Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssien kanssa, niiden eksponentit laskevat aina yhteen (a b *a c = a b+c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi kokonaislukueksponenttien taulukon. Juuri he palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän toiminnon käytöstä löytyy melkein kaikkialta, missä sinun täytyy yksinkertaistaa hankalaa kertolaskua yksinkertaisella yhteenlaskolla. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertaisella ja ymmärrettävällä kielellä.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log a b=c, eli minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (eli minkä tahansa positiivisen) logaritmi "b" kantaansa "a" katsotaan potenssiksi "c". ", johon kantaa "a" on nostettava, jotta lopulta saadaan arvo "b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log 2 8. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun täytyy löytää teho, joka on sellainen, että 2:sta vaadittuun tehoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia päässäsi, saamme luvun 3! Ja se on totta, koska 2 3:n potenssiin antaa vastauksen 8.

Logaritmien tyypit

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On kolme yksittäisiä lajeja logaritmiset lausekkeet:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e = 2,7).
2. Desimaali a, jossa kantaluku on 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan ​​tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Saadaksesi oikeat logaritmien arvot, sinun tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys niitä ratkaiseessasi.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli niistä ei keskustella ja ne ovat totuuksia. Esimerkiksi on mahdotonta jakaa lukuja nollalla, ja on myös mahdotonta poimia parillinen juuri negatiivisia lukuja. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla voit helposti oppia työskentelemään pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• Kanta "a" on aina suurempi kuin nolla, eikä yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuria kuin niiden arvot;
• jos a > 0, niin a b >0, käy ilmi, että myös c:n on oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Tehtävänä on esimerkiksi löytää vastaus yhtälöön 10 x = 100. Tämä on erittäin helppoa, sinun on valittava potenssi nostamalla lukua kymmenen, johon saamme 100. Tämä on tietysti 10 2 = 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisessa muodossa. Saamme log 10 100 = 2. Logaritmeja ratkaistaessa kaikki toiminnot käytännössä konvergoivat löytääkseen potenssin, johon on syötettävä logaritmin kanta tietyn luvun saamiseksi.

Tuntemattoman asteen arvon määrittämiseksi tarkasti sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkut eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen mieli ja tietoa kertotaulukosta. Kuitenkin varten suuria arvoja tarvitset astetaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät tiedä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä rivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Leikkauskohdassa solut sisältävät numeroarvot, jotka ovat vastaus (a c =b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mikä tahansa matemaattinen numeerinen lauseke voidaan kirjoittaa logaritmisena yhtälönä. Esimerkiksi 3 4 =81 voidaan kirjoittaa 81:n kanta-3 logaritmiksi, joka on yhtä suuri kuin neljä (log 3 81 = 4). varten negatiivisia voimia säännöt ovat samat: 2 -5 = 1/32 kirjoitamme sen logaritmina, saamme log 2 (1/32) = -5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Katsomme alla esimerkkejä ja ratkaisuja yhtälöistä heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne voidaan erottaa yhtälöistä.

Annettu seuraavan muotoinen lauseke: log 2 (x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin etumerkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta suuruutta: halutun luvun logaritmi kahdelle on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt logaritmilla (esimerkki - logaritmi 2 x = √9) sisältävät vastauksessa yhden tai useamman tietyn numeerisen arvon, kun taas epäyhtälöitä ratkaistaessa ne määritellään alueeksi hyväksyttäviä arvoja, ja tämän funktion keskeytyspisteet. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva sarja tai numerosarja.

Peruslauseita logaritmeista

Ratkaistaessa primitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Logaritmisista yhtälöistä tai epäyhtälöistä tulee kuitenkin ennen kaikkea ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Katsomme esimerkkejä yhtälöistä myöhemmin; tarkastellaan ensin jokaista ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Pääidentiteetti näyttää tältä: a logaB =B. Sitä sovelletaan vain, kun a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuloksen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa pakollinen ehto on: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmisen kaavan esimerkeineen ja ratkaisuineen. Olkoon log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, sitten a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saadaan, että s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ominaisuudet astetta ), ja sitten määritelmän mukaan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mikä oli todistettava.
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log a q b n = n/q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmiasteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu luonnollisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Olkoon log a b = t, niin saadaan a t =b. Jos nostetaan molemmat osat potenssiin m: a tn = b n ;

mutta koska a tn = (a q) nt/q = b n, log a q b n = (n*t)/t, sitten log a q b n = n/q log a b. Lause on todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuudesta

Yleisimmät logaritmien ongelmatyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät lähes kaikista ongelmakirjoista, ja ne ovat myös pakollinen osa matematiikan kokeita. Jos haluat päästä yliopistoon tai läpäistä matematiikan pääsykokeita, sinun on tiedettävä, kuinka ratkaista tällaiset tehtävät oikein.

Valitettavasti logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai suunnitelmaa, mutta sitä voidaan soveltaa jokaiseen matemaattiseen epäyhtälöön tai logaritmiseen yhtälöön. tietyt säännöt. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko ilmaisua yksinkertaistaa vai johtaako se yleinen ulkonäkö. Yksinkertaista pitkät logaritmiset lausekkeet mahdollista, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin nopeasti.

Päätettäessä logaritmiset yhtälöt, meidän tulee määrittää, minkä tyyppinen logaritmi meillä on: esimerkkilauseke voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalilogaritmin.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että heidän on määritettävä teho, jolla kanta 10 on vastaavasti 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisemiseksi sinun on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: Esimerkkejä ja ratkaisuja

Katsotaanpa siis esimerkkejä logaritmien peruslauseiden käytöstä.

1. Tuotteen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa sitä on laajennettava hyvin tärkeä luvut b yksinkertaisempiin tekijöihin. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kuten näette, logaritmin potenssin neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan näennäisesti monimutkaisen ja ratkaisemattoman lausekkeen. Sinun tarvitsee vain ottaa kantaa huomioon ja sitten ottaa eksponenttiarvot pois logaritmin etumerkistä.

Tehtävät yhtenäisestä valtionkokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti monia logaritmisongelmia Unified State Examissa (valtiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (helpein testiosa tentti), mutta myös osa C (monimutkaisimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti vaatii tarkan ja täydellisen tuntemuksen aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ratkaisut ongelmiin on otettu virkamieheltä Unified State Exam vaihtoehdot. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) = 4. Ratkaisu:
kirjoitetaan lauseke uudelleen yksinkertaistaen sitä hieman log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 = 2 4, siis 2x = 17; x = 8,5.

• On parasta vähentää kaikki logaritmit samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmimerkin alla olevat lausekkeet ilmoitetaan positiivisina, joten kun logaritmimerkin alla olevan lausekkeen eksponentti ja sen kanta otetaan pois kertoimesta, logaritmin alle jäävän lausekkeen tulee olla positiivinen.

Luvun logaritmi N perustuen A kutsutaan eksponenttiksi X , johon sinun on rakennettava A saadaksesi numeron N

Edellyttäen että
,
,

Logaritmin määritelmästä seuraa, että
, eli
- tämä yhtälö on logaritmisen perusidentiteetti.

Logaritmeja 10 kantaan kutsutaan desimaalilogaritmeiksi. Sijasta
kirjoittaa
.

Logaritmit kantaan e kutsutaan luonnollisiksi ja ne on nimetty
.

Logaritmien perusominaisuudet.

Yhden logaritmi on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa kantalle.

Tuotteen logaritmi yhtä suuri kuin summa tekijöiden logaritmit.

3) Osamäärän logaritmi yhtä suuri kuin ero logaritmit

Tekijä
kutsutaan siirtymämoduuliksi logaritmista kantaan a logaritmeihin pohjassa b .

Ominaisuuksia 2-5 käyttämällä on usein mahdollista pelkistää kompleksisen lausekkeen logaritmi yksinkertaisten logaritmien aritmeettisten operaatioiden tulokseksi.

Esimerkiksi,

Tällaisia ​​logaritmin muunnoksia kutsutaan logaritmeiksi. Logaritmille käänteisiä muunnoksia kutsutaan potentioinniksi.

Luku 2. Korkeamman matematiikan elementit.

1. Rajoitukset

Toiminnon raja
on äärellinen luku A, jos, as xx 0 jokaiselle ennalta määrätylle
, on sellainen numero
että heti kun
, Tuo
.

Funktio, jolla on raja, eroaa siitä äärettömän pienellä määrällä:
, missä- b.m.v., ts.
.

Esimerkki. Harkitse toimintoa
.

Kun yritetään
, toiminto y pyrkii nollaan:

1.1. Peruslauseita rajoista.

Vakioarvon raja on yhtä suuri kuin tämä vakioarvo

.

Äärillisen määrän funktioiden summan (eron) raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen summa (ero).

Äärillisen määrän funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen tulo.

Kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen osamäärä, jos nimittäjän raja ei ole nolla.

Ihanat rajat

,
, Missä

1.2. Esimerkkejä rajan laskemisesta

Kaikkia rajoja ei kuitenkaan lasketa niin helposti. Useimmiten rajan laskeminen johtaa tyypin epävarmuuden paljastamiseen: tai .

.

2. Funktion johdannainen

Tehdään funktio
, jatkuva segmentillä
.

Perustelu sai jonkin verran nousua
. Sitten funktio saa lisäyksen
.

Argumentin arvo vastaa funktion arvoa
.

Argumentin arvo
vastaa funktion arvoa.

Siksi,.

Etsitään tämän suhteen raja kohdasta
. Jos tämä raja on olemassa, sitä kutsutaan annetun funktion derivaatiksi.

Määritelmä 3 Tietyn funktion derivaatta
argumentin perusteella kutsutaan funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, kun argumentin lisäys mielivaltaisesti pyrkii nollaan.

Johdannainen funktiosta
voidaan nimetä seuraavasti:

; ; ; .

Määritelmä 4 Kutsutaan funktion derivaatan löytämistä erilaistuminen.

2.1. Johdannan mekaaninen merkitys.

Tarkastellaan jonkin jäykän kappaleen tai materiaalipisteen suoraviivaista liikettä.

Antaa jossain vaiheessa liikkuva kohta
oli etäällä lähtöasennosta
.

Jonkin ajan kuluttua
hän siirtyi kauemmaksi
. Asenne =- keskinopeus aineellinen kohta
. Etsitään tämän suhteen raja ottaen se huomioon
.

Näin ollen aineellisen pisteen hetkellisen liikkeen nopeuden määrittäminen pelkistyy polun ajan suhteen derivaatan löytämiseen.

2.2. Derivaatan geometrinen arvo

Otetaan graafisesti määritelty funktio
.

Riisi. 1. Derivaatan geometrinen merkitys

Jos
, sitten osoita
, liikkuu käyrää pitkin lähestyen pistettä
.

Siten
, eli argumentin tietyn arvon derivaatan arvo numeerisesti yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti tietyssä pisteessä akselin positiivisen suunnan kanssa
.

2.3. Taulukko erottelun peruskaavoista.

Virtatoiminto

Eksponentti funktio

Logaritminen funktio

Trigonometrinen funktio

Käänteinen trigonometrinen funktio

2.4. Erottamisen säännöt.

Johdannainen

Toimintojen summan (eron) derivaatta

Kahden funktion tulon johdannainen

Kahden funktion osamäärän derivaatta

2.5. Johdannainen monimutkainen toiminto.

Olkoon funktio annettu
siten, että se voidaan esittää muodossa

Ja
, jossa muuttuja on siis väliargumentti

Kompleksifunktion derivaatta on yhtä suuri kuin annetun funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen ja väliargumentin derivaatta x:n suhteen.

Esimerkki 1.

Esimerkki 2.

3. Differentiaalitoiminto.

Anna olla
, erottuu tietyllä aikavälillä
Anna olla klo tällä funktiolla on derivaatta

,

sitten voimme kirjoittaa

(1),

Missä - äärettömän pieni määrä,

mistä lähtien

Kerrotaan kaikki yhtäläisyyden ehdot (1) luvulla
meillä on:

Missä
- b.m.v. ylempi määräys.

Suuruus
kutsutaan funktion differentiaaliksi
ja on nimetty

.

3.1. Differentiaalin geometrinen arvo.

Olkoon funktio annettu
.

Kuva 2. Differentiaalin geometrinen merkitys.

.

Ilmeisesti funktion ero
on yhtä suuri kuin tangentin ordinaatin lisäys tietyssä pisteessä.

3.2. Johdannaiset ja differentiaalit eri arvoista.

Jos siellä
, Sitten
kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi.

Ensimmäisen derivaatan derivaatta kutsutaan toisen kertaluvun derivaataksi ja se kirjoitetaan
.

Johdannainen funktion n:nnestä kertaluvusta
kutsutaan (n-1) kertaluvun derivaataksi ja kirjoitetaan:

.

Funktion differentiaalin differentiaalia kutsutaan toisen asteen differentiaaliksi tai toisen asteen differentiaaliksi.

.

.

3.3 Biologisten ongelmien ratkaiseminen eriyttämisen avulla.

Tehtävä 1. Tutkimukset ovat osoittaneet, että mikro-organismipesäkkeen kasvu noudattaa lakia
, Missä N – mikro-organismien lukumäärä (tuhansina), t – aika (päiviä).

b) Kasvaako vai väheneekö siirtokunnan väestö tänä aikana?

Vastaus. Siirtokunnan koko kasvaa.

Tehtävä 2. Järven vettä testataan määräajoin patogeenisten bakteerien pitoisuuden seuraamiseksi. Kautta t päivää testauksen jälkeen bakteeripitoisuus määritetään suhteella

.

Milloin järvessä on minimaalinen bakteeripitoisuus ja voidaanko siinä uida?

Ratkaisu: Funktio saavuttaa max tai min, kun sen derivaatta on nolla.

,

Määritetään maksimi- tai minimiarvo 6 päivän kuluttua. Otetaan tätä varten toinen derivaatta.

Vastaus: 6 päivän kuluttua bakteeripitoisuus on pieni.

Yksi primitiivisen tason algebran elementeistä on logaritmi. Nimi tulee kreikan kielestä sanasta "luku" tai "teho" ja tarkoittaa tehoa, johon kantaluvun luku on nostettava lopullisen luvun löytämiseksi.

Logaritmien tyypit

• log a b – luvun b logaritmi kantaan a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – desimaalilogaritmi (logaritmi kantaan 10, a = 10);
• ln b – luonnollinen logaritmi (logaritmi kantaan e, a = e).

Kuinka ratkaista logaritmit?

B:n logaritmi kantaan a on eksponentti, joka vaatii b:n nostamisen kantaan a. Saatu tulos lausutaan näin: "logaritmi b:stä kantaan a." Ratkaisu logaritmisihin ongelmiin on, että sinun on määritettävä annettu potenssi numeroina määritetyistä luvuista. On olemassa joitakin perussääntöjä logaritmin määrittämiseen tai ratkaisemiseen sekä itse merkinnän muuntamiseen. Niiden avulla ratkaistaan ​​logaritmiset yhtälöt, löydetään derivaatat, ratkaistaan ​​integraalit ja suoritetaan monia muita operaatioita. Pohjimmiltaan ratkaisu logaritmiin itsessään on sen yksinkertaistettu merkintä. Alla on peruskaavat ja ominaisuudet:

Kaikille a ; a > 0; a ≠ 1 ja mille tahansa x:lle; y > 0.

• a log a b = b – perus logaritminen identiteetti
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kun k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – uuteen kantaan siirtymisen kaava
• log a x = 1/log x a

Kuinka ratkaista logaritmit - vaiheittaiset ohjeet ratkaisemiseen

• Kirjoita ensin vaadittu yhtälö.

Huomaa: jos peruslogaritmi on 10, merkintää lyhennetään, jolloin tuloksena on desimaalilogaritmi. Jos se kannattaa luonnollinen luku e, sitten kirjoitamme sen muistiin ja lyhennämme sen muotoon luonnollinen logaritmi. Tämä tarkoittaa, että kaikkien logaritmien tulos on potenssi, johon perusluku nostetaan luvun b saamiseksi.

Suoraan ratkaisu on tämän asteen laskemisessa. Ennen lausekkeen ratkaisemista logaritmilla se on yksinkertaistettava säännön mukaan eli kaavoilla. Löydät tärkeimmät identiteetit palaamalla artikkelissa hieman taaksepäin.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen kahdella eri numerolla, mutta kanssa samoilla perusteilla, korvaa yhdellä logaritmilla lukujen b ja c tulolla tai jaolla. Tässä tapauksessa voit käyttää kaavaa siirtyäksesi toiseen tukikohtaan (katso yllä).

Jos käytät lausekkeita logaritmin yksinkertaistamiseen, on otettava huomioon joitain rajoituksia. Ja se on: logaritmin a kanta on vain positiivinen luku, mutta ei yhtä suuri kuin yksi. Numeron b, kuten a, on oltava suurempi kuin nolla.

Joissakin tapauksissa et voi laskea logaritmia numeerisesti yksinkertaistamalla lauseketta. Tapahtuu, että sellaisessa lausekkeessa ei ole järkeä, koska monet potenssit ovat irrationaalisia lukuja. Jätä tässä tilanteessa luvun potenssi logaritmiksi.

Seuraa sen määritelmästä. Ja niin luvun logaritmi b perustuen A on määritelty eksponenttiksi, johon luku on nostettava a saadaksesi numeron b(logaritmi on olemassa vain positiivisille luvuille).

Tästä muotoilusta seuraa, että laskelma x=log a b, vastaa yhtälön ratkaisemista a x = b. Esimerkiksi, log 2 8 = 3 koska 8 = 2 3 . Logaritmin muotoilu mahdollistaa sen, että jos b=a c, sitten luvun logaritmi b perustuen a on yhtä suuri Kanssa. On myös selvää, että logaritmien aihe liittyy läheisesti luvun potenssien aiheeseen.

Logaritmeilla, kuten millä tahansa numerolla, voit tehdä yhteen- ja vähennysoperaatiot ja muuttaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole täysin tavallisia lukuja, tässä pätevät omat erityissäännönsä, joita kutsutaan ns. pääominaisuudet.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen.

Otetaan kaksi logaritmia, joilla on sama kanta: kirjaa x Ja kirjaudu a y. Sitten on mahdollista suorittaa yhteen- ja vähennysoperaatioita:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

kirjaudu a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = kirjaa x 1 + kirjaa x 2 + kirjaa x 3 + ... + log a x k.

From logaritmin osamäärälause Vielä yksi logaritmin ominaisuus voidaan saada. On yleisesti tiedossa, että loki a 1 = 0 siis

Hirsi a 1 /b=loki a 1 - loki a b= - loki a b.

Tämä tarkoittaa, että on olemassa tasa-arvo:

log a 1 / b = - log a b.

Kahden käänteisluvun logaritmit samasta syystä eroavat toisistaan ​​vain merkin perusteella. Niin:

Log 3 9= - log 3 1/9; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logaritmiset lausekkeet, ratkaisuesimerkit. Tässä artikkelissa tarkastellaan logaritmien ratkaisemiseen liittyviä ongelmia. Tehtävissä kysytään ilmaisun merkityksen löytämistä. On huomattava, että logaritmin käsitettä käytetään monissa tehtävissä ja sen merkityksen ymmärtäminen on erittäin tärkeää. Unified State Examissa logaritmia käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa, sovellettavissa tehtävissä sekä funktioiden tutkimiseen liittyvissä tehtävissä.

Antakaamme esimerkkejä logaritmin merkityksen ymmärtämiseksi:

Logaritmisen perusidentiteetti:

Logaritmien ominaisuudet, jotka tulee aina muistaa:

*Tulostuksen logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa.

* * *

*Osamäärän (murto-osan) logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien välinen erotus.

* * *

* Eksponentin logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja sen kantaluvun logaritmi.

* * *

*Siirtyminen uudelle perustalle

* * *

Lisää kiinteistöjä:

* * *

Logaritmien laskenta liittyy läheisesti eksponenttiominaisuuksien käyttöön.

Listataanpa joitain niistä:

Tämän ominaisuuden ydin on, että kun osoittaja siirretään nimittäjään ja päinvastoin, eksponentin etumerkki muuttuu päinvastaiseksi. Esimerkiksi:

Seuraus tästä omaisuudesta:

* * *

Kun potenssi nostetaan potenssiksi, kanta pysyy samana, mutta eksponentit kerrotaan.

* * *

Kuten olet nähnyt, logaritmin käsite itsessään on yksinkertainen. Tärkeintä on, että tarvitset hyvää harjoitusta, joka antaa sinulle tietyn taidon. Tietysti kaavojen tuntemus vaaditaan. Jos alkeislogaritmien muuntamisen taitoa ei ole kehitetty, niin yksinkertaisia ​​tehtäviä ratkaistaessa voit helposti tehdä virheen.

Harjoittele, ratkaise ensin matematiikan kurssin yksinkertaisimmat esimerkit ja siirry sitten monimutkaisempiin. Tulevaisuudessa tulen ehdottomasti näyttämään, kuinka "rumat" logaritmit ratkaistaan; nämä eivät näy Unified State -kokeessa, mutta ne ovat mielenkiintoisia, älä missaa niitä!

Siinä kaikki! Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.