Yksi algebran ja itse asiassa kaikessa matematiikan pääominaisuuksista on tutkinto. Tietenkin 2000-luvulla kaikki laskelmat voidaan suorittaa online-laskimella, mutta on parempi oppia tekemään se itse aivojen kehittämiseksi.

Tässä artikkelissa tarkastelemme eniten tärkeitä kysymyksiä tämän määritelmän suhteen. Nimittäin ymmärrämme, mikä se on yleensä ja mitkä ovat sen päätoiminnot, mitä ominaisuuksia matematiikassa on.

Katsotaanpa esimerkkejä siitä, miltä laskenta näyttää, mitkä ovat peruskaavat. Analysoimme suureiden päätyypit ja kuinka ne eroavat muista funktioista.

Ymmärrämme kuinka ratkaista erilaisia ​​ongelmia käyttämällä tätä arvoa. Näytämme esimerkein kuinka nolla-asteeseen, irrationaaliseen, negatiiviseen jne.

Online eksponentiolaskin

Mikä on luvun aste

Mitä tarkoittaa ilmaus "nosta luku potenssiin"?

Luvun a aste n on suuruustekijöiden a tulo n kertaa peräkkäin.

Matemaattisesti se näyttää tältä:

a n = a * a * a * …a n .

Esimerkiksi:

• 2 3 = 2 kolmannessa vaiheessa. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 vaiheessa. kaksi = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 vaiheessa. neljä = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 5 vaiheessa. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 \u003d 10 4 vaiheessa. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Alla on taulukko neliöistä ja kuutioista 1-10.

Astetaulukko 1-10

Alla on tulokset luonnollisten lukujen nostamisesta positiivisiin potenssiin - "yhdestä sataan".

Ch-lo	2. luokka	3. luokka
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Tutkinnon ominaisuudet

Mikä on ominaista sellaiselle matemaattiselle funktiolle? Katsotaanpa perusominaisuuksia.

Tiedemiehet ovat vahvistaneet seuraavan kaikille asteille tyypilliset merkit:

• an*am = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m) .

Tarkastellaanpa esimerkeillä:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Toisaalta 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Vastaavasti: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Muuten 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Entä jos se on erilainen? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kuten näet, säännöt toimivat.

Mutta kuinka olla yhteen- ja vähennyslaskulla? Kaikki on yksinkertaista. Ensin suoritetaan eksponentio ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku.

Katsotaanpa esimerkkejä:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Mutta tässä tapauksessa sinun on ensin laskettava lisäys, koska suluissa on toimintoja: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kuinka tuottaa laskelmia monimutkaisemmissa tapauksissa? Järjestys on sama:

• jos suluissa on, sinun on aloitettava niistä;
• sitten eksponentio;
• sitten suorita kerto- ja jakolaskuoperaatiot;
• yhteen- ja vähennyslaskujen jälkeen.

On tiettyjä ominaisuuksia, jotka eivät ole tyypillisiä kaikille asteille:

1. N:nnen asteen juuri luvusta a asteeseen m kirjoitetaan seuraavasti: a m / n .
2. Kun murtoluku nostetaan potenssiin: sekä osoittaja että sen nimittäjä ovat tämän menettelyn alaisia.
3. Teosta rakennettaessa eri numerot potenssiin, lauseke vastaa näiden lukujen tuloa tietyllä potenssilla. Eli: (a * b) n = a n * b n .
4. Kun nostat luvun negatiiviseen potenssiin, sinun on jaettava 1 numerolla samassa vaiheessa, mutta "+"-merkillä.
5. Jos murto-osan nimittäjä on negatiivisessa potenssissa, tämä lauseke on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän tulo positiivisessa potenssissa.
6. Mikä tahansa luku potenssiin 0 = 1 ja askeleeseen. 1 = itselleen.

Nämä säännöt ovat tärkeitä yksittäisissä tapauksissa, käsittelemme niitä tarkemmin alla.

Aste negatiivisella eksponentilla

Mitä tehdä milloin miinus aste, eli milloin eksponentti on negatiivinen?

Perustuu ominaisuuksiin 4 ja 5(katso kohta yllä) se käy ilmi:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Ja päinvastoin:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Entä jos se on murto-osa?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Tutkinto luonnollisella indikaattorilla

Se ymmärretään asteeksi, jonka eksponentit ovat yhtä suuret kuin kokonaisluvut.

Muistettavaa:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… jne.

A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… jne.

Lisäksi, jos (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… niin tulos on +-merkillä. Jos negatiivinen luku nostetaan parittomaan potenssiin, niin päinvastoin.

Yleiset ominaisuudet ja kaikki edellä kuvatut erityispiirteet ovat myös niille ominaisia.

Murtoluku

Tämä näkymä voidaan kirjoittaa kaaviona: A m / n. Se luetaan seuraavasti: luvun A n:nnen asteen juuri luvun m potenssiin.

Murto-osoittimella voit tehdä mitä tahansa: pienentää, hajottaa osiin, nostaa toiseen asteeseen jne.

Aste irrationaalisella eksponentilla

Olkoon α irrationaalinen luku ja А ˃ 0.

Ymmärtääksesi tutkinnon olemuksen tällaisella indikaattorilla, Katsotaanpa erilaisia ​​mahdollisia tapauksia:

• A \u003d 1. Tulos on yhtä suuri kuin 1. Koska on olemassa aksiooma - 1 on yhtä suuri kuin yksi kaikilla potenssilla;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 ovat rationaalilukuja;

• 0˂А˂1.

Tässä tapauksessa päinvastoin: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 samoissa olosuhteissa kuin toisessa kappaleessa.

Esimerkiksi eksponentti on luku π. Se on järkevää.

r 1 - tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin 3;

r 2 - on yhtä suuri kuin 4.

Sitten kun A = 1, 1 π = 1.

A = 2, sitten 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sitten (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16˂ (½) π˂ 1/8.

Tällaisille asteille on tunnusomaista kaikki edellä kuvatut matemaattiset operaatiot ja erityisominaisuudet.

Johtopäätös

Tehdään yhteenveto - mitä varten nämä arvot ovat, mitkä ovat tällaisten toimintojen edut? Tietenkin ensinnäkin ne yksinkertaistavat matemaatikoiden ja ohjelmoijien elämää esimerkkejä ratkaistaessa, koska ne mahdollistavat laskelmien minimoimisen, algoritmien vähentämisen, tietojen systematisoinnin ja paljon muuta.

Missä muualla tästä tiedosta voi olla hyötyä? Millä tahansa toimialalla: lääketiede, farmakologia, hammaslääketiede, rakentaminen, tekniikka, suunnittelu, suunnittelu jne.

Kuten tiedät, matematiikassa ei ole vain positiivisia, vaan myös negatiivisia lukuja. Jos positiivisiin asteisiin tutustuminen alkaa neliön alueen määrittämisellä, niin negatiivisilla kaikki on hieman monimutkaisempaa.

Tämä pitäisi tietää:

1. Nostetaan numeroa luonnollinen tutkinto luvun kertolaskua kutsutaan (artikkelin luvun ja luvun käsitettä pidetään vastaavina) sellaisenaan eksponenttinä (jäljempänä käytämme rinnakkain ja yksinkertaisesti sanaa indikaattori). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. SISÄÄN yleisnäkymä se näyttää tältä: m^n = m*m*m*…*m (n kertaa).
2. On syytä muistaa, että kun negatiivinen luku nostetaan luonnolliseen potenssiin, siitä tulee positiivinen, jos eksponentti on parillinen.
3. Luvun nostaminen eksponenttiin 0 antaa yksikön, mikäli se ei ole nolla. Nolla nollan potenssiin katsotaan määrittelemättömäksi. 17^0 = 1.
4. Tietyn asteen juuren erottamista luvusta kutsutaan sellaisen luvun löytämiseksi, joka nostettuna sopivaan indikaattoriin antaa halutun arvon. Joten luvun 125 kuutiojuuri on 5, koska 5^3 = 125.
5. Jos haluat nostaa luvun positiiviseen murto-osaan, sinun on nostettava luku nimittäjään ja erotettava siitä osoittajan juuri. 6^5/7 = 6*6*6*6*6:n 7. juuri.
6. Jos haluat nostaa luvun negatiiviseen eksponenttiin, sinun on löydettävä tämän käänteisluku. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Luvun nostaminen negatiiviseen tehomoduuliin nollasta yhteen

Ensinnäkin meidän on muistettava mikä on moduuli. Tämä on koordinaattiviivan etäisyys valitsemastamme arvosta alkupisteeseen (koordinaattiviivan nollaan). Määritelmän mukaan se ei voi koskaan olla negatiivinen.

Arvo suurempi kuin nolla

Kun numeron arvo on alueella nollasta yhteen, negatiivinen indikaattori lisää itse numeroa. Tämä tapahtuu, koska nimittäjä pienenee, mutta pysyy positiivisena.

Katsotaanpa esimerkkejä:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Lisäksi mitä suurempi indikaattorin moduuli on, sitä aktiivisemmin luku kasvaa. Kun nimittäjä pyrkii nollaan, itse murto-osa pyrkii plus äärettömään.

Arvo pienempi kuin nolla

Mieti nyt kuinka nostaa negatiivinen potenssi, jos luku alle nolla. Periaate on sama kuin edellisessä osassa, mutta eksponentin etumerkillä on tässä väliä.

Katsotaanpa esimerkkejä uudelleen:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Tässä tapauksessa näemme sen moduuli jatkaa kasvuaan, mutta etumerkki riippuu siitä, onko eksponentti parillinen vai pariton.

On huomattava, että jos rakennamme yksikön, se pysyy aina omana itsenään. Jos sinun täytyy nostaa lukua miinus yksi, niin parillisella eksponentilla se muuttuu ykköseksi, parittomalla se jää miinus ykköseksi.

Nostaminen negatiiviseen kokonaislukupotenssiin, jos moduuli on suurempi kuin yksi

Numeroille, joiden moduuli on suurempi kuin yksi, niillä on omat toiminnan ominaispiirteensä. Ensinnäkin sinun on muutettava koko murto-osa osoittajaksi, toisin sanoen muunnetaan se vääräksi murtoluvuksi. Jos meillä on desimaaliluku, se on muutettava tavalliseksi murtoluvuksi. Tämä tehdään seuraavasti:

• 6 kokonaislukua 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Mieti nyt, kuinka nostaa luku negatiiviseen potenssiin näissä olosuhteissa. Jo edellä olevan perusteella voimme olettaa, mitä meidän pitäisi odottaa laskelmien tuloksesta. Koska kaksinkertainen murto-osa käännetään yksinkertaistuksissa, luvun moduuli pienenee mitä nopeammin, mitä suurempi indikaattorin moduuli on.

Mieti ensin tilannetta, jossa annettu luku on positiivinen.

Ensinnäkin käy selväksi, että lopputulos on suurempi kuin nolla, koska kahden positiivisen jakaminen antaa aina positiivisen. Katsotaanpa jälleen esimerkkejä siitä, kuinka tämä tehdään:

• 6 kokonaislukua 1/20 miinus viidenteen potenssiin = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kuten näette, toimet eivät aiheuta erityisiä vaikeuksia, ja kaikki alkuperäiset olettamuksemme osoittautuivat todeksi.

Siirrymme nyt negatiivisen numeron tapaukseen.

Aluksi voimme olettaa, että jos indikaattori on parillinen, tulos on positiivinen, jos indikaattori on pariton, tulos on negatiivinen. Kaikki aiemmat laskelmamme tässä osassa katsotaan nyt päteviksi. Katsotaanpa esimerkkejä uudelleen:

• -3 kokonaisluku 1/2 miinus kuudenteen potenssiin = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Näin ollen kaikki perustelumme osoittautuivat oikeaksi.

Korotus negatiivisen murtolukueksponentin tapauksessa

Tässä sinun on muistettava, että tällainen erektio on olemassa nimittäjän asteen juuren erottaminen osoittajan asteen luvusta. Kaikki aikaisemmat päättelymme pitävät paikkansa myös tällä kertaa. Selitetään toimintaamme esimerkillä:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Tässä tapauksessa sinun on pidettävä mielessä, että juurien uuttaminen korkeatasoinen se on mahdollista vain erityisesti valitussa muodossa, ja todennäköisimmin et voi päästä eroon radikaalin merkistä (neliöjuuri, kuutiojuuri ja niin edelleen) tarkoilla laskelmilla.

Siitä huolimatta, kun edelliset luvut on tutkittu yksityiskohtaisesti, ei pitäisi odottaa vaikeuksia koululaskelmissa.

On huomattava, että tämän luvun kuvaus sisältää myös erektio tarkoituksella irrationaalisella eksponentilla esimerkiksi jos ilmaisin on miinus PI. Sinun on toimittava edellä kuvattujen periaatteiden mukaisesti. Tällaisissa tapauksissa laskelmat ovat kuitenkin niin monimutkaisia, että vain tehokkaat elektroniset tietokoneet voivat tehdä sen.

Johtopäätös

Toiminta, jota tutkimme on yksi matematiikan vaikeimmista ongelmista(varsinkin kun kyseessä on murto-rationaalinen tai irrationaalinen arvo). Kuitenkin tutkittuaan yksityiskohtaisesti ja askel askeleelta tämä käsikirja, voit oppia tekemään sen täysin automaattisesti ilman ongelmia.

Jatkossa keskustelua luvun asteesta on loogista käsitellä asteen arvon löytämistä. Tämä prosessi on nimetty eksponentio. Tässä artikkelissa tutkimme vain, kuinka eksponentiointi suoritetaan, samalla kun käsittelemme kaikkia mahdollisia eksponenteja - luonnollisia, kokonaislukuja, rationaalisia ja irrationaalisia. Ja perinteen mukaan harkitsemme yksityiskohtaisesti ratkaisuja esimerkkeihin lukujen nostamisesta eri asteilla.

Sivulla navigointi.

Mitä "exponsaatio" tarkoittaa?

Aloitetaan selittämällä, mitä kutsutaan eksponentioksi. Tässä on asiaankuuluva määritelmä.

Määritelmä.

Eksponentointi on löytää luvun potenssin arvo.

Siten a:n potenssin arvon löytäminen eksponentin r kanssa ja luvun a nostaminen r:n potenssiin on sama asia. Jos tehtävänä on esimerkiksi "laske potenssin arvo (0,5) 5", se voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: "Nosta luku 0,5 potenssiin 5".

Nyt voit siirtyä suoraan sääntöihin, joilla eksponentiointi suoritetaan.

Luvun nostaminen luonnolliseksi voimaksi

Käytännössä tasa-arvoa sovelletaan yleensä muodossa . Toisin sanoen nostettaessa lukua a murto-osaan m / n, erotetaan ensin n:nnen asteen juuri luvusta a, minkä jälkeen tulos nostetaan kokonaislukupotenssiin m.

Harkitse ratkaisuja esimerkkeihin nostamisesta murto-osaan.

Esimerkki.

Laske tutkinnon arvo.

Ratkaisu.

Näytämme kaksi ratkaisua.

Ensimmäinen tapa. Asteen määritelmän mukaan murto-eksponentilla. Laskemme asteen arvon juuren merkin alla, minkä jälkeen poimimme kuutiojuuren: .

Toinen tapa. Murto-eksponentin asteen määritelmän ja juurien ominaisuuksien perusteella yhtälöt ovat tosia . Poimi nyt juuri Lopuksi nostetaan kokonaislukupotenssiin .

Ilmeisesti murto-osaan nostamisesta saadut tulokset osuvat yhteen.

Vastaus:

Huomaa, että murtoluku voidaan kirjoittaa muodossa desimaaliluku tai sekaluku, näissä tapauksissa se tulee korvata vastaavalla tavallisella murtoluvulla, jonka jälkeen tulee suorittaa eksponentio.

Esimerkki.

Laske (44,89) 2,5 .

Ratkaisu.

Kirjoitamme eksponentin muotoon murtoluku(tarvittaessa katso artikkeli): . Nyt suoritamme korotuksen murto-osaan:

Vastaus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

On myös sanottava, että lukujen nostaminen rationaalisiin potenssiin on melko työläs prosessi (varsinkin kun murto-eksponentin osoittaja ja nimittäjä sisältävät tarpeeksi suuria lukuja), joka suoritetaan yleensä tietokonetekniikalla.

Tämän kappaleen lopuksi tarkastelemme luvun nollan rakentamista murto-osaan. Annoimme muodon murto-osalle nolla-asteen seuraavan merkityksen: sillä meillä on , kun taas nollaa tehoon m/n ei ole määritelty. Joten nollasta positiiviseen murto-osaan on nolla, esimerkiksi . Ja nolla murto-osa negatiivisessa potenssissa ei ole järkevää, esimerkiksi lausekkeet ja 0 -4,3 eivät ole järkeviä.

Nousu irrationaaliseen voimaan

Joskus on tarpeen selvittää luvun asteen arvo irrationaalisella eksponentilla. Tässä tapauksessa käytännön syistä yleensä riittää, että tutkinnon arvo saadaan tiettyyn merkkiin asti. Huomaamme heti, että käytännössä tämä arvo lasketaan elektronisen laskentatekniikan avulla, koska manuaalinen nostaminen irrationaaliseen tehoon vaatii suuri numero hankalia laskelmia. Kuvaamme kuitenkin yleisesti ottaen toiminnan ydin.

Jotta saadaan likimääräinen arvo a:n potenssille irrationaalisella eksponentilla, otetaan eksponentin desimaaliapproksimaatio ja lasketaan eksponentin arvo. Tämä arvo on luvun a asteen likimääräinen arvo irrationaalisen eksponentin kanssa. Mitä tarkempi luvun desimaalilikiarvo otetaan aluksi, sitä enemmän tarkka arvo tutkinto saadaan lopulta.

Lasketaan esimerkiksi potenssin 2 likimääräinen arvo 1,174367... . Otetaan seuraava irrationaalisen indikaattorin desimaaliapproksimaatio: . Nostetaan nyt 2 rationaaliseen potenssiin 1,17 (kuvailimme tämän prosessin olemusta edellisessä kappaleessa), saamme 2 1,17 ≈ 2,250116. Täten, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jos otamme irrationaalisen eksponentin tarkemman desimaaliarvion, esimerkiksi , niin saadaan alkuperäisen asteen tarkempi arvo: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikan Zh oppikirja 5 solulle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 7 solulle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8 solulle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 9 solulle. koulutusinstituutiot.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Tutkinto negatiivisella indikaattorilla. Määritelmä ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Käsikirja oppikirjaan Muravina G.K. Käsikirja oppikirjaan Alimova Sh.A.

Asteen määrittäminen negatiivisella eksponentilla

Kaverit, olemme hyviä nostamaan numeroita valtaan.
Esimerkki: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Tiedämme hyvin, että mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi. $a^0=1$, $a≠0$.
Herää kysymys, mitä tapahtuu, jos nostat luvun negatiiviseen potenssiin? Mikä esimerkiksi olisi luku $2^(-2)$?
Ensimmäiset tämän kysymyksen esittäneet matemaatikot päättivät, että pyörää ei kannata keksiä uudelleen, ja oli hyvä, että kaikki asteiden ominaisuudet säilyvät samoina. Eli kun voimat kerrotaan kanssa sama pohja, eksponentit laskevat yhteen.
Tarkastellaan tätä tapausta: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Saimme, että tällaisten lukujen tulon pitäisi antaa yhtenäisyys. Tuloksen yksikkö saadaan kertomalla käänteisluvut, eli $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Tällainen päättely johti seuraavaan määritelmään.
Määritelmä. Jos $n$ luonnollinen luku ja $а≠0$, niin seuraava yhtälö pätee: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Tärkeä usein käytetty identiteetti: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Erityisesti $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Ratkaisuesimerkkejä

Esimerkki 1
Laske: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Ratkaisu.
Tarkastellaan jokaista termiä erikseen.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Suorita vielä yhteen- ja vähennysoperaatiot: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Vastaus: $6\frac(1)(4)$.

Esimerkki 2
Ilmaise annettu luku potenssina alkuluku$\frac(1)(729)$.

Ratkaisu.
Ilmeisesti $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Mutta 729 ei ole 9:ään päättyvä alkuluku. Voimme olettaa, että tämä luku on kolmen potenssi. Jaetaan 729 peräkkäin kolmella.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Kuusi operaatiota on suoritettu, mikä tarkoittaa: $729=3^6$.
Tehtäväämme varten:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Vastaus: $3^(-6)$.

Esimerkki 3. Ilmaise lauseke potenssina: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Ratkaisu. Ensimmäinen operaatio tehdään aina hakasulkeissa, sitten kertolasku $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Vastaus: $a$.

Esimerkki 4. Todista henkilöllisyys:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Ratkaisu.
Harkitse vasemmalla puolella jokaista suluissa olevaa tekijää erikseen.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Siirrytään murto-osaan, jolla jaamme.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Tehdään jako.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Saimme oikean henkilöllisyyden, joka oli todistettava.

Oppitunnin lopussa kirjoitamme jälleen asteittaisten toimien säännöt, tässä eksponentti on kokonaisluku.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Laske: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Esitä annettu luku alkuluvun $\frac(1)(16384)$ potenssina.
3. Ilmaise lauseke asteina:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Todista henkilöllisyys:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Yhdessä edellisistä artikkeleista mainitsimme jo luvun asteen. Tänään yritämme navigoida sen merkityksen löytämisprosessissa. Tieteellisesti puhuen selvitämme, kuinka eksponentioitetaan oikein. Ymmärrämme, kuinka tämä prosessi suoritetaan, koskettamalla samalla kaikkia mahdollisia eksponenteja: luonnollista, irrationaalista, rationaalista, kokonaisuutta.

Katsotaanpa siis tarkemmin esimerkkien ratkaisuja ja selvitetään, mitä se tarkoittaa:

1. Käsitteen määritelmä.
2. Nousu negatiiviseen taiteeseen.
3. Koko pistemäärä.
4. Numeron nostaminen irrationaaliseen potenssiin.

Tässä on määritelmä, joka heijastaa tarkasti merkitystä: "Potensseiksi korottaminen on luvun asteen arvon määritelmä."

Näin ollen luvun a rakentaminen Art. r ja asteen a arvon löytäminen eksponentin r kanssa ovat identtisiä käsitteitä. Jos tehtävänä on esimerkiksi laskea asteen arvo (0,6) 6 ″, niin se voidaan yksinkertaistaa lausekkeeksi "Nosta luku 0,6 potenssiin 6".

Sen jälkeen voit siirtyä suoraan rakennussääntöihin.

Nostaminen negatiiviseen voimaan

Selvyyden vuoksi sinun tulee kiinnittää huomiota seuraavaan ilmaisuketjuun:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 in miinus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 miinus 2 vaiheessa.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 miinus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 - miinus 4 astetta.

Näiden esimerkkien ansiosta näet selvästi kyvyn laskea välittömästi 10 mihin tahansa negatiiviseen potenssiin. Tätä tarkoitusta varten riittää, että siirrät desimaalikomponenttia:

• 10 - -1 aste - ennen yksikköä 1 nolla;
• in -3 - kolme nollaa ennen yhtä;
• -9 on 9 nollaa ja niin edelleen.

Tämän järjestelmän mukaan on myös helppo ymmärtää, kuinka paljon on 10 miinus 5 rkl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuinka nostaa luku luonnolliseksi voimaksi

Määritelmää muistuttaessa otamme huomioon, että luonnollinen luku a taiteessa. n on n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Havainnollistetaan: (a * a * ... a) n, missä n on kerrottujen lukujen määrä. Vastaavasti a:n nostamiseksi n:ään on laskettava seuraavan muodon tulo: a * a * ... ja jaettava n:llä.

Tästä se tulee selväksi erektio luonnontaiteessa. perustuu kykyyn suorittaa kertolasku(tämä materiaali on käsitelty reaalilukujen kertomista käsittelevässä osiossa). Katsotaanpa ongelmaa:

Nosta -2 4. rkl.

Olemme tekemisissä luonnollisen indikaattorin kanssa. Näin ollen päätöksen kulku on seuraava: (-2) pykälässä. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nyt on vain suoritettava kokonaislukujen kertolasku: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Saamme 16.

Vastaus tehtävään:

(-2) art. 4 = 16.

Esimerkki:

Laske arvo: kolmen pisteen kaksi seitsemäsosaa neliössä.

Tämä esimerkki vastaa seuraavaa tuotetta: kolme piste kaksi seitsemäs kertaa kolme piste kaksi seitsemäs. Muistaen kuinka sekalukujen kertolasku suoritetaan, saamme rakennuksen valmiiksi:

• 3 kokonaista 2 seitsemäsosaa kerrottuna itsestään;
• vastaa 23 seitsemäsosaa kertaa 23 seitsemäsosaa;
• on 529 neljäkymmentäyhdeksäsosaa;
• vähennämme ja saamme 10 kolmekymmentäyhdeksän neljäkymmentäyhdeksäsosaa.

Vastaus: 10 39/49

Mitä tulee kysymykseen nostamisesta irrationaaliseen indikaattoriin, on huomattava, että laskelmia aletaan tehdä sen jälkeen, kun asteen perustan alustava pyöristys on suoritettu johonkin arvoon, mikä mahdollistaisi arvon saamisen tietyllä tarkkuudella . Esimerkiksi luku P (pi) on neliötettävä.

Aloitamme pyöristämällä P sadasosiksi ja saamme:

P neliö \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Jos kuitenkin vähennämme P kymmeneen tuhannesosaan, saadaan P = 3,14159. Sitten neliöinti saa täysin erilaisen numeron: 9.8695877281.

Tässä on huomattava, että monissa ongelmissa ei ole tarvetta nostaa irrationaalisia lukuja potenssiin. Pääsääntöisesti vastaus syötetään joko itse asiassa asteen muodossa, esimerkiksi 6:n juuri 3:n potenssiin, tai jos lauseke sallii, sen muunnos suoritetaan: 5:n juuri. 7 asteeseen \u003d 125 juuri 5:stä.

Kuinka nostaa luku kokonaisluvun potenssiin

Tämä algebrallinen manipulointi on sopiva ottaa huomioon seuraavissa tapauksissa:

• kokonaisluvuille;
• nolla-indikaattorille;
• positiiviselle kokonaisluvulle.

Koska lähes kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat yhtäpitäviä luonnollisten lukujen massan kanssa, sen asettaminen positiiviseksi kokonaislukupotenssiksi on sama prosessi kuin sen asettaminen Art. luonnollinen. Olemme kuvanneet tätä prosessia edellisessä kappaleessa.

Puhutaanpa nyt Art:n laskemisesta. tyhjä. Olemme jo edellä todenneet, että luvun a nollapotenssi voidaan määrittää mille tahansa nollasta poikkeavalle a (todelliselle), kun taas a:ssa st. 0 on yhtä suuri kuin 1.

Näin ollen minkä tahansa reaaliluvun rakentaminen nollaan taidetta. antaa yhden.

Esimerkiksi 10 st.0=1, (-3.65)0=1 ja 0 st. 0 ei voida määrittää.

Jotta eksponentio voidaan suorittaa kokonaislukupotenssiin, on vielä päätettävä negatiivisten kokonaislukuarvojen vaihtoehdoista. Muistamme, että Art. alkaen a kokonaislukueksponentilla -z määritellään murtoluvuksi. Murtoluvun nimittäjässä on Art. positiivisella kokonaislukuarvolla, jonka arvon olemme jo oppineet löytämään. Nyt on vain harkittava esimerkkiä rakentamisesta.

Esimerkki:

Laske negatiivisella kokonaisluvulla kuutioidun luvun 2 arvo.

Ratkaisuprosessi:

Negatiivinen indikaattorin asteen määritelmän mukaan merkitsemme: kaksi miinus 3 rkl. vastaa yhdestä kahteen kolmanteen potenssiin.

Nimittäjä lasketaan yksinkertaisesti: kaksi kuutiota;

3 = 2*2*2=8.

Vastaus: kahdesta miinus 3. rkl. = yksi kahdeksasosa.