Logaritmin käsite ja logaritmisen perusidentiteetti

Logaritmin käsite ja logaritmisen perusidentiteetti liittyvät läheisesti toisiinsa, koska logaritmin määritelmä matemaattisessa merkinnässä ja on .

Main logaritminen identiteetti seuraa logaritmin määritelmästä:

Määritelmä 1

logaritmi kutsua eksponenttia $n$, jolloin korotettuna luvut $a$ saavat luvun $b$.

Huomautus 1

eksponentiaalinen yhtälö$a^n=b$ $a > 0$, $a \ne 1$ ei ole ratkaisuja ei-positiiviselle $b$ ja sillä on yksi juuri positiiviselle $b$. Tätä juuria kutsutaan luvun $b$ logaritmi kantaan $a$ ja kirjoittaa:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Määritelmä 2

Ilmaisu

$a^(\log_(a) b)=b$

nimeltään logaritminen perusidentiteetti edellyttäen, että $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Esimerkki 1

17 $^(\log_(17) 6)=6 $;

$e^(\ln⁡13) =13$;

10 $^(\lg23) = 23 $.

Peruslogaritminen identiteetti

Main logaritmista identiteettiä kutsutaan koska sitä käytetään lähes aina logaritmien kanssa työskennellessä. Lisäksi sen avulla perustellaan logaritmien perusominaisuudet.

Esimerkki 2

$7^5=16 807$, joten $\log_(7)16807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, joten $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, joten $\log_(11)⁡1=0$.

Harkitse logaritmisen perusidentiteetin seuraus:

Määritelmä 3

Jos kaksi logaritmia samoilla perusteilla ovat yhtä suuret, silloin logaritmilausekkeet ovat myös yhtä suuret:

jos $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$ niin $b=c$.

Harkitse rajoituksia, joita käytetään logaritmiseen identiteettiin:

Koska kun nostetaan yksi mihin tahansa potenssiin, saamme aina yhden ja yhtälö $x=\log_(a)⁡b$ on olemassa vain arvolle $b=1$, niin $\log_(1)⁡1$ on mikä tahansa oikea numero. Tämän epäselvyyden välttämiseksi oletetaan $a \ne 1$.

Määritelmän mukaan logaritmi arvolle $a=0$ voi olla olemassa vain arvolle $b=0$. Koska kun nostetaan nolla mihin tahansa potenssiin, saadaan aina nolla, silloin $\log_(0)⁡0$ voi olla mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden estämiseksi oletetaan $a \ne 0$. Sillä $a järkevä ja irrationaalinen logaritmiarvot, koska aste, jolla on rationaalinen ja irrationaalinen eksponentti, voidaan laskea vain positiivisille kantalle. Tällaisen tilanteen estämiseksi hyväksytään $a > 0$.

$b > 0$ seuraa ehdosta $a > 0$, koska $x=\log_(a)⁡b$, ja positiivisen luvun a potenssi on aina positiivinen.

Peruslogaritmista identiteettiä käytetään usein logaritmien lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Esimerkki 3

Laske $81^(\log_(9) 7)$.

Ratkaisu.

Jotta logaritmisen perusidentiteettiä voidaan käyttää, logaritmin kantaosan ja eksponentin on oltava samat. Kirjoitamme tutkinnon perustan muotoon:

Nyt voimme kirjoittaa:

81 $^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Käytetään aste-ominaisuutta:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

logaritmisen perusidentiteettiä voidaan nyt soveltaa jokaiseen tekijään:

$=7 \cdot 7=49$.

Huomautus 2

Voit käyttää logaritmisen perusidentiteettiä myös korvaamalla logaritmin kannan lausekkeella, joka on logaritmin merkin alla, ja päinvastoin.

Esimerkki 4

Laske $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Ratkaisu.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Vastaus: $11$.

Esimerkki 5

Laske $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynneissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Jatkamme logaritmien tutkimista. Tässä artikkelissa puhumme logaritmien laskeminen, tätä prosessia kutsutaan logaritmi. Ensin käsitellään logaritmien laskentaa määritelmän mukaan. Mieti seuraavaksi, kuinka logaritmien arvot löydetään niiden ominaisuuksien avulla. Sen jälkeen keskitymme logaritmien laskemiseen muiden logaritmien alun perin annettujen arvojen kautta. Lopuksi opitaan käyttämään logaritmitaulukoita. Koko teoria sisältää esimerkkejä yksityiskohtaisine ratkaisuineen.

Sivulla navigointi.

Logaritmien laskeminen määritelmän mukaan

Yksinkertaisimmissa tapauksissa on mahdollista suorittaa nopeasti ja helposti logaritmin löytäminen määritelmän mukaan. Katsotaanpa tarkemmin, kuinka tämä prosessi tapahtuu.

Sen olemus on esittää lukua b muodossa a c, jolloin logaritmin määritelmän mukaan luku c on logaritmin arvo. Eli määritelmän mukaan logaritmin löytäminen vastaa seuraavaa yhtälöketjua: log a b=log a a c =c .

Joten logaritmin laskenta perustuu määritelmän mukaan sellaisen luvun c löytämiseen, että a c \u003d b, ja itse luku c on logaritmin haluttu arvo.

Ottaen huomioon edellisten kappaleiden tiedot, kun logaritmin merkin alla oleva luku annetaan jossain määrin logaritmin kantaa, voit heti osoittaa, mikä logaritmi on yhtä suuri - se yhtä kuin tutkinnon. Näytämme esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi log 2 2 −3 ja laske myös e:n luonnollinen logaritmi 5.3 .

Ratkaisu.

Logaritmin määritelmä antaa meille mahdollisuuden sanoa heti, että log 2 2 −3 = −3 . Todellakin, logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta 2 potenssiin −3.

Samalla tavalla löydämme toisen logaritmin: lne 5.3 =5.3.

Vastaus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3 .

Jos logaritmin merkin alla olevaa lukua b ei anneta logaritmin kannan asteena, sinun on harkittava huolellisesti, onko mahdollista saada luku b esitys muodossa a c . Usein tämä esitys on melko ilmeinen, varsinkin kun logaritmin merkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta luvun 1, 2 tai 3 potenssiin ...

Esimerkki.

Laske logaritmit log 5 25 , ja .

Ratkaisu.

On helppo nähdä, että 25=5 2 , jolloin voit laskea ensimmäisen logaritmin: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Siirrymme toisen logaritmin laskemiseen. Luku voidaan esittää 7:n potenssina: (katso tarvittaessa). Siten, .

Kirjoitetaan kolmas logaritmi uudelleen seuraavaan muotoon. Nyt voit nähdä sen , mistä päättelemme sen . Siksi logaritmin määritelmän mukaan .

Lyhyesti, ratkaisu voitaisiin kirjoittaa seuraavasti:

Vastaus:

log 5 25=2 , Ja .

Kun logaritmin etumerkin alla on riittävän suuri arvo luonnollinen luku, silloin ei ole haittaa hajottaa se alkutekijöiksi. Usein on hyödyllistä esittää tällainen luku logaritmin kantapään potenssina ja siksi laskea tämä logaritmi määritelmän mukaan.

Esimerkki.

Etsi logaritmin arvo.

Ratkaisu.

Joidenkin logaritmien ominaisuuksien avulla voit määrittää logaritmien arvon välittömästi. Näitä ominaisuuksia ovat yksikön logaritmin ominaisuus ja luvun logaritmin ominaisuus, yhtä suuri kuin pohja: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1 . Eli kun luku 1 tai luku a on logaritmin merkin alla, yhtä suuri kuin logaritmin kanta, niin näissä tapauksissa logaritmit ovat vastaavasti 0 ja 1.

Esimerkki.

Mitkä ovat logaritmit ja lg10?

Ratkaisu.

Koska , se seuraa logaritmin määritelmästä .

Toisessa esimerkissä logaritmin etumerkin alla oleva luku 10 on sama kuin sen kanta, joten kymmenen desimaalilogaritmi on yhtä suuri kuin yksi, eli lg10=lg10 1 =1 .

Vastaus:

JA lg10=1.

Huomaa, että logaritmien laskeminen määritelmän mukaan (jota käsittelimme edellisessä kappaleessa) edellyttää yhtälön log a a p =p käyttöä, joka on yksi logaritmien ominaisuuksista.

Käytännössä, kun logaritmin etumerkin alla oleva luku ja logaritmin kanta esitetään helposti jonkin luvun potenssina, on erittäin kätevää käyttää kaavaa , joka vastaa yhtä logaritmien ominaisuuksista. Harkitse esimerkkiä logaritmin löytämisestä, joka kuvaa tämän kaavan käyttöä.

Esimerkki.

Laske logaritmi .

Ratkaisu.

Vastaus:

.

Laskennassa käytetään myös logaritmien ominaisuuksia, joita ei ole mainittu yllä, mutta puhumme tästä seuraavissa kappaleissa.

Logaritmien etsiminen muiden tunnettujen logaritmien perusteella

Tämän kappaleen tiedot jatkavat aihetta logaritmien ominaisuuksien käytöstä laskennassa. Mutta tässä suurin ero on se, että logaritmien ominaisuuksia käytetään ilmaisemaan alkuperäinen logaritmi toisella logaritmilla, jonka arvo tunnetaan. Otetaan esimerkki selvyyden vuoksi. Oletetaan, että tiedämme, että log 2 3≈1.584963 , niin voimme löytää esimerkiksi log 2 6 tekemällä pienen muunnoksen logaritmin ominaisuuksilla: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yllä olevassa esimerkissä meille riitti käyttää tuotteen logaritmin ominaisuutta. Kuitenkin paljon useammin joudut käyttämään laajempaa logaritmien ominaisuuksien arsenaalia laskeaksesi alkuperäisen logaritmin annetuilla.

Esimerkki.

Laske logaritmi luvusta 27 kantaan 60, jos tiedetään, että log 60 2=a ja log 60 5=b .

Ratkaisu.

Joten meidän on löydettävä loki 60 27 . On helppo nähdä, että 27=3 3 , ja alkuperäinen logaritmi voidaan astelogaritmin ominaisuuden vuoksi kirjoittaa uudelleen muotoon 3·log 60 3 .

Katsotaan nyt kuinka log 60 3 voidaan ilmaista tunnetuilla logaritmeilla. Kantalukua vastaavan luvun logaritmin ominaisuus mahdollistaa yhtälön logarin kirjoittamisen 60 60=1 . Toisaalta log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Täten, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Siten, log 60 3=1-2 log 60 2-log 60 5=1-2 a-b.

Lopuksi lasketaan alkuperäinen logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Vastaus:

log 60 27=3 (1−2 a−b) = 3−6 a−3 b.

Erikseen on syytä mainita kaavan merkitys siirtymiselle muodon logaritmin uuteen kantaan . Sen avulla voit siirtyä logaritmeista millä tahansa kantalla logaritmeihin, joilla on tietty kanta, joiden arvot ovat tiedossa tai ne on mahdollista löytää. Yleensä alkuperäisestä logaritmista siirtymäkaavan mukaan ne siirtyvät logaritmeihin jossakin kannassa 2, e tai 10, koska näille kamille on logaritmitaulukot, joiden avulla ne voidaan laskea tietyllä tarkkuudella. Seuraavassa osiossa näytämme, kuinka tämä tehdään.

Logaritmitaulukot, niiden käyttö

Logaritmien arvojen likimääräiseen laskemiseen voidaan käyttää logaritmitaulukot. Yleisimmin käytetty 2 peruslogaritmien taulukko, taulukko luonnolliset logaritmit ja desimaalilogaritmien taulukko. Kun työskennellään desimaalijärjestelmä calculus on kätevää käyttää logaritmien taulukkoa kantaluvussa kymmenen. Sen avulla opimme löytämään logaritmien arvot.

Esitetyn taulukon avulla voidaan löytää kymmenen tuhannesosan tarkkuudella lukujen desimaalilogaritmien arvot välillä 1.000 - 9.999 (kolmen desimaalin tarkkuudella). Siinä analysoidaan periaate logaritmin arvon löytämisestä desimaalilogaritmien taulukon avulla konkreettinen esimerkki- niin paljon selkeämpi. Etsitään lg1,256.

Desimaalilogaritmien taulukon vasemmasta sarakkeesta löydämme luvun 1,256 kaksi ensimmäistä numeroa, eli löydämme 1,2 (tämä luku on ympyröity sinisellä selvyyden vuoksi). Numeron 1.256 kolmas numero (numero 5) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin vasemmalla puolella (tämä numero on ympyröity punaisella). Alkuperäisen luvun 1.256 neljäs numero (numero 6) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin oikealla puolella (tämä numero on ympyröity vihreällä). Nyt löydämme numerot logaritmitaulukon soluista merkityn rivin ja merkittyjen sarakkeiden leikkauspisteestä (nämä numerot on korostettu oranssi). Merkittyjen lukujen summa antaa desimaalilogaritmin halutun arvon neljänteen desimaaliin asti, eli log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Onko yllä olevan taulukon avulla mahdollista löytää desimaalilogaritmien arvot numeroille, joissa on enemmän kuin kolme numeroa desimaalipilkun jälkeen ja jotka ylittävät myös rajat 1 - 9,999? Kyllä sinä voit. Näytämme esimerkin avulla, miten tämä tehdään.

Lasketaan lg102.76332 . Ensin sinun täytyy kirjoittaa numero vakiomuodossa: 102.76332=1.0276332 10 2 . Sen jälkeen mantissa tulee pyöristää ylöspäin kolmanteen desimaaliin 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, kun taas alkuperäinen desimaalilogaritmi on likimääräinen on yhtä suuri kuin logaritmi tuloksena oleva luku, eli otamme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Käytä nyt logaritmin ominaisuuksia: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lopuksi löydetään logaritmin lg1.028 arvo desimaalilogaritmien taulukon mukaan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Tämän seurauksena koko logaritmin laskentaprosessi näyttää tältä: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Lopuksi on syytä huomata, että desimaalilogaritmien taulukon avulla voit laskea minkä tahansa logaritmin likimääräisen arvon. Tätä varten riittää, että käytät siirtymäkaavaa siirtyäksesi desimaalilogaritmiin, löytääksesi niiden arvot taulukosta ja suorittaaksesi loput laskelmat.

Lasketaan esimerkiksi log 2 3 . Logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavan mukaan meillä on . Desimaalilogaritmien taulukosta löytyy lg3≈0,4771 ja lg2≈0,3010. Täten, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (a>0, a ei ole yhtä suuri kuin 1) on luku c siten, että a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Huomaa, että ei-positiivisen luvun logaritmia ei ole määritelty. Lisäksi logaritmin kantaluvun on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos esimerkiksi neliöimme -2, saamme luvun 4, mutta tämä ei tarkoita, että 4:n kanta -2 logaritmi olisi 2.

Peruslogaritminen identiteetti

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman osan määritelmäalueet ovat erilaiset. Vasen puoli on määritetty vain kohteille b>0, a>0 ja a ≠ 1. Oikea osa on määritelty mille tahansa b:lle, mutta se ei riipu lainkaan a:sta. Siten peruslogaritmisen "identiteetin" käyttäminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa voi johtaa DPV:n muutokseen.

Kaksi ilmeistä logaritmin määritelmän seurausta

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Todellakin, kun nostetaan lukua a ensimmäiseen potenssiin, saamme saman luvun, ja kun nostetaan se nollapotenssiin, saamme yhden.

Tulon logaritmi ja osamäärän logaritmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Haluaisin varoittaa koululaisia ​​näiden kaavojen ajattelemattomasta soveltamisesta ratkaisun aikana logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet. Kun niitä käytetään "vasemmalta oikealle", ODZ kapenee, ja kun siirrytään logaritmien summasta tai erotuksesta tulon tai osamäärän logaritmiin, ODZ laajenee.

Itse asiassa lauseke log a (f (x) g (x)) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat funktiot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f(x) ja g(x) ovat molemmat pienempiä kuin nolla.

Muuntamalla tämä lauseke summaksi log a f (x) + log a g (x) , joudumme rajoittumaan vain tapaukseen, jossa f(x)>0 ja g(x)>0. Alueella on kaventumista sallitut arvot, ja tätä ei kategorisesti voida hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen. Samanlainen ongelma on kaavalla (6).

Aste voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas haluaisin vaatia tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Yhtälön vasen puoli on luonnollisesti määritelty kaikille f(x):n arvoille nollaa lukuun ottamatta. Oikea puoli on vain f(x)>0! Ottamalla teho pois logaritmista, kavennetaan jälleen ODZ:tä. Käänteinen menettely johtaa sallittujen arvojen alueen laajentamiseen. Kaikki nämä huomautukset eivät koske vain 2:n tehoa, vaan myös mitä tahansa parillista potenssia.

Kaava muuttaa uuteen tukikohtaan

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Että harvinainen tapaus, kun ODZ ei muutu muunnoksen aikana. Jos olet valinnut kannan c viisaasti (positiivinen eikä yhtä suuri kuin 1), kaava uuteen kantaan siirtymiseen on täysin turvallinen.

Jos valitsemme luvun b uudeksi kantaksi c, saamme tärkeän erikoistapaus kaavat (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä logaritmeilla

Esimerkki 1 Laske: lg2 + lg50.
Ratkaisu. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Käytimme logaritmien summan kaavaa (5) ja desimaalilogaritmin määritelmää.

Esimerkki 2 Laske: lg125/lg5.
Ratkaisu. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Käytimme uutta kantasiirtymäkaavaa (8).

Taulukko logaritmiin liittyvistä kaavoista

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Aloitetaan ykseyden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus on suoraviivainen: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää yllä olevat ehdot a>0 ja a≠1 , niin todistettu yhtäläisyys log a 1=0 seuraa välittömästi logaritmin määritelmästä.

Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0 , lg1=0 ja .

Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: kantaa vastaavan luvun logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, tuo on, log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin määritelmän mukaan logaritmin loki a a = 1.

Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ja lne=1 .

Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja .

Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistakaamme tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y , niin log a x a log a y =x y . Siten log a x+log a y =x y , josta logaritmin määritelmä seuraa vaadittua yhtälöä.

Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja .

Tulon logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tämä tasa-arvo on helposti todistettavissa.

Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata lukujen 4, e ja kolmen luonnollisen logaritmin summalla.

Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin erotus näiden lukujen logaritmit. Osamäärälogaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0 , a≠1 , x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys todistetaan kuten tuotteen logaritmin kaava: koska , sitten logaritmin määritelmän mukaan.

Tässä on esimerkki logaritmin ominaisuuden käytöstä: .

Jatketaan asteen logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoitamme tämän asteen logaritmin ominaisuuden kaavan muodossa: log a b p =p log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia ​​lukuja, että b p:n aste on järkevä ja b p >0.

Todistamme ensin tämän ominaisuuden positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssiominaisuudesta johtuen yhtä suuri kuin p log a b . Joten päästään yhtälöön b p =a p log a b , josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p log a b .

On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| p . Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, josta log a b p =p log a |b| .

Esimerkiksi, ja ln(-3)4 =4 ln|-3|=4 ln3.

Se seuraa edellisestä omaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen asteen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murtoluvun 1/n tulo ja juurilausekkeen logaritmi, eli , jossa a>0, a≠1, n on yhtä suurempi luonnollinen luku, b>0.

Todistus perustuu yhtälöön (katso ), joka pätee mille tahansa positiiviselle b :lle ja asteen logaritmin ominaisuuteen: .

Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: .

Nyt todistetaan muunnoskaava logaritmin uuteen kantaan ystävällinen . Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b, sitten log c b=log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b = log a b log c a. Siten yhtälö log c b=log a b·log c a on todistettu, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.

Näytämme pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden soveltamisesta: ja .

Uuteen kantaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sen avulla voidaan esimerkiksi vaihtaa luonnollisiin tai desimaalilogaritmiin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muilla kantaluvuilla ovat tiedossa.

Usein käytetään kaavan erikoistapausta siirtymiseksi uuteen logaritmin kantaan muodon c=b:lle . Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esim, .

Usein käytetään myös kaavaa , joka on hyödyllinen logaritmiarvojen löytämisessä. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme kuinka lomakkeen logaritmin arvo lasketaan sen avulla. Meillä on . Todistamaan kaavan riittää, kun käytetään siirtymäkaavaa logaritmin a uuteen kantaan: .

On vielä todistettava logaritmien vertailuominaisuudet.

Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2 , b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1

Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Todistamme vain sen ensimmäisen osan, eli todistamme, että jos a 1 >1 , a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Muut lausumat tästä logaritmien ominaisuudesta todistetaan samanlaisella periaatteella.

Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 >1, 2 >1 ja 1 1 log a 1 b≤log a 2 b on totta. Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ja vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien perusteella yhtäläisyydet b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on täytettävä, eli a 1 ≥a 2 . Siten olemme päätyneet ristiriidaan ehdon a 1 kanssa

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).