Jonkin verran algebrallisia esimerkkejä Pelkästään niitä katsomalla ne voivat kauhistuttaa koululaisia. Pitkät ilmaisut eivät ole vain pelottavia, vaan ne myös tekevät laskelmista erittäin vaikeita. Yritetään heti ymmärtää mitä seuraa, ei kestä kauan hämmentyä. Tästä syystä matemaatikot yrittävät aina yksinkertaistaa "kauheaa" ongelmaa mahdollisimman paljon ja vasta sitten ryhtyä ratkaisemaan sitä. Kummallista kyllä, tämä temppu nopeuttaa huomattavasti työprosessia.

Yksinkertaistaminen on yksi algebran peruskohdista. Jos sisään yksinkertaisia ​​tehtäviä Voit silti pärjätä ilmankin, mutta vaikeammin laskettavat esimerkit voivat osoittautua liian vaikeiksi. Tässä nämä taidot ovat hyödyllisiä! Lisäksi ei vaadita monimutkaista matemaattista tietoa: riittää, kun muistat ja opit soveltamaan käytännössä muutamia perustekniikoita ja kaavoja.

Laskelmien monimutkaisuudesta riippumatta se on tärkeää mitä tahansa lauseketta ratkaistaessa noudata numerotoimintojen suoritusjärjestystä:

1. suluissa;
2. eksponentio;
3. kertolasku;
4. jako;
5. lisäys;
6. vähennyslasku.

Kaksi viimeistä pistettä voidaan helposti vaihtaa, eikä tämä vaikuta tulokseen millään tavalla. Mutta kahden vierekkäisen luvun lisääminen, kun yhden vieressä on kertomerkki, on ehdottomasti kielletty! Vastaus, jos sellainen on, on väärä. Siksi sinun on muistettava järjestys.

Sellaisten käyttö

Tällaisia ​​elementtejä ovat numerot, joiden muuttuja on samaa kertaluokkaa tai samaa astetta. On myös niin sanottuja ilmaisia ​​jäseniä, joilla ei ole vieressään kirjainmerkintä tuntematon.

Asia on siinä, että sulkujen puuttuessa voit yksinkertaistaa lauseketta lisäämällä tai vähentämällä samankaltaisia.

Muutama havainnollistava esimerkki:

• 8x 2 ja 3x 2 - molemmilla luvuilla on sama toisen asteen muuttuja, joten ne ovat samankaltaisia ​​ja lisättynä ne yksinkertaistuvat arvoon (8+3)x 2 =11x 2, kun taas vähennettynä ne saavat (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 ja 6x - ja tässä "x":llä on eri asteet;
• 2y 7 ja 33x 7 - sisältävät erilaisia ​​muuttujia, joten, kuten edellisessä tapauksessa, ne eivät ole samanlaisia.

Lukujen faktorointi

Tämä pieni matemaattinen temppu, jos opit käyttämään sitä oikein, auttaa useammin kuin kerran selviytymään hankalasta ongelmasta tulevaisuudessa. Ja ei ole vaikeaa ymmärtää, kuinka "järjestelmä" toimii: hajoaminen on useiden alkuaineiden tulo, joiden laskeminen antaa alkuperäisen arvon. Joten 20 voidaan esittää muodossa 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 tai jollain muulla tavalla.

muistiinpanolla: Tekijät ovat aina samat kuin jakajat. Joten sinun on etsittävä toimiva "pari" hajottamiseksi lukujen joukosta, joihin alkuperäinen on jaollinen ilman jäännöstä.

Tämä toiminto voidaan suorittaa sekä vapailla termeillä että muuttujan numeroilla. Tärkeintä ei ole menettää jälkimmäistä laskelmien aikana - jopa hajoamisen jälkeen tuntematon ei voi vain "mennä mihinkään". Se jää yhteen kertoimista:

• 15x = 3(5x);
• 60v 2 = (15v 2)4.

Alkulukuja, jotka voidaan jakaa vain itsestään tai 1:llä, ei koskaan laajenneta - siinä ei ole järkeä.

Yksinkertaistamisen perusmenetelmät

Ensimmäinen asia, johon silmäsi tarttuu:

• sulkeiden läsnäolo;
• fraktiot;
• juuret.

Algebrallisia esimerkkejä koulun opetussuunnitelma on usein kirjoitettu sillä ajatuksella, että ne voidaan kauniisti yksinkertaistaa.

Laskelmat suluissa

Kiinnitä huomiota kiinnikkeiden edessä olevaan kylttiin! Kerto- tai jakolaskua käytetään jokaiseen sisällä olevaan elementtiin, ja miinusmerkki kääntää olemassa olevat "+"- tai "-"-merkit.

Hakasulkeet lasketaan sääntöjen mukaan tai käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja, minkä jälkeen annetaan samanlaiset.

Murtolukujen vähentäminen

Pienennä fraktioita Se on myös helppoa. He itse "pakenevat mielellään" silloin tällöin, heti kun toimenpiteitä tällaisten jäsenten tuomiseksi suoritetaan. Mutta voit yksinkertaistaa esimerkkiä jo ennen sitä: kiinnitä huomiota osoittajaan ja nimittäjään. Ne sisältävät usein eksplisiittisiä tai piilotettuja elementtejä, joita voidaan vähentää keskenään. Totta, jos ensimmäisessä tapauksessa sinun täytyy vain yliviivata tarpeeton, toisessa sinun on mietittävä ja saatava osa ilmauksesta muotoon yksinkertaistamiseksi. Käytetyt menetelmät:

• suurimman etsiminen ja haarukointi yhteinen jakaja osoittajassa ja nimittäjässä;
• jakamalla kunkin ylimmän elementin nimittäjällä.

Kun lauseke tai osa siitä on juuren alla, yksinkertaistamisen ensisijainen tehtävä on melkein samanlainen kuin murtolukujen tapauksessa. On tarpeen etsiä tapoja päästä eroon siitä kokonaan tai, jos tämä ei ole mahdollista, minimoida laskelmia häiritsevä merkki. Esimerkiksi huomaamaton √(3) tai √(7) asti.

Oikea tapa yksinkertaistaa radikaalia ilmaisua - yritä ottaa se huomioon, joista osa ulottuu merkin ulkopuolelle. Havainnollistava esimerkki: √(90)=√(9×10) = √(9)×√(10)=3√(10).

Muita pieniä temppuja ja vivahteita:

• tämä yksinkertaistamisoperaatio voidaan suorittaa murtoluvuilla poistamalla se merkistä sekä kokonaisuutena että erikseen osoittajaksi tai nimittäjäksi;
• Osaa summasta tai erosta ei voida laajentaa ja viedä juuren ulkopuolelle;
• kun työskentelet muuttujien kanssa, muista ottaa huomioon sen aste, sen on oltava yhtä suuri tai monikertainen juurilla, jotta se voidaan ottaa pois: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 x x)=x√(x);
• joskus on mahdollista päästä eroon radikaalimuuttujasta nostamalla se murto-osaan: √(y 3)=y 3/2.

Teholausekkeen yksinkertaistaminen

Jos yksinkertaisissa miinus- tai pluslaskelmissa esimerkkejä yksinkertaistetaan lainaamalla samanlaisia, niin mitä tehdä, kun muuttujat kerrotaan tai jaetaan eri asteet? Niitä voidaan helposti yksinkertaistaa muistamalla kaksi pääkohtaa:

1. Jos muuttujien välillä on kertomerkki, potenssit lasketaan yhteen.
2. Kun ne jaetaan keskenään, sama nimittäjän potenssi vähennetään osoittajan potenssista.

Ainoa ehto tällaiselle yksinkertaistamiselle on sama pohja molemmat jäsenet. Esimerkkejä selvyyden vuoksi:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) = (5 × 4) x 2 + 7 + y 13 - 11 = 20 x 9 + y 2;
• 2z 3 + z × z 2 -(3 × z 8 /z 5) = 2z 3 +z 1 + 2 -(3 × z 8-5) = 2z 3 + z 3 - 3z 3 = 3z 3 - 3z 3 = 0.

Huomaa, että operaatiot, joissa on numeeriset arvot muuttujien edessä, tapahtuvat tavallisten matemaattisten sääntöjen mukaisesti. Ja jos katsot tarkasti, käy selväksi, että ilmaisun "toimivat" voimaelementit samalla tavalla:

• termin nostaminen potenssiin tarkoittaa sen kertomista itsestään tietyn määrän kertoja, eli x 2 =x×x;
• jako on samanlainen: jos laajennat osoittajan ja nimittäjän tehoja, osa muuttujista peruuntuu, kun taas loput "kerätään", mikä vastaa vähennyslaskua.

Kuten mikä tahansa, algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen vaatii paitsi perusasioiden tuntemusta myös harjoittelua. Muutaman oppitunnin jälkeen aikoinaan monimutkaisilta tuntuneet esimerkit vähenevät ilman suurempia vaikeuksia ja muuttuvat lyhyiksi ja helposti ratkaistaviksi.

Video

Tämä video auttaa sinua ymmärtämään ja muistamaan, kuinka ilmaisuja yksinkertaistetaan.

Etkö saanut vastausta kysymykseesi? Ehdota aihetta kirjoittajille.

Osa 5 LAUSUKSET JA YHTÄLÖT

Tässä osiossa opit:

ü o ilmaukset ja niiden yksinkertaistukset;

ü mitkä ovat tasa-arvojen ominaisuudet;

ü kuinka ratkaista yhtälöitä yhtäläisten ominaisuuksien perusteella;

ü millaisia ​​ongelmia ratkaistaan ​​yhtälöiden avulla; mitkä ovat kohtisuorat viivat ja kuinka ne rakennetaan;

ü mitä linjoja kutsutaan rinnakkaiksi ja miten ne rakennetaan;

ü mikä on koordinaattitaso?

ü kuinka määrittää tason pisteen koordinaatit;

ü mikä on kaavio määrien välisestä suhteesta ja kuinka se rakennetaan;

ü kuinka soveltaa opittua materiaalia käytännössä

§ 30. MÄÄRÄYKSET JA NIIDEN YKSINKERTAISTAMINEN

Tiedät jo mikä se on kirjaimellisia ilmaisuja ja osaa yksinkertaistaa niitä käyttämällä yhteen- ja kertolaskulakeja. Esimerkiksi 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Tuloksena olevassa lausekkeessa lukua -8 kutsutaan lausekkeen kertoimeksi.

Tekee ilmaisun CD kerroin? Niin. Se on yhtä suuri kuin 1, koska cd - 1∙ cd.

Muista, että suluilla varustetun lausekkeen muuntamista lausekkeeksi ilman sulkeita kutsutaan sulkeiden laajentamiseksi. Esimerkki: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Käänteinen toiminta tässä esimerkissä on ottaa yhteinen tekijä pois suluista.

Termejä, jotka sisältävät samat kirjaintekijät, kutsutaan samanlaisiksi termeiksi. Kun yhteinen tekijä poistetaan suluista, nostetaan esiin samanlaisia ​​termejä:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 v )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7v - 5.

Sulkujen avaamisen säännöt

1. Jos suluissa on "+" -merkki, suluissa olevien termien merkit säilyvät suluissa avattaessa;

2. Jos suluissa on "-"-merkki, suluissa olevien termien merkit muuttuvat päinvastaisiksi suluissa avattaessa.

Tehtävä 1. Yksinkertaista lauseke:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 v -(-8 + 7 v ).

Ratkaisut. 1. Ennen sulkuja on "+"-merkki, joten sulkuja avattaessa kaikkien termien merkit säilyvät:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5 = -3x + 5.

2. Ennen sulkuja on "-"-merkki, joten sulkuja avattaessa: kaikkien termien merkit ovat käänteisiä:

15 - (-8 + 7v) = 15v + 8 - 7v = 8v +8.

Avaa sulkeet käyttämällä kertolaskuominaisuutta: a( b + c ) = ab + ac. Jos a > 0, niin termien etumerkit b ja älä muuta. Jos< 0, то знаки слагаемых b ja vaihda päinvastaiseksi.

Tehtävä 2. Yksinkertaista lauseke:

1) 2(6 y-8) + 7 y;

2)-5(2-5x) + 12.

Ratkaisut. 1. Hakasulkeiden edessä oleva kerroin 2 on positiivinen, joten sulkuja avattaessa säilytämme kaikkien termien merkit: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Hakasulkeiden edessä oleva kerroin -5 on negatiivinen, joten sulkuja avattaessa muutamme kaikkien termien merkit päinvastaisiksi:

5 (2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Lue lisää

1. Sana "summa" tulee latinasta summa , joka tarkoittaa "yhteensä", "kokonaismäärää".

2. Sana "plus" tulee latinasta plus joka tarkoittaa "enemmän" ja sana "miinus" on latinasta miinus Mitä "vähemmän" tarkoittaa? Merkkejä "+" ja "-" käytetään osoittamaan yhteen- ja vähennysoperaatioita. Nämä merkit esitteli tšekkiläinen tiedemies J. Widman vuonna 1489 kirjassaan "Nopea ja miellyttävä tili kaikille kauppiaille"(Kuva 138).

Riisi. 138

MUISTAA TÄRKEÄÄ

1. Mitä termejä kutsutaan samanlaisiksi? Miten samanlaiset termit rakennetaan?

2. Kuinka avaat sulkeet, joita edeltää "+"-merkki?

3. Kuinka avaat sulkeet, joita edeltää "-"-merkki?

4. Kuinka avaat sulkeet, joita edeltää positiivinen tekijä?

5. Kuinka avaat sulkeet, joita edeltää negatiivinen tekijä?

1374". Nimeä lausekkeen kerroin:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2) 4 6; 4)-s.

1375". Nimeä termit, jotka eroavat vain kertoimen perusteella:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m - 4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4) 5x + 4y-x + y.

Millä nimellä näitä termejä kutsutaan?

1376". Onko lausekkeessa samanlaisia ​​termejä:

1) 11a + 10a; 3) 6 n + 15 n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Onko tarpeen muuttaa suluissa olevien termien merkkejä avaamalla sulut lausekkeessa:

1) 4 + (a+ 3 b); 2) -c + (5-d); 3) 16-(5 m-8 n)?

1378°. Yksinkertaista lauseke ja alleviivaa kerroin:

1379°. Yksinkertaista lauseke ja alleviivaa kerroin:

1380°. Yhdistä samanlaiset termit:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10-4 d - 12 + 4 d;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="FI-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m - 4 n - 3 m.

1381°. Yhdistä samanlaiset termit:

1) 6a-5a + 8a-7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Ota yhteinen tekijä pois suluista:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Ota yhteinen tekijä pois suluista:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 14 d; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Avaa sulut ja yhdistä samanlaiset termit;

1) 5 + (4a-4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2v + 4x) + (x - 3v).

1385°. Avaa sulut ja yhdistä samanlaiset termit:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (-d + 5c);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m - 5 n).

1386°. Avaa sulut ja etsi ilmaisun merkitys:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Avaa sulut ja etsi ilmaisun merkitys:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Avaa sulkumerkki:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Avaa sulkumerkki:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y);

2) -2' (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Yksinkertaista lauseke:

1391. Yksinkertaista lauseke:

1392. Yhdistä samankaltaiset termit:

1393. Yhdistä samanlaiset termit:

1394. Yksinkertaista lauseke:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Yksinkertaista lauseke:

1396. Etsi ilmaisun merkitys;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), jos a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jos = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Etsi ilmaisun merkitys:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jos x = -0,25;

1398*. Etsi ratkaisusta virhe:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Avaa sulut ja yksinkertaista lauseketta:

1) 2ab - 3 (6 (4a - 1) - 6 (6 - 10a)) + 76;

1400*. Järjestä sulut saadaksesi oikean tasa-arvon:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b.

1401*. Todista, että millä tahansa luvulla a ja b jos a > b , niin tasa-arvo pätee:

1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Onko tämä yhtäläisyys oikein, jos: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Todista se kenelle tahansa luonnollinen luku ja edellisen ja seuraavan luvun aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin luku a.

KÄYTÄ SE KÄYTÄNNÖN

1403. Kolmen hengen hedelmäjälkiruoan valmistamiseen tarvitset: 2 omenaa, 1 appelsiini, 2 banaania ja 1 kiivi. Kuinka luoda kirjeilmaisu määrittääksesi vieraiden jälkiruoan valmistamiseen tarvittavan hedelmämäärän? Auta Marinia laskemaan, kuinka monta hedelmää hänen on ostettava, jos: 1) 5 ystävää tulee käymään hänen luonaan; 2) 8 ystävää.

1404. Tee kirjainlauseke määrittääksesi matematiikan kotitehtävän suorittamiseen tarvittavan ajan, jos:

1) minuutti käytettiin ongelmien ratkaisemiseen; 2) lausekkeiden yksinkertaistaminen on 2 kertaa suurempi kuin tehtävien ratkaisemisessa. Kuinka kauan Vasilko käytti läksyihinsä, jos hän käytti 15 minuuttia ongelmien ratkaisemiseen?

1405. Lounas koulun ruokalassa sisältää salaattia, borssia, kaalikääryleitä ja hilloketta. Salaatin hinta on 20%, borssi - 30%, kaalirullat - 45%, kompotti - 5% koko lounaan kokonaiskustannuksista. Kirjoita lauseke löytääksesi koulun ruokalan lounaan hinta. Paljonko lounas maksaa, jos salaatin hinta on 2 UAH?

TARKASTELEE ONGELMAT

1406. Ratkaise yhtälö:

1407. Tanya käytti jäätelöäkaikki käytettävissä oleva raha, ja karkkiin -loput. Kuinka paljon Tanyalla on rahaa jäljellä?

jos karkki maksaa 12 UAH?

Viidennellä vuosisadalla eKr antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... He kaikki pitivät Zenonin aporiaa tavalla tai toisella. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tähän päivään asti, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan..."[Wikipedia, "Zenon Aporia". Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mistä petos koostuu.

Matemaattisesta näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen määrästä . Tämä siirtymä edellyttää soveltamista pysyvien sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden käyttöön ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavanomaisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Ajattelun hitaudesta johtuen käytämme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme tavallisen logiikkamme, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen seuraava osa hänen polkunsa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos sovellamme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa: "Achilles tavoittaa kilpikonnan äärettömän nopeasti."

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysyä vakioyksiköt aikamittaukset ja älä mene vastavuoroisia. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan ensimmäisen aikavälin aikana Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta se ei ole täydellinen ratkaisu Ongelmia. Einsteinin lausunto valonnopeuden vastustamattomuudesta on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on jokaisella ajanhetkellä levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on syytä huomioida toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Jotta voit määrittää, onko auto liikkeessä, tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta et voi määrittää etäisyyttä niistä. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu eri pisteistä avaruudessa samaan aikaan, mutta niistä et voi määrittää liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua ). Mitä haluan huomauttaa Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimukselle.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot joukon ja multisetin välillä kuvataan erittäin hyvin Wikipediassa. Katsotaan.

Kuten näette, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisetiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdia logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, joilla ei ole älykkyyttä sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat veneessä sillan alla testatessaan siltaa. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja jaamme palkkoja. Joten matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja laitamme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta kasasta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkajoukon". Selitätään matemaatikolle, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä alkioita ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "Tätä voidaan soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Sitten he alkavat vakuuttaa meille, että saman arvon seteleillä on eri setelinumerot, mikä tarkoittaa, että niitä ei voida pitää samoilla elementeillä. Okei, lasketaan palkat kolikoihin - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko alkaa kiihkeästi muistaa fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kiderakenne ja atomien järjestely on jokaisella kolikolla ainutlaatuinen...

Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on viiva, jonka jälkeen monijoukon alkiot muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole lähelläkään valehdella täällä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-alat ovat samat - mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos katsomme näiden samojen stadionien nimiä, saamme monia, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on sekä joukko että monijoukko. Kumpi on oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-terävä vetää valttiäsän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta siksi he ovat shamaaneja, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää sivu "Luvun numeroiden summa". Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voitaisiin löytää minkä tahansa luvun numeroiden summa. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa lukua edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen helposti.

Selvitetään, mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, olkoon numero 12345. Mitä on tehtävä, jotta tämän luvun numeroiden summa saadaan selville? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron graafiseksi numerosymboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden kuvan useiksi kuviksi, jotka sisältävät yksittäisiä numeroita. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset symbolit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Lisää tuloksena saadut numerot. Tämä on nyt matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat shamaanien opettamia "leikkaus- ja ompelukursseja", joita matemaatikot käyttävät. Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matemaattisesti katsottuna ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään kirjoitamme luvun. Joten sisään erilaisia ​​järjestelmiä Laskennassa saman luvun numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. KANSSA suuri numero 12345 En halua huijata päätäni, katsotaanpa numeroa 26 artikkelista . Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme katso jokaista askelta mikroskoopin alla; olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Se on sama kuin jos määrittäisit suorakulmion alueen metreinä ja senttimetreinä, saat täysin erilaiset tulokset.

Nolla näyttää samalta kaikissa numerojärjestelmissä, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta. Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa määrätään jotain, joka ei ole luku? Mitä, matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Voin sallia tämän shamaaneille, mutta en tiedemiehille. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat eri tuloksiin niiden vertailun jälkeen, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tämä on kun tulos matemaattinen operaatio ei riipu numeron koosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Hän avaa oven ja sanoo:

Vai niin! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio sielujen indefiilisen pyhyyden tutkimiseksi heidän taivaaseennousemisensa aikana! Halo päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas ovat urospuolisia.

Jos tällainen taideteos välähtää silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään kakkaavassa ihmisessä miinus neljä astetta (yksi kuva) (usean kuvan yhdistelmä: miinusmerkki, numero neljä, asteiden merkintä). Ja en usko, että tämä tyttö on hölmö, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain vahva stereotypia graafisten kuvien havaitsemisesta. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai numero "kaksikymmentäkuusi". heksadesimaalijärjestelmä Laskeminen. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Algebrallista lauseketta, jossa yhteen-, vähennys- ja kertolaskuoperaatioiden lisäksi käytetään myös jakoa kirjainlausekkeisiin, kutsutaan murtoalgebralliseksi lausekkeeksi. Näitä ovat esimerkiksi ilmaisut

Kutsumme algebrallista murtolukua algebrallinen lauseke, jolla on kahden kokonaislukualgebrallisen lausekkeen (esimerkiksi monomiaalien tai polynomin) jaon osamäärä. Näitä ovat esimerkiksi ilmaisut

Kolmas ilmaisuista).

Murtoalgebrallisten lausekkeiden identtiset muunnokset on suurimmaksi osaksi tarkoitettu esittämään niitä muodossa algebrallinen murtoluku. Yhteisen nimittäjän löytämiseksi käytetään murtolukujen nimittäjien tekijöiden jakamista - termejä niiden pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi. Algebrallisia murtolukuja pienennettäessä lausekkeiden tiukka identiteetti voi rikota: on välttämätöntä sulkea pois suureiden arvot, joilla vähennystekijästä tulee nolla.

Annetaan esimerkkejä identtisistä murtoalgebrallisten lausekkeiden muunnoksista.

Esimerkki 1: Yksinkertaista lauseke

Kaikki termit voidaan lyhentää yhteiseksi nimittäjäksi (on kätevä vaihtaa merkki viimeisen termin nimittäjässä ja merkki sen edessä):

Lausekkeemme on yhtä suuri kuin yksi kaikille arvoille paitsi näille arvoille; se on määrittelemätön ja murto-osan pienentäminen on laitonta).

Esimerkki 2. Esitä lauseke algebrallisena murtolukuna

Ratkaisu. Lauseke voidaan ottaa yhteisenä nimittäjänä. Löydämme peräkkäin:

Harjoitukset

1. Etsi algebrallisten lausekkeiden arvot määritetyille parametriarvoille:

2. Factorisoi.

minä Lausekkeita, joissa numeroita, aritmeettisia symboleja ja sulkeita voidaan käyttää kirjaimien kanssa, kutsutaan algebrallisiksi lausekkeiksi.

Esimerkkejä algebrallisista lausekkeista:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Koska algebrallisen lausekkeen kirjain voidaan korvata joillakin eri numeroilla, kirjainta kutsutaan muuttujaksi ja itse algebrallista lauseketta kutsutaan lausekkeeksi, jossa on muuttuja.

II. Jos algebrallisessa lausekkeessa kirjaimet (muuttujat) korvataan niiden arvoilla ja määritetyt toiminnot suoritetaan, niin tuloksena olevaa numeroa kutsutaan algebrallisen lausekkeen arvoksi.

Esimerkkejä. Etsi ilmaisun merkitys:

1) a + 2b-c, jossa a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| kohdassa x = -8; y = -5; z = 6.

Ratkaisu.

1) a + 2b-c, jossa a = -2; b = 10; c = -3,5. Korvataan muuttujien sijaan niiden arvot. Saamme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| kohdassa x = -8; y = -5; z = 6. Korvaa ilmoitetut arvot. Muista, että moduuli negatiivinen numero on yhtä suuri kuin sen vastakkainen luku, ja positiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin tämä luku itse. Saamme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Kirjaimen (muuttujan) arvoja, joille algebrallinen lauseke on järkevä, kutsutaan kirjaimen (muuttujan) sallituiksi arvoiksi.

Esimerkkejä. Mille muuttujan arvoille lausekkeella ei ole järkeä?

Ratkaisu. Tiedämme, että et voi jakaa nollalla, joten jokaisessa näistä lausekkeista ei ole järkeä, kun otetaan huomioon sen kirjaimen (muuttujan) arvo, joka muuttaa murtoluvun nimittäjän nollaksi!

Esimerkissä 1) tämä arvo on a = 0. Itse asiassa, jos korvaat 0:lla a:n sijaan, sinun on jaettava luku 6 nollalla, mutta tätä ei voi tehdä. Vastaus: lausekkeessa 1) ei ole järkeä, kun a = 0.

Esimerkissä 2) x:n nimittäjä on 4 = 0 kohdassa x = 4, joten tätä arvoa x = 4 ei voida ottaa. Vastaus: lausekkeessa 2) ei ole järkeä, kun x = 4.

Esimerkissä 3) nimittäjä on x + 2 = 0, kun x = -2. Vastaus: lauseke 3) ei ole järkevä, kun x = -2.

Esimerkissä 4) nimittäjä on 5 -|x| = 0 |x|:lle = 5. Ja koska |5| = 5 ja |-5| = 5, niin et voi ottaa x = 5 ja x = -5. Vastaus: lausekkeella 4) ei ole järkeä, kun x = -5 ja x = 5.
IV. Kahden lausekkeen sanotaan olevan identtinen, jos jollekin hyväksyttäviä arvoja muuttujat, näiden lausekkeiden vastaavat arvot ovat yhtä suuret.

Esimerkki: 5 (a – b) ja 5a – 5b ovat myös yhtä suuret, koska yhtälö 5 (a – b) = 5a – 5b on totta kaikille a:n ja b:n arvoille. Yhtälö 5 (a – b) = 5a – 5b on identiteetti.

Identiteetti on yhtälö, joka pätee kaikkiin siihen sisältyvien muuttujien sallittuihin arvoihin. Esimerkkejä jo tuntemistasi identiteeteistä ovat esimerkiksi yhteen- ja kertolaskuominaisuudet sekä distributiivinen ominaisuus.

Yhden lausekkeen korvaamista toisella identtisellä yhtäläisellä lausekkeella kutsutaan identiteettimuunnokseksi tai yksinkertaisesti lausekkeen muunnokseksi. Muuttuvien lausekkeiden identtiset muunnokset suoritetaan lukuoperaatioiden ominaisuuksien perusteella.

Esimerkkejä.

a) muuntaa lauseke identtisesti yhtä suureksi käyttämällä kertolaskuominaisuutta:

1) 10·(1,2x + 2,3v); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Ratkaisu. Muistakaamme kertomisen distributiivinen ominaisuus (laki):

(a+b)c=ac+bc(jakelulaki kertolaskussa suhteessa yhteenlaskemiseen: jos haluat kertoa kahden luvun summan kolmannella luvulla, voit kertoa jokaisen termin tällä luvulla ja laskea saadut tulokset).
(a-b) c=a c-b c(vähennyslaskujen kertolaskulaki: jos haluat kertoa kahden luvun eron kolmannella luvulla, voit kertoa minuendin ja vähentää tällä luvulla erikseen ja vähentää toisen ensimmäisestä tuloksesta).

1) 10·(1,2x + 2,3v) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3v = 12x + 23v.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) muuntaa lauseke identtiseksi yhtäläiseksi käyttämällä yhteenlaskujen kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia (lakeja):

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5-2,3s.

Ratkaisu. Sovelletaan lisäyksen lakeja (ominaisuuksia):

a+b=b+a(kommutatiivinen: ehtojen järjestäminen uudelleen ei muuta summaa).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatiivinen: jos haluat lisätä kolmannen luvun kahden termin summaan, voit lisätä toisen ja kolmannen summan ensimmäiseen numeroon).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Muunna lauseke identtisesti yhtä suureksi käyttämällä kertolaskujen kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia (lakeja):

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Ratkaisu. Sovelletaan kertolaskulakeja (ominaisuuksia):

a·b=b·a(kommutatiivinen: tekijöiden uudelleenjärjestely ei muuta tuotetta).
(a b) c=a (b c)(kombinatiivinen: jos haluat kertoa kahden luvun tulon kolmannella luvulla, voit kertoa ensimmäisen luvun toisen ja kolmannen tulolla).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Jos algebrallinen lauseke annetaan pelkistävän murto-osan muodossa, niin sitä voidaan yksinkertaistaa käyttämällä murto-osan pelkistyssääntöä, ts. korvaa se identtisellä yksinkertaisemmalla lausekkeella.

Esimerkkejä. Yksinkertaista käyttämällä murtolukuvähennystä.

Ratkaisu. Murtoluvun pienentäminen tarkoittaa jakaa sen osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla (lausekkeella), muulla kuin nollalla. Murto-osa 10) pienenee 3b; murto-osa 11) pienenee A ja murto-osa 12) pienennetään 7n. Saamme:

Algebrallisia lausekkeita käytetään kaavojen luomiseen.

Kaava on algebrallinen lauseke, joka on kirjoitettu yhtälönä ja joka ilmaisee kahden tai useamman muuttujan välisen suhteen. Esimerkki: polkukaava, jonka tiedät s=v t(s - kuljettu matka, v - nopeus, t - aika). Muista mitä muita kaavoja tiedät.

Sivu 1/1 1