Puolisuunnikkaan keskiviiva on puolet summasta perusteita. Se yhdistää puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet ja on aina yhdensuuntainen kannakkeiden kanssa.

Jos puolisuunnikkaan kantat ovat a ja b, niin keskiviiva m on m=(a+b)/2.

Jos puolisuunnikkaan pinta-ala tunnetaan, niin keskiviiva löytyy ja toisella tavalla jakamalla puolisuunnikkaan S pinta-ala puolisuunnikkaan h korkeudella:



Tuo on, puolisuunnikkaan keskiviiva m = S/h

On monia tapoja löytää puolisuunnikkaan keskiviivan pituus. Menetelmän valinta riippuu lähdetiedoista.

Tässä puolisuunnikkaan keskiviivan pituuskaavat:

Löytääksesi puolisuunnikkaan keskiviivan, voit käyttää yhtä viidestä kaavasta (en kirjoita niitä ulos, koska ne ovat jo muissa vastauksissa), mutta tämä on vain tapauksia, joissa alkuluvun arvot tarvitsemamme tiedot ovat tiedossa.

Käytännössä joudumme ratkaisemaan monia ongelmia, kun dataa ei ole tarpeeksi, ja oikea koko pitää vielä löytää.

Tässä on vaihtoehtoja

askel askeleelta ratkaisu tuoda kaikki sama kaavan alle;

käyttämällä muita kaavoja, muodosta ja ratkaise tarvittavat yhtälöt.

löytää puolisuunnikkaan keskikohdan pituus syöttömenetelmällä tarvitsemamme kaavan mukaan muun geometrian tiedon avulla ja samalla soveltaen algebralliset yhtälöt:

Meillä on tasakylkinen puolisuunnikas, sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, korkeus on 9 cm.

Teemme piirustuksen ja näemme, että tätä ongelmaa ei voida ratkaista suoraan (ei tarpeeksi tietoa)



Siksi yksinkertaistamme hieman ja piirrämme korkeuden diagonaalien leikkauspisteen kautta.

Tämä on ensimmäinen tärkeä askel, joka johtaa nopeaan päätökseen.

merkitsemme korkeutta kahdella tuntemattomalla, näemme tarvitsemamme tasakylkiset kolmiot, joissa on sivut X Ja klo



ja löydämme helposti emästen summa trapetsi

se on yhtä suuri kuin 2x+2v

Ja vasta nyt voimme soveltaa kaavaa missä

ja se on tasa-arvoinen x+y ja ongelman tilanteen mukaan tämä on korkeuden pituus, joka on yhtä suuri kuin 9 cm.

Ja nyt olemme johtaneet useita momentteja tasakylkiselle puolisuunnikkaan, jonka lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa

sellaisissa trapetsioissa

keskiviiva on aina yhtä suuri kuin korkeus

pinta-ala on aina yhtä suuri kuin korkeuden neliö.

Puolisuunnikkaan keskiviiva on jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet.

Minkä tahansa puolisuunnikkaan mediaaniviiva on helppo löytää, jos käytät kaavaa:

m = (a + b)/2

m on puolisuunnikkaan keskiviivan pituus;

a, b ovat puolisuunnikkaan kantaosien pituudet.

Niin, puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on puolet kantojen pituuksien summasta.

Puolisuunnikkaan keskiviivan kaavan peruskaava: puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on yhtä suuri kuin puolet e kantojen a ja b summasta: MN \u003d (a + b) 2. Tämän kaavan todistus on kolmion keskiviivan kaava. Mikä tahansa puolisuunnikkaan voidaan esittää sen jälkeen, kun se on piirretty päistä korkeuden pienempi kanta suurempaan kantaan. Tarkastellaan 2 tuloksena olevaa kolmiota ja suorakulmio. Sen jälkeen kaava kolmion keskiviivalle puolisuunnikkaan muoto on helppo todistaa.

Jotta voisimme löytää puolisuunnikkaan keskiviivan, meidän on tiedettävä kantojen suuruus.

Kun olemme löytäneet nämä arvot tai ehkä ne olivat meille tiedossa, lisäämme nämä luvut ja jaamme ne puoliksi.

Tämä tulee olemaan puolisuunnikkaan keskiviiva.

Muistaakseni koulun geometriatunnit, jotta voit löytää puolisuunnikkaan keskiviivan pituuden, sinun on laskettava kantajen pituudet ja jaettava kahdella. Siten puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta.

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Puhumme erityisesti yleiset piirteet ja puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ominaisuudet, samoin kuin puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ominaisuudet. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta harkittujen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään asiat päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä puolisuunnikkaan on ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​​​toistensa kanssa (nämä ovat kannat). Ja kaksi eivät ole yhdensuuntaisia ​​- nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeus voidaan jättää pois - kohtisuorassa pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. Ja myös mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta on mahdollista piirtää puolittaja.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi, piirrä ACME-suunnikkaan lukemisen aikana paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

1. Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että jana XT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Edessämme on sama ACME trapetsi. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja IOC, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. K kolmion samankaltaisuuskerroin ilmaistaan ​​puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
   Kolmioiden AOE ja IOC pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
3. Kaikki samat puolisuunnikkaan, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjäsegmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
4. Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus sisältää diagonaalien rakentamisen. Joten jos jatkamme AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat jossain vaiheessa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden läpi. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
   Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se liittää yhteen puolisuunnikkaan O diagonaalien leikkauspisteen, pisteen, jossa X:n ja T:n kantojen sivujen jatkeet ja keskipisteet leikkaavat.
5. Piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta segmentin, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T sijaitsee KM:n pienemmällä pohjalla, X - suuremmalla AE:llä). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OH = KM/AE.
6. Ja nyt diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään segmentti, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Voit selvittää janan pituuden käyttämällä kaavaa 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva samansuuntaisesti sen kantaan nähden.

1. Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
2. Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajan ominaisuus

Valitse mikä tahansa puolisuunnikkaan kulma ja piirrä puolittaja. Otetaan esimerkiksi puolisuunnikkaan ACME kulma KAE. Kun rakentaminen on valmis, voit helposti nähdä, että puolittaja katkaisee alustasta (tai sen jatkeesta suoralla viivalla itse kuvan ulkopuolella) sivun kanssa samanpituisen segmentin.

Puolisuunnikkaan kulman ominaisuudet

1. Kumman kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
2. Yhdistä puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, TX-segmentin pituus on helppo laskea kannan pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Jos puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi vedetään yhdensuuntaisia ​​viivoja, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkinen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

1. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kantapäässä ovat yhtä suuret.
2. Rakenna nyt trapetsi uudelleen, jotta on helpompi kuvitella, mistä on kyse. Katso tarkkaan AE:n kantaa - M:n vastakkaisen kannan kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviiva ovat yhtä suuret.
3. Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
4. Ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan lähellä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa 180 0 on tämän edellytys.
5. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
6. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
7. Piirrä viiva TX uudelleen puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samaan aikaan TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
8. Tällä kertaa alemmaksi suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a) korkeudelle puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä. Saat kaksi leikkausta. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a+b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Koska puhumme jo ympyrään kirjoitetusta puolisuunnikasta, katsotaanpa tätä asiaa yksityiskohtaisemmin. Erityisesti missä on ympyrän keskipiste suhteessa puolisuunnikkaan. Myös tässä on suositeltavaa olla liian laiska ottamaan kynän ja piirtämään mitä alla käsitellään. Joten ymmärrät nopeammin ja muistat paremmin.

1. Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan diagonaalin kaltevuuskulman mukaan sivulle. Esimerkiksi lävistäjä voi nousta puolisuunnikkaan yläreunasta suorassa kulmassa sivuun nähden. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa rajatun ympyrän keskipisteen tarkalleen keskeltä (R = ½AE).
2. Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
3. Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuren pohjan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivusivun välillä on tylppä kulma.
4. Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet tästä keskikulma, joka vastaa sitä: MAE = ½ MY.
5. Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Huomaat helposti, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde löytyy kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R \u003d AE / 2 * sinAME. Vastaavasti kaava voidaan kirjoittaa kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
6. Tapa kaksi: löydämme rajatun ympyrän säteen kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit piirtää ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Siitä lisää alla. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

1. Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
2. Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ACME:n kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
3. Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: tuohon puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa.
4. Ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste, joka on piirretty puolisuunnikkaan, jakaa sivupuolen kahdeksi segmentiksi, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
5. Ja vielä yksi omaisuus. Piirrä tämä esimerkki itse, jotta et joutuisi hämmennyksiin. Meillä on vanha kunnon ACME puolisuunnikkaan ympyrän ympärille piirretty. Siihen piirretään diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien ja sivujen segmenteistä, ovat suorakaiteen muotoisia.
   Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivuille) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikasta kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jonka yksi kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

1. Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan yksi sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden.
2. Puolisuunnikkaan korkeus ja sivu vieressä oikea kulma, ovat tasa-arvoisia. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
3. Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

• Luultavasti jo arvasit, että täällä tarvitaan jälleen ACME-pukupuolisuunnikasta - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä kärjestä M viiva MT, joka on yhdensuuntainen AK:n sivun kanssa (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että trapetsium ACME on tasakylkinen:

• Piirretään aluksi suora МХ – МХ || KE. Saamme suuntaviivan KMHE (kanta - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Kävi ilmi, että kolmiot AKE ja EMA ovat yhtä suuret toistensa kanssa, koska AM \u003d KE ja AE - yhteinen puoli kaksi kolmiota. Ja myös MAE \u003d MXE. Voimme päätellä, että AK = ME, ja tästä seuraa, että puolisuunnikkaan AKME on tasakylkinen.

Toistettava tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, KA:n sivu, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että niiden summa on 1800. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan kulmien ominaisuuteen).

Harkitse nyt suorakaiteen muotoista ∆ANK:ta (luulen, että tämä kohta on ilmeinen lukijoille ilman lisätodisteita). Siitä löydämme puolisuunnikkaan KH korkeuden - kolmiossa se on jalka, joka sijaitsee vastapäätä kulmaa 30 0. Siksi KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan kaavasta: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Jälkisana

Jos tutkit tätä artikkelia huolellisesti ja harkiten, etkä ollut liian laiska piirtämään puolisuunnikkaita kaikille ylläoleville ominaisuuksille kynällä käsissäsi ja analysoimaan niitä käytännössä, sinun olisi pitänyt hallita materiaali hyvin.

Tietenkin täällä on paljon tietoa, vaihtelevaa ja joskus jopa hämmentävää: ei ole niin vaikeaa sekoittaa kuvatun puolisuunnikkaan ominaisuuksia piirretyn ominaisuuksiin. Mutta huomasit itse, että ero on valtava.

Nyt sinulla on yksityiskohtainen yhteenveto kaikista puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja piirteet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Puolisuunnikkaan sivujen keskipisteitä yhdistävän suoran segmenttiä kutsutaan puolisuunnikkaan keskiviivaksi. Alla kuvataan kuinka löytää puolisuunnikkaan keskiviiva ja miten se liittyy tämän kuvan muihin elementteihin.

Keskiviivan lause

Piirretään puolisuunnikkaan, jossa AD on suurempi kanta, BC on pienempi kanta, EF on keskiviiva. Jatketaan kantaa AD pisteen D ulkopuolelle. Piirretään suora BF ja jatketaan sitä, kunnes se leikkaa kantaa AD:n pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita ∆BCF ja ∆DFO. Kulmat ∟BCF = ∟DFO pystysuorana. CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, koska VS // AO. Siksi kolmiot ∆BCF = ∆DFO. Siten sivut BF = FO.

Tarkastellaan nyt ∆ABO ja ∆EBF. ∟ABO on yhteinen molemmille kolmioille. BE/AB = ½ sopimuksen mukaan, BF/BO = ½, koska ∆BCF = ∆DFO. Siksi kolmiot ABO ja EFB ovat samanlaisia. Siten sivujen suhde EF / AO = ½, samoin kuin muiden sivujen suhde.

Löydämme EF = ½ AO. Piirustuksessa näkyy, että AO = AD + DO. DO = BC sivuina yhtä suuret kolmiot, joten AO = AD + BC. Tästä syystä EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Nuo. puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on puolet kantojen summasta.

Onko puolisuunnikkaan keskiviiva aina yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta?

Oletetaan, että sellainen on olemassa erikoistapaus kun EF ≠ ½ (AD + BC). Silloin BC ≠ DO, joten ∆BCF ≠ ∆DCF. Mutta tämä on mahdotonta, koska niiden välillä on kaksi yhtä suurta kulmaa ja sivua. Siksi lause on totta kaikissa olosuhteissa.

Keskilinjan ongelma

Oletetaan, että puolisuunnikkaan ABCD AD // BC, ∟A=90°, ∟С = 135°, AB = 2 cm, lävistäjä AC on kohtisuorassa sivuun nähden. Etsi puolisuunnikkaan EF keskiviiva.

Jos ∟A = 90°, niin ∟B = 90°, joten ∆ABC on suorakaiteen muotoinen.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° sopimuksen mukaan, joten ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Jos suorakulmaisessa kolmiossa ∆ABS yksi kulma on 45°, niin sen jalat ovat yhtä suuret: AB = BC = 2 cm.

Hypotenuusa AC \u003d √ (AB² + BC²) \u003d √8 cm.

Harkitse ∆ACD:tä. ∟ACD = 90° sopimuksen mukaan. ∟CAD = ∟BCA = 45° puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten kantojen sekantin muodostamina kulmina. Siksi jalat AC = CD = √8.

Hypotenuusa AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Puolisuunnikkaan EF mediaaniviiva = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Oppitunnin tavoitteet:

1) tutustuttaa opiskelijat puolisuunnikkaan keskiviivan käsitteeseen, pohtimaan sen ominaisuuksia ja todistamaan ne;

2) opettaa rakentamaan puolisuunnikkaan keskiviiva;

3) kehittää opiskelijoiden kykyä käyttää puolisuunnikkaan keskiviivan määritelmää ja puolisuunnikkaan keskiviivan ominaisuuksia tehtäviä ratkaistaessa;

4) kehittää edelleen opiskelijoiden kykyä puhua oikein tarvittavilla matemaattisilla termeillä; todistaa näkemyksesi;

5) kehittää looginen ajattelu, muisti, huomio.

Tuntien aikana

1. Kotitehtävien tarkistus tapahtuu oppitunnin aikana. Kotitehtävät olivat suullisia, muista:

a) puolisuunnikkaan määritelmä; tyypit puolisuunnikkaan;

b) kolmion keskiviivan määrittäminen;

c) kolmion keskiviivan ominaisuus;

d) kolmion keskiviivan merkki.

2. Uuden materiaalin oppiminen.

a) Puolisuunnikkaan ABCD näkyy taululla.

b) Opettaja tarjoutuu muistamaan puolisuunnikkaan määritelmän. Jokaisella pöydällä on vihjekaavio, joka auttaa muistamaan "Puunsuuntuva"-aiheen peruskäsitteet (katso liite 1). Liite 1 julkaistaan ​​jokaiselle pöydälle.

Oppilaat piirtävät puolisuunnikkaan ABCD vihkoon.

c) Opettaja ehdottaa muistelemista, missä aiheessa keskiviivan käsite törmättiin ("Kolmion keskiviiva"). Opiskelijat muistavat kolmion keskiviivan määritelmän ja sen ominaisuudet.

e) Kirjoita muistiin puolisuunnikkaan keskiviivan määritelmä ja kuvaa se muistivihkoon.

keskiviiva Puolisuunnikkaan kutsutaan janaksi, joka yhdistää sen sivujen keskipisteet.

Puolisuunnikkaan mediaaniviivan ominaisuus tässä vaiheessa jää todistamatta, joten oppitunnin seuraava vaihe käsittää puolisuunnikkaan keskiviivan ominaisuuden todistamisen.

Lause. Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantansa kanssa ja on yhtä suuri kuin puolet niiden summasta.

Annettu: ABCD - puolisuunnikkaan muotoinen,

MN - keskiviiva ABCD

Todistaa, Mitä:

1. eKr. || MN || ILMOITUS.

2. MN = (AD + BC).

Voimme kirjoittaa joitakin lauseen ehdoista seuraavia seurauksia:

AM=MB, CN=ND, BC || ILMOITUS.

Pelkästään lueteltujen ominaisuuksien perusteella on mahdotonta todistaa, mitä vaaditaan. Kysymys- ja harjoitusjärjestelmän tulisi saada opiskelijat haluun yhdistää puolisuunnikkaan keskiviiva jonkin kolmion keskiviivaan, jonka ominaisuudet he jo tietävät. Jos ehdotuksia ei ole, voimme esittää kysymyksen: kuinka rakentaa kolmio, jonka jana MN olisi keskiviiva?

Kirjoitetaan lisärakenne yhdelle tapaukselle.

Piirretään viiva BN, joka leikkaa sivun AD jatkeen pisteessä K.

Lisäelementtejä tulee näkyviin - kolmiot: ABD, BNM, DNK, BCN. Jos todistamme, että BN = NK, tämä tarkoittaa, että MN on ABD:n keskiviiva, ja sitten voimme käyttää kolmion keskiviivan ominaisuutta ja todistaa tarpeelliseksi.

Todiste:

1. Harkitse BNC:tä ja DNK:ta, niissä:

a) CNB =DNK (ominaisuus pystysuorat kulmat);

b) BCN = NDK (sisäisten poikkimakuukulmien ominaisuus);

c) CN = ND (lauseen hypoteesin seurauksena).

Joten BNC = DNK (sivulla ja sen vieressä olevassa kahdessa kulmassa).

Q.E.D.

Todistus voidaan suorittaa suullisesti oppitunnilla ja palauttaa ja kirjoittaa muistivihkoon kotona (opettajan harkinnan mukaan).

On tarpeen mainita muita mahdollisia tapoja todistaa tämä lause:

1. Piirrä yksi puolisuunnikkaan diagonaaleista ja käytä kolmion keskiviivan etumerkkiä ja ominaisuutta.

2. Suorita CF || BA ja harkitse suunnikkaat ABCF ja DCF.

3. Suorita EF || BA ja harkitse FND:n ja ENC:n tasa-arvoa.

g) Tässä vaiheessa annetaan kotitehtävät: s. 84, oppikirja, toim. Atanasyan L.S. (todiste puolisuunnikkaan keskiviivan ominaisuudesta vektorimuodossa), kirjoita muistikirjaan.

h) Ratkaisemme tehtäviä puolisuunnikkaan keskiviivan määritelmän ja ominaisuuksien käyttämiseksi valmiiden piirustusten mukaan (katso liite 2). Liite 2 annetaan jokaiselle opiskelijalle ja tehtävän ratkaisut on laadittu samalle arkille lyhyessä muodossa.

Puolisuunnikas on nelikulmion erikoistapaus, jossa yksi sivupari on yhdensuuntainen. Termi "trapetsi" tulee kreikan sanasta τράπεζα, joka tarkoittaa "pöytää", "pöytää". Tässä artikkelissa tarkastelemme trapetsiumtyyppejä ja sen ominaisuuksia. Lisäksi selvitetään, kuinka lasketaan tämän esimerkin yksittäiset elementit, tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjä, keskiviiva, pinta-ala jne. Materiaali on esitetty populaarigeometrian tyyliin eli helposti saatavilla olevalla tavalla. muodossa.

Yleistä tietoa

Ymmärrämme ensin, mikä nelikulmio on. Tämä kuvio on monikulmion erikoistapaus, jossa on neljä sivua ja neljä kärkeä. Kaksi nelikulmion kärkeä, jotka eivät ole vierekkäisiä, kutsutaan vastakkaisiksi. Sama voidaan sanoa kahdesta ei vierekkäisestä sivusta. Tärkeimmät nelikulmiotyypit ovat suunnikas, suorakaide, rombi, neliö, puolisuunnikas ja hartiamuoto.

Joten takaisin trapetsiin. Kuten olemme jo sanoneet, tällä kuviolla on kaksi yhdensuuntaista puolta. Niitä kutsutaan emäksiksi. Muut kaksi (ei-rinnakkaiset) ovat sivut. Tenttimateriaaleissa ja erilaisissa ohjaus toimii hyvin usein voi kohdata puolisuunnikkaan liittyviä tehtäviä, joiden ratkaiseminen vaatii usein opiskelijalta sellaista tietoa, jota ohjelma ei tarjoa. Koulugeometriakurssilla perehdytään kulmien ja diagonaalien ominaisuuksiin sekä tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviivaan. Mutta loppujen lopuksi mainitulla geometrisella kuviolla on tämän lisäksi muita ominaisuuksia. Mutta niistä lisää myöhemmin...

Trapetsin tyypit

Tätä hahmoa on monenlaisia. Useimmiten on kuitenkin tapana harkita kahta niistä - tasakylkisiä ja suorakaiteen muotoisia.

1. Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikas on kuvio, jossa yksi sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden. Siinä on kaksi kulmaa, jotka ovat aina yhdeksänkymmentä astetta.

2. Tasakylkinen puolisuunnikas on geometrinen kuvio, jonka sivut ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että kulmat kantaissa ovat myös pareittain yhtä suuret.

Trapetsin ominaisuuksien tutkimisen metodologian pääperiaatteet

Pääperiaate on ns. tehtävälähestymistavan käyttö. Itse asiassa tämän kuvion uusia ominaisuuksia ei tarvitse tuoda geometrian teoreettiseen kurssiin. Ne voidaan löytää ja muotoilla erilaisten ongelmien ratkaisuprosessissa (paremmin kuin systeemisiä). Samalla on erittäin tärkeää, että opettaja tietää, mitä tehtäviä opiskelijoille tulee välillä asettaa. koulutusprosessi. Lisäksi jokainen puolisuunnikkaan ominaisuus voidaan esittää tehtäväjärjestelmän avaintehtävänä.

Toinen periaate on puolisuunnikkaan "merkittävien" ominaisuuksien tutkimuksen niin kutsuttu spiraaliorganisaatio. Tämä tarkoittaa paluuta oppimisprosessissa tietyn geometrisen hahmon yksittäisiin piirteisiin. Näin opiskelijoiden on helpompi muistaa ne. Esimerkiksi neljän pisteen ominaisuus. Se voidaan todistaa sekä samankaltaisuuden tutkimuksessa että myöhemmin vektoreiden avulla. Ja kuvion sivujen vieressä olevien kolmioiden yhtäläinen pinta-ala voidaan todistaa käyttämällä paitsi samankorkuisten kolmioiden ominaisuuksia, jotka on piirretty samalla linjalla oleville sivuille, vaan myös käyttämällä kaavaa S= 1/2 (ab*sinα). Lisäksi voit harjoitella piirrettyä puolisuunnikasta tai suorakulmaista kolmiota rajatulla puolisuunnikkaalla jne.

Geometrisen hahmon "ohjelman ulkopuolisten" piirteiden käyttö koulukurssin sisällössä on tehtävätekniikka niiden opettamiseen. Jatkuva vetovoima tutkittuihin ominaisuuksiin muiden aiheiden läpikäymisen yhteydessä mahdollistaa opiskelijoiden syvemmän tuntemuksen puolisuunnikkaan ja varmistaa tehtävien ratkaisemisen onnistumisen. Joten aloitetaan tämän upean hahmon tutkiminen.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan elementit ja ominaisuudet

Kuten olemme jo todenneet, tämän geometrisen kuvion sivut ovat yhtä suuret. Se tunnetaan myös oikeanpuoleisena puolisuunnikkaana. Miksi se on niin merkittävä ja miksi se sai sellaisen nimen? Tämän kuvion ominaisuuksiin kuuluu se, että ei vain sivut ja kulmat ole yhtä suuret, vaan myös diagonaalit. Myös tasakylkisen puolisuunnikkaan kulmien summa on 360 astetta. Mutta ei siinä vielä kaikki! Kaikista tunnetuista puolisuunnikasta vain tasakylkisen ympärille voidaan kuvata ympyrä. Tämä johtuu siitä, että tämän kuvan vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta, ja vain tällä ehdolla voidaan kuvata ympyrää nelikulmion ympärillä. Seuraava tarkasteltavan geometrisen kuvion ominaisuus on, että etäisyys kantapisteestä vastakkaisen kärjen projektioon tämän kantan sisältävälle suoralle on yhtä suuri kuin keskiviiva.

Nyt selvitetään kuinka löytää tasakylkisen puolisuunnikkaan kulmat. Harkitse ratkaisua tähän ongelmaan, jos kuvan sivujen mitat tunnetaan.

Ratkaisu

Yleensä nelikulmiota merkitään yleensä kirjaimilla A, B, C, D, joissa BS ja AD ovat kanta. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan sivut ovat yhtä suuret. Oletetaan, että niiden koko on X ja kantajen koot ovat Y ja Z (pienempi ja suurempi, vastaavasti). Laskennan suorittamiseksi on tarpeen piirtää korkeus H kulmasta B. Tuloksena on suorakulmainen kolmio ABN, jossa AB on hypotenuusa ja BN ja AN haarat. Laskemme jalan AN koon: vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksen kahdella. Kirjoitamme sen kaavan muodossa: (Z-Y) / 2 \u003d F. Nyt lasketaan kolmion terävä kulma, käytämme cos-funktiota. Saamme seuraavan tietueen: cos(β) = Х/F. Nyt lasketaan kulma: β=arcos (Х/F). Lisäksi, kun tiedämme yhden kulman, voimme määrittää toisen, tätä varten suoritamme perusaritmeettisen operaation: 180 - β. Kaikki kulmat on määritelty.

Tähän ongelmaan on myös toinen ratkaisu. Alussa lasketaan korkeus H kulmasta B. Laskemme BN-jalan arvon. Tiedämme, että hypotenuusan neliö suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin summa jalkojen neliöt. Saamme: BN \u003d √ (X2-F2). Seuraavaksi käytämme trigonometrinen funktio tg. Tuloksena on: β = arctg (BN / F). Terävä kulma löytyi. Seuraavaksi määritämme samalla tavalla kuin ensimmäinen menetelmä.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuus

Kirjoita ensin neljä sääntöä. Jos tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit ovat kohtisuorassa, niin:

Kuvan korkeus on yhtä suuri kuin kantaosien summa jaettuna kahdella;

Sen korkeus ja keskiviiva ovat yhtä suuret;

Ympyrän keskipiste on piste, jossa ;

Jos sivupuoli jaetaan kosketuspisteellä segmenteiksi H ja M, niin se on yhtä suuri kuin neliöjuuri näiden segmenttien tuotteet;

Tangenttipisteiden, puolisuunnikkaan kärjen ja piirretyn ympyrän keskipisteen muodostama nelikulmio on neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin säde;

Figuurin pinta-ala on yhtä suuri kuin kantajen tulo ja puolet kantojen summasta ja sen korkeudesta.

Samanlaisia ​​trapetsioita

Tämä aihe sopii erittäin hyvin tämän ominaisuuksien tutkimiseen.Esimerkiksi lävistäjät jakavat puolisuunnikkaan neljään kolmioon, ja kantojen vieressä olevat kolmiot ovat samanlaisia ​​ja sivuilla yhtä suuret. Tätä väitettä voidaan kutsua kolmioiden ominaisuudeksi, joihin puolisuunnikkaan on jaettu lävistäjänsä. Tämän väitteen ensimmäinen osa todistetaan samankaltaisuuskriteerillä kahdessa kulmassa. Toisen osan todistamiseksi on parempi käyttää alla olevaa menetelmää.

Todistus lauseesta

Hyväksymme, että luku ABSD (AD ja BS - puolisuunnikkaan kantat) jaetaan diagonaaleilla VD ja AC. Niiden leikkauspiste on O. Saamme neljä kolmiota: AOS - alemmalla pohjalla, BOS - ylemmällä pohjalla, ABO ja SOD sivuilla. Kolmioilla SOD ja BOS on yhteinen korkeus, jos segmentit BO ja OD ovat niiden kanta. Saamme, että niiden alueiden välinen ero (P) on yhtä suuri kuin näiden segmenttien välinen ero: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Siksi PSOD = PBOS / K. Vastaavasti BOS- ja AOB-kolmioilla on yhteinen korkeus. Otamme segmentit CO ja OA niiden perustana. Saamme PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K ja PAOB \u003d PBOS / K. Tästä seuraa, että PSOD = PAOB.

Aineiston tiivistämiseksi opiskelijoiden neuvotaan löytämään yhteys tuloksena olevien kolmioiden, joihin puolisuunnikkaan jaetaan lävistäjillä, alueiden välille ratkaisemalla seuraava tehtävä. Tiedetään, että kolmioiden BOS ja AOD pinta-alat ovat yhtä suuret, on tarpeen löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Koska PSOD \u003d PAOB, se tarkoittaa, että PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Kolmioiden BOS ja AOD samankaltaisuudesta seuraa, että BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Siksi PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Saamme PSOD = √ (PBOS * PAOD). Sitten PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

samankaltaisuusominaisuudet

Jatkamalla tämän aiheen kehittämistä voimme todistaa muita mielenkiintoisia ominaisuuksia trapetsi. Joten käyttämällä samankaltaisuutta voit todistaa pisteen läpi kulkevan segmentin ominaisuuden, risteyksen muodostama tämän geometrisen hahmon lävistäjät, yhdensuuntaiset kantojen kanssa. Tätä varten ratkaisemme seuraavan tehtävän: on tarpeen löytää janan RK pituus, joka kulkee pisteen O kautta. Kolmioiden AOD ja BOS samankaltaisuudesta seuraa, että AO/OS=AD/BS. Kolmioiden AOP ja ASB samankaltaisuudesta seuraa, että AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Tästä saamme, että RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Samoin kolmioiden DOK ja DBS samankaltaisuudesta seuraa, että OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Tästä saamme, että RO=OK ja RK=2*BS*AD/(BS+AD). Jana, joka kulkee lävistäjien leikkauspisteen kautta, yhdensuuntainen kantajien kanssa ja yhdistää kaksi sivua, jaetaan leikkauspisteellä puoliksi. Sen pituus on kuvion kantojen harmoninen keskiarvo.

Tarkastellaan seuraavaa puolisuunnikkaan ominaisuutta, jota kutsutaan neljän pisteen ominaisuudeksi. Diagonaalien leikkauspisteet (O), sivujen jatkeen leikkauspisteet (E) sekä kantajen keskipisteet (T ja W) ovat aina samalla viivalla. Tämä on helppo todistaa samankaltaisuusmenetelmällä. Tuloksena saadut kolmiot BES ja AED ovat samanlaisia, ja kummassakin mediaanit ET ja EZH jakavat kulman kärjessä E yhtä suuriin osiin. Siksi pisteet E, T ja W ovat samalla suoralla. Samalla tavalla pisteet T, O ja G sijaitsevat samalla suoralla. Kaikki tämä johtuu kolmioiden BOS ja AOD samankaltaisuudesta. Tästä päätämme, että kaikki neljä pistettä - E, T, O ja W - sijaitsevat yhdellä suoralla.

Käyttämällä samanlaisia ​​puolisuunnikkaita oppilaita voidaan pyytää etsimään sen janan (LF) pituus, joka jakaa kuvan kahteen samanlaiseen. Tämän segmentin tulee olla yhdensuuntainen tukien kanssa. Koska saadut puolisuunnikkaat ALFD ja LBSF ovat samanlaisia, BS/LF=LF/AD. Tästä seuraa, että LF=√(BS*BP). Saamme, että janan, joka jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi samanlaiseksi, pituus on yhtä suuri kuin kuvion kannan pituuksien geometrinen keskiarvo.

Harkitse seuraavaa samankaltaisuusominaisuutta. Se perustuu segmenttiin, joka jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi samankokoiseksi hahmoksi. Hyväksymme, että puolisuunnikkaan ABSD jaetaan segmentillä EN kahdeksi samanlaiseksi. Huipusta B jätetään pois korkeus, joka jaetaan segmentillä EH kahteen osaan - B1 ja B2. Saamme: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 ja PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Seuraavaksi laadimme järjestelmän, jonka ensimmäinen yhtälö on (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 ja toinen (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Tästä seuraa, että B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ja BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Saamme, että puolisuunnikkaan kahdeksi yhtä suureksi jakavan janan pituus on yhtä suuri kuin kantaosien pituuksien keskineliö: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Samankaltaisuuspäätelmät

Olemme siis todistaneet, että:

1. Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet, on yhdensuuntainen AD:n ja BS:n kanssa ja on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pohjan pituus.

2. Suora, joka kulkee AD:n ja BS:n suuntaisten diagonaalien leikkauspisteen O kautta, on yhtä suuri kuin lukujen AD ja BS harmoninen keskiarvo (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Janalla, joka jakaa puolisuunnikkaan samankaltaisia, on kantojen BS ja AD geometrisen keskiarvon pituus.

4. Alkiolla, joka jakaa luvun kahteen yhtä suureen osaan, on keskineliölukujen AD ja BS pituus.

Aineiston lujittamiseksi ja tarkasteltujen segmenttien välisen yhteyden ymmärtämiseksi opiskelijan on rakennettava ne tietylle puolisuunnikkaan. Hän voi helposti näyttää keskiviivan ja segmentin, joka kulkee pisteen O - kuvan diagonaalien leikkauspisteen - kautta samansuuntaisesti kantajien kanssa. Mutta missä on kolmas ja neljäs? Tämä vastaus johtaa opiskelijan löytämään halutun keskiarvojen välisen suhteen.

Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan diagonaalien keskipisteet

Harkitse tämän kuvan seuraavaa ominaisuutta. Hyväksymme, että jana MH on yhdensuuntainen kantaan nähden ja jakaa diagonaalit kahtia. Kutsutaan leikkauspisteitä W ja W. Tämä segmentti on yhtä suuri kuin kantajen erotuksen puolikas. Analysoidaan tätä tarkemmin. MSH - kolmion ABS keskiviiva, se on yhtä suuri kuin BS / 2. MS - kolmion ABD keskiviiva, se on yhtä suuri kuin AD / 2. Sitten saadaan, että ShShch = MShch-MSh, joten Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Painovoiman keskipiste

Katsotaanpa, kuinka tämä elementti määritetään tietylle geometriselle kuviolle. Tätä varten on tarpeen laajentaa perusteita vastakkaiset puolet. Mitä se tarkoittaa? Alempi pohja on lisättävä ylempään alustaan ​​- mille tahansa sivulle, esimerkiksi oikealle. Ja alaosaa jatketaan yläosan pituudella vasemmalle. Seuraavaksi yhdistämme ne diagonaalilla. Tämän segmentin leikkauspiste kuvan keskiviivan kanssa on puolisuunnikkaan painopiste.

Piirretyt ja piirretyt puolisuunnikkaat

Listataan tällaisten lukujen ominaisuudet:

1. Puolisuunnikas voidaan piirtää ympyrään vain, jos se on tasakylkinen.

2. Puolisuunnikas voidaan kuvata ympyrän ympärillä edellyttäen, että niiden kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa.

Piirretyn ympyrän seuraukset:

1. Kuvatun puolisuunnikkaan korkeus on aina yhtä suuri kuin kaksi sädettä.

2. Kuvatun puolisuunnikkaan sivutta tarkastellaan ympyrän keskeltä suorassa kulmassa.

Ensimmäinen seuraus on ilmeinen, ja toisen todistamiseksi on varmistettava, että SOD-kulma on oikea, mikä itse asiassa ei myöskään ole vaikeaa. Mutta tämän ominaisuuden tunteminen antaa meille mahdollisuuden käyttää suorakulmaista kolmiota ongelmien ratkaisemisessa.

Nyt määritetään nämä seuraukset tasakylkiselle puolisuunnikkaan, joka on piirretty ympyrään. Saadaan, että korkeus on kuvion kantojen geometrinen keskiarvo: H=2R=√(BS*AD). Harjoittelemalla päätekniikkaa puolisuunnikkaan tehtävien ratkaisemiseksi (periaate kahden korkeuden piirtämisestä), opiskelijan tulee ratkaista seuraava tehtävä. Hyväksymme, että BT on tasakylkisen kuvan ABSD korkeus. On tarpeen löytää segmentit AT ja TD. Yllä kuvattua kaavaa käyttämällä tämä ei ole vaikea tehdä.

Nyt selvitetään kuinka määrittää ympyrän säde käyttämällä rajatun puolisuunnikkaan pinta-alaa. Laskemme korkeutta ylhäältä B pohjaan AD. Koska ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, niin BS + AD \u003d 2AB tai AB \u003d (BS + AD) / 2. Kolmiosta ABN löydämme sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Saamme PABSD \u003d (BS + HELL) * R, tästä seuraa, että R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Kaikki puolisuunnikkaan keskiviivan kaavat

Nyt on aika siirtyä tämän geometrisen hahmon viimeiseen elementtiin. Selvitetään, mikä puolisuunnikkaan (M) keskiviiva on:

1. Pohjien läpi: M \u003d (A + B) / 2.

2. Korkeus, pohja ja kulmat:

M \u003d A-H* (ctga + ctgp)/2;

M \u003d B + H* (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Läpikorkeus, diagonaalit ja niiden välinen kulma. Esimerkiksi D1 ja D2 ovat puolisuunnikkaan diagonaalit; α, β - niiden väliset kulmat:

M = D1*D2*sina/2H = D1*D2*sinp/2H.

4. Pinta-ala ja korkeus: M = P / N.