Tehtävä 1(pinta-alan laskemisesta kaareva trapetsi).

Karteesisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä xOy on annettu kuva (katso kuva), jota rajoittavat x-akseli, suorat x \u003d a, x \u003d b (kaareva puolisuunnikas. Tarvitaan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alan laskeminen).
Ratkaisu. Geometria antaa meille reseptejä monikulmioiden ja joidenkin ympyrän osien (sektorin, segmentin) pinta-alojen laskemiseen. Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain likimääräisen vaaditun alueen arvon seuraavasti.

Jaetaan segmentti [a; b] (kaareva puolisuunnikkaan kanta) n yhtä suureen osaan; tämä osio on toteutettavissa pisteiden x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 avulla . Piirretään näiden pisteiden läpi y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.

Tarkastellaan erikseen k:nnettä saraketta, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), missä \(\Delta x_k \) on janan pituus; on luonnollista pitää koottu tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona.

Jos nyt tehdään samoin kaikilla muilla sarakkeilla, niin saadaan seuraava tulos: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tässä merkinnän yhtenäisyyden vuoksi katsomme, että a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - segmentin pituus, \(\Delta x_1 \) - segmentin pituus jne; kun taas, kuten yllä sovimme, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Joten \(S \noin S_n \), ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan oletetaan, että kaarevan puolisuunnikkaan haluttu alue on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehtävä 2(pisteen siirtämisestä)
Liikkuu suorassa linjassa aineellinen kohta. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan ​​kaavalla v = v(t). Etsi pisteen siirtymä aikavälillä [a; b].
Ratkaisu. Jos liike olisi tasaista, ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen tehtävän ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan aikaväliä ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, kuten hetkellä t k . Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsi pisteen siirtymän likimääräinen arvo aikavälillä , tämä likimääräinen arvo merkitään s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
\(s \noin S_n \) missä
\(S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehdään yhteenveto. Erilaisten tehtävien ratkaisut pelkistettiin samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Siis tämä matemaattinen malli pitää erityisesti tutkia.

Määrätyn integraalin käsite

Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmeen tarkasteltuun tehtävään funktiolle y = f(x), joka on jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) segmentillä [a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. Häntä kutsutaan funktion y = f(x) määrätty integraali janan [a; b] ja ne merkitään näin:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).

Palataanpa edellä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tässä S on yllä olevassa kuvassa esitetyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on mitä kiinteän integraalin geometrinen merkitys.

Tehtävässä 2 annettu pisteen siirtymän s määritelmä, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) aikavälillä t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Newton - Leibnizin kaava

Aluksi vastataan kysymykseen: mikä on määrätyn integraalin ja antiderivaalin välinen suhde?

Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta suoraa nopeudella v = v(t) liikkuvan pisteen siirtymä s aikavälillä t = a - t = b ja lasketaan kaavalla
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); näin ollen siirtymä s ilmaistaan ​​kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.

Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla [a; b], sitten kaava
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.

Tätä kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) kunniaksi ja saksalainen filosofi Gottfried Leibniz (1646-1716), jotka saivat sen toisistaan ​​riippumatta ja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää \(\left. F(x)\right|_a^b \) (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vasen. F(x)\oikea|_a^b \)

Kun lasketaan määrätty integraali, etsi ensin antiderivaatti ja suorita sitten kaksoissubstituutio.

Newton-Leibnizin kaavan perusteella voidaan saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.

Kiinteistö 1. Funktioiden summan integraali on yhtä suuri kuin summa integraalit:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla

Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös litteitä kuvioita enemmän kuin monimutkainen tyyppi, kuten kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat ja janalla [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Joten kuvion alue S, jota rajoittavat suorat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jatkuva janalla ja sellainen, että minkä tahansa janan x:n kohdalla [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) täyttyy, lasketaan kaavalla
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) $fra x \x \x) (ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) \int \$sh(ch) x x dx = \teksti(ch) x +C $$

Alamme pohtia kaksoisintegraalin todellista laskentaprosessia ja tutustua sen geometriseen merkitykseen.

Kaksoisintegraali numeerisesti yhtä suuri kuin pinta-ala tasokuva (integraatioalueet). Tämä on kaksoisintegraalin yksinkertaisin muoto, kun kahden muuttujan funktio on yhtä suuri kuin yksi: .

Tarkastellaanpa ensin ongelmaa yleisellä tasolla. Nyt tulet yllättymään kuinka yksinkertaista se todella on! Lasketaan viivoilla rajatun litteän hahmon pinta-ala. Varmuuden vuoksi oletamme, että välissä . Tämän kuvan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin:

Kuvataan aluetta piirustuksessa:

Valitaan ensimmäinen tapa ohittaa alue:

Täten:

Ja heti tärkeä tekninen temppu: iteroidut integraalit voidaan tarkastella erikseen. Ensin sisäinen integraali, sitten ulompi integraali. Tämä menetelmä Suosittelen lämpimästi teekannujen aiheen aloittelijoille.

1) Laske sisäinen integraali, kun integrointi suoritetaan muuttujan "y" yli:

Epämääräinen integraali tässä on yksinkertaisin, ja sitten käytetään banaalista Newton-Leibnizin kaavaa, sillä ainoalla erolla integroinnin rajat eivät ole numerot, vaan funktiot. Korvataan ensin kirjaimella "y" ( antiderivatiivinen toiminto) yläraja, sitten alaraja

2) Ensimmäisessä kappaleessa saatu tulos on korvattava ulkoisella integraalilla:

Koko ratkaisun kompaktimpi merkintätapa näyttää tältä:

Tuloksena oleva kaava - juuri näin toimiva kaava laskea tasaisen hahmon pinta-ala käyttämällä "tavallista" kiinteää integraalia! Katso oppitunti Pinta-alan laskeminen kiinteällä integraalilla, siellä hän on joka käänteessä!

Tuo on, ongelma pinta-alan laskemisesta kaksoisintegraalin avulla vähän erilainen ongelmasta löytää alue käyttämällä tiettyä integraalia! Itse asiassa ne ovat yksi ja sama!

Näin ollen vaikeuksia ei pitäisi syntyä! En käsittele kovin monia esimerkkejä, koska olet itse asiassa toistuvasti törmännyt tähän ongelmaan.

Esimerkki 9

Ratkaisu: Kuvataan aluetta piirustuksessa:

Valitaan seuraava järjestys alueen läpikulkua varten:

Tässä ja alla en aio käsitellä alueen läpikulkua, koska ensimmäinen kappale oli hyvin yksityiskohtainen.

Täten:

Kuten jo totesin, aloittelijoiden on parempi laskea iteroidut integraalit erikseen, noudatan samaa menetelmää:

1) Ensin, käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa, käsittelemme sisäistä integraalia:

2) Ensimmäisessä vaiheessa saatu tulos korvataan ulompaan integraaliin:

Piste 2 on itse asiassa litteän hahmon alueen löytäminen määrätyn integraalin avulla.

Vastaus:

Tässä on niin typerä ja naiivi tehtävä.

Utelias esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 10

Laske kaksoisintegraalin avulla tasokuvan pinta-ala, jota rajoittavat viivat , ,

Näyte Näyte ratkaisun viimeistely oppitunnin lopussa.

Esimerkeissä 9-10 on paljon kannattavampaa käyttää ensimmäistä tapaa ohittaa alue, uteliaat lukijat voivat muuten muuttaa ohituksen järjestystä ja laskea alueet toisella tavalla. Jos et tee virhettä, luonnollisesti saadaan samat pinta-ala-arvot.

Mutta joissakin tapauksissa toinen tapa ohittaa alue on tehokkaampi, ja nuoren nörtin kurssin päätteeksi katsotaanpa vielä muutama esimerkki tästä aiheesta:

Esimerkki 11

Laske kaksoisintegraalin avulla viivojen rajoittaman tasokuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Odotamme innolla kahta paraabelia tuulella, jotka lepäävät heidän kyljellään. Ei tarvitse hymyillä, samanlaisia ​​asioita useissa integraaleissa kohdataan usein.

Mikä on helpoin tapa piirtää?

Esitetään paraabeli kahtena funktiona:
- ylähaara ja - alahaara.

Kuvittele samalla tavalla paraabeli ylä- ja alaosaan oksat.

Seuraavaksi piirretään asemat piste kerrallaan, jolloin tuloksena on tällainen outo kuva:

Kuvan pinta-ala lasketaan kaksoisintegraalilla seuraavan kaavan mukaan:

Mitä tapahtuu, jos valitsemme ensimmäisen tavan ohittaa alue? Ensinnäkin tämä alue on jaettava kahteen osaan. Ja toiseksi, tarkkailemme tätä surullista kuvaa: . Integraalit eivät tietenkään ole supermonimutkaisia, mutta ... on vanha matemaattinen sanonta: joka on ystävällinen juurille, ei tarvitse kuittausta.

Siksi ehdossa annetusta väärinkäsityksestä ilmaisemme käänteiset funktiot:

Käänteiset funktiot Tässä esimerkissä niillä on se etu, että ne asettavat välittömästi koko paraabelin ilman lehtiä, tammenterhoja, oksia ja juuria.

Toisen menetelmän mukaan alueen läpikulku on seuraava:

Täten:

Kuten sanotaan, tunne ero.

1) Käsittelemme sisäistä integraalia:

Korvaamme tuloksen ulompaan integraaliin:

Integrointi muuttujan "y" päälle ei pitäisi olla noloa, jos siinä olisi kirjain "zyu" - sen päälle olisi hienoa integroida. Vaikka kuka lukee oppitunnin toisen kappaleen Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus, hän ei enää koe pienintäkään hämmennystä "y":n integroinnista.

Huomioi myös ensimmäinen vaihe: integrandi on parillinen ja integrointisegmentti on symmetrinen nollan suhteen. Siksi segmentti voidaan puolittaa ja tulos voidaan kaksinkertaistaa. Tätä tekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnissa. Tehokkaat menetelmät määrätyn integraalin laskeminen.

Mitä lisätä…. Kaikki!

Vastaus:

Testaaksesi integrointitekniikkaasi voit yrittää laskea . Vastauksen pitäisi olla täsmälleen sama.

Esimerkki 12

Laske kaksoisintegraalin avulla viivojen rajoittaman tasokuvan pinta-ala

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. On mielenkiintoista huomata, että jos yrität käyttää ensimmäistä tapaa ohittaa alue, hahmoa ei enää jaeta kahteen, vaan kolmeen osaan! Ja vastaavasti saamme kolme paria iteroituja integraaleja. Joskus se tapahtuu.

Mestarikurssi on tullut päätökseen, ja on aika siirtyä suurmestaritasolle - Kuinka laskea kaksoisintegraali? Ratkaisuesimerkkejä. Yritän olla toisessa artikkelissa olematta niin maani =)

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2:Ratkaisu: Piirrä alue piirustuksessa:

Valitaan seuraava järjestys alueen läpikulkua varten:

Täten:
Siirrytään käänteisfunktioihin:


Täten:
Vastaus:

Esimerkki 4:Ratkaisu: Siirrytään suoraan funktioihin:


Suoritetaan piirustus:

Muutetaan alueen läpikulkujärjestystä:

Vastaus:

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. litteän hahmon pinta-alan laskeminen määrätyn integraalin avulla. Lopuksi kaikki ne, jotka etsivät merkitystä korkeampaa matematiikkaa- anna heidän löytää hänet. Ei sitä koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava kesämökki perustoiminnoilla ja löydettävä sen pinta-ala tietyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) ymmärtää epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Näin ollen nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit luoda lämpimiä ystävällisiä suhteita tietyillä sivulla olevilla integraaleilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen Siksi tietosi ja piirustustaitosi ovat myös kiireellisiä. Vähintään pitää pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli.

Aloitetaan kaarevalla trapetsilla. Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittaa jonkin funktion kuvaaja y = f(x), akseli HÄRKÄ ja linjat x = a; x = b.

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali

Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä sanoimme, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika kertoa toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE. Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta. Harkitse tarkkaa integraalia

Integrand

määrittää tasolle käyrän (se voidaan piirtää haluttaessa), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

, , , .

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen tärkein kohta on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia ​​on) ja vain Sitten- paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. Kohta kohdalta -rakennustekniikka löytyy vertailumateriaalista Kaaviot ja ominaisuudet perustoiminnot . Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.

Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö y= 0 määrittää akselin HÄRKÄ):

Emme kuori kaarevaa puolisuunnikasta, tässä on selvää mikä alue kysymyksessä. Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä [-2; 1] funktiokaavio y = x 2 + 2 sijaitsee akselin yliHÄRKÄ, Siksi:

Vastaus: .

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa

,

viitata luentoon Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirrosta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikka vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala xy = 4, x = 2, x= 4 ja akseli HÄRKÄ.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin allaHÄRKÄ?

Esimerkki 3

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = e-x, x= 1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle HÄRKÄ , niin sen pinta-ala löytyy kaavasta:

Tässä tapauksessa:

.

Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman mitään geometrinen tunne, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y = 2x – x 2 , y = -x.

Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet y = 2x – x 2 ja suora y = -x. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a= 0, integroinnin yläraja b= 3. Usein on kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, kun integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itsensä". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistamme, että pistemäisessä rakentamisessa integroinnin rajat selvitetään useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava:

Jos välissä [ a; b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri jonkin verran jatkuva toiminto g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, vaan sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on selvää, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi 2. x – x 2 on vähennettävä - x.

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli y = 2x – x 2 yläosa ja suora y = -x alhaalta.

Jaksolla 2 x – x 2 ≥ -x. Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: .

Itse asiassa, koulun kaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso esimerkki nro 3) - erikoistapaus kaavat

.

Koska akseli HÄRKÄ annetaan yhtälöllä y= 0 ja funktion kuvaaja g(x) sijaitsee akselin alapuolella HÄRKÄ, Tuo

.

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajaama kuvion alue

Kun pinta-alan laskemiseen liittyviä ongelmia ratkaistaan ​​tietyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat olivat oikein, mutta huolimattomuuden vuoksi ... löysi väärän hahmon alueen.

Esimerkki 7

Piirretään ensin:

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä he päättävät huolimattomuuden vuoksi usein, että heidän on löydettävä varjostettu hahmon alue. vihreässä!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvan pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Jaksolla [-1; 1] akselin yläpuolella HÄRKÄ kaavio on suora y = x+1;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä HÄRKÄ hyperbelin kuvaaja sijaitsee y = (2/x).

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa

ja tee viivapiirros:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": b = 1.

Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä?

Voi olla, a=(-1/3)? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin a=(-1/4). Entä jos emme saa kaaviota ollenkaan oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integroinnin rajoja analyyttisesti.

Etsi kaavioiden leikkauspisteet

Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

.

Siten, a=(-1/3).

Jatkoratkaisu on triviaali. Tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä. Tässä olevat laskelmat eivät ole helpoimpia. Segmentillä

, ,

vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Oppitunnin lopuksi harkitsemme kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Pistekohtaista piirtämistä varten sinun on tiedettävä ulkomuoto sinusoidit. Yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kaaviot sekä jotkut sinin arvot. Ne löytyvät arvotaulukosta trigonometriset funktiot . Joissakin tapauksissa (esimerkiksi tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavio, jossa graafit ja integrointirajat tulee esittää periaatteessa oikein.

Tässä ei ole ongelmia integrointirajojen kanssa, ne johtuvat suoraan ehdosta:

- "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Teemme lisäpäätöksen:

Segmentillä funktion kuvaaja y= synti 3 x sijaitsee akselin yläpuolella HÄRKÄ, Siksi:

(1) Voit nähdä, kuinka sinit ja kosinit integroidaan parittomiin potenssiin oppitunnilla Trigonometristen funktioiden integraalit. Puristamme yhden sinin pois.

(2) Käytämme trigonometristä perusidentiteettiä muodossa

(3) Muutetaan muuttuja t= cos x, sitten: sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

.

.

Huomautus: huomioi kuinka kuution tangentin integraali otetaan, tässä pään seuraus trigonometrinen identiteetti

.

A)

Ratkaisu.

Ensin ja ratkaiseva kohta ratkaisut - piirustuksen rakentaminen.

Tehdään piirustus:

Yhtälö y = 0 asettaa x-akselin;

- x=-2 Ja x=1 - suora, yhdensuuntainen akselin kanssa OU;

- y \u003d x 2 +2 - paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin ja jonka kärki on pisteessä (0;2).

Kommentti. Paraabelin rakentamiseksi riittää, kun etsitään sen koordinaattiakselien leikkauspisteet, ts. laittaa x=0 etsi leikkauspiste akselin kanssa OU ja päättää sopivasta toisen asteen yhtälö, etsi leikkauspiste akselin kanssa vai niin .

Paraabelin kärkipiste löytyy kaavojen avulla:

Voit piirtää viivoja ja piste pisteeltä.

Välillä [-2;1] funktion kuvaaja y = x 2 +2 sijaitsee akselin yli Härkä , Siksi:

Vastaus: S \u003d 9 neliöyksikköä

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirrosta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme piirustuksen solujen lukumäärän - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain tehtiin virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla Vai niin?

b) Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=-e x , x=1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu.

Tehdään piirustus.

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle vai niin , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Vastaus: S=(e-1) neliöyksikkö" 1,72 neliöyksikköä

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä hahmo sijaitsee useimmiten sekä ylä- että alapuoliskolla.

Kanssa) Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Ratkaisu.

Ensin sinun on tehtävä piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet ja suora Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen.

Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a = 0 , integroinnin yläraja b = 3 .

Rakennamme annetut suorat: 1. Paraabeli - kärkipiste pisteessä (1;1); akselin leikkaus Vai niin - pisteet (0;0) ja (0;2). 2. Suora - 2. ja 4. koordinaattikulman puolittaja. Ja nyt Huomio! Jos välissä [ a;b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta: . Ja sillä ei ole väliä, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella vai akselin alapuolella, vaan on tärkeää, kumpi kaavio on KORKEAMALLA (suhteessa toiseen kaavioon) ja kumpi on ALALLA. Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

On mahdollista rakentaa viivoja piste pisteeltä, kun taas integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itsensä". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia).

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: S \u003d 4,5 neliöyksikköä

Kuviota, jota rajoittaa jatkuvan ei-negatiivisen funktion $f(x)$ kuvaaja välillä $$ ja suorilla $y=0, \ x=a$ ja $x=b$, kutsutaan käyräviivaiseksi puolisuunnikkaaksi.

Vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Kaarevan puolisuunnikkaan alueen löytämisongelmat jaetaan ehdollisesti 4 dollarin tyyppeihin. Tarkastellaan jokaista tyyppiä yksityiskohtaisemmin.

Tyyppi I: kaareva puolisuunnikas on annettu eksplisiittisesti. Käytä sitten välittömästi kaavaa (*).

Etsi esimerkiksi kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, jota rajoittavat funktion $y=4-(x-2)^(2)$ ja viivojen $y=0, \ x=1$ ja $x=3$ kuvaaja.

Piirretään tämä kaareva puolisuunnikas.

Käyttämällä kaavaa (*) löydämme tämän kaarevan puolisuunnikkaan alueen.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\vasen(4-(x-2)^(2)\oikea)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)-\int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)\(left.x)-^3) (1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\vasen((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\oikea)=4

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (yksikkö$^(2)$).

Tyyppi II: kaareva puolisuunnikas on määritelty implisiittisesti. Tässä tapauksessa suoria viivoja $x=a, \ x=b$ ei yleensä määritellä tai määritetään osittain. Tässä tapauksessa sinun on löydettävä funktioiden $y=f(x)$ ja $y=0$ leikkauspisteet. Nämä pisteet ovat pisteet $a$ ja $b$.

Etsi esimerkiksi funktioiden $y=1-x^(2)$ ja $y=0$ kuvaajien rajaama kuvion alue.

Etsitään risteyspisteet. Tätä varten vertaamme funktioiden oikeat osat.

Joten $a=-1$ ja $b=1$. Piirretään tämä kaareva puolisuunnikas.

Etsi tämän kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

$ S = \ int \ rajat _ (-1)^(1) (\ vasen (1-x^(2) \ oikea) dx) = \ int \ rajat _ (-1)^(1dx)-\ int \ rajat _ (-1)^(1) (x^(2) dx) = x | ( _) \ -1 \^) oikea | _ (-1)^(1) = $

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\vasen(1^(3)-(-1)^(3)\oikea)=2 – \frac(1)(3)\vasen(1+1\oikea) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (yksikkö$^(2)).

Tyyppi III: kuvion alue, jota rajoittaa kahden jatkuvan ei-negatiivisen funktion leikkaus. Tämä luku ei ole kaareva puolisuunnikkaan muotoinen, mikä tarkoittaa, että kaavalla (*) et voi laskea sen pinta-alaa. Kuinka olla? Osoittautuu, että tämän kuvan pinta-ala voidaan löytää ylemmän funktion ja $y=0$ ($S_(uf)$) rajoittamien kaarevien puolisuunnikkaan alueiden erotuksena, ja pohjatoiminto ja $y=0$ ($S_(lf)$), missä $x=a, \ x=b$ ovat näiden funktioiden leikkauspisteiden $x$ koordinaatit, ts.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Tärkeintä tällaisten alueiden laskennassa ei ole "missata" ylemmän ja alemman toiminnon valinnassa.

Etsi esimerkiksi funktioiden $y=x^(2)$ ja $y=x+6$ rajoittama kuvion alue.

Etsitään näiden kaavioiden leikkauspisteet:

Vietan lauseen mukaan

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Eli $a=-2, \b=3$. Piirretään kuvio:

Joten ylin funktio on $y=x+6$ ja alempi on $y=x^(2)$. Etsi seuraavaksi $S_(uf)$ ja $S_(lf)$ kaavalla (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2)^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\oikea|$(_()-2)^3 yksikkö .$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\oikea|_(-2)^(3) = \frac(35)(3)$ (yksikkö$^(2)$).

Korvaava löytyy (**) ja saat:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (yksikkö $^(2)$).

IV tyyppi: vartaloalue, rajoitettu toiminto(-s), joka ei täytä ei-negatiivisuusehtoa. Löytääksesi tällaisen kuvion alueen, sinun on oltava symmetrinen $Ox$-akselin suhteen ( toisin sanoen, laita "miinukset" toimintojen eteen) näytä alue ja etsi tyypeissä I - III kuvatuilla menetelmillä näytettävän alueen alue. Tämä alue on vaadittu alue. Ensin sinun on ehkä löydettävä funktiokaavioiden leikkauspisteet.

Etsi esimerkiksi funktioiden $y=x^(2)-1$ ja $y=0$ kuvaajien rajaama kuvion alue.

Etsitään funktiokaavioiden leikkauspisteet:

nuo. $a=-1$ ja $b=1$. Piirretään alue.

Esitetään alue symmetrisesti:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Saat käyräviivaisen puolisuunnikkaan, jota rajoittaa funktion $y=1-x^(2)$ ja $y=0$ kuvaaja. Tämä on ongelma toisen tyypin kaarevan puolisuunnikkaan löytämisessä. Olemme jo ratkaisseet sen. Vastaus oli: $S= 1\frac(1)(3)$ (yksiköt $^(2)$). Joten halutun kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri:

$S=1\frac(1)(3)$ (yksikkö$^(2)$).