis olemassa suora kulma, terävä, tylpä ja taittamaton. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen astemitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan laajennetuksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauskohta muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman astemitan toisen kulman arvon tai arvon mukaan vähintään, heidän välinen suhde.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajike voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun suorat viivat leikkaavat. Niiden ohella vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla samanaikaisesti vierekkäinen toiselle ja pystysuora toiselle.

Mielivaltaista linjaa ylitettäessä otetaan huomioon myös useat muun tyyppiset kulmat. Tällaista viivaa kutsutaan sekanttiviivaksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Näin ollen kulmien aihe vaikuttaa melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmilla on numeerinen arvo. Myöhemmin, kun synnin ja cosin tutkiminen alkaa, sinun on opittava ulkoa paljon monimutkaisia ​​kaavoja, niiden johtopäätökset ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen, ja näiden kulmien muut sivut ovat komplementaarisia säteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäin.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°

Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Todiste. Palkki OB (katso kuva 1) kulkee avautuneen kulman sivujen välistä. Siksi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

Pystykulmat ovat yhtä suuret

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä säteitä. Kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuneet kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC ovat pystysuorat (kuva 2).

Lause 2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Todiste. Tarkastellaan pystykulmia AOB ja COD (ks. kuva 2). Kulma BOD on kulman AOB ja COD vieressä. Lauseen 1 mukaan ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Tästä päätämme, että ∠ AOB = ∠ COD.

Johtopäätös 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin muutkin kulmat ovat suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäisiä, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuorat). Tässä tapauksessa he sanovat, että nämä viivat leikkaavat suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Viivojen AC ja BD kohtisuoraa merkitään seuraavasti: AC ⊥ BD.

Janaan nähden kohtisuora puolittaja on viiva, joka on kohtisuorassa tätä janaa vastaan ​​ja kulkee sen keskipisteen kautta.

AN - kohtisuorassa suoraa vastaan

Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, joka ei ole sen päällä (kuva 4). Yhdistetään piste A janalla pisteeseen H suoralla a. Janaa AN kutsutaan kohtisuoraksi pisteestä A suoralle a, jos suorat AN ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran kannaksi.

Piirustus neliö

Seuraava lause on totta.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole suoralla, on mahdollista piirtää kohtisuora tälle suoralle, ja lisäksi vain yksi.

Kun haluat piirtää kohtisuoran pisteestä suoralle viivalle, käytä piirustusneliötä (kuva 5).

Kommentti. Lauseen muotoilu koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen ehdoksi. Toinen osa puhuu siitä, mikä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen johtopäätökseksi. Esimerkiksi Lauseen 2 ehto on, että kulmat ovat pystysuorat; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoilla siten, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja sen johtopäätös sanalla "sitten". Esimerkiksi Lause 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 44°. Mihin toinen vastaa?

Ratkaisu. Merkitään toisen kulman astemitta x:llä, sitten Lauseen 1 mukaan.
44° + x = 180°.
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön huomaamme, että x = 136°. Siksi toinen kulma on 136°.

Esimerkki 2. Olkoon kulma COD kuvassa 21 45°. Mitkä ovat kulmat AOB ja AOC?

Ratkaisu. Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten ne ovat Lauseen 1.2 mukaan yhtä suuret, eli ∠ AOB = 45°. Kulma AOC on kulman COD vieressä, mikä tarkoittaa Lauseen 1 mukaan.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esimerkki 3. Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa suurempi kuin toinen.

Ratkaisu. Merkitään pienemmän kulman astemitta x:llä. Tällöin suuremman kulman astemitta on 3x. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180° (Lause 1), niin x + 3x = 180°, josta x = 45°.
Tämä tarkoittaa, että vierekkäiset kulmat ovat 45° ja 135°.

Esimerkki 4. Kahden pystykulman summa on 100°. Etsi kunkin neljän kulman koko.

Ratkaisu. Olkoon tehtävän ehdot täyttävä kuva 2. Pystykulmat COD ja AOB ovat yhtä suuret (Lause 2), mikä tarkoittaa, että myös niiden astemitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD = ∠ AOB = 50° (niiden summa ehdon mukaan on 100°). Kulma BOD (myös kulma AOC) on kulman COD vieressä, ja siksi Lauseen 1 mukaan
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Kuinka löytää viereinen kulma?

Matematiikka on vanhin tarkka tiede, mikä on pakollinen opiskellut kouluissa, korkeakouluissa, instituuteissa ja yliopistoissa. Perustiedot kuitenkin laitetaan aina koulussa. Joskus lapselle annetaan melko monimutkaisia ​​tehtäviä, mutta vanhemmat eivät voi auttaa, koska he yksinkertaisesti unohtavat joitain asioita matematiikasta. Esimerkiksi kuinka löytää viereinen kulma pääkulman koon perusteella jne. Ongelma on yksinkertainen, mutta voi aiheuttaa vaikeuksia ratkaista, koska ei tiedetä, mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi ja kuinka ne löydetään.

Tarkastellaan lähemmin vierekkäisten kulmien määritelmää ja ominaisuuksia sekä niiden laskemista tehtävän tiedoista.

Vierekkäisten kulmien määritelmä ja ominaisuudet

Kaksi yhdestä pisteestä lähtevää sädettä muodostavat hahmon, jota kutsutaan "tasokulmaksi". Tässä tapauksessa tätä pistettä kutsutaan kulman kärjeksi, ja säteet ovat sen sivuja. Jos jatkat yhtä säteistä aloituspisteen yli suorassa linjassa, muodostuu toinen kulma, jota kutsutaan viereiseksi. Jokaisella kulmalla on tässä tapauksessa kaksi vierekkäistä kulmaa, koska kulman sivut ovat samanarvoisia. Toisin sanoen vierekkäinen kulma on aina 180 astetta.

Vierekkäisten kulmien tärkeimmät ominaisuudet sisältävät

• Vierekkäisillä kulmilla on yhteinen kärki ja yksi sivu;
• Vierekkäisten kulmien summa on aina 180 astetta tai luku Pi, jos laskenta suoritetaan radiaaneina;
• Vierekkäisten kulmien sinit ovat aina yhtä suuret;
• Vierekkäisten kulmien kosinit ja tangentit ovat yhtä suuret, mutta niillä on vastakkaiset merkit.

Kuinka löytää vierekkäiset kulmat

Yleensä annetaan kolme tehtävän muunnelmaa vierekkäisten kulmien suuruuden löytämiseksi

• Pääkulman arvo on annettu;
• Pää- ja viereisen kulman suhde on annettu;
• Pystykulman arvo on annettu.

Jokaisella ongelman versiolla on oma ratkaisunsa. Katsotaanpa niitä.

Pääkulman arvo on annettu

Jos ongelma määrittää pääkulman arvon, niin viereisen kulman löytäminen on hyvin yksinkertaista. Voit tehdä tämän vähentämällä vain pääkulman arvon 180 astetta, niin saat viereisen kulman arvon. Tämä ratkaisu perustuu viereisen kulman ominaisuuteen - vierekkäisten kulmien summa on aina 180 astetta.

Jos pääkulman arvo on annettu radiaaneina ja ongelma edellyttää viereisen kulman löytämistä radiaaneina, on pääkulman arvo vähennettävä luvusta Pi, koska täyden taittamattoman kulman arvo on 180 astetta on yhtä suuri kuin luku Pi.

Pää- ja viereisen kulman suhde on annettu

Ongelma voi antaa pää- ja vierekkäisten kulmien suhteen pääkulman asteiden ja radiaanien sijaan. Tässä tapauksessa ratkaisu näyttää suhteellista yhtälöltä:

1. Merkitsemme pääkulman osuutta muuttujaksi "Y".
2. Viereiseen kulmaan liittyvä murto-osa on merkitty muuttujaksi "X".
3. Kullekin suhteelle osuvien asteiden lukumäärä merkitään esimerkiksi "a":lla.
4. Yleinen kaava näyttää tältä - a*X+a*Y=180 tai a*(X+Y)=180.
5. Löydämme yhtälön ”a” yhteisen tekijän kaavalla a=180/(X+Y).
6. Sitten kerromme yhteisen kertoimen "a" arvon määritettävän kulman murto-osalla.

Näin voimme löytää viereisen kulman arvon asteina. Jos sinun on kuitenkin löydettävä arvo radiaaneina, sinun on yksinkertaisesti muutettava asteet radiaaneiksi. Voit tehdä tämän kertomalla kulma asteina Pi:llä ja jakamalla kaikki 180 astetta. Tuloksena oleva arvo on radiaaneina.

Pystykulman arvo on annettu

Jos tehtävä ei anna pääkulman arvoa, mutta pystykulman arvo on annettu, niin viereinen kulma voidaan laskea samalla kaavalla kuin ensimmäisessä kappaleessa, jossa pääkulman arvo on annettu.

Pystykulma on kulma, joka tulee samasta pisteestä kuin pääkulma, mutta on suunnattu täsmälleen vastakkaiseen suuntaan. Näin käy ilmi peilin heijastus. Tämä tarkoittaa, että pystykulma on yhtä suuri kuin pääkulma. Pystykulman viereinen kulma puolestaan ​​on yhtä suuri kuin pääkulman viereinen kulma. Tämän ansiosta pääkulman viereinen kulma voidaan laskea. Voit tehdä tämän vähentämällä pystysuoran arvon 180 astetta ja saamalla pääkulman viereisen kulman arvon asteina.

Jos arvo annetaan radiaaneina, on tarpeen vähentää pystykulman arvo luvusta Pi, koska 180 asteen täyden taittamattoman kulman arvo on yhtä suuri kuin luku Pi.

Voit myös lukea hyödyllisiä artikkeleitamme ja.

Kulmien käytön aloittaminen

Annetaan meille kaksi mielivaltaista sädettä. Laitetaan ne päällekkäin. Sitten

Määritelmä 1

Kutsumme kulmaksi kahta sädettä, joilla on sama alkuperä.

Määritelmä 2

Pistettä, joka on säteiden alku määritelmän 3 puitteissa, kutsutaan tämän kulman kärjeksi.

Merkitään kulmaa sen kolmella pisteellä: kärkipiste, piste toisella säteellä ja piste toisella säteellä, ja kulman kärki on kirjoitettu sen merkinnän keskelle (kuva 1).

Määritetään nyt mikä kulman suuruus on.

Tätä varten meidän on valittava jonkinlainen "viitekulma", jonka otamme yksikkönä. Useimmiten tämä kulma on kulma, joka on yhtä suuri kuin taittamattoman kulman $\frac(1)(180)$-osa. Tätä määrää kutsutaan asteeksi. Kun olet valinnut tällaisen kulman, vertaamme kulmia siihen, jonka arvo on löydettävä.

Kulmia on 4 tyyppiä:

Määritelmä 3

Kulmaa kutsutaan teräväksi, jos se on pienempi kuin $90^0$.

Määritelmä 4

Kulmaa kutsutaan tylpäksi, jos se on suurempi kuin $90^0$.

Määritelmä 5

Kulmaa kutsutaan kehittyneeksi, jos se on yhtä suuri kuin $180^0$.

Määritelmä 6

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, jos se on yhtä suuri kuin $90^0$.

Edellä kuvattujen kulmatyyppien lisäksi voimme erottaa toisistaan ​​​​kulmatyyppejä, nimittäin pysty- ja vierekkäiset kulmat.

Vierekkäiset kulmat

Harkitse käänteistä kulmaa $COB$. Sen kärjestä piirretään säde $OA$. Tämä säde jakaa alkuperäisen kahteen kulmaan. Sitten

Määritelmä 7

Kutsumme kahta vierekkäistä kulmaa, jos niiden toinen sivupari on kehittynyt kulma ja toinen pari osuu yhteen (kuva 2).

Tässä tapauksessa kulmat $COA$ ja $BOA$ ovat vierekkäisiä.

Lause 1

Vierekkäisten kulmien summa on $180^0$.

Todiste.

Katsotaanpa kuvaa 2.

Määritelmän 7 mukaan kulma $COB$ on yhtä suuri kuin $180^0$. Koska vierekkäisten kulmien toinen sivupari osuu yhteen, säde $OA$ jakaa taittamattoman kulman kahdella, joten

$∠COA+∠BOA=180^0$

Lause on todistettu.

Harkitsemme ongelman ratkaisemista käyttämällä tätä käsitettä.

Esimerkki 1

Etsi kulma $C$ alla olevasta kuvasta

Määritelmän 7 mukaan kulmat $BDA$ ja $ADC$ ovat vierekkäisiä. Siksi lauseella 1 saamme

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Kolmion kulmien summan lauseella meillä on

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Vastaus: $40^0$.

Pystykulmat

Tarkastellaan taittamattomia kulmia $AOB$ ja $MOC$. Kohdistamme niiden kärjet toisiinsa (eli asetamme pisteen $O"$ pisteeseen $O$) niin, että mitkään näiden kulmien sivut eivät kohtaa.

Määritelmä 8

Kutsumme kahta kulmaa pystysuoraksi, jos niiden sivuparit ovat avautuneita kulmia ja niiden arvot ovat samat (kuva 3).

Tässä tapauksessa kulmat $MOA$ ja $BOC$ ovat pystysuorat ja kulmat $MOB$ ja $AOC$ ovat myös pystysuorat.

Lause 2

Pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Todiste.

Katsotaanpa kuvaa 3. Osoitetaan esimerkiksi, että kulma $MOA$ on yhtä suuri kuin kulma $BOC$.

Kahta kulmaa, jotka on sijoitettu samalle suoralle ja joilla on sama kärki, kutsutaan vierekkäisiksi.

Muuten, jos kahden kulman summa yhdellä suoralla on 180 astetta ja niillä on yksi yhteinen sivu, nämä ovat vierekkäisiä kulmia.

1 viereinen kulma + 1 viereinen kulma = 180 astetta.

Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta sivua muodostavat yleensä suoran viivan.

Kahden vierekkäisen kulman summa on aina 180 astetta. Esimerkiksi, jos yksi kulma on 60 astetta, toinen on välttämättä 120 astetta (180-60).

Kulmat AOC ja BOC ovat vierekkäisiä kulmia, koska kaikki vierekkäisten kulmien ominaisuudet täyttyvät:

1.OS - kahden kulman yhteinen puoli

2.AO - kulman puoli AOS, OB - kulman puoli VSP. Yhdessä nämä sivut muodostavat suoran AOB.

3. Kulmia on kaksi ja niiden summa on 180 astetta.

Muistaen koulun geometrian kurssin voimme sanoa seuraavaa vierekkäisistä kulmista:

vierekkäisillä kulmilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta sivua kuuluvat samaan suoraviivaan, eli ne ovat samalla suoralla. Jos kuvan mukaan, niin kulmat SOV ja BOA ovat vierekkäisiä kulmia, joiden summa on aina 180, koska ne jakavat suoran kulman, ja suora kulma on aina yhtä suuri kuin 180.



Vierekkäiset kulmat ovat helppo käsite geometriassa. Vierekkäiset kulmat, kulma plus kulma, laskevat yhteen 180 astetta.

Kaksi vierekkäistä kulmaa on yksi taittamaton kulma.

Kiinteistöjä on useita muitakin. Vierekkäisillä kulmilla ongelmat on helppo ratkaista ja lauseet todistaa.

Vierekkäiset kulmat muodostetaan vetämällä säde mielivaltaisesta suoran pisteestä. Sitten tämä mielivaltainen piste osoittautuu kulman kärjeksi, säteeksi - yhteinen puoli vierekkäiset kulmat ja suora viiva, josta säde vedetään - vierekkäisten kulmien kahdella muulla sivulla. Vierekkäiset kulmat voivat olla samat kohtisuoran tapauksessa tai erilaiset kaltevan säteen tapauksessa. On helppo ymmärtää, että vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta tai yksinkertaisesti suora. Toinen tapa selittää tämä kulma on yksinkertainen esimerkki- aluksi kävelit yhteen suuntaan suoraa, sitten muutit mielesi, päätit palata ja 180 astetta kääntyneenä lähdit samaa suoraa pitkin vastakkaiseen suuntaan.



Joten mikä on viereinen kulma? Määritelmä:

Kahta kulmaa, joilla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen sivu, kutsutaan vierekkäisiksi, ja näiden kulmien kaksi muuta sivua ovat samalla suoralla.



Ja lyhyt videotunti, joka näyttää järkevästi vierekkäiset kulmat, pystykulmat sekä kohtisuorat viivat, jotka ovat vierekkäisten ja pystysuorien kulmien erikoistapaus

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, joissa toinen puoli on yhteinen ja toinen on yksi viiva.

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, jotka riippuvat toisistaan. Eli jos yhteistä puolta kierretään hieman, niin yksi kulma pienenee useita asteita ja automaattisesti toinen kulma kasvaa saman verran. Tämä vierekkäisten kulmien ominaisuus mahdollistaa erilaisten geometrian ongelmien ratkaisemisen ja eri teoreemojen todisteiden suorittamisen.

Vierekkäisten kulmien yhteissumma on aina 180 astetta.



Geometrian kurssista (muistaakseni 6. luokalla) kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, joissa toinen sivu on yhteinen ja muut sivut lisäsäteitä, vierekkäisten kulmien summa on 180. Kumpikin vierekkäiset kulmat täydentävät toista laajennetulla kulmalla. Esimerkki vierekkäisistä kulmista:



Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joiden toinen sivu on yhteinen ja loput sivut ovat samalla suoralla linjalla (eivät ole yhteneväisiä). Vierekkäisten kulmien summa on satakahdeksankymmentä astetta. Yleensä kaikki tämä on erittäin helppo löytää Googlesta tai geometrian oppikirjasta.