"Vanhoissa" oppikirjoissa sitä kutsutaan myös "ketjusääntöksi". Niin jos y \u003d f (u) ja u \u003d φ (x), tuo on

y \u003d f (φ (x))

kompleksi - yhdistefunktio (funktioiden kokoonpano) sitten

Missä , laskennan jälkeen otetaan huomioon u = φ(x).

Huomaa, että tässä otimme "eri" koostumuksia samoista funktioista, ja erilaistumisen tulos osoittautui luonnollisesti riippuvaiseksi "sekoitusjärjestyksestä".

Ketjusääntö ulottuu luonnollisesti kolmen tai useamman funktion koostumukseen. Tässä tapauksessa johdannaisen muodostavassa "ketjussa" on kolme tai useampia "linkkiä". Tässä on analogia kertolaskulle: "meillä on" - johdannaisten taulukko; "siellä" - kertotaulukko; "kanssamme" on ketjusääntö ja "siellä" on kertosääntö "sarakkeella". Tällaisia ​​"monimutkaisia" johdannaisia ​​laskettaessa ei tietenkään oteta käyttöön apuargumentteja (u¸v jne.), mutta huomattuaan itse koostumukseen osallistuvien funktioiden lukumäärän ja järjestyksen ne "merkkijonoa" vastaavat linkit ilmoitettu tilaus.

. Tässä suoritetaan viisi operaatiota "x":llä "y:n" arvon saamiseksi, eli tapahtuu viiden funktion koostumus: "ulkoinen" (viimeinen niistä) - eksponentiaalinen - e ; niin käänteisessä järjestyksessä on teholaki. (♦) 2 ; trigonometrinen synti (); tehoa. () 3 ja lopuksi logaritminen ln.(). Siksi

Seuraavat esimerkit "tappaavat lintupareja yhdellä iskulla": harjoittelemme monimutkaisten funktioiden erottamista ja täydennämme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa. Niin:

4. Tehofunktiolle - y \u003d x α - kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä tunnettua "perus" logaritminen identiteetti» - b=e ln b - muodossa x α = x α ln x saamme

5. Mielivaltaiselle eksponentti funktio käytämme samaa menetelmää

6. Saamme peräkkäin mielivaltaiselle logaritmiselle funktiolle käyttämällä tunnettua kaavaa uuteen kantaan siirtymiselle

.

7. Tangentin (kotangentin) erottamiseksi käytämme osamäärän erottamissääntöä:

Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaattojen saamiseksi käytetään relaatiota, jonka tyydyttävät kahden keskenään käänteisen funktion derivaatat, eli funktiot φ (x) ja f (x), jotka on yhdistetty suhteilla:

Tässä on suhde

Se on peräisin tästä keskenään käänteisfunktioiden kaavasta

Ja
,

Lopuksi teemme yhteenvedon näistä ja joistakin muista, yhtä helposti saatavista johdannaisista seuraavaan taulukkoon.

Siitä lähtien kun tulit tänne, olet todennäköisesti jo onnistunut näkemään tämän kaavan oppikirjassa

ja tee tällaiset kasvot:

Ystävä, älä huoli! Itse asiassa kaikki on yksinkertaista häpeällistä. Ymmärrät varmasti kaiken. Vain yksi pyyntö - lue artikkeli hitaasti yritä ymmärtää jokainen askel. Kirjoitin mahdollisimman yksinkertaisesti ja selkeästi, mutta sinun täytyy silti syventää ajatusta. Ja muista ratkaista artikkelin tehtävät.

Mikä on monimutkainen funktio?

Kuvittele, että muutat toiseen asuntoon ja siksi pakkaat tavaroita isoihin laatikoihin. Olkoon tarpeen kerätä pieniä esineitä, esimerkiksi koulun paperitavarat. Jos heität ne vain valtavaan laatikkoon, ne katoavat muun muassa. Tämän välttämiseksi laita ne ensin esimerkiksi pussiin, jonka sitten laitat isoon laatikkoon, jonka jälkeen suljet sen. Tämä "vaikein" prosessi on esitetty alla olevassa kaaviossa:

Näyttäisi siltä, ​​missä matematiikka? Ja lisäksi monimutkainen funktio muodostuu TÄYSIN SAMALLA tavalla! Vain me "pakkaamme" ei muistikirjoja ja kyniä, vaan \ (x \), kun taas erilaiset "paketit" ja "laatikot" palvelevat.

Otetaan esimerkiksi x ja "pakataan" se funktioon:

Lopputuloksena saamme tietysti \(\cos⁡x\). Tämä on meidän "laukkumme tavaraa". Ja nyt laitamme sen "laatikkoon" - pakkaamme sen esimerkiksi kuutiofunktioon.

Mitä lopulta tapahtuu? Kyllä, aivan oikein, tulee "paketti, jossa tavarat laatikossa", eli "kosini x kuutio".

Tuloksena oleva rakenne on monimutkainen toiminto. Se eroaa yksinkertaisesta siinä USEITA ”vaikutuksia” (paketteja) sovelletaan yhteen X:ään peräkkäin ja osoittautuu ikään kuin "funktio funktiosta" - "paketti paketissa".

Koulukurssilla näitä samoja "paketteja" on hyvin vähän, vain neljä:

"Pakkaa" nyt x ensin eksponentiaaliseen funktioon, jonka kanta on 7, ja sitten trigonometriseen funktioon. Saamme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Ja nyt "pakkaa" x kahdesti trigonometriset funktiot, ensin sisään ja sitten sisään:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Yksinkertaista, eikö?

Kirjoita nyt itse funktiot, missä x:
- ensin se "pakattu" kosiniksi ja sitten eksponentiaaliseksi funktioksi, jonka kantaluku on \(3\);
- ensin viidenteen potenssiin ja sitten tangenttiin;
- ensin kantalogaritmiin \(4\) , sitten potenssiin \(-2\).

Katso vastaukset tähän kysymykseen artikkelin lopusta.

Mutta voimmeko "pakkata" x ei kaksi, vaan kolme kertaa? Ei ongelmaa! Ja neljä, ja viisi ja kaksikymmentäviisi kertaa. Tässä on esimerkiksi funktio, jossa x on "pakattu" \(4\) kertaa:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mutta tällaisia ​​kaavoja ei löydy koulun käytännössä (oppilaat ovat onnekkaampia - ne voivat olla vaikeampia☺).

Monimutkaisen toiminnon "purkaminen".

Katso edellinen toiminto uudelleen. Voitko selvittää "pakkausjärjestyksen"? Mihin X työnnettiin ensin, mihin sitten ja niin edelleen loppuun asti. Eli mikä funktio on sisäkkäin mihin? Ota paperi ja kirjoita mielipiteesi. Voit tehdä tämän nuoliketjulla, kuten yllä kirjoitimme, tai millä tahansa muulla tavalla.

Nyt oikea vastaus on: ensin "pakattu" x \(4\):teen potenssiin, sitten tulos pakattiin siniin, se puolestaan ​​sijoitettiin logaritmin kantaan \(2\) ja lopussa koko rakennustyöntö työnnettiin tehoviisikoihin.

Eli on tarpeen purkaa sekvenssi KÄÄNTEISESSÄ JÄRJESTYSSÄ. Ja tässä on vihje kuinka tehdä se helpommin: katso vain X:tä - sinun täytyy tanssia siitä. Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkiksi tässä on funktio: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Katsomme X:tä – mitä hänelle tapahtuu ensin? Häneltä otettu. Ja sitten? Tuloksen tangentti otetaan. Ja järjestys on sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Toinen esimerkki: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analysoimme - ensin x kuutioitiin ja sitten kosini otettiin tuloksesta. Joten sekvenssi on: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Kiinnitä huomiota, toiminto näyttää olevan samanlainen kuin aivan ensimmäinen (missä kuvilla). Mutta tämä on täysin eri funktio: täällä kuutiossa x (eli \(\cos⁡((x x x)))\) ja siellä kuutiossa kosini \(x\) (eli \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tämä ero johtuu erilaisista "pakkaus"-sekvensseistä.

Viimeinen esimerkki (kanssa tärkeää tietoa siinä): \(y=\sin⁡((2x+5))\). On selvää, että tässä teimme ensin aritmeettisia operaatioita x:llä, sitten tuloksesta otettiin sini: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ja tämä tärkeä pointti: huolimatta siitä, että aritmeettiset operaatiot eivät ole funktioita sinänsä, ne toimivat tässä myös tapana "pakkata". Sukellaanpa hieman syvemmälle tähän hienovaraisuuteen.

Kuten edellä sanoin, yksinkertaisissa funktioissa x "pakattu" kerran ja monimutkaisissa funktioissa - kaksi tai useampi. Lisäksi mikä tahansa yksinkertaisten funktioiden yhdistelmä (eli niiden summa, erotus, kertolasku tai jako) on myös yksinkertainen funktio. Esimerkiksi \(x^7\) on yksinkertainen funktio, ja niin on myös \(ctg x\). Siksi kaikki niiden yhdistelmät ovat yksinkertaisia ​​toimintoja:

\(x^7+ ctg x\) - yksinkertainen,
\(x^7 ctg x\) on yksinkertainen,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) on yksinkertainen ja niin edelleen.

Kuitenkin, jos tällaiseen yhdistelmään sovelletaan vielä yhtä funktiota, se on jo monimutkainen funktio, koska "paketteja" on kaksi. Katso kaavio:

Okei, jatketaan nyt. Kirjoita "käärintä"-funktioiden järjestys:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Vastaukset ovat jälleen artikkelin lopussa.

Sisäiset ja ulkoiset toiminnot

Miksi meidän on ymmärrettävä funktioiden sisäkkäisyys? Mitä tämä antaa meille? Asia on siinä, että ilman tällaista analyysiä emme pysty luotettavasti löytämään edellä käsiteltyjen funktioiden johdannaisia.

Ja jotta voimme jatkaa, tarvitsemme vielä kaksi käsitettä: sisäiset ja ulkoiset toiminnot. Tämä on hyvin yksinkertainen asia, lisäksi itse asiassa olemme jo analysoineet niitä edellä: jos muistamme analogiamme heti alussa, niin sisäinen toiminto on "paketti" ja ulompi on "laatikko". Nuo. se, mihin X on "kääritty" ensin, on sisäinen toiminto, ja se, mihin sisäinen "kääritään", on jo ulkoista. No, on ymmärrettävää miksi - se on ulkopuolella, se tarkoittaa ulkoista.

Tässä esimerkissä: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funktio \(\log_2⁡x\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Ja tässä: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Suorita viimeinen harjoitus monimutkaisten funktioiden analysoinnille ja siirrytään lopuksi siihen pisteeseen, jota varten kaikki aloitettiin - löydämme monimutkaisten funktioiden johdannaisia:

Täytä taulukon aukot:

Monimutkaisen funktion johdannainen

Bravo meille, pääsimme silti tämän aiheen "pomoon" - itse asiassa johdannaiseen monimutkainen toiminto, ja erityisesti tuohon erittäin kauheaan kaavaan artikkelin alusta.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tämä kaava kuuluu näin:

Kompleksifunktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulkoisen funktion derivaatan tulo vakion sisäisen funktion suhteen ja sisäisen funktion derivaatan tulo.

Ja katso heti jäsennysjärjestelmää sanojen mukaan ymmärtääksesi, mihin liittyy:

Toivon, että termit "johdannainen" ja "tuote" eivät aiheuta vaikeuksia. "Monimutkainen toiminto" - olemme jo purkaneet. Saalis on "ulkoisen funktion johdannainen suhteessa vakioon sisäiseen toimintoon". Mikä se on?

Vastaus: tämä on tavallinen ulomman funktion derivaatta, jossa vain ulompi funktio muuttuu, kun taas sisempi pysyy samana. Vieläkö epäselvä? Okei, otetaan esimerkki.

Oletetaan, että meillä on funktio \(y=\sin⁡(x^3)\). On selvää, että sisäinen funktio tässä on \(x^3\) ja ulompi
. Etsitään nyt ulomman derivaatta vakion sisäisen suhteen.

Ensimmäinen taso

Funktiojohdannainen. Kattava opas (2019)

Kuvittele suora tie, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuoraan tietä pitkin ja pystysuoraan, tieviiva on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:

Akseli on tietty nollakorkeus, elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.

Tällaista tietä eteenpäin liikuttaessa liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liikkuen abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liikkuu ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Mikä tämä arvo voisi olla? Hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Tien eri osuuksilla, kulkiessamme eteenpäin (abskissaa pitkin) yhden kilometrin, nousemme tai laskemme eri määrän metrejä merenpinnan suhteen (ordinaatta pitkin).

Merkitsemme edistymistä eteenpäin (lue "delta x").

Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on suuruusmuutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, koon muutos.

Tärkeää: lauseke on yksi entiteetti, yksi muuttuja. Älä koskaan revi pois "deltaa" "x":stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.

Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien viivaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Varmasti,. Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.

Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirron jälkeen olimme korkealla, niin silloin. Jos päätepiste osoittautui alhaisemmaksi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.

Takaisin "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka osoittaa kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa liikuttaessa eteenpäin etäisyysyksikköä kohti:

Oletetaan, että jollain polun osuudella kilometriä eteenpäin tie nousee km. Silloin jyrkkyys tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie vajoaa kilometriä eteneessään m? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.

Mieti nyt mäen huippua. Jos otat osuuden alkua puoli kilometriä huipulle ja loppu - puoli kilometriä sen jälkeen, huomaat, että korkeus on melkein sama.

Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Paljon voi muuttua vain muutaman kilometrin päässä. Pienempiä alueita on harkittava riittävän ja tarkemman jyrkkyyden arvioimiseksi. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen metrin liikuttaessa, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos pylväs on keskellä tietä, voimme yksinkertaisesti liukua sen läpi. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!

SISÄÄN oikea elämä etäisyyden mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti oli äärettömän pieni, eli modulo-arvo on pienempi kuin mikään numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Ja niin edelleen. Jos haluamme kirjoittaa, että arvo on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että se voidaan jakaa.

Käsite äärettömän pienen vastakohta on äärettömän suuri (). Olet luultavasti kohdannut sen jo työskennellessäsi epätasa-arvojen parissa: tämä luku on moduuliltaan suurempi kuin mikään luku, jota voit ajatella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä enemmän. Ja äärettömyys on vielä enemmän kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuret ja äärettömän pienet ovat käänteisiä toisilleen, eli at ja päinvastoin: at.

Nyt takaisin tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömän pienelle osalle, eli:

Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä myös korkeuden muutos on äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että äärettömän pieni ei tarkoita yhtä kuin nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat esimerkiksi täysin tavallisen luvun. Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kaksi kertaa niin suuri kuin toinen.

Miksi tämä kaikki? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa ralliin, mutta opettelemme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.

Johdannaisen käsite

Funktion derivaatta on funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde argumentin äärettömällä inkrementillä.

Lisäys matematiikassa sitä kutsutaan muutokseksi. Kutsutaan kuinka paljon argumentti () on muuttunut liikkuessaan akselia pitkin argumentin lisäys ja ilmaistaan ​​kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut, kun akselia pitkin etäisyys eteenpäin liikkuu, kutsutaan funktion lisäys ja on merkitty.

Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain vedolla oikeasta yläkulmasta: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:

Kuten analogisesti tien kanssa, tässä, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.

Mutta onko derivaatta yhtä suuri kuin nolla? Varmasti. Jos esimerkiksi ajetaan tasaisella vaakasuoralla tiellä, jyrkkyys on nolla. Itse asiassa korkeus ei muutu ollenkaan. Joten derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:

koska tällaisen funktion inkrementti on nolla mille tahansa.

Otetaan esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.

Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituus tulee äärettömän pieneksi. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (ei taipu, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen

Tämä voidaan ymmärtää seuraavasti: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa korkeuttamme merkityksettömästi.

On myös puhtaasti algebrallinen selitys: ylhäältä vasemmalla funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten olemme jo aiemmin havainneet, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisten ja positiivisten arvojen välillä on oltava. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.

Sama pätee laaksoon (alue, jossa funktio pienenee vasemmalla ja kasvaa oikealla):

Hieman lisää lisäyksistä.

Joten muutamme argumentin arvoksi. Mistä arvosta muutetaan? Mikä hänestä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.

Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisää koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Minne argumentti menee, sinne menee funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:

Harjoittele lisäysten etsimistä:

1. Etsi funktion lisäys pisteestä, jonka argumentin lisäys on yhtä suuri kuin.
2. Sama funktiolle pisteessä.

Ratkaisut:

Eri kohdissa, samalla argumentin lisäyksellä, funktion kasvu on erilainen. Tämä tarkoittaa, että kunkin pisteen derivaatalla on omansa (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys eri kohdissa on erilainen). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:

Virtatoiminto.

Tehofunktiota kutsutaan funktioksi, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).

Ja - missä tahansa määrin: .

Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:

Etsitään sen derivaatta kohdasta. Muista johdannaisen määritelmä:

Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?

Lisäys on. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Siksi:

Johdannainen on:

Johdannainen on:

b) Mieti nyt neliöfunktio (): .

Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:

Meillä on siis toinen sääntö:

c) Jatkamme loogista sarjaa: .

Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoilla: avaa ensimmäinen hakasulke summan kuution lyhennetyn kertolaskukaavan avulla tai jaa koko lauseke tekijöiksi käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista tavoista.

Sain siis seuraavan:

Ja muistellaanpa se taas. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:

Saamme: .

d) Samanlaiset säännöt voidaan saada suurille tehoille:

e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää potenssifunktiolle, jolla on mielivaltainen eksponentti, ei edes kokonaisluku:

(2)

Voit muotoilla säännön sanoilla: "aste tuodaan eteenpäin kertoimena ja sitten pienenee".

Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:

1. (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);

1. . Usko tai älä, tämä on tehotoiminto. Jos sinulla on kysymyksiä, kuten "Miten se menee? Ja missä on tutkinto? ”, Muista aihe" "!
   Kyllä, kyllä, juuri on myös aste, vain murto-osa:.
   Joten meidän Neliöjuuri on vain tutkinto, jossa on eksponentti:
   .
   Etsimme johdannaista käyttämällä äskettäin opittua kaavaa:

   Jos tässä vaiheessa tuli taas epäselväksi, toista aihe "" !!! (noin aste negatiivisella indikaattorilla)

2. . Nyt eksponentti:

   Ja nyt määritelmän kautta (oletko unohtanut?):
   ;
   .
   Nyt, kuten tavallista, jätämme huomiotta termin, joka sisältää:
   .

3. . Aiempien tapausten yhdistelmä: .

trigonometriset funktiot.

Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:

Kun ilmaisu.

Todistuksen opit instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne, sinun on läpäistävä tentti hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:

Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kaavion piste on punkturoitu. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on.Tämä on juuri se "pyrkimys".

Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimella. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä kokeessa.

Joten kokeillaan: ;

Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!

jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdelukua on.

a) Tarkastellaan funktiota. Kuten tavallista, löydämme sen lisäyksen:

Käännetään sinien ero tuloksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""):.

Nyt johdannainen:

Tehdään vaihto: . Sitten äärettömän pienelle se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:

Ja nyt muistamme sen ilmauksella. Ja myös, mitä jos äärettömän pieni arvo voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).

Joten saamme seuraavan säännön: sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:

Nämä ovat perusjohdannaisia ​​("taulukko"). Tässä ne yhdessä listassa:

Myöhemmin lisäämme niihin muutaman, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.

Harjoitella:

1. Etsi funktion derivaatta pisteessä;
2. Etsi funktion derivaatta.

Ratkaisut:

1. Ensin löydämme johdannaisen sisään yleisnäkymä ja korvaa se sen arvolla:
   ;
   .
2. Tässä meillä on jotain vastaavaa tehotoiminto. Yritetään tuoda hänet
   normaali näkymä:
   .
   Ok, nyt voit käyttää kaavaa:
   .
   .
3. . Eeeeeee… Mikä se on????

Okei, olet oikeassa, emme vieläkään tiedä, kuinka löytää tällaisia ​​johdannaisia. Tässä meillä on useiden erityyppisten toimintojen yhdistelmä. Jotta voit työskennellä heidän kanssaan, sinun on opittava vielä muutama sääntö:

Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.

Matematiikassa on sellainen funktio, jonka derivaatta mille tahansa on yhtä suuri kuin itse funktion arvo samalle. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio

Tämän funktion kanta on vakio - se on ääretön desimaali, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.

Sääntö on siis:

Se on erittäin helppo muistaa.

No, älkäämme menkö pitkälle, pohditaanpa heti käänteinen funktio. Mikä on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme kanta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi" ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mikä on yhtä suuri? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Näytteilleasettaja ja luonnollinen logaritmi- funktiot ovat ainutlaatuisen yksinkertaisia ​​derivaatan suhteen. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on eri derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.

Erottamisen säännöt

Mitkä säännöt? Taas uusi termi?!...

Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.

Vain ja kaikki. Mikä on toinen sana tälle prosessille? Ei proizvodnovanie... Matematiikan differentiaalia kutsutaan funktion erittäin lisäykseksi. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä.

Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Anna, tai helpompaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden johdannaiset:

1. pisteessä;
2. pisteessä;
3. pisteessä;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

1. (derivaata on sama kaikissa kohdissa, koska se on lineaarinen funktio, muistatko?);

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: esittelemme uuden toiminnon ja löydämme sen lisäyksen:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi derivaatat funktioista ja;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponenttia (oletko unohtanut, mikä se on?).

Joten missä on joku numero.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:

Tätä varten käytämme yksinkertainen sääntö: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden johdannaiset:

Vastaukset:

Tämä on vain luku, jota ei voida laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Siksi vastauksessa se jätetään tähän muotoon.

Logaritmisen funktion derivaatta

Tässä se on samanlainen: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää mielivaltaisen logaritmista, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on saatettava tämä logaritmi perustalle. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt sen sijaan kirjoitamme:

Nimittäjä osoittautui vain vakioksi (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen on hyvin yksinkertainen:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei kokeesta löydy lähes koskaan, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arkitangentti. Näitä toimintoja voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi näyttää vaikealta, lue aihe "Logaritmit" ja kaikki selviää), mutta matematiikan kannalta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetin: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Sellainen komposiittiesine osoittautuu: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukkaa, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet päinvastaisessa järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: ensin etsitään luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten he antavat meille numeron (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliötät sen, minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi teemme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toisen toiminnon sillä, mitä tapahtui ensimmäisen seurauksena.

Voimme hyvinkin tehdä samat toimet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliö, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinia:. On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.

Toisin sanoen, Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Ensimmäisessä esimerkissä .

Toinen esimerkki: (sama). .

Viimeinen toimintamme on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottelu on hyvin samanlainen kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

1. Mihin toimiin ryhdymme ensin? Ensin laskemme sinin ja vasta sitten nostamme sen kuutioksi. Se on siis sisäinen toiminto, ei ulkoinen.
   Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: .
2. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
3. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
4. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
5. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .

muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaamme - etsi johdannainen. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäisessä esimerkissä se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Kaikki näyttää olevan yksinkertaista, eikö?

Tarkastellaanpa esimerkeillä:

Ratkaisut:

1) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

2) Sisäinen: ;

(älä vain yritä pienentää tähän mennessä! Kosinin alta ei oteta mitään, muistatko?)

3) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

On heti selvää, että tässä on kolmitasoinen monimutkainen toiminto: tämä on jo itsessään monimutkainen toiminto, ja silti poistamme juuren siitä, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laita suklaa kääreeseen ja salkussa oleva nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: joka tapauksessa "purkamme" tämän toiminnon samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.

Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.

Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:

Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys - kuten ennen:

Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.

1. Radikaali ilmaisu. .

2. Juuri. .

3. Sinus. .

4. Neliö. .

5. Laita kaikki yhteen:

JOHDANNAIS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Funktiojohdannainen- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen äärettömän pienellä argumentin lisäyksellä:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä:

Summan johdannainen:

Johdannainen tuote:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on johdannainen, mikä on sen fyysinen ja geometrinen tunne miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

fyysinen merkitys johdannainen: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . keskinopeus joksikin aikaa:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Ratkaisu:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Laskeaksemme tällaisen lausekkeen derivaatan tarkastelemme ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerromme sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Takana Lyhytaikainen autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman testin ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.

Ja lause kompleksisen funktion derivaatta, jonka muotoilu on seuraava:

Olkoon 1) funktiolla $u=\varphi (x)$ derivaatta $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ jossain pisteessä $x_0$, 2) funktiolla $y=f(u)$ on vastaavassa pisteessä $u_0=\varphi (x_0)$ derivaatta $y_(u)"=f"(u)$. Tällöin kompleksifunktiolla $y=f\left(\varphi (x) \right)$ mainitussa pisteessä on myös derivaatta, joka on yhtä suuri kuin funktioiden $f(u)$ ja $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

tai lyhyemmällä merkinnällä: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Tämän osion esimerkeissä kaikki funktiot ovat muotoa $y=f(x)$ (eli otamme huomioon vain yhden muuttujan $x$ funktiot). Vastaavasti kaikissa esimerkeissä derivaatta $y"$ otetaan suhteessa muuttujaan $x$. Korostaakseen, että derivaatta otetaan suhteessa muuttujaan $x$, kirjoitetaan usein $y"_x$ $ sijaan. y"$.

Esimerkit #1, #2 ja #3 tarjoavat yksityiskohtaisen prosessin monimutkaisten funktioiden derivaatan löytämiseksi. Esimerkki nro 4 on tarkoitettu johdannaistaulukon täydellisempään ymmärtämiseen ja siihen on järkevää tutustua.

Esimerkkien 1-3 aineiston tutkimisen jälkeen kannattaa siirtyä esimerkkien 5, 6 ja 7 itsenäiseen ratkaisemiseen. Esimerkit #5, #6 ja #7 sisältävät lyhyen ratkaisun, jotta lukija voi tarkistaa tuloksensa oikeellisuuden.

Esimerkki #1

Etsi funktion $y=e^(\cos x)$ derivaatta.

Meidän on löydettävä kompleksifunktion $y"$ derivaatta. Koska $y=e^(\cos x)$, niin $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. etsi derivaatta $ \left(e^(\cos x)\right)"$ käytä kaavaa #6 derivaattataulukosta. Jotta voit käyttää kaavaa nro 6, sinun on otettava huomioon, että meidän tapauksessamme $u=\cos x$. Toinen ratkaisu koostuu lausekkeen $\cos x$ banaalista korvaamisesta $u$:n sijaan kaavassa nro 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nyt meidän on löydettävä lausekkeen $(\cos x)"$ arvo. Siirrymme jälleen derivaattataulukkoon ja valitsemme siitä kaavan nro 10. Korvaamalla $u=x$ kaavan nro 10 saamme : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Jatketaan yhtälöä (1.1) täydentämällä sitä löydetyllä tuloksella:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Koska $x"=1$, jatkamme tasa-arvoa (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Eli yhtälöstä (1.3) on: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Selitykset ja väliyhtälöt yleensä ohitetaan, kirjoitetaan derivaatta yhdelle riville, kuten yhtälössä ( 1.3) Eli kompleksifunktion derivaatta on löydetty, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Esimerkki #2

Etsi funktion $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ derivaatta.

Meidän on laskettava derivaatta $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Aluksi huomautamme, että vakio (eli luku 9) voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Siirrytään nyt lausekkeeseen $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Jotta halutun kaavan valinta olisi helpompaa johdannaistaulukosta, esitän lausekkeen kyseessä tässä muodossa: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nyt on selvää, että on tarpeen käyttää kaavaa nro 2, ts. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Korvaa $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ja $\alpha=12$ tähän kaavaan:

Täydentämällä yhtälöä (2.1) saadulla tuloksella saamme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Tässä tilanteessa tehdään usein virhe, kun ratkaisija valitsee ensimmäisessä vaiheessa kaavan $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ kaavan sijaan $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Asia on siinä, että ensin on löydettävä ulkoisen funktion derivaatta. Ymmärtääksesi, mikä funktio on lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ulkopuolella, kuvittele, että lasket lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ jollekin arvolle $x$. Laske ensin arvon $5^x$ ja kerro sitten tulos 4:llä saadaksesi $4\cdot 5^x$. Nyt otamme tämän tuloksen arktangentin, jolloin saadaan $\arctg(4\cdot 5^x)$. Sitten nostetaan saatu luku kahdestoista potenssiin, jolloin saadaan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Viimeinen toimenpide, ts. nostamalla 12, - ja se tulee olemaan ulkoinen toiminto. Ja juuri siitä pitäisi aloittaa derivaatan etsiminen, mikä tehtiin yhtälössä (2.2).

Nyt meidän on löydettävä $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 19 ja korvaamme sen $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Yksinkertaistetaan hieman tuloksena olevaa lauseketta ottaen huomioon $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Tasa-arvosta (2.2) tulee nyt:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Jäljelle jää löytää $(4\cdot \ln x)"$. Otetaan vakio (eli 4) derivaatan etumerkistä: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Löytääksemme $(\ln x)"$ käytämme kaavaa nro 8 ja korvaamme sen $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Koska $x"=1$, niin $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Korvaamalla saatu tulos kaavaan (2.3) saadaan:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Haluan muistuttaa, että kompleksisen funktion derivaatta on useimmiten yhdellä rivillä, kuten viimeisessä yhtälössä on kirjoitettu. Siksi, kun teet vakiolaskelmia tai ohjaus toimii ratkaisua ei tarvitse kuvata niin yksityiskohtaisesti.

Vastaus: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Esimerkki #3

Etsi $y"$ funktiosta $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Aluksi muutetaan hieman $y$-funktiota ilmaisemalla radikaali (juuri) potenssina: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \oikea)^(\frac(3)(7))$. Aloitetaan nyt johdannaisen etsiminen. Koska $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, niin:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 2 korvaamalla siihen $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ja $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Jatkamme yhtälöä (3.1) käyttämällä saatua tulosta:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nyt meidän on löydettävä $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tätä varten käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 9 korvaamalla siihen $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Täydentämällä yhtäläisyyttä (3.2) saadulla tuloksella saamme:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Vielä on löydettävä $(5\cdot 9^x)"$. Ensin otetaan vakio (luku $5$) derivaatan etumerkistä, eli $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Löytääksemme derivaatan $(9^x)"$, käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 5 korvaamalla siihen $a=9$ ja $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Koska $x"=1$, sitten $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nyt voimme jatkaa yhtäläisyyttä (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Voit palata potenssista radikaaleihin (eli juuriin) kirjoittamalla $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ muodossa $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Sitten johdannainen kirjoitetaan seuraavassa muodossa:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Vastaus: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Esimerkki #4

Osoita, että johdannaistaulukossa on kaavat nro 3 ja nro 4 erikoistapaus tämän taulukon kaava numero 2.

Johdannaisten taulukon kaavaan nro 2 kirjoitetaan funktion $u^\alpha$ derivaatta. Korvaamalla $\alpha=-1$ kaavaan #2 saadaan:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Koska $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ja $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, yhtälö (4.1) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tämä on johdannaistaulukon kaava numero 3.

Käännytään taas johdannaistaulukon kaavaan nro 2. Korvaa $\alpha=\frac(1)(2)$ siihen:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Koska $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ja $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, niin yhtälö (4.2) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Tuloksena oleva yhtälö $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ on johdannaistaulukon kaava nro 4. Kuten näet, johdannaistaulukon kaavat nro 3 ja 4 saadaan kaavasta nro 2 korvaamalla vastaava arvo $\alpha$.