(kreikaksi λόγος - "sana", "relaatio" ja ἀριθμός - "luku") b perustuen a(log α b) kutsutaan sellaiseksi numeroksi c, Ja b= a c, eli tallentaa log α b=c Ja b=ac ovat samanarvoisia. Logaritmi on järkevä, jos a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Toisin sanoen logaritmi numeroita b perustuen A muotoiltu eksponenttiksi, johon luku on nostettava a saadaksesi numeron b(logaritmi on olemassa vain positiivisille luvuille).

Tästä formulaatiosta seuraa, että laskenta x= log α b, vastaa yhtälön a x =b ratkaisemista.

Esimerkiksi:

log 2 8 = 3, koska 8 = 2 3 .

Korostetaan, että esitetty logaritmin muotoilu mahdollistaa välittömän määrityksen logaritmin arvo, kun logaritmimerkin alla oleva luku toimii tiettynä kantaluvun potenssina. Itse asiassa logaritmin muotoilu mahdollistaa sen, että jos b=a c, sitten luvun logaritmi b perustuen a on yhtä suuri Kanssa. On myös selvää, että logaritmien aihe liittyy läheisesti aiheeseen luvun potenssit.

Logaritmin laskemista kutsutaan logaritmi. Logaritmi on logaritmin ottamisen matemaattinen operaatio. Logaritmeja otettaessa tekijöiden tulot muunnetaan termien summiksi.

Tehostaminen on logaritmin käänteinen matemaattinen operaatio. Potentioimisen aikana tietty emäs nostetaan ekspressioasteeseen, jolla tehostaminen suoritetaan. Tässä tapauksessa termien summat muunnetaan tekijöiden tuloksi.

Melko usein käytetään todellisia logaritmeja, joiden kanta on 2 (binääri), Eulerin luku e ≈ 2,718 (luonnollinen logaritmi) ja 10 (desimaali).

Tässä vaiheessa on suositeltavaa harkita logaritminäytteet loki 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Ja merkinnöillä lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ei ole järkeä, koska ensimmäisessä niistä sijoitetaan negatiivinen luku logaritmimerkin alle, toisessa - negatiivinen luku pohjassa ja kolmannessa - sekä negatiivinen luku logaritmimerkin alla että yksikkö perustassa.

Edellytykset logaritmin määrittämiselle.

Erikseen kannattaa tarkastella ehtoja a > 0, a ≠ 1, b > 0.joilla saamme logaritmin määritelmä. Mietitäänpä miksi nämä rajoitukset otettiin käyttöön. Yhtälö muotoon x = log α auttaa meitä tässä b, jota kutsutaan logaritmiksi perusidentiteetiksi, mikä seuraa suoraan edellä annetusta logaritmin määritelmästä.

Otetaan ehto a≠1. Koska yksi mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin yksi, yhtälö x=log α b voi olla olemassa vain silloin, kun b = 1, mutta log 1 1 on mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden poistamiseksi otamme a≠1.

Todistakaamme ehdon tarpeellisuus a>0. klo a = 0 logaritmin muotoilun mukaan voi olla olemassa vain silloin, kun b = 0. Ja sen mukaan sitten loki 0 0 voi olla mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku, koska nollasta mihin tahansa nollasta poikkeavaan potenssiin on nolla. Tämä epäselvyys voidaan poistaa ehdolla a≠0. Ja milloin a<0 joudumme hylkäämään logaritmin rationaalisten ja irrationaalisten arvojen analyysin, koska aste, jolla on rationaalinen ja irrationaalinen eksponentti, määritellään vain ei-negatiivisille kantajille. Tästä syystä ehto on asetettu a>0.

Ja viimeinen ehto b>0 seuraa eriarvoisuudesta a>0, koska x = log α b, ja tutkinnon arvo, jolla on positiivinen kanta a aina positiivinen.

Logaritmien ominaisuudet.

Logaritmit ominaista erottuva ominaisuudet, mikä johti niiden laajaan käyttöön helpottaakseen huomattavasti huolellisia laskelmia. Kun siirrytään "logaritmien maailmaan", kertolasku muuttuu paljon helpommaksi yhteenlaskuksi, jako muuttuu vähennykseksi ja eksponentio ja juurierotus vastaavasti kerto- ja jakolaskuksi eksponentin avulla.

Logaritmien muotoilu ja niiden arvojen taulukko (for trigonometriset funktiot) julkaisi ensimmäisen kerran vuonna 1614 skotlantilainen matemaatikko John Napier. Muiden tutkijoiden suurentamia ja yksityiskohtaisia ​​logaritmitaulukoita käytettiin laajalti tieteellisissä ja teknisissä laskelmissa, ja ne säilyivät merkityksellisinä elektronisten laskimien ja tietokoneiden käyttöön asti.

Luvun logaritmi N perustuen A kutsutaan eksponenttia X , johon sinun on rakennettava A saadaksesi numeron N

Edellyttäen että
,
,

Logaritmin määritelmästä seuraa, että
, eli
- tämä yhtälö on logaritmisen perusidentiteetti.

Logaritmeja 10 kantaan kutsutaan desimaalilogaritmeiksi. Sijasta
kirjoittaa
.

Logaritmit kantaan e kutsutaan luonnollisiksi ja ne on nimetty
.

Logaritmien perusominaisuudet.

Yhden logaritmi on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa kantalle.

Tuotteen logaritmi yhtä suuri kuin summa tekijöiden logaritmit.

3) Osamäärän logaritmi yhtä suuri kuin erotus logaritmit

Tekijä
kutsutaan siirtymämoduuliksi logaritmista kantaan a logaritmeihin pohjassa b .

Ominaisuuksia 2-5 käyttämällä on usein mahdollista pelkistää kompleksisen lausekkeen logaritmi yksinkertaisten logaritmien aritmeettisten operaatioiden tulokseksi.

Esimerkiksi,

Tällaisia ​​logaritmin muunnoksia kutsutaan logaritmeiksi. Logaritmille käänteisiä muunnoksia kutsutaan potentioinniksi.

Luku 2. Korkeamman matematiikan elementit.

1. Rajoitukset

Toiminnon raja
on äärellinen luku A, jos, as xx 0 jokaiselle ennalta määrätylle
, on sellainen numero
että heti kun
, Tuo
.

Funktio, jolla on raja, eroaa siitä äärettömän pienellä määrällä:
, missä- b.m.v., ts.
.

Esimerkki. Harkitse toimintoa
.

Kun yritetään
, toiminto y pyrkii nollaan:

1.1. Peruslauseita rajoista.

Vakioarvon raja on yhtä suuri kuin tämä vakioarvo

.

Äärillisen määrän funktioiden summan (eron) raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen summa (ero).

Äärillisen määrän funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen tulo.

Kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen osamäärä, jos nimittäjän raja ei ole nolla.

Ihanat rajat

,
, Missä

1.2. Esimerkkejä rajan laskemisesta

Kaikkia rajoja ei kuitenkaan lasketa niin helposti. Useimmiten rajan laskeminen johtaa tyypin epävarmuuden paljastamiseen: tai .

.

2. Funktion johdannainen

Tehdään funktio
, jatkuva segmentillä
.

Perustelu sai jonkin verran nousua
. Sitten funktio saa lisäyksen
.

Argumentin arvo vastaa funktion arvoa
.

Argumentin arvo
vastaa funktion arvoa.

Siksi,.

Etsitään tämän suhteen raja kohdasta
. Jos tämä raja on olemassa, sitä kutsutaan annetun funktion derivaatiksi.

Määritelmä 3 Tietyn funktion derivaatta
argumentin perusteella kutsutaan funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, kun argumentin lisäys mielivaltaisesti pyrkii nollaan.

Johdannainen funktiosta
voidaan nimetä seuraavasti:

; ; ; .

Määritelmä 4 Kutsutaan funktion derivaatan löytämistä erilaistuminen.

2.1. Johdannan mekaaninen merkitys.

Tarkastellaan jonkin jäykän kappaleen tai materiaalipisteen suoraviivaista liikettä.

Anna jossain vaiheessa liikkuva kohta
oli etäällä lähtöasennosta
.

Jonkin ajan kuluttua
hän siirtyi kauemmaksi
. Asenne =- keskinopeus aineellinen kohta
. Etsitään tämän suhteen raja ottaen se huomioon
.

Näin ollen aineellisen pisteen hetkellisen liikkeen nopeuden määrittäminen pelkistyy reitin derivaatan löytämiseen ajan suhteen.

2.2. Derivaatan geometrinen arvo

Otetaan graafisesti määritelty funktio
.

Riisi. 1. Derivaatan geometrinen merkitys

Jos
, sitten osoita
, liikkuu käyrää pitkin lähestyen pistettä
.

Siten
, eli argumentin tietyn arvon derivaatan arvo numeerisesti yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti, jonka tangentti muodostaa tietyssä pisteessä akselin positiivisen suunnan kanssa
.

2.3. Taulukko erottelun peruskaavoista.

Virtatoiminto

Eksponentti funktio

Logaritminen funktio

Trigonometrinen funktio

Käänteinen trigonometrinen funktio

2.4. Erottamisen säännöt.

Johdannainen

Toimintojen summan (eron) derivaatta

Kahden funktion tulon johdannainen

Kahden funktion osamäärän derivaatta

2.5. Johdannainen monimutkainen toiminto.

Olkoon funktio annettu
siten, että se voidaan esittää muodossa

Ja
, jossa muuttuja on siis väliargumentti

Kompleksifunktion derivaatta on yhtä suuri kuin annetun funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen ja väliargumentin derivaatta x:n suhteen.

Esimerkki 1.

Esimerkki 2.

3. Differentiaalitoiminto.

Anna olla
, erottuu tietyllä aikavälillä
Anna olla klo tällä funktiolla on derivaatta

,

sitten voimme kirjoittaa

(1),

Missä - äärettömän pieni määrä,

mistä lähtien

Kerrotaan kaikki yhtäläisyyden ehdot (1) luvulla
meillä on:

Missä
- b.m.v. ylempi määräys.

Suuruus
kutsutaan funktion differentiaaliksi
ja on nimetty

.

3.1. Differentiaalin geometrinen arvo.

Olkoon funktio annettu
.

Kuva 2. Differentiaalin geometrinen merkitys.

.

Ilmeisesti funktion ero
on yhtä suuri kuin tangentin ordinaatin lisäys tietyssä pisteessä.

3.2. Johdannaiset ja differentiaalit eri arvoista.

Jos siellä
, Sitten
kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi.

Ensimmäisen derivaatan derivaatta kutsutaan toisen kertaluvun derivaataksi ja se kirjoitetaan
.

Johdannainen funktion n:nnestä kertaluvusta
kutsutaan (n-1) kertaluvun derivaataksi ja kirjoitetaan:

.

Funktion differentiaalin differentiaalia kutsutaan toisen asteen differentiaaliksi tai toisen asteen differentiaaliksi.

.

.

3.3 Biologisten ongelmien ratkaiseminen eriyttämisen avulla.

Tehtävä 1. Tutkimukset ovat osoittaneet, että mikro-organismipesäkkeen kasvu noudattaa lakia
, Missä N – mikro-organismien lukumäärä (tuhansina), t – aika (päiviä).

b) Kasvaako vai väheneekö siirtokunnan väestö tänä aikana?

Vastaus. Siirtokunnan koko kasvaa.

Tehtävä 2. Järven vettä testataan määräajoin patogeenisten bakteerien pitoisuuden seuraamiseksi. Kautta t päivää testauksen jälkeen bakteeripitoisuus määritetään suhteella

.

Milloin järvessä on minimaalinen bakteeripitoisuus ja voidaanko siinä uida?

Ratkaisu: Funktio saavuttaa max tai min, kun sen derivaatta on nolla.

,

Määritetään maksimi- tai minimiarvo 6 päivän kuluttua. Otetaan tätä varten toinen derivaatta.

Vastaus: 6 päivän kuluttua bakteeripitoisuus on pieni.

pääominaisuudet.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identtiset perusteet

Log6 4 + log6 9.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Siirtyminen uudelle perustalle

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Katso myös:

Logaritmin perusominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on yhtä suuri kuin 2,7 ja kaksi kertaa Leo Nikolaevich Tolstoin syntymävuosi.

Logaritmien perusominaisuudet

Kun tiedät tämän säännön, tiedät ja tarkka arvo näytteilleasettajat ja Leo Tolstoin syntymäaika.

Esimerkkejä logaritmeista

Logaritmilausekkeet

Esimerkki 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Laskemme ominaisuuksien 3.5 avulla

2.

3.

4. Missä .

Esimerkki 2. Etsi x jos

Esimerkki 3. Anna logaritmien arvot

Laske log(x), jos

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan pääominaisuudet.

Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logax ja logay. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomautus: avainhetki täällä - identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritminen lauseke vaikka sen yksittäisiä osia ei lasketa (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet rakentuvat tälle tosiasialle koepaperit. Kyllä, kokeen kaltaisia ​​ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.

Eksponentin erottaminen logaritmista

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin. , eli Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii hieman selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä.

Logaritmikaavat. Logaritmiesimerkkejä ratkaisuista.

Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos asetamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavanomaisista numeerisia lausekkeita. On mahdollista arvioida, kuinka käteviä ne ovat, vain päättämällä logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet.

On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelyssä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan nimellä: .

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos luku b nostetaan sellaiseen potenssiin, että luku b tähän potenssiin antaa luvun a? Aivan oikein: tulos on sama luku a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.

Kuten kaavat siirtymiseen uuteen perustaan, tärkein logaritminen identiteetti joskus se on ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - otti yksinkertaisesti neliön logaritmin kanta- ja argumentista. Ottaen huomioon valtuuksien kertomisen säännöt samalla pohjalla, saamme:

Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi minkä tahansa kantakohdan a logaritmi on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentissa on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Katso myös:

B:n logaritmi a:n perustaksi ilmaisee lausekkeen. Logaritmin laskeminen tarkoittaa potenssin x () löytämistä, jolla yhtälö täyttyy

Logaritmin perusominaisuudet

Yllä olevat ominaisuudet on tiedettävä, koska lähes kaikki logaritmiin liittyvät ongelmat ja esimerkit ratkaistaan ​​niiden perusteella. Loput eksoottisista ominaisuuksista voidaan johtaa näiden kaavojen matemaattisten manipulaatioiden avulla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskettaessa kaavaa logaritmien summalle ja erolle (3.4) törmäät melko usein. Loput ovat jokseenkin monimutkaisia, mutta monissa tehtävissä ne ovat välttämättömiä monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseksi ja niiden arvojen laskemiseksi.

Yleisiä logaritmien tapauksia

Jotkut yleisimmistä logaritmeista ovat sellaisia, joissa kanta on jopa kymmenen, eksponentiaalinen tai kaksi.
Logaritmia kymmeneen kantaan kutsutaan yleensä desimaalilogaritmiksi ja sitä merkitään yksinkertaisesti lg(x).

Äänitteestä käy selvästi ilmi, että perusasiat eivät ole kirjoitettuna äänitteeseen. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka kanta on eksponentti (merkitty ln(x)).

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on yhtä suuri kuin 2,7 ja kaksi kertaa Leo Nikolaevich Tolstoin syntymävuosi. Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Ja toinen tärkeä logaritmi perustalle kaksi on merkitty

Funktion logaritmin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna muuttujalla

Integraali- tai antiderivatiivinen logaritmi määräytyy suhteen perusteella

Annettu materiaali riittää ratkaisemaan laajan luokan logaritmiin ja logaritmeihin liittyviä ongelmia. Auttamaan sinua ymmärtämään materiaalia, annan vain muutaman yleisen esimerkin koulun opetussuunnitelma ja yliopistot.

Esimerkkejä logaritmeista

Logaritmilausekkeet

Esimerkki 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Laskemme ominaisuuksien 3.5 avulla

2.
Logaritmien eron ominaisuudella meillä on

3.
Käyttämällä ominaisuuksia 3.5 löydämme

4. Missä .

Ulkonäön perusteella monimutkainen ilmaisu useiden sääntöjen käyttäminen on yksinkertaistettu muodostamaan

Logaritmiarvojen löytäminen

Esimerkki 2. Etsi x jos

Ratkaisu. Laskennassa sovelletaan viimeisen termin 5 ja 13 omaisuutta

Laitamme sen muistiin ja suremme

Koska emäkset ovat yhtä suuret, yhtälöimme lausekkeet

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Olkoon logaritmien arvo annettu

Laske log(x), jos

Ratkaisu: Otetaan muuttujan logaritmi ja kirjoitetaan logaritmi sen ehtojen summan kautta

Tämä on vasta alkua tutustumisellemme logaritmeihin ja niiden ominaisuuksiin. Harjoittele laskelmia, rikasta käytännön taitojasi - tarvitset pian saamasi tiedot logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseen. Tutkittuamme perusmenetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, laajennamme tietosi toiseen yhtä tärkeään aiheeseen - logaritmiseen epäyhtälöihin...

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan pääominaisuudet.

Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logax ja logay. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log6 4 + log6 9.

Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kokeen kaltaisia ​​ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.

Eksponentin erottaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin. , eli Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii hieman selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos asetamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelyssä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan nimellä: .

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos luku b nostetaan sellaiseen potenssiin, että luku b tähän potenssiin antaa luvun a? Aivan oikein: tulos on sama luku a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.

Kuten uuteen kantaan siirtymisen kaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - otti yksinkertaisesti neliön logaritmin kanta- ja argumentista. Ottaen huomioon säännöt tehojen kertomisesta samalla perustalla, saamme:

Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi minkä tahansa kantakohdan a logaritmi on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentissa on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Aloitetaan yhden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus ei ole vaikea: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää edellä mainitut ehdot a>0 ja a≠1, niin todistettava yhtälö log a 1=0 seuraa välittömästi logaritmin määritelmästä.

Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0, log1=0 ja .

Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: luvun logaritmi, yhtä suuri kuin pohja, yhtä suuri kuin yksi, tuo on, log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin määritelmän mukaan logaritmin loki a a = 1.

Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat yhtälöt log 5 5=1, log 5.6 5.6 ja lne=1.

Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja .

Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistetaan tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y, niin log a x ·a log a y =x·y. Siten log a x+log a y =x·y, josta logaritmin määritelmän mukaan seuraa todistettava yhtälö.

Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja .

Tuloksen logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 × 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Tämä tasa-arvo voidaan todistaa ilman ongelmia.

Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata kolmen summalla luonnolliset logaritmit numerot 4 , e ja .

Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien välinen ero. Osamäärän logaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0, a≠1, x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys on todistettu samoin kuin tuotteen logaritmin kaava: koska , sitten logaritmin määritelmän mukaan.

Tässä on esimerkki logaritmin ominaisuuden käytöstä: .

Jatketaan potenssin logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoita tämä potenssin logaritmin ominaisuus kaavaksi: log a b p =p·log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia ​​lukuja, että aste b p on järkevä ja b p >0.

Ensin todistetaan tämä ominaisuus positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssin ominaisuuden vuoksi yhtä suuri kuin p·log a b . Joten päästään yhtälöön b p =a p·log a b, josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p·log a b.

On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| s. Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, josta log a b p =p·log a |b| .

Esimerkiksi, ja ln(-3)4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Se seuraa edellisestä omaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murtoluvun 1/n tulo radikaalilausekkeen logaritmilla, eli , jossa a>0, a≠1, n – luonnollinen luku, suurempi kuin yksi, b>0.

Todistus perustuu yhtälöön (katso), joka pätee mille tahansa positiiviselle b:lle, ja potenssin logaritmin ominaisuuteen: .

Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: .

Nyt todistetaan uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava ystävällinen . Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b·log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b, sitten log c b=log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b =log a b log c a. Tämä todistaa yhtälön log c b=log a b·log c a, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.

Otetaan pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä: and .

Uuteen kantaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi siirtymiseen luonnollisiin tai desimaalilogaritmeihin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmikantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muiden kantalukujen kanssa ovat tiedossa.

Usein käytetty erikoistapaus kaavat siirtymiseksi logaritmin uuteen kantaan, jossa muoto on c=b . Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esim, .

Kaavaa käytetään myös usein , joka on kätevä logaritmiarvojen löytämiseen. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme, kuinka sitä voidaan käyttää muodon logaritmin arvon laskemiseen. Meillä on . Todistamaan kaavan riittää, kun käytät kaavaa siirtymiseen logaritmin a uuteen kantaan: .

On vielä todistettava logaritmien vertailun ominaisuudet.

Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2, b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1

Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Rajoittukaamme sen ensimmäisen osan todistukseen, eli todistamme, että jos a 1 >1, a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Tämän logaritmien ominaisuuden loput lausunnot todistetaan samanlaisen periaatteen mukaisesti.

Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 > 1, 2 > 1 ja 1 1 on tosi log a 1 b ≤ log a 2 b . Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ja vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien mukaan yhtälöiden b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on oltava voimassa, eli a 1 ≥a 2 . Joten tulimme ristiriitaan ehdon a 1 kanssa

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alkua: Oppikirja yleiskoulujen luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin tuleville).

Yksi primitiivisen tason algebran elementeistä on logaritmi. Nimi tulee kreikan kielestä sanasta "luku" tai "teho" ja tarkoittaa tehoa, johon kantaluvun luku on nostettava lopullisen luvun löytämiseksi.

Logaritmien tyypit

• log a b – luvun b logaritmi kantaan a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – desimaalilogaritmi (logaritmi kantaan 10, a = 10);
• ln b – luonnollinen logaritmi (logaritmi kantaan e, a = e).

Kuinka ratkaista logaritmit?

B:n logaritmi kantaan a on eksponentti, joka vaatii b:n nostamisen kantaan a. Saatu tulos lausutaan näin: "logaritmi b:stä kantaan a." Ratkaisu logaritmisihin ongelmiin on, että sinun on määritettävä annettu potenssi numeroina määritetyistä luvuista. On olemassa joitakin perussääntöjä logaritmin määrittämiseen tai ratkaisemiseen sekä itse merkinnän muuntamiseen. Niiden avulla ratkaistaan ​​logaritmiset yhtälöt, löydetään derivaatat, ratkaistaan ​​integraalit ja suoritetaan monia muita operaatioita. Pohjimmiltaan ratkaisu logaritmiin itsessään on sen yksinkertaistettu merkintä. Alla on peruskaavat ja ominaisuudet:

Kaikille a ; a > 0; a ≠ 1 ja mille tahansa x:lle; y > 0.

• a log a b = b – logaritminen perusidentiteetti
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kun k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – uuteen kantaan siirtymisen kaava
• log a x = 1/log x a

Kuinka ratkaista logaritmit - vaiheittaiset ohjeet ratkaisemiseen

• Kirjoita ensin vaadittu yhtälö.

Huomaa: jos peruslogaritmi on 10, merkintää lyhennetään, jolloin tuloksena on desimaalilogaritmi. Jos on luonnollinen luku e, kirjoitamme sen muistiin ja vähennämme sen luonnolliseen logaritmiin. Tämä tarkoittaa, että kaikkien logaritmien tulos on potenssi, johon perusluku nostetaan luvun b saamiseksi.

Suoraan ratkaisu on tämän asteen laskemisessa. Ennen lausekkeen ratkaisemista logaritmilla se on yksinkertaistettava säännön mukaan eli kaavoilla. Löydät tärkeimmät identiteetit palaamalla artikkelissa hieman taaksepäin.

Kun lisäät ja vähennät logaritmeja, joissa on kaksi eri lukua, mutta joilla on sama kanta, korvaa yksi logaritmi lukujen b ja c tulolla tai jaolla. Tässä tapauksessa voit käyttää kaavaa siirtyäksesi toiseen tukikohtaan (katso yllä).

Jos käytät lausekkeita logaritmin yksinkertaistamiseen, on otettava huomioon joitain rajoituksia. Ja se on: logaritmin a kanta on vain positiivinen luku, mutta ei yhtä suuri kuin yksi. Numeron b, kuten a, on oltava suurempi kuin nolla.

Joissakin tapauksissa et voi laskea logaritmia numeerisesti yksinkertaistamalla lauseketta. Tapahtuu, että sellaisessa lausekkeessa ei ole järkeä, koska monet potenssit ovat irrationaalisia lukuja. Jätä tässä tilanteessa luvun potenssi logaritmiksi.