Mitä pääkohta kaavat?

Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Tietenkin sinun on tiedettävä myös ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.

Tämän kaavan muistaminen (tai huutaminen) ei riitä. Sinun on ymmärrettävä sen olemus ja sovellettava kaavaa erilaisiin ongelmiin. Eikä myöskään unohtaa oikealla hetkellä, kyllä...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa neuvon ehdottomasti. Niille, jotka suorittavat oppitunnin loppuun.)

Katsotaanpa siis n:nnen termin kaavaa aritmeettinen progressio.

Mikä on kaava yleensä? Muuten, katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. On vielä selvitettävä, mikä se on n. termi.

Edistyminen sisään yleisnäkymä voidaan kirjoittaa numerosarjana:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen, a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - s a 120.

Kuinka voimme määritellä sen yleisesti? minkä tahansa aritmeettisen progression termi, jossa minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:

a n

Sitä se on aritmeettisen progression n:s termi. Kirjain n piilottaa kaikki jäsennumerot kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajatelkaapa, numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjaimen...

Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisen progression työskentelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja ratkaise joukko muita etenemisongelmia. Katsot itse lisää.

Aritmeettisen progression n:nnen termin kaavassa:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen termi;

n- jäsennumero.

Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d Ja n. Kaikki etenemisongelmat pyörivät näiden parametrien ympärillä.

N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Ongelma voi esimerkiksi sanoa, että etenemisen määrittää ehto:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tällainen ongelma voi olla umpikuja... Ei ole sarjaa eikä eroa... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo ymmärtää, että tässä etenemisessä a 1 = 5 ja d = 2.

Ja se voi olla vielä pahempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, Kyllä, avaa sulut ja tuo samanlaisia? Saamme uuden kaavan:

a n = 3 + 2n.

Tämä Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä sudenkuoppa piilee. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen termi on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisella muunnetulla kaavalla.

Etenemisongelmissa on toinen merkintä - a n+1. Tämä on, kuten arvasit, etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi jos otamme jonkin ongelman a n sitten viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.

Useimmiten nimitys a n+1 löytyy toistumiskaavoista. Älä pelkää tätä pelottavaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression jäsen edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen eteneminen tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Kuinka voimme heti laskea, vaikkapa kahdeskymmenes termi? a 20? Mutta ei ole mitään keinoa!) Ennen kuin saamme selville 19. lukukauden, emme voi laskea 20:tä. Tämä on perustavanlaatuinen ero toistuvan kaavan ja n:nnen termin kaavan välillä. Toistuva toimii vain kautta Edellinen termi, ja n:nnen termin kaava on läpi ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Laskematta koko numerosarjaa järjestyksessä.

Aritmeettisessa progressiossa toistuva kaava on helppo muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava sisään tavallisessa muodossa ja työskentele hänen kanssaan. Tällaisia ​​tehtäviä kohdataan usein valtion tiedeakatemiassa.

Kaavan soveltaminen aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Ensin katsotaan suora sovellus kaavat. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:

Aritmeettinen progressio (a n) on annettu. Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.

Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää ja lisää... Tunti tai kaksi.)

Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Päätetään.

Ehdoissa on kaikki tiedot kaavan käyttöä varten: a 1 = 3, d = 1/6. On vielä selvitettävä, mikä on tasa-arvoista n. Ei ongelmaa! Meidän on löydettävä a 121. Joten kirjoitamme:

Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä on meidän n. Tämä on tarkoitus n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaamme kaikki luvut kaavaan ja laskemme:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Se siitä. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen termin ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja me laskemme.

Haluan muistuttaa sinua asiasta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettinen progressiotermi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Ratkaistaan ​​ongelma ovelammin. Törmätäänpä seuraavaan ongelmaan:

Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.

Jos sinulla on vaikeuksia, kerron sinulle ensimmäisen vaiheen. Kirjoita aritmeettisen progression n:nnelle termille kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistivihkoon:

a n = a 1 + (n-1)d

Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Onko se siinä? Jos luulet niin, et ratkaise ongelmaa, kyllä...

Meillä on vielä numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi parametria. Tämä on sekä seitsemännentoista termin arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkuasia" lipsahtaa usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä asiaa", ei päätä!) ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka... ja myös ilman päätä.)

Nyt voimme yksinkertaisesti korvata tietomme typerästi kaavaan:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, korvataan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Siinä on periaatteessa kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea se. Vastaus tulee olemaan: a 1 = 6.

Tämä tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - on suuri apu yksinkertaisissa tehtävissä. No, tietysti sinun täytyy pystyä ilmaisemaan muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei ehkä opiskella ollenkaan...

Toinen suosittu palapeli:

Laske aritmeettisen progression ero (a n), jos a 1 =2; a 15 = 12.

Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)

a n = a 1 + (n-1)d

Mietitään, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (korostan erityisesti!) n = 15. Voit vapaasti korvata tämän kaavalla:

12=2 + (15-1)d

Teemme aritmetiikkaa.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tämä on oikea vastaus.

Tehtävät siis a n, a 1 Ja d päättänyt. Jäljelle jää vain opetella löytämään numero:

Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.

Korvaamme meille tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:

a n = 12 + (n-1) 3

Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n- tämä on joku jäsen etenemisestä numerolla n...Ja me tunnemme tämän edistyksen jäsenen! Se on 99. Emme tiedä sen numeroa. n, Joten tämä numero on se, mitä sinun on löydettävä. Korvataan etenemisen termi 99 kaavaan:

99 = 12 + (n-1) 3

Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.

Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):

Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, ei ole parametreja? Hm... Miksi meille annetaan silmät?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen termin? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 = -3,6. Ero d Voitko kertoa sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Joten teimme yksinkertaisimman asian. Se jää käsittelemään tuntematon numero n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä... Mitä tehdä!? No, mitä tehdä, mitä tehdä... Kytke päälle Luovat taidot!)

Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä, kyllä!)) ja korvaamme numeromme:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:

Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtolukuja progressioina ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen voimme tehdä? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain sadan ensimmäisen ja sadan toisen termien välillä. Jos numero osoittautui luonnolliseksi, ts. on positiivinen kokonaisluku, silloin luku olisi löydetyn luvun etenemisen jäsen. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: Ei.

Tehtävä, joka perustuu GIA:n todelliseen versioon:

Aritmeettinen progressio saadaan ehdolla:

a n = -4 + 6,8n

Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.

Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.

Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaava on modifioitu. Sen aritmeettisen progression ensimmäinen termi piilotettu. Ei hätää, löydämme sen nyt.)

Kuten aiemmissakin ongelmissa, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!

Etsimme kymmenennen termiä samalla tavalla:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Se siitä.

Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)

Oletetaan, että olette unohtaneet aritmeettisen progression n:nnelle termille hyödyllisen kaavan valtiokokeen tai yhtenäisen valtiontutkinnon vaikeassa taistelutilanteessa. Muistan jotain, mutta jotenkin epävarmaa... Tai n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?

Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Se ei ole kovin tiukka, mutta se riittää varmasti itsevarmuuteen ja oikeaan päätökseen!) Johtopäätöksen tekemiseksi riittää, että muistat aritmeettisen etenemisen alkeismerkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.

Piirrä numeroviiva ja merkitse siihen ensimmäinen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomaamme eron d jäsenten välillä. Kuten tämä:

Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mitä toinen termi vastaa? Toinen yksi d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ymmärrätkö? Ei turhaan korostan joitakin sanoja lihavoituna. Okei, vielä yksi askel).

Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, Aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon n, välilyöntien lukumäärä tahtoa n-1. Siksi kaava on (ilman muunnelmia!):

a n = a 1 + (n-1)d

Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää ratkaisuun koko tehokkaan matematiikan arsenaalin - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi lisätä kuvaa yhtälöön...

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

Lämmitellä:

1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Etsi 3.

Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma ratkaistaan ​​käyttämällä sekä kuvaa että kaavaa. Tunne erilaisuus!)

Ja tämä ei ole enää lämmittely.)

2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .

Mitä, etkö halua piirtää kuvaa?) Tietenkin! Parempi kaavan mukaan, kyllä...

3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.

Tässä tehtävässä eteneminen määritellään toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin... Kaikki eivät pysty sellaiseen saavutukseen.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!

4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.

5. Etsi tehtävän 4 ehtojen mukaisesti etenemisen pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen termin summa.

6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdennentoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.

Ei helpoin tehtävä, kyllä...) "Sormenpää"-menetelmä ei toimi tässä. Sinun on kirjoitettava kaavoja ja ratkaistava yhtälöitä.

Vastaukset (sekaisin):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Tapahtui? Se on kiva!)

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelman lukeminen vaatii varovaisuutta. Ja logiikkaa.

Ratkaisua kaikkiin näihin ongelmiin käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen kohta kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavaa sisältävien ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on kuvattu. Minä suosittelen.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Jotkut ihmiset käsittelevät sanaa "eteneminen" varoen, koska se on erittäin monimutkainen termi osioista korkeampaa matematiikkaa. Sillä välin yksinkertaisin aritmeettinen progressio on taksimittarin työ (jos niitä vielä on). Ja ymmärrä ydin (ja matematiikassa ei ole mitään tärkeämpää kuin "olemuksen saaminen") aritmeettinen sarja Se ei ole niin vaikeaa, kun ymmärrät muutaman peruskäsitteen.

Matemaattinen numerosarja

Numeerista sarjaa kutsutaan yleensä numerosarjaksi, jolla jokaisella on oma numeronsa.

a 1 on sekvenssin ensimmäinen jäsen;

ja 2 on sekvenssin toinen termi;

ja 7 on sekvenssin seitsemäs jäsen;

ja n on sekvenssin n:s jäsen;

Mikään mielivaltainen numeroiden ja numeroiden joukko ei kuitenkaan kiinnosta meitä. Keskitämme huomiomme numeeriseen sekvenssiin, jossa n:nnen termin arvo on suhteutettu sen järjestysnumeroon matemaattisesti selkeästi formuloitavalla suhteella. Toisin sanoen: numeerinen arvo N:s luku on jokin n:n funktio.

a on numeerisen sekvenssin jäsenen arvo;

n - hänen sarjanumero;

f(n) on funktio, jossa numeerisen sekvenssin järjestysluku n on argumentti.

Määritelmä

Aritmeettista progressiota kutsutaan yleensä numeeriseksi sarjaksi, jossa jokainen seuraava termi on suurempi (pienempi) kuin edellinen samalla numerolla. Aritmeettisen sekvenssin n:nnen termin kaava on seuraava:

a n - aritmeettisen progression nykyisen jäsenen arvo;

a n+1 - seuraavan luvun kaava;

d - ero (tietty luku).

On helppo todeta, että jos ero on positiivinen (d>0), jokainen seuraava tarkasteltavana olevan sarjan jäsen on suurempi kuin edellinen ja tällainen aritmeettinen eteneminen kasvaa.

Alla olevasta kaaviosta on helppo nähdä miksi numerosarja kutsutaan "lisäämiseksi".

Tapauksissa, joissa ero on negatiivinen (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Määritetty jäsenen arvo

Joskus on tarpeen määrittää minkä tahansa aritmeettisen progression mielivaltaisen termin a n arvo. Tämä voidaan tehdä laskemalla peräkkäin aritmeettisen progression kaikkien jäsenten arvot ensimmäisestä haluttuun. Tämä polku ei kuitenkaan aina ole hyväksyttävä, jos esimerkiksi on tarpeen löytää viiden tuhannesosan tai kahdeksanmiljoonasosan arvo. Perinteiset laskelmat vievät paljon aikaa. Tiettyä aritmeettista etenemistä voidaan kuitenkin tutkia käyttämällä tiettyjä kaavoja. Myös n:nnelle termille on olemassa kaava: aritmeettisen jakson minkä tahansa termin arvo voidaan määrittää progression ensimmäisen termin summana etenemisen erotuksen kanssa, kerrottuna halutun termin lukumäärällä, vähennettynä yksi.

Kaava on universaali etenemisen lisäämiseen ja hidastumiseen.

Esimerkki tietyn termin arvon laskemisesta

Ratkaistaan ​​seuraava ongelma aritmeettisen progression n:nnen jäsenen arvon löytämisestä.

Ehto: on aritmeettinen progressio parametreilla:

Jakson ensimmäinen termi on 3;

Ero numerosarjoissa on 1,2.

Tehtävä: sinun on löydettävä 214 termin arvo

Ratkaisu: määrittääksesi tietyn termin arvon käytämme kaavaa:

a(n) = a1 + d(n-1)

Korvaamalla ongelmalauseen tiedot lausekkeeseen, meillä on:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Vastaus: Jakson 214. termi on yhtä suuri kuin 258,6.

Tämän laskentamenetelmän edut ovat ilmeisiä - koko ratkaisu kestää enintään 2 riviä.

Tietyn määrän termejä summa

Hyvin usein tietyssä aritmeettisessa sarjassa on tarpeen määrittää joidenkin sen segmenttien arvojen summa. Tätä varten ei myöskään tarvitse laskea kunkin termin arvoja ja sitten laskea niitä yhteen. Tätä menetelmää voidaan soveltaa, jos termien määrä, joiden summa on löydettävä, on pieni. Muissa tapauksissa on kätevämpää käyttää seuraavaa kaavaa.

Aritmeettisen progression termien summa yhdestä n:ään on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja n:nnen termin summa kerrottuna termin n määrällä ja jaettuna kahdella. Jos kaavassa n:nnen termin arvo korvataan lausekkeella artikkelin edellisestä kappaleesta, saamme:

Laskuesimerkki

Ratkaistaan ​​esimerkiksi ongelma seuraavilla ehdoilla:

Jakson ensimmäinen termi on nolla;

Ero on 0,5.

Ongelma edellyttää sarjan ehtojen summan määrittämistä 56:sta 101:een.

Ratkaisu. Käytämme kaavaa etenemisen määrän määrittämiseen:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Ensin määritämme etenemisen 101 ehdon arvojen summan korvaamalla ongelmamme annetut ehdot kaavaan:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

On selvää, että 56:sta 101:een etenemisen ehtojen summan selvittämiseksi on välttämätöntä vähentää S 55 luvusta S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Näin ollen tämän esimerkin aritmeettisen progression summa on:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Esimerkki aritmeettisen progression käytännön soveltamisesta

Artikkelin lopussa palataan ensimmäisessä kappaleessa annetun aritmeettisen sekvenssin esimerkkiin - taksimittari (taksiautomittari). Tarkastellaanpa tätä esimerkkiä.

Taksiin pääsy (johon sisältyy 3 km matkaa) maksaa 50 ruplaa. Jokaisesta seuraavasta kilometristä maksetaan 22 ruplaa/km. Matkan pituus on 30 km. Laske matkan hinta.

1. Hylätään ensimmäiset 3 km, jonka hinta sisältyy laskeutumiskustannuksiin.

30 - 3 = 27 km.

2. Lisälaskutoimitus ei ole muuta kuin aritmeettisen lukusarjan jäsentämistä.

Jäsennumero - ajettujen kilometrien määrä (miinus kolme ensimmäistä).

Jäsenen arvo on summa.

Ensimmäinen termi tässä tehtävässä on yhtä suuri kuin 1 = 50 ruplaa.

Etenemisero d = 22 r.

meitä kiinnostava luku on aritmeettisen progression (27+1) termin arvo - mittarin lukema 27. kilometrin lopussa on 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Mielivaltaisen pitkän ajanjakson kalenteritietojen laskelmat perustuvat tiettyjä numeerisia sarjoja kuvaaviin kaavoihin. Tähtitiedessä kiertoradan pituus on geometrisesti riippuvainen taivaankappaleen etäisyydestä tähteen. Lisäksi erilaisia ​​lukusarjoja käytetään menestyksekkäästi tilastoissa ja muilla matematiikan soveltavilla aloilla.

Toinen numerosarjatyyppi on geometrinen

Geometriselle etenemiselle on ominaista suurempi muutosnopeus verrattuna aritmeettiseen etenemiseen. Ei ole sattumaa, että politiikassa, sosiologiassa ja lääketieteessä sanotaan, että prosessi kehittyy geometrisessa etenemisessä osoittaakseen tietyn ilmiön, esimerkiksi taudin nopean leviämisen epidemian aikana.

Geometrisen numerosarjan N:s termi eroaa edellisestä siinä, että se kerrotaan jollain vakioluvulla - nimittäjä, esimerkiksi ensimmäinen termi on 1, nimittäjä on vastaavasti 2, sitten:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrisen etenemisen nykyisen termin arvo;

b n+1 - geometrisen etenemisen seuraavan termin kaava;

q on geometrisen progression nimittäjä (vakioluku).

Jos aritmeettisen progression kuvaaja on suora, geometrinen progressio antaa hieman erilaisen kuvan:

Kuten aritmetiikassa, geometrinen eteneminen on kaava mielivaltaisen termin arvolle. Mikä tahansa geometrisen progression n:s termi on yhtä suuri kuin ensimmäisen jakson tulo ja progression nimittäjä n:n potenssiin vähennettynä yhdellä:

Esimerkki. Meillä on geometrinen progressio, jonka ensimmäinen termi on 3 ja etenemisen nimittäjä on 1,5. Etsitään etenemisen 5. termi

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Tietyn määrän termejä summa lasketaan myös erityisellä kaavalla. Geometrisen etenemisen ensimmäisen n:n jäsenen summa on yhtä suuri kuin etenemisen n:nnen jäsenen ja sen nimittäjän tulon ja etenemisen ensimmäisen jäsenen välinen erotus jaettuna nimittäjällä vähennettynä yhdellä:

Jos b n korvataan yllä kuvatulla kaavalla, tarkasteltavan lukusarjan ensimmäisen n:n ehdon summa on seuraavanlainen:

Esimerkki. Geometrinen eteneminen alkaa ensimmäisellä termillä, joka on yhtä suuri kuin 1. Nimittäjäksi asetetaan 3. Etsitään kahdeksan ensimmäisen termin summa.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Perustasosta melko kiinteään.

Ymmärretään ensin määrän merkitys ja kaava. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yksinkertainen kuin moo. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen ehdot. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos on paljon, tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava tulee apuun.

Määrän kaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää asioita paljon.

S n - aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikille jäseniä, kanssa ensimmäinen Tekijä: kestää. On tärkeää. Ne summautuvat täsmälleen Kaikki jäseniä peräkkäin ilman ohittamista. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai viidennen ja kahdennenkymmenennen termien summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen tuottaa pettymyksen.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Kaikki on selvää täällä, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Sarjan viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n - viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Hankala kysymys: mikä jäsen tulee viimeinen jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?)

Vastataksesi itsevarmasti sinun on ymmärrettävä aritmeettisen etenemisen alkeellinen merkitys ja... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten lopullinen, tietty määrä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä onko progressio annettu: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarja vai n:nnen termin kaava.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä... Mutta ei se haittaa, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalla.

Ensinnäkin hyödyllistä tietoa:

Suurin vaikeus tehtävissä, joihin liittyy aritmeettisen progression summa, on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävän kirjoittajat salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää, kun ne yksinkertaisesti tulkitaan. Katsotaanpa muutama esimerkki yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi sen 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä summan määrittämiseksi kaavan avulla? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä ​​viimeisen jäsenen numero n.

Mistä saan viimeisen jäsenen numeron? n? Kyllä, siellä ehdolla! Se sanoo: etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No, millä numerolla se tulee olemaan? kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n Korvataan kaavaan a 10, ja sen sijaan n- kymmenen. Toistan, että viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 Ja a 10. Tämä on helppo laskea käyttämällä n:nnen termin kaavaa, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten tämä tehdään? Osallistu edelliseen oppituntiin, ilman tätä ei ole mitään keinoa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Olemme selvittäneet aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. Jäljelle jää vain korvata ne ja laskea:

Se siitä. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 = 2,3. Etsi sen 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista vaihtoa:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

On vielä korvattava kaikki elementit aritmeettisen etenemisen summan kaavaan ja laskettava vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n Korvaamme yksinkertaisesti kaavan n:nnelle termille ja saamme:

Esitetään samanlaisia ​​ja hankitaan uusi kaava aritmeettisen progression termien summalle:

Kuten näet, n:ttä termiä ei vaadita tässä a n. Joissakin ongelmissa tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Tai voit yksinkertaisesti näyttää sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi sinun on aina muistettava summan kaava ja n:nnen termin kaava.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Vau! Ei ensimmäinen jäsen, ei viimeinen tai eteneminen ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun täytyy ajatella päälläsi ja vetää kaikki aritmeettisen etenemisen summan elementit pois ehdosta. Tiedämme mitä kaksinumeroiset luvut ovat. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee olemaan ensimmäinen? 10, oletettavasti.) A viimeinen asia kaksinumeroinen luku? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat kolmella jaollisia lukuja, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan muistiin ongelman ehtojen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Varmasti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos lisäät termiin 2 tai 4, sanotaan esimerkiksi tulos, ts. uusi luku ei ole enää jaollinen kolmella. Voit määrittää aritmeettisen etenemisen eron välittömästi: d = 3. Se tulee tarpeeseen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä numero tulee olemaan? n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot menevät aina peräkkäin, mutta jäsenemme hyppäävät kolmen yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit kirjoittaa muistiin etenemisen, koko numerosarjan ja laskea jäsenten lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos sovellamme kaavaa ongelmaamme, huomaamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes termi. Nuo. n = 30.

Katsotaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelmanratkaisusta kaiken tarvittavan summan laskemiseen:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää vain perusaritmetiikka. Korvaamme luvut kaavaan ja laskemme:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu palapelityyppi:

4. Annettu aritmeettinen progressio:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäksi.

Katsomme summan kaavaa ja... suuttumme.) Muistutan teitä, kaava laskee määrän ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit tietysti kirjoittaa koko etenemisen sarjaksi ja lisätä termejä 20:stä 34:ään. Mutta... se on jotenkin typerää ja kestää kauan, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee olemaan ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneenneljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan ehtojen summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tästä voimme nähdä, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitetaan?

Poimimme etenemisparametrit ongelmalauseesta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavalla, kuten tehtävässä 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei ole mitään jäljellä. 34 ehdon summasta vähennetään 19 ehdon summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen temppu. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme jotain mitä ei näytä tarvittavan - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" säästää sinut usein pahoilta ongelmilta.)

Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset mitä tahansa aritmeettisen progression summaa koskevaa ongelmaa, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

Kaava n:nnelle termille:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä ja mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi sen 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä sivuuta linkkiä, tällaisia ​​​​ongelmia löytyy usein valtion tiedeakatemiasta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa suosikkihenkilölleni (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja jokaisena seuraavana päivänä kuluta 50 ruplaa enemmän kuin edellinen! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Onko vaikeaa?) Tehtävän 2 lisäkaava auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Online-laskin.
Aritmeettisen progression ratkaiseminen.
Annettu: a n , d, n
Etsi: 1

Tämä matemaattinen ohjelma löytää \(a_1\) aritmeettisesta progressiosta käyttäjän määrittämien lukujen \(a_n, d\) ja \(n\) perusteella.
Numerot \(a_n\) ja \(d\) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina. Lisäksi murtoluku voidaan syöttää desimaalilukuna (\(2,5\)) ja tavallisena murtolukuna (\(-5\frac(2)(7)\)).

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisun löytämisprosessin.

Tämä online-laskin voi olla hyödyllinen lukiolaisille lukiolaisille, kun he valmistautuvat kokeisiin ja kokeisiin, kun testataan tietoja ennen yhtenäistä valtionkoetta, ja vanhemmille monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisemisessa. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisten ratkaisujen kanssa.

Näin voit toteuttaa omaa koulutusta ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustaso ongelmien ratkaisemisen alalla nousee.

Jos et tunne numeroiden syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt numeroiden syöttämiseen

Numerot \(a_n\) ja \(d\) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina.
Luku \(n\) voi olla vain positiivinen kokonaisluku.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtolukujen kokonaisluku- ja murto-osat voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaalilukuja, kuten 2,5 tai 2,5

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Syöte:
Tulos: \(-\frac(2)(3)\)

Koko osa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Syöte:
Tulos: \(-1\frac(2)(3)\)

Syötä numerot a n , d, n

Etsi 1

Havaittiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseksi tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei ehkä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript ei ole käytössä selaimessasi.
Jotta ratkaisu tulee näkyviin, sinun on otettava JavaScript käyttöön.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on asetettu jonoon.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa tästä palautelomakkeella.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Numerosarja

Arkikäytännössä eri kohteiden numerointia käytetään usein osoittamaan järjestystä, jossa ne on järjestetty. Esimerkiksi jokaisen kadun talot on numeroitu. Kirjastossa lukijatilaukset numeroidaan ja järjestetään annettujen numeroiden mukaiseen järjestykseen erityisiin korttitiedostoihin.

Säästöpankissa voit tallettajan henkilökohtaisella tilinumerolla löytää tämän tilin helposti ja nähdä, mitä talletusta sillä on. Olkoon tilillä nro 1 a1 ruplan talletus, tilillä nro 2 a2 ruplan talletus jne. Se käy ilmi numerosarja
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
missä N on kaikkien tilien lukumäärä. Tässä jokainen luonnollinen luku n välillä 1 - N liittyy numeroon a n.

Opiskeli myös matematiikkaa äärettömät lukujonot:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numeroa a 1 kutsutaan sekvenssin ensimmäinen termi, numero a 2 - sekvenssin toinen termi, numero a 3 - sekvenssin kolmas termi jne.
Numeroa a n kutsutaan sekvenssin n:s (n:s) jäsen, ja luonnollinen luku n on sen määrä.

Esimerkiksi luonnollisten lukujen 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ja 1 = 1 neliöjonossa on sekvenssin ensimmäinen termi; ja n = n2 on n. termi sekvenssit; a n+1 = (n + 1) 2 on sekvenssin (n + 1):s (n plus ensimmäinen) termi. Usein jono voidaan määrittää sen n:nnen termin kaavalla. Esimerkiksi kaava \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) määrittää sekvenssin \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pisteet,\frac(1)(n) , \pisteet \)

Aritmeettinen progressio

Vuoden pituus on noin 365 päivää. Tarkempi arvo on \(365\frac(1)(4)\) päivää, joten joka neljäs vuosi kertyy yhden päivän virhe.

Tämän virheen selittämiseksi joka neljänteen vuoteen lisätään päivä, ja pidennettyä vuotta kutsutaan karkausvuodeksi.

Esimerkiksi kolmannella vuosituhannella karkausvuodet ovat vuodet 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Tässä sekvenssissä jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisättynä samaan numeroon 4. Tällaisia ​​sarjoja kutsutaan ns. aritmeettiset progressiot.

Määritelmä.
Numerosarjaa a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... kutsutaan aritmeettinen progressio, jos kaikki luonnolliset n tasa-arvo
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
missä d on jokin luku.

Tästä kaavasta seuraa, että a n+1 - a n = d. Lukua d kutsutaan erotukseksi aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression määritelmän mukaan meillä on:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
missä
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), missä \(n>1 \)

Siten aritmeettisen progression jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen termin aritmeettinen keskiarvo. Tämä selittää nimen "aritmeettinen" progressio.

Huomaa, että jos a 1 ja d on annettu, niin aritmeettisen etenemisen jäljellä olevat termit voidaan laskea käyttämällä toistuvaa kaavaa a n+1 = a n + d. Tällä tavalla etenemisen muutaman ensimmäisen termin laskeminen ei ole vaikeaa, mutta esimerkiksi 100 vaatii jo paljon laskelmia. Tyypillisesti tähän käytetään n:nnen termin kaavaa. Aritmeettisen progression määritelmän mukaan
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
jne.
Ollenkaan,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
koska aritmeettisen progression n:s termi saadaan ensimmäisestä termistä lisäämällä (n-1) kertaa luku d.
Tätä kaavaa kutsutaan kaava aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Aritmeettisen jakson ensimmäisen n ehdon summa

Etsi kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä 1-100.
Kirjoitetaan tämä summa kahdella tavalla:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lisätään nämä yhtäläisyydet termi kerrallaan:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Tässä summassa on 100 termiä
Siksi 2S = 101 * 100, joten S = 101 * 50 = 5050.

Tarkastellaan nyt mielivaltaista aritmeettista progressiota
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Olkoon S n tämän etenemisen ensimmäisen n ehdon summa:
Sn = a1, a2, a3, ..., an
Sitten aritmeettisen progression ensimmäisen n ehdon summa on yhtä suuri kuin
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Koska \(a_n=a_1+(n-1)d\), niin korvaamalla n tässä kaavassa saadaan toinen kaava aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kirjat (oppikirjat) Yhteenvetotutkinnon ja yhtenäisen valtiontutkinnon tiivistelmät verkossa Pelit, palapelit Toimintojen piirroskaaviot Venäjän kielen oikeinkirjoitussanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäjän koulujen luettelo Venäjän toisen asteen oppilaitosten luettelo Venäjän yliopistojen luettelo Luettelo tehtävistä

Jos jokaiselle luonnolliselle luvulle n vastaa reaalilukua a n , sitten he sanovat, että se on annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Numerosarja on siis luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen termi , numero a 2 — sekvenssin toinen termi , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään sekvenssin n:s jäsen , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

Kahdesta vierekkäisestä jäsenestä a n Ja a n +1 sekvenssin jäsen a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), A a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein järjestys määritetään käyttämällä n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 Ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numeerisen sekvenssin seitsemän ensimmäistä termiä muodostetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen Ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen , jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon , jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkulukujen järjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan kasvaa , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan vähenee , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — kasvava järjestys;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - laskeva järjestys. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene luvun kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio, jos jollekin luonnollinen luku n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

Missä d - tietty numero.

Siten ero tietyn aritmeettisen etenemisen seuraavien ja edellisten termien välillä on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen etenemisen ero.

Aritmeettisen progression määrittelemiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja ero.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 3, d = 4 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Siten,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression th termi löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa ylös

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-k +a n+k
	2

mikä tahansa aritmeettisen jakson jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen jakson tasavälein olevien jäsenten summasta.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle pätee seuraava yhtäläisyys:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n Aritmeettisen progression termit on yhtä suuri kuin puolen ääritermin ja termien määrän tulo:

Tästä seuraa erityisesti, että jos sinun on summattava ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n JaS n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos kolmen näistä suureista annetaan arvot, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:

• Jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• Jos d < 0 , silloin se pienenee;
• Jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

Missä q ≠ 0 - tietty numero.

Siten tietyn geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression määrittämiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

Jos b 1 = 1, q = -3 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n Termi löytyy kaavalla:

b n = b 1 · qn -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen etenemisen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastoin on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Osoittakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Siten,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa halutun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression th termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös kaikki aiemmat jäsenet b k , johon riittää kaavan käyttäminen

b n = b k · qn - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa ylös

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

geometrisen progression minkä tahansa termin neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen termien tulo, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäsenet nimittäjän kanssa q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom 1

Huomaa, että jos sinun on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen progressio on annettu, niin suuret b 1 , b n, q, n Ja S n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuuden ominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen progressio on vuorotteleva: sen parittomilla luvuilla varustetut termit ovat samassa etumerkissä kuin ensimmäisellä termillä ja parillisten lukujen termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Se sopii tilaisuuteen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä luku, johon ensimmäisten summa lähestyy rajattomasti n etenemisen jäseniä, joiden lukumäärä kasvaa rajattomasti n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Katsotaanpa vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tuo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä q , Tuo

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla lg 6 . ◄