Lause

Tasojen välinen kulma ei riipu leikkaustason valinnasta.

Todiste.

Olkoon kaksi tasoa α ja β, jotka leikkaavat suoraa c. Piirretään taso γ kohtisuoraan suoraa c vastaan. Sitten taso γ leikkaa tasot α ja β pitkin suoria a ja b, vastaavasti. Tasojen α ja β välinen kulma yhtä suuri kuin kulma rivien a ja b välissä.
Otetaan toinen leikkaustaso γ`, kohtisuorassa c:tä vastaan. Sitten taso γ` leikkaa tasot α ja β pitkin suoria viivoja a` ja b`, vastaavasti.
Rinnakkaissiirrossa tason γ ja suoran c leikkauspiste menee tason γ` ja suoran c leikkauspisteeseen. tässä tapauksessa rinnakkaiskäännöksen ominaisuuden mukaan rivi a menee riville a`, b - riville b`. siksi suorat a ja b, a` ja b` väliset kulmat ovat yhtä suuret. Lause on todistettu.

Tämä artikkeli käsittelee tasojen välistä kulmaa ja sen löytämistä. Ensin annetaan kahden tason välisen kulman määritelmä ja esitetään graafinen kuva. Tämän jälkeen analysoitiin periaate kahden leikkaavan tason välisen kulman löytämisestä koordinaattimenetelmällä ja saatiin kaava, jonka avulla voit laskea risteävien tasojen välisen kulman käyttämällä näiden tasojen normaalivektorien tunnettuja koordinaatteja. Lopuksi esitetään yksityiskohtaiset ratkaisut tyypillisiin ongelmiin.

Sivulla navigointi.

Tasojen välinen kulma - määritelmä.

Aineistoa esitettäessä käytämme artikkeleissa annettuja määritelmiä ja käsitteitä: taso avaruudessa ja viiva avaruudessa.

Esitetään argumentit, joiden avulla voimme vähitellen lähestyä kahden leikkaavan tason välisen kulman määrittämistä.

Olkoon meille annettu kaksi intersecting konetta ja . Nämä tasot leikkaavat suoraa viivaa pitkin, jota merkitsemme kirjaimella c. Muodostetaan pisteen läpi kulkeva taso M suoraan c ja kohtisuorassa linjaan nähden c. Tässä tapauksessa kone leikkaa tasot ja. Merkitään suoraa, jota pitkin tasot leikkaavat ja as a, ja suora viiva, jota pitkin tasot leikkaavat ja miten b. Ilmeisesti suoraan a Ja b leikkaavat pisteessä M.

Leikkaavien viivojen välinen kulma on helppo osoittaa a Ja b ei riipu pisteen sijainnista M suoralla linjalla c jonka läpi kone kulkee.

Muodostetaan taso, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan c ja erilainen kuin lentokone. Tason leikkaavat tasot ja suoria viivoja pitkin, joita me merkitsemme a 1 Ja b 1 vastaavasti.

Tasojen rakennusmenetelmästä seuraa, että suorat viivat a Ja b kohtisuoraan viivaan nähden c, ja suoraan a 1 Ja b 1 kohtisuoraan viivaan nähden c. Suorasta lähtien a Ja a 1 c, ne ovat samansuuntaisia. Samoin suoraan b Ja b 1 sijaitsevat samassa tasossa ja ovat kohtisuorassa viivaa vastaan c, joten ne ovat rinnakkaisia. Siten on mahdollista suorittaa yhdensuuntainen tason siirto tasoon, jossa suora viiva a 1 osuu yhteen suoran kanssa a, ja suora viiva b suoralla viivalla b 1. Siksi kahden leikkaavan suoran välinen kulma a 1 Ja b 1 yhtä suuri kuin leikkausviivojen välinen kulma a Ja b.

Tämä osoittaa, että leikkausviivojen välinen kulma a Ja b, Makaa leikkaustasoilla ja , Ei riipu pisteen valinnasta M jonka läpi kone kulkee. Siksi on loogista ottaa tämä kulma kahden leikkaavan tason väliseksi kulmaksi.

Nyt voit määrittää kahden leikkaavan tason välisen kulman ja.

Määritelmä.

Kahden leikkaavan suoran välinen kulma c lentokoneet ja on kahden leikkaavan suoran välinen kulma a Ja b, jota pitkin tasot ja leikkaavat viivaan nähden kohtisuorassa olevan tason c.

Kahden tason välisen kulman määritelmä voidaan antaa hieman eri tavalla. Jos suoralla linjalla Kanssa, jota pitkin tasot ja leikkaavat, merkitsevät pisteen M ja piirrä suorat viivat sen läpi A Ja b, kohtisuorassa linjaan nähden c ja tasoissa ja vastaavasti sitten suorien viivojen välinen kulma A Ja b edustaa kulmaa lentokoneiden ja . Yleensä käytännössä juuri tällaisia ​​rakenteita tehdään tasojen välisen kulman saamiseksi.

Koska leikkaavien viivojen välinen kulma ei ylitä , niin esitetystä määritelmästä seuraa, että kahden leikkaavan tason välisen kulman astemitta ilmaistaan ​​reaaliluvulla väliltä. Tässä tapauksessa kutsutaan leikkaavia tasoja kohtisuorassa, jos niiden välinen kulma on yhdeksänkymmentä astetta. Yhdensuuntaisten tasojen välistä kulmaa ei joko määritetä ollenkaan tai sen katsotaan olevan nolla.

Sivun yläreunassa

Kahden leikkaavan tason välisen kulman löytäminen.

Yleensä kahden leikkaavan tason välistä kulmaa etsittäessä on ensin suoritettava lisärakennuksia, jotta nähdään risteävät suorat, joiden välinen kulma on yhtä suuri kuin haluttu kulma, ja sitten yhdistää tämä kulma alkuperäiseen tietoon tasa-arvotesteillä, samankaltaisuus testit, kosinilause tai kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmät. Geometrian aikana lukio vastaavia ongelmia esiintyy.

Otetaan esimerkkinä ratkaisu matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta 2012 tehtävään C2 (ehtoa muutettiin tarkoituksella, mutta tämä ei vaikuta ratkaisun periaatteeseen). Siinä sinun piti vain löytää kulma kahden leikkaavan tason välillä.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, jossa AB=3, AD=2, AA 1 = 7 ja kausi E jakaa puolen AA 1 suhteessa 4 Vastaanottaja 3 , pisteestä laskettuna A ABC Ja Sänky 1.

Ensin tehdään piirustus.

Suoritetaan lisärakennuksia tasojen välisen kulman "näkemiseksi".

Ensin määritellään suora viiva, jota pitkin tasot leikkaavat ABC Ja Sänky 1. Piste SISÄÄN– Tämä on yksi heidän yhteisistä asioistaan. Etsitään toinen yhteinen kohta nämä lentokoneet. Suoraan D.A. Ja D 1 E makaa samassa tasossa LISÄÄ 1, eivätkä ne ole yhdensuuntaisia, vaan leikkaavat siten. Toisaalta suoraan D.A. makaa lentokoneessa ABC, ja suora viiva D 1 E- lentokoneessa Sänky 1, siis viivojen leikkauspiste D.A. Ja D 1 E tulee olemaan tasojen yhteinen piste ABC Ja Sänky 1. Jatketaan siis suoraan D.A. Ja D 1 E ennen kuin ne leikkaavat, merkitsemme niiden leikkauspistettä kirjaimella F. Sitten B.F.– suora viiva, jota pitkin tasot leikkaavat ABC Ja Sänky 1.

Jäljelle jää rakentaa kaksi tasoissa olevaa suoraa ABC Ja Sänky 1 vastaavasti yhden pisteen kautta viivalla B.F. ja kohtisuorassa linjaan nähden B.F., - näiden suorien viivojen välinen kulma on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin haluttu tasojen välinen kulma ABC Ja Sänky 1. Tehdään se.

Piste A on pisteen projektio E lentokoneeseen ABC. Piirrä viiva, joka leikkaa suoran suorassa kulmassa VF pisteessä M. Siis suoraan OLEN on viivan projektio SYÖDÄ lentokoneeseen ABC, ja kolmen kohtisuoran lauseella.

Siten haluttu kulma tasojen välillä ABC Ja Sänky 1 yhtä kuin .

Voimme määrittää tämän kulman (ja siten itse kulman) sinin, kosinin tai tangentin suorakulmainen kolmio AEM, jos tiedämme sen kahden sivun pituudet. Kunnosta on helppo löytää pituus AE: pisteestä lähtien E jakaa puolen AA 1 suhteessa 4 Vastaanottaja 3 , pisteestä laskettuna A, ja sivun pituus AA 1 yhtä kuin 7 , Tuo AE=4. Etsitään toinen pituus OLEN.

Harkitse tätä varten suorakulmaista kolmiota ABF suoralla kulmalla A, Missä OLEN on korkeus. Ehdon mukaan AB = 2. Sivun pituus AF voimme löytää suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta DD 1 F Ja AEF:

Pythagoraan lauseen mukaan kolmiosta ABF löydämme . Pituus OLEN löytää kolmion alueen läpi ABF: toisella puolella kolmion pinta-ala ABF yhtä suuri toisaalta, mistä .

Siis suorakulmaisesta kolmiosta AEM meillä on .

Sitten haluttu kulma tasojen välillä ABC Ja Sänky 1 on yhtä suuri (huomaa, että ).

Joissakin tapauksissa kahden leikkaavan tason välisen kulman löytämiseksi on kätevää määrittää suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä Oxyz ja käytä koordinaattimenetelmää. Pysähdytään tähän.

Asetetaan tehtävä: Etsi kahden leikkaavan tason välinen kulma ja . Merkitään haluttu kulma muodossa .

Oletetaan, että annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz tiedämme leikkaavien tasojen normaalivektorien koordinaatit ja tai meillä on mahdollisuus löytää ne. Antaa olla tason normaalivektori ja antaa olla tason normaalivektori. Näytämme kuinka löytää kulma leikkaavien tasojen välillä ja näiden tasojen normaalivektorien koordinaattien kautta.

Merkitään suoraa viivaa, jota pitkin tasot ja leikkaavat as c. Pisteen läpi M suoralla linjalla c piirrä taso, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan c. Taso leikkaa tasot ja pitkin suoria viivoja a Ja b vastaavasti suoraan a Ja b leikkaavat pisteessä M. Määritelmän mukaan leikkaustasojen välinen kulma ja on yhtä suuri kuin leikkaavien viivojen välinen kulma a Ja b.

Siirretään pisteestä M tasossa normaalivektorit ja tasot ja . Tässä tapauksessa vektori sijaitsee suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan a, ja vektori on suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan b. Siten tasossa vektori on suoran normaalivektori a, - normaali viivavektori b.

Leikkaavien viivojen välistä kulmaa etsivässä artikkelissa saimme kaavan, jonka avulla voimme laskea leikkausviivojen välisen kulman kosinin käyttämällä normaalivektorien koordinaatteja. Siten viivojen välisen kulman kosini a Ja b, ja näin ollen, Leikkaavien tasojen välisen kulman kosini ja löytyy kaavalla , jossa ja ovat tasojen ja vastaavasti normaalivektorit. Sitten risteävien tasojen välinen kulma lasketaan muodossa .

Ratkaistaan ​​edellinen esimerkki koordinaattimenetelmällä.

Annettu suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, jossa AB=3, AD=2, AA 1 = 7 ja kausi E jakaa puolen AA 1 suhteessa 4 Vastaanottaja 3 , pisteestä laskettuna A. Etsi tasojen välinen kulma ABC Ja Sänky 1.

Koska suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivut yhdessä kärjessä ovat kohtisuorassa pareittain, on kätevää ottaa käyttöön suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä Oxyz näin: alku on linjassa yläosan kanssa KANSSA, ja koordinaattiakselit Härkä, Oy Ja Oz osoittaa sivuille CD, C.B. Ja CC 1 vastaavasti.

Tasojen välinen kulma ABC Ja Sänky 1 löytyy näiden tasojen normaalivektorien koordinaattien kautta kaavalla , missä ja ovat tasojen normaalivektorit ABC Ja Sänky 1 vastaavasti. Määritetään normaalivektorien koordinaatit.

Lentokoneesta lähtien ABC osuu yhteen koordinaattitason kanssa Oxy, niin sen normaalivektori on koordinaattivektori, eli .

Tason normaalivektorina Sänky 1 voit ottaa vektorien vektoritulon ja puolestaan ​​vektorien koordinaatit ja se löytyy pisteiden koordinaattien kautta SISÄÄN, E Ja D 1(kuten artikkelissa kirjoitetaan, vektorin koordinaatit sen alun ja lopun pisteiden koordinaattien kautta) ja pisteiden koordinaatit SISÄÄN, E Ja D 1 esitellyssä koordinaattijärjestelmässä määritämme tehtävän ehtojen perusteella.

Ilmeisesti,. Koska , löydämme pisteiden koordinaateista (katso tarvittaessa segmentin artikkelijako tietyssä suhteessa). Sitten andOxyz-yhtälöt ja .

Kun tutkimme suoran yleistä yhtälöä, saimme selville, että kertoimet A, SISÄÄN Ja KANSSA edustavat tason normaalivektorin vastaavia koordinaatteja. Siten ja ovat normaalivektorit tasojen ja vastaavasti.

Korvaamme tasojen normaalivektorien koordinaatit kaavaan kahden leikkaavan tason välisen kulman laskemiseksi:

Sitten . Koska kahden leikkaavan tason välinen kulma ei ole tylppä, saadaan trigonometrisen perusidentiteetin avulla kulman sini: .

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Kun on annettu säännöllinen prisma ABCDA_1B_1C_1D_1, M ja N ovat reunojen AB ja BC keskipisteet, vastaavasti, piste K on MN:n keskipiste.

A) Todista, että suorat KD_1 ja MN ovat kohtisuorassa.

b) Etsi tasojen MND_1 ja ABC välinen kulma jos AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

A) Kohdissa \triangle DCN ja \triangle MAD meillä on: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Tästä syystä \triangle DCN=\kolmio MAD kahdella jalalla. Sitten MD=DN, \kolmio DMN tasakylkinen. Tämä tarkoittaa, että mediaani DK on myös korkeus. Siksi DK \perp MN.

DD_1 \perp MND ehdon mukaan, D_1K - vino, KD - projektio, DK \perp MN.

Näin ollen lauseen mukaan noin kolme kohtisuoraa MN\perp D_1K.

b) Kuten todistettiin vuonna A), DK \perp MN ja MN \perp D_1K, mutta MN on tasojen MND_1 ja ABC leikkausviiva, mikä tarkoittaa, että \kulma DKD_1 on tasojen MND_1 ja ABC välisen dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

Pythagoraan lauseen mukaan \kolmiossa DAM DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Siksi \kolmiossa DKM Pythagoraan lauseen mukaan DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Sitten \kolmiossa DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Tämä tarkoittaa \angle DKD_1=45^(\circ).

Vastaus

45^(\circ).

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Tavallisessa nelikulmaisessa prismassa ABCDA_1B_1C_1D_1 pohjan sivut ovat 4 ja sivureunat 6. Piste M on reunan CC_1 keskikohta, piste N on merkitty reunaan BB_1 siten, että BN:NB_1=1:2.

A) Missä suhteessa AMN-taso jakaa reunan DD_1?

b) Etsi tasojen ABC ja AMN välinen kulma.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

A) Taso AMN leikkaa reunan DD_1 pisteessä K, joka on tämän tason tietyn prisman leikkauksen neljäs kärki. Poikkileikkaus on suunnikas ANMK, koska tietyn prisman vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset.

BN =\frac13BB_1=2. Piirretään KL \rinnakkais CD, jolloin kolmiot ABN ja KLM ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD = LC = 1. Sitten KD_1=6-1=5. Nyt voit löytää suhteen KD:KD_1=1:5.

b) F on suorien CD ja KM leikkauspiste. Tasot ABC ja AMN leikkaavat suoraa AF:tä pitkin. Kulma \angle KHD =\alpha on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma (HD\perp AF, sitten lauseella käänteinen kolmen kohtisuoran lauseeseen, KH \perp AF), ja on suorakulmaisen kolmion KHD terävä kulma, jalka KD = 1.

Kolmiot FKD ja FMC ovat samanlaisia ​​(KD \parallel MC), joten FD:FC=KD:MC ratkaisemalla suhteen FD:(FD+4)=1:3 saadaan FD=2. Suorakulmaisessa kolmiossa AFD (\angle D=90^(\circ)) jalat 2 ja 4 lasketaan hypotenuusa AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Suorassa kolmiossa KHD löydämme tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, tämä tarkoittaa haluttua kulmaa \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Vastaus

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Annettu säännöllinen nelikulmainen pyramidi KMNPQ, jonka pohjasivu MNPQ on 6 ja sivureuna 3\sqrt (26).

A) Muodosta pyramidin poikkileikkaus, jonka taso kulkee linjan NF kautta yhdensuuntaisesti diagonaalin MP kanssa, jos piste F on reunan MK keskikohta.

b) Etsi leikkaustason ja KMP-tason välinen kulma.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

A) Olkoon KO pyramidin korkeus, F MK:n keskipiste; FE \parallel MP (PKM-tasossa) . Koska FE on keskiviiva\kolmio PKM FE=\frac(MP)2.

Muodostetaan pyramidista poikkileikkaus, jonka taso kulkee NF:n kautta ja on yhdensuuntainen MP:n kanssa eli tason NFE:n kanssa. L on EF:n ja KO:n leikkauspiste. Koska pisteet L ja N kuuluvat haluttuun poikkileikkaukseen ja sijaitsevat tasossa KQN, niin LN:n ja KQ:n leikkauspisteenä saatu piste T on myös halutun leikkauksen ja reunan KQ leikkauspiste. NETF on pakollinen osa.

b) Tasot NFE ja MPK leikkaavat suoraa FE:tä pitkin. Tämä tarkoittaa, että näiden tasojen välinen kulma on yhtä suuri kuin dihedraalisen kulman OFEN lineaarikulma, muodostetaan se: LO\perpMP, MP\parallel FE, siten, LO\perpFE;\kolmio NFE on tasakylkinen (NE=NF yhtäläisten kolmioiden KPN ja KMN vastaavina mediaaneina), NL on sen mediaani (EL=LF, koska PO=OM, ja \kolmio KEF \sim \kolmio KPM) . Siksi NL \perp FE ja \angle NLO on haluttu.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\kolmio KON - suorakaiteen muotoinen.

Pythagoraan lauseen mukainen jalka KO on yhtä suuri kuin KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Kaikki kylkiluut ovat oikein Kolmisivuinen prisma ABCA_(1)B_(1)C_(1) ovat yhtä suuret kuin 6 . Reunojen AC ja BB_(1) keskipisteiden ja kärjen A_(1) kautta piirretään leikkaustaso.

A) Osoita, että reuna BC on jaettu leikkaustasolla suhteessa 2:1, laskettuna kärjestä C.

b) Etsi leikkaustason ja perustason välinen kulma.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

A) Olkoot D ja E reunojen AC ja BB_(1) keskipisteet, vastaavasti.

Tasoon AA_(1)C_(1) piirretään suora A_(1)D, joka leikkaa suoran CC_(1) pisteessä K, tasossa BB_(1)C_(1) - suora viiva KE, joka leikkaa reunan BC pisteessä F . Yhdistämällä pisteet A_(1) ja E, jotka sijaitsevat tasossa AA_(1)B_(1), sekä D ja F, jotka sijaitsevat tasossa ABC, saadaan osio A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK jalassa AD=DC ja terävä kulma.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - kuten pystysuorat, tästä seuraa, että AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF ja \bigtriangleup BFE ovat samanlaisia ​​kahdessa kulmassa \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - kuten pystysuorat.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, eli samankaltaisuuskerroin on 2, mikä tarkoittaa, että CF:FB=2:1.

b) Suoritetaan AH \perp DF. Leikkaustason ja perustason välinen kulma on yhtä suuri kuin kulma AHA_(1). Jana AH \perp DF (DF on näiden tasojen leikkausviiva) on janan A_(1)H projektio kantatasolle, joten kolmen kohtisuoran lauseen mukaan A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Etsitään AH. \angle ADH =\angle FDC (sama kuin pystysuora).

\bigtriangleup DFC:n kosinilauseen mukaan:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Seurauksena trigonometrisen perusidentiteetistä

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .\bigtriangleup ADH:sta löydämme AH:n:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\kulma AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Vastaus

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Suoran prisman ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) kanta on rombi, jonka tylppä kulma B on 120^\circ. Tämän prisman kaikki reunat ovat yhtä suuria kuin 10. Pisteet P ja K ovat reunojen CC_(1) ja CD keskipisteitä.

A) Todista, että suorat PK ja PB_(1) ovat kohtisuorassa.

b) Etsi tasojen PKB_(1) ja C_(1)B_(1)B välinen kulma.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

A) Käytämme koordinaattimenetelmää. Etsitään vektorien \vec(PK) ja \vec(PB_(1) skalaaritulo ja sitten näiden vektorien välisen kulman kosini. Ohjataan Oy-akseli CD:tä pitkin, Oz-akseli CC_(1:tä) pitkin ja Ox-akseli \perp CD:tä pitkin. C on alkuperä.

Sitten C (0; 0; 0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), tuo on B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Etsitään vektorien koordinaatit: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

Olkoon \vec(PK) ja \vec(PB_(1)) välinen kulma yhtä suuri kuin \alpha.

Saamme \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​mikä tarkoittaa \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) ja suorat PK ja PB_(1) ovat kohtisuorassa.

b) Tasojen välinen kulma on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien vektorien välinen kulma, joka on kohtisuorassa näihin tasoihin nähden (tai jos kulma on tylppä, sen vieressä oleva kulma). Tällaisia ​​vektoreita kutsutaan tasojen normaaleiksi. Etsitään ne.

Olkoon \vec(n_(1))=\(x; y; z\) kohtisuorassa tasoon PKB_(1) nähden. Etsitään se ratkaisemalla järjestelmä \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(tapaukset)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(tapaukset)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(tapaukset)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(tapaukset)

Otetaan y = 1; z = 1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \oikea \).

Olkoon \vec(n_(2))=\(x; y; z\) kohtisuorassa tasoon C_(1)B_(1)B nähden. Etsitään se ratkaisemalla järjestelmä \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(tapaukset)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(tapaukset)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(tapaukset)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(tapaukset)

Otetaan x = 1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

Etsitään halutun kulman kosini \beta (se on yhtä suuri kuin \vec(n_(1)) ja \vec(n_(2)) välisen kulman kosinimoduuli).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Vastaus

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ABCD on neliö ja sivupinnat- yhtä suuret suorakulmiot.

Koska leikkaustaso kulkee pisteiden M ja D kautta yhdensuuntaisesti diagonaalin AC kanssa, niin sen muodostamiseksi tasoon A_(1)AC pisteen M kautta piirretään jana MN, joka on yhdensuuntainen AC:n kanssa. Saadaan AC \parallel (MDN) suoran ja tason yhdensuuntaisuuden perusteella.

MDN-taso leikkaa rinnakkaiset tasot A_(1)AD ja B_(1)BC, sitten yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuden mukaan pintojen A_(1)ADD_(1) ja B_(1)BCC_( 1) MDN-tasolla ovat yhdensuuntaiset.

Piirretään jana NE yhdensuuntaisesti segmentin MD kanssa.

Nelikulmainen DMEN on vaadittu leikkaus.

b) Etsitään leikkaustason ja perustason välinen kulma. Leikkaa poikkileikkaustaso perustason jonkin pisteen D kautta kulkevan suoran p pitkin. AC \parallel MN, siis AC \parallel p (jos taso kulkee toisen tason kanssa yhdensuuntaisen suoran läpi ja leikkaa tämän tason, niin tasojen leikkausviiva on yhdensuuntainen tämän suoran kanssa). BD \perp AC neliön diagonaaleina, mikä tarkoittaa BD \perp p. BD on ED:n projektio tasolle ABC, jolloin kolmen kohtisuoran ED \perp p lauseen mukaan \angle EDB on leikkaustason ja kantatason välisen dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

Aseta nelikulmion tyyppi DMEN. MD \parallel EN, samanlainen kuin ME \parallel DN, mikä tarkoittaa, että DMEN on suunnikas, ja koska MD=DN (suorat kolmiot MAD ja NCD ovat yhtä suuret kahdella haaralla: AD=DC neliön sivuina, AM=CN yhdensuuntaisten viivojen AC ja MN väliset etäisyydet), joten DMEN on rombi. Näin ollen F on MN:n keskipiste.

Ehdolla AM:MA_(1)=2:3 siis AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC on suorakulmio, F on MN:n keskikohta, O on AC:n keskikohta. tarkoittaa, FO\parallel MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Tietäen, että neliön diagonaali on a\sqrt(2), missä a on neliön sivu, saamme BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Suorakulmaisessa kolmiossa FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Siksi \angle FDO=60^\circ.

\(\blacktriangleright\) Kaksitasoinen kulma on kahden puolitason ja suoran \(a\) muodostama kulma, joka on niiden yhteinen raja.

\(\blacktriangleright\) Tasojen \(\xi\) ja \(\pi\) välisen kulman selvittämiseksi sinun on löydettävä lineaarinen kulma (ja mausteinen tai suoraan) tasojen \(\xi\) ja \(\pi\) muodostama kaksitahoinen kulma:

Vaihe 1: Olkoon \(\xi\cap\pi=a\) (tasojen leikkausviiva). Tasossa \(\xi\) merkitään mielivaltainen piste \(F\) ja piirretään \(FA\perp a\) ;

Vaihe 2: suorita \(FG\perp \pi\) ;

Vaihe 3: TTP:n mukaan (\(FG\) – kohtisuora, \(FA\) – vino, \(AG\) – projektio) meillä on: \(AG\perp a\) ;

Vaihe 4: Kulmaa \(\angle FAG\) kutsutaan tasojen \(\xi\) ja \(\pi\) muodostaman dihedraalisen kulman lineaariseksi kulmaksi.

Huomaa, että kolmio \(AG\) on suorakulmainen.
Huomaa myös, että tällä tavalla muodostettu taso \(AFG\) on kohtisuorassa molempiin tasoihin \(\xi\) ja \(\pi\) . Siksi voimme sanoa sen toisin: tasojen välinen kulma\(\xi\) ja \(\pi\) on kahden leikkaavan suoran \(c\in \xi\) ja \(b\in\pi\) välinen kulma, jotka muodostavat tason, joka on kohtisuorassa ja \(\xi\) ) ja \(\pi\) .

Tehtävä 1 #2875

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Annettu nelikulmainen pyramidi, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret ja kanta on neliö. Etsi \(6\cos \alpha\) , jossa \(\alpha\) on sen vierekkäisten sivupintojen välinen kulma.

Olkoon \(SABCD\) annettu pyramidi (\(S\) on kärkipiste), jonka reunat ovat yhtä suuret kuin \(a\) . Näin ollen kaikki sivupinnat ovat yhtä suuria tasasivuisia kolmioita. Etsitään pintojen \(SAD\) ja \(SCD\) välinen kulma.

Tehdään \(CH\perp SD\) . Koska \(\triangle SAD=\kolmio SCD\), silloin \(AH\) on myös \(\triangle SAD\) korkeus. Siksi määritelmän mukaan \(\angle AHC=\alpha\) on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma pintojen \(SAD\) ja \(SCD\) välillä.
Koska kanta on neliö, niin \(AC=a\sqrt2\) . Huomaa myös, että \(CH=AH\) on tasasivuisen kolmion korkeus, jonka sivu on \(a\), joten \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Sitten kosinilauseen perusteella \(\kolmio AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Vastaus: -2

Tehtävä 2 #2876

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Tasot \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) leikkaavat kulmassa, jonka kosini on yhtä suuri kuin \(0,2\). Tasot \(\pi_2\) ja \(\pi_3\) leikkaavat suorassa kulmassa, ja tasojen \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) leikkausviiva on yhdensuuntainen tasot \(\pi_2\) ja \(\ pi_3\) . Etsi tasojen \(\pi_1\) ja \(\pi_3\) välisen kulman sini.

Olkoon \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) leikkausviiva suora \(a\), \(\pi_2\) ja \(\pi_3\) leikkausviiva suora viiva \(b\) ja leikkausviiva \(\pi_3\) ja \(\pi_1\) – suora \(c\) . Koska \(a\rinnakkais b\) , sitten \(c\rinnakkais a\rinnakkais b\) (teoreettisen viitteen osan "Geometria avaruudessa" lauseen mukaan \(\rightarrow\) "Johdatus stereometriaan, rinnakkaisuus”).

Merkitään pisteet \(A\in a, B\in b\) niin, että \(AB\perp a, AB\perp b\) (tämä on mahdollista, koska \(a\rinnakkais b\) ). Merkitään \(C\in c\) niin, että \(BC\perp c\) , siis \(BC\perp b\) . Sitten \(AC\perp c\) ja \(AC\perp a\) .
Todellakin, koska \(AB\perp b, BC\perp b\) , niin \(b\) on kohtisuorassa tasoon \(ABC\) nähden. Koska \(c\rinnakkais a\rinnakkais b\), niin myös suorat \(a\) ja \(c\) ovat kohtisuorassa tasoon \(ABC\) ja siten mihin tahansa tästä tasosta tulevaan suoraan, erityisesti , rivi \ (AC\) .

Seuraa, että \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Osoittautuu, että \(\kolmio ABC\) on suorakaiteen muotoinen, mikä tarkoittaa \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Vastaus: 0.2

Tehtävä 3 #2877

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Annetut suorat \(a, b, c\), jotka leikkaavat yhdessä pisteessä ja minkä tahansa niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin \(60^\circ\) . Etsi \(\cos^(-1)\alpha\) , jossa \(\alpha\) on viivojen \(a\) ja \(c\) muodostaman tason ja viivojen \( b\ ) ja \(c\) . Kerro vastauksesi asteina.

Leikkaa suorat pisteessä \(O\) . Koska minkä tahansa niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin \(60^\circ\), kaikki kolme suoraa eivät voi olla samassa tasossa. Merkitään piste \(A\) suoralle \(a\) ja piirretään \(AB\perp b\) ja \(AC\perp c\) . Sitten \(\kolmio AOB=\kolmio AOC\) suorakaiteen muotoisena hypotenuusaa ja terävää kulmaa pitkin. Siksi \(OB=OC\) ja \(AB=AC\) .
Tehdään \(AH\perp (BOC)\) . Sitten lauseella noin kolme kohtisuoraa \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Koska \(AB=AC\) , niin \(\kolmio AHB=\kolmio AHC\) suorakaiteen muotoisena hypotenuusaa ja jalkaa pitkin. Siksi \(HB=HC\) . Tämä tarkoittaa, että \(OH\) ​​on kulman \(BOC\) puolittaja (koska piste \(H\) on yhtä kaukana kulman sivuista).

Huomaa, että tällä tavalla rakensimme myös dihedraalisen kulman lineaarikulman, jonka muodostavat viivojen \(a\) ja \(c\) muodostama taso sekä suorien \(b\) ja \(c) muodostaman tason \) . Tämä on kulma \(ACH\) .

Etsitään tämä kulma. Koska valitsimme pisteen \(A\) mielivaltaisesti, valitaan se siten, että \(OA=2\) . Sitten suorakaiteen muotoisena \(\kolmio AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Koska \(OH\) ​​​​on puolittaja, niin \(\angle HOC=30^\circ\) , suorakaiteen muotoisessa \(\kolmio HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sitten suorakaiteen muotoisesta \(\kolmio ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Vastaus: 3

Tehtävä 4 #2910

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Tasot \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) leikkaavat suoraa \(l\) pitkin, jolla pisteet \(M\) ja \(N\) sijaitsevat. Janat \(MA\) ja \(MB\) ovat kohtisuorassa suoraa \(l\) vastaan ​​ja sijaitsevat tasoissa \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) ja \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Etsi \(3\cos\alpha\) , jossa \(\alpha\) on tasojen \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) välinen kulma.

Kolmio \(AMN\) on suorakulmainen, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), josta \ Kolmio \(BMN\) on suorakulmainen, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), josta \Kirjoitamme kosinilauseen kolmiolle \(AMB\): \ Sitten \ Koska tasojen välinen kulma \(\alpha\) on terävä kulma ja \(\angle AMB\) osoittautui tylpäksi, niin \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Sitten \

Vastaus: 1.25

Tehtävä 5 #2911

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) on suuntaissärmiö, \(ABCD\) on neliö, jonka sivu on \(a\), piste \(M\) on pisteestä \(A_1\) tasoon pudotetun kohtisuoran kanta. ((ABCD)\) , lisäksi \(M\) on neliön \(ABCD\) diagonaalien leikkauspiste. On tiedossa, että \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Etsi tasojen \((ABCD)\) ja \((AA_1B_1B)\) välinen kulma. Kerro vastauksesi asteina.

Muodostetaan \(MN\) kohtisuoraan \(AB\) kohtaan kuvan osoittamalla tavalla.

Koska \(ABCD\) on neliö, jonka sivut ovat \(a\) ja \(MN\perp AB\) ja \(BC\perp AB\) , niin \(MN\rinnakkais BC\) . Koska \(M\) on neliön diagonaalien leikkauspiste, \(M\) on \(AC\) keskipiste, joten \(MN\) on keskiviiva ja \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) on \(A_1N\) projektio tasolle \((ABCD)\) ja \(MN\) on kohtisuorassa \(AB\) vastaan, niin kolmen kohtisuoran lauseen mukaan \ (A_1N\) on kohtisuorassa \(AB \) nähden ja tasojen \((ABCD)\) ja \((AA_1B_1B)\) välinen kulma on \(\kulma A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\kulma A_1NM = 60^(\circ)\]

Vastaus: 60

Tehtävä 6 #1854

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Neliössä \(ABCD\) : \(O\) – diagonaalien leikkauspiste; \(S\) – ei ole neliön tasossa, \(SO \perp ABC\) . Etsi tasojen \(ASD\) ja \(ABC\) välinen kulma, jos \(SO = 5\) ja \(AB = 10\) .

Suorakulmaiset kolmiot \(\triangle SAO\) ja \(\triangle SDO\) ovat yhtä suuret kahdelta sivulta ja niiden välinen kulma (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , koska \(O\) – neliön diagonaalien leikkauspiste, \(SO\) – yhteinen puoli) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\kolmio ASD\) – tasakylkiset. Piste \(K\) on \(AD\) keskikohta, sitten \(SK\) on kolmion \(\triangle ASD\) korkeus ja \(OK\) on kolmion korkeus \( AOD\) \(\ Rightarrow\) taso \(SOK\) on kohtisuorassa tasoihin \(ASD\) ja \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – lineaarinen kulma, joka on yhtä suuri kuin haluttu dihedraalinen kulma.

Kohdassa \(\kolmio SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – tasakylkinen suorakulmainen kolmio \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Vastaus: 45

Tehtävä 7 #1855

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Neliössä \(ABCD\) : \(O\) – diagonaalien leikkauspiste; \(S\) – ei ole neliön tasossa, \(SO \perp ABC\) . Etsi tasojen \(ASD\) ja \(BSC\) välinen kulma, jos \(SO = 5\) ja \(AB = 10\) .

Suorakulmaiset kolmiot \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ja \(\triangle SOC\) ovat yhtä suuret kahdelta sivulta ja niiden välinen kulma (\(SO \perp ABC) \) \(\nuoli oikealle\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), koska \(O\) – neliön diagonaalien leikkauspiste, \(SO\) – yhteinen puoli) \(\Oikea nuoli\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Oikea nuoli\) \( \kolmio ASD\) ja \(\kolmio BSC\) ovat tasakylkisiä. Piste \(K\) on \(AD\) keskikohta, sitten \(SK\) on kolmion \(\triangle ASD\) korkeus ja \(OK\) on kolmion korkeus \( AOD\) \(\Nuoli oikealle\) taso \(SOK\) on kohtisuorassa tasoon \(ASD\) nähden. Piste \(L\) on \(BC\) keskikohta, sitten \(SL\) on kolmion \(\triangle BSC\) korkeus ja \(OL\) on kolmion korkeus \( BOC\) \(\ Oikea nuoli\) taso \(SOL\) (alias taso \(SOK\)) on kohtisuorassa tasoon \(BSC\) nähden. Siten saadaan, että \(\angle KSL\) on lineaarinen kulma, joka on yhtä suuri kuin haluttu kaksitahoinen kulma.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Nuoli oikealle\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – korkeudet tasakylkissä kolmioissa, jotka löytyvät Pythagoraan lauseella: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Sen voi huomata \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)' ^\ circ\) .

Vastaus: 90

Opiskelijoiden valmistaminen matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen alkaa yleensä toistamalla peruskaavoja, mukaan lukien ne, joiden avulla voit määrittää tasojen välisen kulman. Huolimatta siitä, että tämä geometrian osa on käsitelty riittävän yksityiskohtaisesti koulun opetussuunnitelma, monien valmistuneiden on toistettava perusmateriaali. Ymmärtäessään, kuinka löytää tasojen välinen kulma, lukiolaiset voivat nopeasti laskea oikean vastauksen ongelmaa ratkaiseessaan ja luottaa saavansa kunnolliset pisteet yhtenäisen valtionkokeen läpäisyn tuloksista.

Tärkeimmät vivahteet

Joten kysymys on kuinka löytää dihedraalinen kulma, ei aiheuttanut vaikeuksia, suosittelemme noudattamaan ratkaisualgoritmia, joka auttaa sinua selviytymään yhtenäisen valtionkokeen tehtävistä.

Ensin sinun on määritettävä suora viiva, jota pitkin tasot leikkaavat.

Sitten sinun on valittava piste tällä viivalla ja piirrettävä siihen kaksi kohtisuoraa.

Seuraava askel on löytää trigonometrinen funktio kohtisuorien muodostama dihedraalinen kulma. Kätevin tapa tehdä tämä on tuloksena olevan kolmion avulla, jonka kulma on osa.

Vastaus on kulman arvo tai sen trigonometrinen funktio.

Kokeeseen valmistautuminen Shkolkovon kanssa on avain menestykseesi

Edellisenä päivänä tunneilla yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen Monet koululaiset kohtaavat ongelman löytää määritelmiä ja kaavoja, joiden avulla he voivat laskea kahden tason välisen kulman. Koulukirja ei ole aina käsillä juuri silloin, kun sitä tarvitaan. Ja löytää tarvittavat kaavat ja esimerkit niistä oikea sovellus, mukaan lukien lentokoneiden välisen kulman löytäminen Internetistä, joskus joudut viettämään paljon aikaa.

Shkolkovon matemaattinen portaali tarjoaa uudenlaisen lähestymistavan valtionkokeeseen valmistautumiseen. Verkkosivustomme tunnit auttavat opiskelijoita tunnistamaan itselleen vaikeimmat osat ja täyttämään tiedon puutteet.

Olemme laatineet ja esittäneet selkeästi kaiken tarvittavan materiaalin. Perusmääritelmät ja -kaavat on esitetty "Teoreettiset tiedot" -osiossa.

Materiaalin ymmärtämiseksi paremmin suosittelemme myös sopivien harjoitusten harjoittelua. Suuri valikoima Esimerkiksi eriasteiset tehtävät on esitetty luettelossa. Kaikki tehtävät sisältävät yksityiskohtaisen algoritmin oikean vastauksen löytämiseksi. Verkkosivuston harjoituslistaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.

Harjoitellessaan kahden tason välisen kulman löytämistä vaativien ongelmien ratkaisemista opiskelijoilla on mahdollisuus tallentaa mikä tahansa tehtävä verkossa "suosikeiksi". Tämän ansiosta he voivat palata hänen luokseen vaadittava määrä aikaa ja keskustella päätöksensä edistymisestä koulun opettaja tai opettaja.

Artikkelissa puhutaan tasojen välisen kulman löytämisestä. Määritelmän antamisen jälkeen annamme graafisen kuvan ja tarkastelemme yksityiskohtaista menetelmää koordinaattien löytämiseksi menetelmällä. Saamme leikkaustasojen kaavan, joka sisältää normaalivektorien koordinaatit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materiaalissa hyödynnetään dataa ja käsitteitä, joita on aiemmin tutkittu avaruuden tasoa ja linjaa koskevissa artikkeleissa. Ensinnäkin on siirryttävä päättelyyn, joka mahdollistaa tietyn lähestymistavan kahden leikkaavan tason välisen kulman määrittämiseen.

Kaksi leikkaavaa tasoa γ 1 ja γ 2 on annettu. Niiden risteys saa merkinnän c. χ-tason rakentaminen liittyy näiden tasojen leikkauspisteeseen. Taso χ kulkee pisteen M läpi suorana c. Tasojen γ 1 ja γ 2 leikkaus tehdään käyttämällä tasoa χ. Otetaan γ 1:n ja χ:n leikkaavan suoran nimeäminen suoraksi a ja γ 2:n ja χ:n leikkaava viiva suoraksi b. Havaitsemme, että suorien a ja b leikkaus antaa pisteen M.

Pisteen M sijainti ei vaikuta leikkausviivojen a ja b väliseen kulmaan, ja piste M sijaitsee suoralla c, jonka kautta taso χ kulkee.

On tarpeen rakentaa taso χ 1, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja erilainen kuin taso χ. Tasojen γ 1 ja γ 2 leikkauspiste χ 1:n avulla saa suorien a 1 ja b 1 merkinnät.

Voidaan nähdä, että kun muodostetaan χ ja χ 1, suorat a ja b ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan, jolloin a 1, b 1 sijaitsevat kohtisuorassa suoraa c vastaan. Löytämällä suorat a ja a 1 tasosta γ 1, jotka ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan, niitä voidaan pitää yhdensuuntaisina. Samalla tavalla b:n ja b 1:n sijainti γ 2 -tasossa kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​osoittaa niiden yhdensuuntaisuuden. Tämä tarkoittaa, että on tarpeen tehdä yhdensuuntainen siirto tasosta χ 1 kohtaan χ, jolloin saadaan kaksi yhteneväistä suoraa a ja a 1, b ja b 1. Havaitsemme, että leikkausviivojen a ja b 1 välinen kulma on yhtä suuri kuin leikkaavien viivojen a ja b kulma.

Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Tämä väite on todistettu sillä, että leikkaavien suorien a ja b välillä on kulma, joka ei riipu pisteen M sijainnista, eli leikkauspisteestä. Nämä viivat sijaitsevat tasoissa γ 1 ja γ 2. Itse asiassa tuloksena olevaa kulmaa voidaan pitää kahden leikkaavan tason välisenä kulmana.

Jatketaan olemassa olevien leikkaavien tasojen γ 1 ja γ 2 välisen kulman määrittämistä.

Määritelmä 1

Kahden leikkaavan tason γ 1 ja γ 2 välinen kulma kutsutaan kulmaksi, joka muodostuu suorien a ja b leikkauspisteestä, jossa tasot γ 1 ja γ 2 leikkaavat tason χ, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan.

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Päätös voidaan toimittaa muussa muodossa. Kun tasot γ 1 ja γ 2 leikkaavat, missä c on suora, jolla ne leikkaavat, merkitse piste M, jonka kautta piirretään suorat a ja b, jotka ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja sijaitsevat tasoissa γ 1 ja γ 2, niin kulma suorat a ja b ovat tasojen välinen kulma. Käytännössä tämä soveltuu tasojen välisen kulman muodostamiseen.

Leikkauksessa muodostuu kulma, jonka arvo on pienempi kuin 90 astetta, eli kulman astemitta pätee tämän tyyppisellä alueella (0, 90]. Samalla näitä tasoja kutsutaan kohtisuoraksi, jos leikkauskohtaan muodostuu suora kulma, yhdensuuntaisten tasojen välisen kulman katsotaan olevan nolla.

Tavallinen tapa löytää leikkaustasojen välinen kulma on suorittaa lisärakennuksia. Tämä auttaa määrittämään sen tarkasti, ja tämä voidaan tehdä käyttämällä kolmion yhtäläisyys- tai samankaltaisuusmerkkejä, kulman sinejä ja kosineja.

Harkitsemme ongelmien ratkaisemista käyttämällä esimerkkiä lohkon C 2 Unified State Exam -tehtävistä.

Esimerkki 1

Kun on annettu suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, jossa sivu A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, piste E jakaa sivun A A 1 suhteessa 4:3. Etsi tasojen A B C ja B E D 1 välinen kulma.

Ratkaisu

Selvyyden vuoksi on tarpeen tehdä piirustus. Me ymmärrämme sen

Visuaalinen esitys on tarpeen, jotta tasojen välisen kulman kanssa työskentely olisi mukavampaa.

Määritämme suoran, jota pitkin tasojen A B C ja B E D 1 leikkaus tapahtuu. Piste B on yhteinen piste. Toinen yhteinen leikkauspiste on löydettävä. Tarkastellaan suoria D A ja D 1 E, jotka sijaitsevat samassa tasossa A D D 1. Niiden sijainti ei osoita yhdensuuntaisuutta, se tarkoittaa, että niillä on yhteinen leikkauspiste.

Suora D A sijaitsee kuitenkin tasossa A B C ja D 1 E tasossa B E D 1. Tästä saamme, että suorat viivat D A Ja D 1 E niillä on yhteinen leikkauspiste, joka on yhteinen tasoille A B C ja B E D 1. Osoittaa viivojen leikkauspisteen D A ja D1E kirjain F. Tästä saadaan, että B F on suora, jota pitkin tasot A B C ja B E D 1 leikkaavat.

Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Vastauksen saamiseksi on tarpeen rakentaa suoria viivoja, jotka sijaitsevat tasoissa A B C ja B E D 1, jotka kulkevat linjalla B F sijaitsevan pisteen kautta kohtisuorassa sitä vastaan. Tällöin näiden suorien välistä kulmaa pidetään halutuksi tasojen A B C ja B E D 1 väliseksi kulmaksi.

Tästä nähdään, että piste A on pisteen E projektio tasolle A B C. On tarpeen piirtää suora, joka leikkaa suoran B F suorassa kulmassa pisteessä M. Voidaan nähdä, että suora A M on projektio suoran E M tasoon A B C perustuen lauseeseen noista kohtisuorasta A M ⊥ B F . Harkitse alla olevaa kuvaa.

∠ A M E on haluttu kulma, lentokoneiden muodostama A B C ja B E D 1. Tuloksena olevasta kolmiosta A E M voimme löytää kulman sinin, kosinin tai tangentin ja sitten itse kulman, jos sen kaksi sivua tunnetaan. Ehdolla saadaan, että pituus A E saadaan näin: suora A A 1 jaetaan pisteellä E suhteessa 4:3, mikä tarkoittaa, että suoran kokonaispituus on 7 osaa, jolloin A E = 4 osaa. Löydämme A M.

On tarpeen tarkastella suorakulmaista kolmiota A B F. Meillä on suora kulma A, jonka korkeus on A M. Ehdosta A B = 2 saadaan pituus A F kolmioiden D D 1 F ja A E F samankaltaisuuden perusteella. Saadaan, että A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

On tarpeen löytää kolmion A B F sivun B F pituus Pythagoraan lauseen avulla. Saamme, että B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Sivun A M pituus löytyy kolmion A B F alueen kautta. Meillä on, että pinta-ala voi olla yhtä suuri kuin S A B C = 1 2 · A B · A F ja S A B C = 1 2 · B F · A M .

Saamme, että A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Sitten voimme löytää kolmion A E M kulman tangentin arvon. Saamme:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Tasojen A B C ja B E D 1 leikkauspisteellä saatu haluttu kulma on yhtä suuri kuin a r c t g 5, jolloin yksinkertaistettaessa saadaan a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Vastaus: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Jotkut leikkaavien viivojen välisen kulman löytämisen tapaukset määritetään käyttämällä koordinaattitasoa O x y z ja koordinaattimenetelmää. Katsotaanpa tarkemmin.

Jos on annettu tehtävä, jossa on tarpeen löytää kulma leikkaavien tasojen γ 1 ja γ 2 välillä, merkitään haluttu kulma α:na.

Sitten annettu koordinaattijärjestelmä osoittaa, että meillä on leikkaustasojen γ 1 ja γ 2 normaalivektorien koordinaatit. Sitten merkitään, että n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z on tason γ 1 normaalivektori ja n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - taso γ 2. Tarkastellaan näiden tasojen välisen kulman yksityiskohtaista määritystä vektorien koordinaattien mukaan.

On tarpeen määrittää suora viiva, jota pitkin tasot γ 1 ja γ 2 leikkaavat kirjaimen c. Suoralla c on piste M, jonka kautta piirretään taso χ, joka on kohtisuorassa c:tä vastaan. Taso χ viivoja a ja b pitkin leikkaa tasot γ 1 ja γ 2 pisteessä M. määritelmästä seuraa, että leikkaustasojen γ 1 ja γ 2 välinen kulma on yhtä suuri kuin näihin tasoihin kuuluvien leikkaavien viivojen a ja b kulma.

χ-tasoon piirretään normaalivektorit pisteestä M ja merkitään niitä n 1 → ja n 2 → . Vektori n 1 → sijaitsee suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan, ja vektori n 2 → sijaitsee suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa b vastaan. Täältä saamme sen annettu lentokoneχ:lla on suoran a normaalivektori, joka on yhtä suuri kuin n 1 → ja suoralla b on yhtä suuri kuin n 2 →. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Sieltä saamme kaavan, jolla voimme laskea leikkaavien viivojen kulman sinin vektorien koordinaattien avulla. Havaitsimme, että suorien a ja b välisen kulman kosini on sama kuin risteävien tasojen γ 1 ja γ 2 välinen kosini johdetaan kaavasta cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, missä meillä on, että n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ja n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) ovat esitettyjen tasojen vektorien koordinaatit.

Leikkaavien viivojen välinen kulma lasketaan kaavalla

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Esimerkki 2

Ehdon mukaan on annettu suuntaissärmiö A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , jossa A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7 ja piste E jakaa sivun A A 1 4:3. Etsi tasojen A B C ja B E D 1 välinen kulma.

Ratkaisu

Ehdosta on selvää, että sen sivut ovat pareittain kohtisuorassa. Tämä tarkoittaa, että on tarpeen ottaa käyttöön koordinaattijärjestelmä O x y z, jonka kärkipiste on pisteessä C ja koordinaattiakselit O x, O y, O z. On tarpeen asettaa suunta asianmukaisille puolille. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Leikkaavat lentokoneet A B C Ja B E D 1 muodostaa kulma, joka voidaan löytää kaavalla α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, jossa n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ja n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) ovat normaalivektoreita nämä lentokoneet. On tarpeen määrittää koordinaatit. Kuvasta nähdään, että koordinaattiakseli O x y osuu yhteen tason A B C kanssa, mikä tarkoittaa, että normaalivektorin k → koordinaatit ovat yhtä suuret kuin arvo n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Tason B E D 1 normaalivektoriksi katsotaan vektoritulo B E → ja B D 1 →, jossa niiden koordinaatit löytyvät ääripisteiden B, E, D 1 koordinaateista, jotka määräytyvät sen olosuhteiden perusteella. ongelma.

Saamme, että B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Koska A E E A 1 = 4 3, saamme pisteiden A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 koordinaateista E 2, 3, 4. Havaitsemme, että B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2, - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Löydetyt koordinaatit on korvattava kaavassa kulman laskemiseksi kaarikosinin läpi. Saamme

α = arc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinaattimenetelmä antaa samanlaisen tuloksen.

Vastaus: a r c cos 6 6 .

Lopullista ongelmaa tarkastellaan tavoitteena löytää kulma risteävien tasojen välillä tiedossa olevien tasojen yhtälöillä.

Esimerkki 3

Laske kulman sini, kosini ja kahden leikkaavan suoran muodostaman kulman arvo, jotka määritellään koordinaattijärjestelmässä O x y z ja saadaan yhtälöistä 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ja 3 y - z -1 = 0.

Ratkaisu

Kun opiskelet aihetta yleinen yhtälö muotoa A x + B y + C z + D = 0 oleva suora viiva paljasti, että A, B, C ovat kertoimia, jotka ovat yhtä suuret kuin normaalivektorin koordinaatit. Tämä tarkoittaa, että n 1 → = 2, - 4, 1 ja n 2 → = 0, 3, - 1 ovat annettujen suorien normaalivektoreita.

Tasojen normaalivektorien koordinaatit on korvattava kaavassa, jolla lasketaan haluttu leikkaustasojen kulma. Sitten saamme sen

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Tästä saadaan, että kulman kosini on muodossa cos α = 13 210. Tällöin leikkaavien viivojen kulma ei ole tylppä. Korvaaminen sisään trigonometrinen identiteetti, huomaamme, että kulman sinin arvo on yhtä suuri kuin lauseke. Lasketaan ja löydetään se

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Vastaus: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kahden eri tason välinen kulma voidaan määrittää mille tahansa suhteellinen sijainti lentokoneita.

Triviaali tapaus, jos tasot ovat yhdensuuntaiset. Silloin niiden välisen kulman katsotaan olevan nolla.

Ei-triviaali tapaus, jos tasot leikkaavat. Tämä tapaus on jatkokeskustelun aiheena. Ensin tarvitsemme dihedraalisen kulman käsitteen.

9.1 Dihedraalinen kulma

Dihedraalinen kulma on kaksi puolitasoa, joilla on yhteinen suora (jota kutsutaan dihedraalisen kulman reunaksi). Kuvassa kuvio 50 esittää puolitasojen ja -tasojen muodostamaa dihedraalikulmaa; tämän dihedraalisen kulman reuna on suora viiva a, yhteinen näille puolitasoille.

Riisi. 50. Dihedral-kulma

Dihedraalikulma voidaan mitata asteina tai radiaaneina sanassa, syötä dihedraalisen kulman kulma-arvo. Tämä tehdään seuraavasti.

Otetaan puolitasojen ja muodostaman dihedraalisen kulman reunalle mielivaltainen piste M. Piirretään näissä puolitasoissa olevat ja reunaan kohtisuorassa olevat säteet MA ja MB (kuva 51).

Riisi. 51. Lineaarinen dihedral-kulma

Tuloksena oleva kulma AMB on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Kulma " = \AMB on juuri meidän dihedraalisen kulman kulma-arvo.

Määritelmä. Dihedraalisen kulman kulman suuruus on tietyn kaksitahoisen kulman lineaarisen kulman suuruus.

Kaikki dihedraalisen kulman lineaariset kulmat ovat keskenään yhtä suuret (ne loppujen lopuksi saadaan toisistaan ​​yhdensuuntaisella siirrolla). Siksi tämä määritelmä oikein: arvo " ei riipu pisteen M erityisestä valinnasta dihedraalisen kulman reunalla.

9.2 Tasojen välisen kulman määrittäminen

Kun kaksi tasoa leikkaavat toisiaan, saadaan neljä dihedral-kulmaa. Jos niillä kaikilla on sama koko (90 kukin), niin tasoja kutsutaan kohtisuoraksi; Tasojen välinen kulma on tällöin 90.

Jos kaikki kaksoiskulmat eivät ole samoja (eli on kaksi terävää ja kaksi tylppää), niin tasojen välinen kulma on terävän diedrikulman arvo (kuva 52).

Riisi. 52. Tasojen välinen kulma

9.3 Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Katsotaanpa kolmea ongelmaa. Ensimmäinen on yksinkertainen, toinen ja kolmas ovat suunnilleen tasolla C2 matematiikan yhtenäisessä valtiokokeessa.

Tehtävä 1. Etsi kulma säännöllisen tetraedrin kahden pinnan välillä.

Ratkaisu. Olkoon ABCD säännöllinen tetraedri. Piirretään vastaavien pintojen mediaanit AM ja DM sekä tetraedrin DH korkeus (kuva 53).

Riisi. 53. Tehtävään 1

Mediaaneina AM ja DM ovat myös tasasivuisten korkeuksia kolmiot ABC ja DBC. Siksi kulma " = \AMD on pintojen ABC ja DBC muodostaman dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Löydämme sen kolmiosta DHM:

			1 YÖLLÄ

Vastaus: arccos 1 3 .

Tehtävä 2. Oikein nelikulmainen pyramidi SABCD (vertex S) sivureuna yhtä suuri kuin pohjasivu. Piste K on reunan SA keskikohta. Etsi tasojen välinen kulma

Ratkaisu. Suora BC on yhdensuuntainen AD:n kanssa ja siten yhdensuuntainen tason ADS:n kanssa. Siksi taso KBC leikkaa tason ADS linjaa KL pitkin BC:n suuntaisesti (kuva 54).

Riisi. 54. Tehtävään 2

Tässä tapauksessa KL on myös yhdensuuntainen linjan AD kanssa; siksi KL on kolmion ADS keskiviiva ja piste L on DS:n keskipiste.

Etsitään pyramidin korkeus SO. Olkoon N:n DO keskikohta. Tällöin LN on kolmion DOS keskiviiva ja siksi LN k SO. Tämä tarkoittaa, että LN on kohtisuorassa tasoon ABC nähden.

Pisteestä N lasketaan kohtisuora NM suoralle viivalle BC. Suora NM on kaltevan LM:n projektio ABC-tasolle. Kolmesta kohtisuorasta lauseesta seuraa sitten, että LM on myös kohtisuorassa BC:tä vastaan.

Siten kulma " = \LMN on puolitasojen KBC ja ABC muodostaman dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Tätä kulmaa etsitään suorasta kolmiosta LMN.

Olkoon pyramidin reuna yhtä suuri kuin a. Ensin löydämme pyramidin korkeuden:

SO=p

Ratkaisu. Olkoon L suorien A1 K ja AB leikkauspiste. Sitten taso A1 KC leikkaa tason ABC suoraa CL pitkin (kuva 55).

A C

Riisi. 55. Tehtävään 3

Kolmiot A1 B1 K ja KBL ovat yhtä suuret jalka- ja teräväkulmaltaan. Siksi muut jalat ovat yhtä suuret: A1 B1 = BL.

Harkitse kolmiota ACL. Siinä BA = BC = BL. Kulma CBL on 120; siksi \BCL = 30 . Myös \BCA = 60 . Siksi \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Eli LC? AC. Mutta suora AC toimii suoran A1 C projektiona tasolle ABC. Kolmen kohtisuoran lauseella päätämme sitten, että LC ? A1 C.

Siten kulma A1 CA on puolitasojen A1 KC ja ABC muodostaman dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Tämä on haluttu kulma. Tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa A1 AC näemme, että se on yhtä suuri kuin 45.