Määritelmä

Polyhedron kutsumme suljettua pintaa, joka koostuu monikulmioista ja rajaa tietyn osan avaruudesta.

Segmenttejä, jotka ovat näiden polygonien sivuja, kutsutaan kylkiluut polyhedron, ja itse polygonit ovat reunat. Monikulmion kärkipisteitä kutsutaan polyhedronipisteiksi.

Tarkastellaan vain kuperaa polyhedraa (tämä on monitahoinen, joka sijaitsee kunkin tasonsa sisältävän tason toisella puolella).

Monikulmiot, jotka muodostavat monitahoisen, muodostavat sen pinnan. Avaruuden osaa, jota rajaa tietty polyhedron, kutsutaan sen sisäosiksi.

Määritelmä: prisma

Tarkastellaan kahta samanlaista monikulmiota \(A_1A_2A_3...A_n\) ja \(B_1B_2B_3...B_n\), jotka sijaitsevat yhdensuuntaiset tasot niin, että segmentit \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) rinnakkain. Monikulmioiden \(A_1A_2A_3...A_n\) ja \(B_1B_2B_3...B_n\) muodostama monitaho sekä suuntaviivat \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), kutsutaan (\(n\)-gonal) prisma.

Monikulmioita \(A_1A_2A_3...A_n\) ja \(B_1B_2B_3...B_n\) kutsutaan prismakantoiksi, suunnikasiksi. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sivupinnat, segmentit \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- lateraaliset kylkiluut.
Siten prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret keskenään.

Katsotaanpa esimerkkiä - prismaa \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), jonka pohjassa on kupera viisikulmio.

Korkeus prismat ovat kohtisuora, joka on pudotettu mistä tahansa yhden kannan pisteestä toisen kannan tasoon.

Jos sivureunat eivät ole kohtisuorassa pohjaan nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan taipuvainen(Kuva 1), muuten – suoraan. Suorassa prismassa sivureunat ovat korkeudet ja sivupinnat- yhtä suuret suorakulmiot.

Jos säännöllinen monikulmio on suoran prisman pohjalla, niin prismaa kutsutaan oikea.

Määritelmä: tilavuuden käsite

Tilavuuden mittayksikkö on yksikkökuutio (kuutio, jonka mitta on \(1\times1\times1\) yksikköä\(^3\), jossa yksikkö on tietty mittayksikkö).

Voimme sanoa, että monitahoisen tilavuus on tilan määrä, jonka tämä monitahoinen rajoittaa. Muuten: tämä on suure, jonka numeerinen arvo osoittaa, kuinka monta kertaa yksikkökuutio ja sen osat sopivat annettuun monitahoiseen.

Tilavuudella on samat ominaisuudet kuin alueella:

1. Samansuuruisten lukujen tilavuudet ovat yhtä suuret.

2. Jos monitaho koostuu useista ei-leikkaavista monitahoista, niin sen tilavuus yhtä suuri kuin summa näiden polyhedrien tilavuuksia.

3. Volyymi on ei-negatiivinen suure.

4. Tilavuus mitataan cm\(^3\) (kuutiosenttimetriä), m\(^3\) ( Kuutiometriä) jne.

Lause

1. Prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo.
Sivupinta-ala on prisman sivupintojen pinta-alojen summa.

2. Prisman tilavuus on yhtä suuri kuin perusalan ja prisman korkeuden tulo: \

Määritelmä: suuntaissärmiö

Suuntaissärmiö on prisma, jonka pohjassa on suunnikas.

Kaikki suuntaissärmiön pinnat (on \(6\) : \(4\) sivupintoja ja \(2\) kantaa) ovat suunnikkaat ja vastakkaiset (toistensa kanssa yhdensuuntaiset) pinnat ovat samanlaisia suuntapiirejä (kuva 2) .

Suuntasärmiön lävistäjä on segmentti, joka yhdistää kaksi suuntaissärmiön kärkeä, jotka eivät ole samalla pinnalla (niitä on \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) jne.).

Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö on suora suuntaissärmiö, jonka pohjassa on suorakulmio.
Koska Koska tämä on oikea suuntaissärmiö, sivupinnat ovat suorakulmioita. Tämä tarkoittaa, että yleensä kaikki suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön pinnat ovat suorakulmioita.

Kaikki suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjät ovat yhtä suuret (tämä seuraa kolmioiden yhtäläisyydestä \(\kolmio ACC_1=\kolmio AA_1C=\kolmio BDD_1=\kolmio BB_1D\) jne.).

Kommentti

Näin ollen suuntaissärmiöllä on kaikki prisman ominaisuudet.

Lause

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivupinta-ala on \

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön kokonaispinta-ala on \

Lause

Kuumion tilavuus on yhtä suuri kuin sen yhdestä kärjestä lähtevien kolmen reunan tulo (kolme kuution mittaa): \

Todiste

Koska Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden, jolloin ne ovat myös sen korkeuksia, eli \(h=AA_1=c\) Koska pohja on siis suorakulmio \(S_(\teksti(pää))=AB\cdot AD=ab\). Tästä tämä kaava tulee.

Lause

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjä \(d\) löydetään kaavalla (jossa \(a,b,c\) ovat suuntaissärmiön mitat) \

Todiste

Katsotaanpa kuvaa Fig. 3. Koska kanta on suorakulmio, silloin \(\kolmio ABD\) on suorakaiteen muotoinen, joten Pythagoraan lauseella \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Koska kaikki sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) kohtisuorassa mihin tahansa tämän tason suoraan nähden, ts. \(BB_1\perp BD\) . Tämä tarkoittaa, että \(\kolmio BB_1D\) on suorakaiteen muotoinen. Sitten Pythagoraan lauseen mukaan \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Määritelmä: kuutio

Kuutio on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jonka kaikki pinnat ovat yhtä suuria neliöitä.

Näin ollen kolme ulottuvuutta ovat keskenään yhtä suuret: \(a=b=c\) . Joten seuraavat ovat totta

Lauseet

1. Kuution, jonka reuna on \(a\), tilavuus on yhtä suuri kuin \(V_(\teksti(kuutio))=a^3\) .

2. Kuution diagonaali löydetään kaavalla \(d=a\sqrt3\) .

3. Kuution kokonaispinta-ala \(S_(\teksti(täysi kuutio))=6a^2\).

Kreikasta käännettynä suunnikas tarkoittaa tasoa. Suuntasissärmiö on prisma, jonka pohjassa on suuntaviiva. Suunnikkaita on viisi tyyppiä: vino, suora ja kuutiomainen. Kuutio ja romboedri kuuluvat myös suuntaissärmiöön ja ovat sen lajike.

Ennen kuin siirrymme peruskäsitteisiin, annetaan joitain määritelmiä:

Suuntasärmiön lävistäjä on segmentti, joka yhdistää suuntaissärmiön toisiaan vastakkaiset kärjet.
Jos kahdella pinnalla on yhteinen reuna, voimme kutsua niitä vierekkäisiksi reunoksi. Jos yhteistä reunaa ei ole, kasvoja kutsutaan vastakkaisiksi.
Kahta pistettä, jotka eivät ole samalla pinnalla, kutsutaan vastakkaiksi.

Mitä ominaisuuksia suuntaissärmiöllä on?

Vastakkaisilla puolilla makaavan suuntaissärmiön pinnat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa ja samansuuruiset.
Jos piirrät lävistäjät yhdestä kärjestä toiseen, näiden diagonaalien leikkauspiste jakaa ne kahtia.
Samassa kulmassa pohjaan nähden olevan suuntaissärmiön sivut ovat yhtä suuret. Toisin sanoen yhteissuunnattujen sivujen kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Millaisia suuntaissärmiöitä on olemassa?

Selvitetään nyt, millaisia suuntaissärmiöitä on. Kuten edellä mainittiin, tätä hahmoa on useita tyyppejä: suora, suorakaiteen muotoinen, kalteva suuntaissärmiö sekä kuutio ja romboedri. Miten ne eroavat toisistaan? Kyse on tasoista, jotka muodostavat ne ja kulmista, jotka ne muodostavat.

Katsotaanpa yksityiskohtaisemmin jokaista lueteltua suuntaissärmiötyyppiä.

Kuten nimestä jo käy ilmi, kaltevalla suuntaissärmiöllä on vinot pinnat, nimittäin ne pinnat, jotka eivät ole 90 asteen kulmassa pohjaan nähden.
Mutta oikean suuntaissärmiön kohdalla pohjan ja reunan välinen kulma on täsmälleen yhdeksänkymmentä astetta. Tästä syystä tämän tyyppisellä suuntaissärmiöllä on tällainen nimi.
Jos kaikki suuntaissärmiön pinnat ovat identtisiä neliöitä, tätä kuvaa voidaan pitää kuutiona.
Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö sai tämän nimen sen muodostavien tasojen vuoksi. Jos ne ovat kaikki suorakulmioita (mukaan lukien pohja), tämä on kuutio. Tämän tyyppistä suuntaissärmiötä ei löydy kovin usein. Käännetty kreikaksi rombohedron tarkoittaa kasvoja tai pohjaa. Tämä on nimi, joka on annettu kolmiulotteiselle hahmolle, jonka kasvot ovat rombisia.

Suuntasärmiön peruskaavat

Suuntasärmiön tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-alan ja sen korkeuden, joka on kohtisuorassa pohjaan nähden, tulo.

Sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja korkeuden tulo.
Kun tiedät perusmääritelmät ja -kaavat, voit laskea perusalan ja tilavuuden. Pohja voidaan valita oman harkintasi mukaan. Pohjana käytetään kuitenkin yleensä suorakulmiota.

Prisma ja suuntaissärmiö

Suuntasärmiön ominaisuudet

Suuntaissärmiö:

1) vastakkaiset pinnat ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset;

2) kaikki neljä diagonaalia leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat siinä.

Todiste:

1) Tarkastellaan esimerkiksi suuntaissärmiön kahta vastakkaista pintaa ja (kuva 5).

Koska kaikki suuntaissärmiön pinnat ovat suuntaissärmiöitä, suora AD on yhdensuuntainen suoran BC kanssa ja suora on yhdensuuntainen suoran kanssa. Tästä seuraa, että tarkasteltavien pintojen tasot ovat yhdensuuntaiset.

Siitä tosiasiasta, että suuntaissärmiön pinnat ovat suuntaissärmiöitä, seuraa, että AB ja CD ovat molemmat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Tästä päättelemme, että kasvot yhdistetään rinnakkaisella siirrolla reunaa AB pitkin kasvon kanssa. Siksi nämä reunat ovat yhtä suuret.

2) Otetaan esimerkiksi kaksi suuntaissärmiön lävistäjää (kuva 5) ja ja piirretään lisää suoria ja. AB ja vastaavasti ovat yhtä suuret ja samansuuntaiset reunan DC kanssa, joten ne ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset toistensa kanssa; Seurauksena on, että kuvio on suuntaviiva, jossa suorat ja ovat lävistäjät, ja suunnikkaassa lävistäjät on jaettu puoliksi leikkauspisteessä. Vastaavasti voimme todistaa, että kaksi muuta diagonaalia leikkaavat yhdessä pisteessä ja jakavat ne tämän pisteen kautta. Jokaisen diagonaaliparin leikkauspiste on lävistäjän keskellä. Siten kaikki neljä suuntaissärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä O ja jakavat ne tämän pisteen kautta. Näin ollen suuntaissärmiön lävistäjien leikkauspiste on sen symmetriakeskus.

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjän neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

Todiste:

Tämä ilmenee Pythagoraan tilalauseesta. Jos on suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjä, niin ovat sen projektiot kolmelle pareittain kohtisuoralle suoralle (kuva 6). Siksi,.

Huomautus: suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä kaikki lävistäjät ovat yhtä suuret.

Binomiaaliset kertoimet

Cnk-luvuilla on useita merkittäviä ominaisuuksia. Nämä ominaisuudet ilmaisevat lopulta erilaisia suhteita tietyn joukon X osajoukkojen välillä. Ne voidaan todistaa suoraan kaavan (1) perusteella...

Binomiaaliset kertoimet

1. Laajenemiskertoimien summa (a + b)n on yhtä suuri kuin 2n. Sen todistamiseksi riittää, että laitetaan a = b = 1. Tällöin binomilaajennuksen oikealla puolella on binomikertoimien summa ja vasemmalla: (1 + 1)n = 2n. 2.Jäsenkertoimet...

Polyhedratyypit

Lateraalinen pinta-ala (tai yksinkertaisesti sivupinta) Prisman (rinnakkaisputki) on sen kaikkien sivupintojen pintojen summa...

Moniulotteiset Fibonacci-sekvenssit

Rakennetaan sekvenssi ja kutsutaan sitä kolmiulotteiseksi Fibonacci-sekvenssiksi. Tämä sekvenssi koostuu joukoista M1, M2, ... ja niin edelleen. Sarja M1 koostuu vain yhdestä additiivisesta kolmiosasta (2,1,1)...

Ei-negatiivisten reaalilukujen kertovat puoliryhmät

Olkoon S kommutatiivinen multiplikatiivinen redusoitumaton puoliryhmä, jossa on 1 ja jossa ei ole yksikön jakajia. Tällaisia puoliryhmiä kutsutaan integraaleiksi tai kartioiksi. S:n alkioiden ja sanotaan olevan suhteellisen alkulukuja, jos gcd(,)=1...

Ei-euklidinen geometria

Tarkastellaanpa joitain ominaisuuksia, käsitteitä ja tosiasioita, jotka pätevät Lobatševskin geometriassa. Tässä tapauksessa tarkastelin ominaisuuksia Kleinin malliin perustuen. Suurin osa niistä suoritetaan muilla ei-euklidisen geometrian malleilla...

Muutamia upeita käyriä

Pascalin simpukan normaali pisteessään M (kuva 7) kulkee pääympyrän K pisteen N läpi, diametraalisesti vastapäätä pistettä P, jossa OM leikkaa pääympyrän...

Determinantit ja niiden soveltaminen algebrassa ja geometriassa

Determinantilla on useita ominaisuuksia: 1) Determinantti ei muutu siirrettäessä matriiseja (rivejä ja sarakkeita). 2) Jos yksi sarakkeista (riveistä) koostuu nollista, niin determinantti on nolla...

Muunnokset, jotka lisäävät tasoalgebrallisten käyrien järjestystä

Harkitsemme yksinkertaisin tapa cissoidin muodostuminen - muinaisten löytämä käyrä etsiessään ratkaisua kuuluisaan kuution kaksinkertaistamisen ongelmaan. Otetaan ympyrä (kutsutaan generoivaksi), jonka halkaisija ja tangentti sille...

Prisma ja suuntaissärmiö

Jos prisman kanta on suuntaissärmiö, sitä kutsutaan suuntaissärmiöksi. Suuntasärmiön kaikki pinnat ovat suunnikkaat. Kuvassa 3 on kalteva suuntaissärmiö ja kuvassa 4 suora suuntaissärmiö. Suuntaissärmiön kasvot...

Luonnollisen sarjan osiointi

Tässä osiossa puhumme ongelmista, jotka on omistettu luonnollisen sarjan jakamiseen sekvensseihin, ja lauseesta, joka todistaa ne...

Äärimmäinen ongelma luokkien indeksoinnissa

Tarvitsemme kaksi faktaa . 1. Jokaiselle on ainutlaatuinen DF. 2. Jos, niin joukko on yksialkioinen. Jos sitten on jatkuvia yhden parametrin perheitä (eli for ja (symboli ilmaisee heikkoa konvergenssia)) ja DF:t, kuten...

Tällä oppitunnilla jokainen voi opiskella aihetta "Suorakulmainen suuntaissärmiö". Oppitunnin alussa toistamme, mitä mielivaltaiset ja suorat suuntaissärmiöt ovat, muistamme niiden vastakkaisten pintojen ja suuntaissärmiöiden lävistäjien ominaisuudet. Sitten tarkastelemme, mikä kuutio on, ja keskustelemme sen perusominaisuuksista.

Aihe: Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus

Oppitunti: Cuboid

Pinta, joka koostuu kahdesta yhtä suuresta suunnikkaasta ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 ja neljästä suunnikkaasta ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, on ns. suuntaissärmiö(Kuva 1).

Riisi. 1 Rinnakkaisputki

Eli: meillä on kaksi samankokoista suunnikkaa ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 (kanta), ne sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa siten, että sivureunat AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ovat yhdensuuntaiset. Siten suunnikkapiireistä koostuvaa pintaa kutsutaan suuntaissärmiö.

Näin ollen suuntaissärmiön pinta on kaikkien suuntaissärmiön muodostavien suuntaissärmiöiden summa.

1. Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset.

(muodot ovat samanarvoisia, eli ne voidaan yhdistää päällekkäin)

Esimerkiksi:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (määritelmän mukaan yhtäläiset suuntaviivat),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (koska AA 1 B 1 B ja DD 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (koska AA 1 D 1 D ja BB 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat).

2. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja jakavat ne tämän pisteen kautta.

Suuntasärmiön AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä O, ja jokainen lävistäjä jaetaan tällä pisteellä puoliksi (kuva 2).

Riisi. 2 Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat ja jaetaan puoliksi leikkauspisteellä.

3. Suuntasissärmiössä on kolme yhtäläisten ja yhdensuuntaisten reunojen nelinkertaista: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Määritelmä. Suuntaissärmiötä kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden.

Olkoon sivureuna AA 1 kohtisuorassa alustaan nähden (kuva 3). Tämä tarkoittaa, että suora AA 1 on kohtisuorassa kannan tasossa oleviin suoriin AD ja AB nähden. Tämä tarkoittaa, että sivupinnat sisältävät suorakulmioita. Ja emäkset sisältävät mielivaltaisia suunnikkaita. Merkitään ∠BAD = φ, kulma φ voi olla mikä tahansa.

Riisi. 3 Oikea suuntaissärmiö

Oikea suuntaissärmiö on siis suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa suuntaissärmiön kantaan nähden.

Määritelmä. Suuntaissärmiötä kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Pohjat ovat suorakulmioita.

Suuntaissärmiö ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on suorakaiteen muotoinen (kuva 4), jos:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sivureuna, joka on kohtisuorassa kannan tasoon nähden, eli suora suuntaissärmiö).

2. ∠BAD = 90°, eli kanta on suorakulmio.

Riisi. 4 Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö

Suorakaiteen muotoisella suuntaissärmiöllä on kaikki mielivaltaisen suuntaissärmiön ominaisuudet. Mutta on myös muita ominaisuuksia, jotka on johdettu kuutiomuodon määritelmästä.

Niin, kuutiomainen on suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Kuution kanta on suorakulmio.

1. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä kaikki kuusi pintaa ovat suorakulmioita.

ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 ovat määritelmän mukaan suorakulmioita.

2. Sivukylkiluut kohtisuoraan pohjaan nähden. Tämä tarkoittaa, että kaikki suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivupinnat ovat suorakulmioita.

3. Kaikki dihedraaliset kulmat suorakaiteen muotoisia suuntaissärmiöitä suoria viivoja.

Tarkastellaan esimerkiksi suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön, jonka reuna on AB, kaksitahoinen kulma, eli tasojen ABC 1 ja ABC välinen dihedraalikulma.

AB on reuna, piste A 1 on yhdessä tasossa - tasossa ABB 1 ja piste D toisessa - tasossa A 1 B 1 C 1 D 1. Tällöin tarkasteltavana olevaa dihedraalikulmaa voidaan merkitä myös seuraavasti: ∠A 1 ABD.

Otetaan piste A reunalla AB. AA 1 on kohtisuorassa reunaa AB vastaan tasossa АВВ-1, AD on kohtisuorassa reunaan AB tasossa ABC. Tämä tarkoittaa, että ∠A 1 AD on tietyn dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. ∠A 1 AD = 90°, mikä tarkoittaa, että dihedraalikulma reunassa AB on 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Samoin on todistettu, että suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön mitkä tahansa kaksikulmaiset kulmat ovat oikeat.

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjän neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

Huomautus. Kuutiomuodon yhdestä kärjestä lähtevien kolmen reunan pituudet ovat kuution mittoja. Niitä kutsutaan joskus pituudeksi, leveydeksi, korkeudeksi.

Annettu: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö (kuva 5).

Todistaa: .

Riisi. 5 Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö

Todiste:

Suora CC 1 on kohtisuorassa tasoon ABC ja siten suoraan AC nähden. Tämä tarkoittaa, että kolmio CC 1 A on suorakulmainen. Pythagoraan lauseen mukaan:

Harkitsemme suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan:

Mutta eKr ja AD - vastakkaiset puolet suorakulmio. Joten BC = AD. Sitten:

Koska , A , Tuo. Koska CC 1 = AA 1, tämä on todistettava.

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjät ovat yhtä suuret.

Merkitään suuntaissärmiön ABC:n mitat a, b, c (ks. kuva 6), jolloin AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =