Ohje

Etsi toiminnon laajuus. Esimerkiksi funktio sin(x) määritetään koko välille -∞ - +∞ ja funktio 1/x on määritelty -∞ - +∞, paitsi pisteen x = 0 kohdalla.

Määrittele jatkuvuuden alueet ja katkaisukohdat. Yleensä funktio on jatkuva samalla alueella, jossa se on määritelty. Epäjatkuvuuksien havaitsemiseksi sinun on laskettava, milloin argumentti lähestyy eristettyjä pisteitä määritelmäalueen sisällä. Esimerkiksi funktio 1/x pyrkii äärettömään, kun x→0+ ja miinus äärettömyyteen, kun x→0-. Tämä tarkoittaa, että pisteessä x = 0 sillä on toisen tyyppinen epäjatkuvuus.
Jos rajat epäjatkuvuuspisteessä ovat äärelliset, mutta eivät yhtä suuret, tämä on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuus. Jos ne ovat yhtä suuret, funktiota pidetään jatkuvana, vaikka sitä ei ole määritelty yksittäisessä pisteessä.

löytö vertikaaliset asymptootit, jos he ovat. Edellisen vaiheen laskelmat auttavat tässä, koska pystyasymptootti on lähes aina toisen tyypin epäjatkuvuuspisteessä. Joskus määritelmäalueen ulkopuolelle ei kuitenkaan jätetä yksittäisiä pisteitä, vaan kokonaisia ​​pistevälejä, jolloin pystysuorat asymptootit voivat sijaita näiden intervallien reunoilla.

Tarkista, onko funktiolla erityisominaisuuksia: parillinen, pariton ja jaksollinen.
Funktio on vaikka minkä tahansa x:n kohdalla f(x) = f(-x). Esimerkiksi cos(x) ja x^2 - jopa toimintoja.

Jaksollisuus on ominaisuus, joka sanoo, että on olemassa tietty luku T, jota kutsutaan jaksoksi ja joka mille tahansa x:lle f(x) = f(x + T). Esimerkiksi kaikki suuret trigonometriset funktiot(sini, kosini, tangentti) - jaksollinen.

Etsi pisteitä. Voit tehdä tämän laskemalla johdannaisen annettu toiminto ja etsi ne x-arvot, joista se katoaa. Esimerkiksi funktiolla f(x) = x^3 + 9x^2 -15 on derivaatta g(x) = 3x^2 + 18x, joka häviää, kun x = 0 ja x = -6.

Määrittääksesi mitkä ääripisteet ovat maksimipisteitä ja mitkä minimijä, seuraa derivaatan etumerkkien muutos löydetyissä noloissa. g(x) muuttaa etumerkin plussasta kohdassa x = -6 ja takaisin miinuksesta plussaan kohdassa x = 0. Siksi funktiolla f(x) on minimi ensimmäisessä pisteessä ja minimi toisessa.

Siten olet löytänyt myös monotonisuusalueita: f(x) kasvaa monotonisesti välillä -∞;-6, pienenee monotonisesti -6;0:lla ja kasvaa jälleen 0;+∞.

Etsi toinen derivaatta. Sen juuret osoittavat, missä tietyn funktion kuvaaja on kupera ja missä se on kovera. Esimerkiksi funktion f(x) toinen derivaatta on h(x) = 6x + 18. Se katoaa kohdassa x = -3 ja muuttaa etumerkkinsä miinuksesta plussaksi. Siksi kuvaaja f (x) ennen tätä pistettä on kupera, sen jälkeen - kovera, ja tämä piste itse on käännepiste.

Funktiolla voi olla muita asymptootteja, paitsi vertikaalisia, mutta vain jos sen määritelmäalue sisältää . Löytääksesi ne laskemalla f(x):n raja, kun x→∞ tai x→-∞. Jos se on rajallinen, olet löytänyt horisontaalinen asymptootti.

Vino asymptootti on suora muotoa kx + b. Löytääksesi k, laske f(x)/x:n raja muodossa x→∞. Löytää b - raja (f(x) – kx) samalla x→∞.

Toiminnon täydelliseen tutkimiseen ja sen kaavion piirtämiseen on suositeltavaa käyttää seuraavaa kaaviota:

1) selvitä toiminnon laajuus;

2) löytää funktion epäjatkuvuuspisteet ja pystyasymptootit (jos sellaisia ​​on);

3) tutkia funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, löytää vaaka- ja vinoasymptootit;

4) tutkia funktiota tasaisuus (ouditeetti) ja jaksollisuus (trigonometriset funktiot);

5) löytää funktion monotonisuuden ääripäät ja intervallit;

6) määrittää kuperuus- ja käännepisteiden välit;

7) etsi leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, jos mahdollista, ja joitain lisäpisteitä, jotka tarkentavat kuvaajaa.

Funktion tutkimus suoritetaan samanaikaisesti sen graafin rakentamisen kanssa.

Esimerkki 9 Tutustu funktioon ja rakenna kaavio.

1. Määritelmäalue: ;

2. Funktio katkeaa pisteissä
,
;

Tutkimme funktiota vertikaalisten asymptoottien esiintymiselle.

;
,
─ pystyasymptootti.

;
,
─ pystyasymptootti.

3. Tutkimme vinojen ja vaakasuuntaisten asymptoottien funktiota.

Suoraan
─ vino asymptootti, jos
,
.

,
.

Suoraan
─ vaaka-asymptootti.

4. Toiminto on parillinen, koska
. Funktion pariteetti ilmaisee graafin symmetrian suhteessa y-akseliin.

5. Etsi funktion monotonisuuden ja äärimmäisyyden välit.

Etsitään kriittiset kohdat, ts. pisteet, joissa derivaatta on 0 tai sitä ei ole olemassa:
;
. Meillä on kolme pistettä
;

. Nämä pisteet jakavat koko reaaliakselin neljään väliin. Määrittelemme merkit jokaisessa niistä.

Aikaväleillä (-∞; -1) ja (-1; 0) funktio kasvaa, aikaväleillä (0; 1) ja (1; +∞) se pienenee. Kun kuljetaan pisteen läpi
derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, joten tässä vaiheessa funktiolla on maksimi
.

6. Etsitään kuperavälit, käännepisteet.

Etsitään kohdat missä on 0 tai sitä ei ole olemassa.

ei ole oikeita juuria.
,
,

pisteitä
Ja
jaa reaaliakseli kolmeen väliin. Määritellään merkki joka välissä.

Siten intervallien käyrä
Ja
kupera alaspäin, välillä (-1;1) kupera ylöspäin; ei ole käännepisteitä, koska funktio pisteissä
Ja
ei määritetty.

7. Etsi akselien leikkauspisteet.

akselilla
funktion kuvaaja leikkaa pisteessä (0; -1) ja akselin kanssa
kaavio ei leikkaa, koska tämän funktion osoittajalla ei ole todellisia juuria.

Annetun funktion kaavio on esitetty kuvassa 1.

Kuva 1 ─ funktion kuvaaja

Johdannaisen käsitteen soveltaminen taloustieteessä. Toiminnan elastisuus

Taloudellisten prosessien tutkimiseen ja muiden sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen käytetään usein funktion elastisuuden käsitettä.

Määritelmä. Toiminnan elastisuus
kutsutaan funktion suhteellisen inkrementin suhteen rajaksi muuttujan suhteelliseen lisäykseen klo
, . (VII)

Funktion elastisuus osoittaa, kuinka monta prosenttia funktio muuttuu suunnilleen
kun vaihdat riippumatonta muuttujaa 1 %:lla.

Funktion joustavuutta käytetään kysynnän ja kulutuksen analysoinnissa. Jos kysynnän joustavuus (absoluuttisena arvona)
, niin kysyntää pidetään elastisena, jos
─ neutraali jos
─ joustamaton hinnan (tai tulon) suhteen.

Esimerkki 10 Laske funktion elastisuus
ja etsi kimmoindeksin arvo kohteelle = 3.

Ratkaisu: kaavan (VII) mukaan funktion elastisuus:

Olkoon sitten x=3
Tämä tarkoittaa, että jos riippumaton muuttuja kasvaa 1 %, niin riippuvan muuttujan arvo kasvaa 1,42 %.

Esimerkki 11 Anna kysynnän toimia hinnan suhteen on muotoa
, Missä ─ vakiokerroin. Etsi kysyntäfunktion kimmoindeksin arvo hinnalla x = 3 den. yksiköitä

Ratkaisu: laske kysyntäfunktion elastisuus kaavalla (VII)

Olettaen
rahayksiköitä, saamme
. Tämä tarkoittaa, että hintaan
rahayksikkö 1 %:n hinnankorotus aiheuttaa kysynnän laskun 6 %, ts. kysyntä on joustavaa.

käyttäytyminen koko tutkimus ja piirrä funktio kaaviosta

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Toiminnan laajuus. Koska funktio on murto-osa, sinun on löydettävä nimittäjän nollat.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Jätämme ainoan pisteen x=1x=1 pois funktion määritysalueelta ja saamme:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Tutkitaan funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteen läheisyydessä. Etsi yksipuoliset rajat:

Koska rajat ovat yhtä kuin ääretön, piste x=1x=1 on toisen tyyppinen epäjatkuvuus, suora x=1x=1 on pystysuora asymptootti.

3) Määritetään funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

Etsitään leikkauspisteet ordinaattisen akselin OyOy kanssa, jolle yhtälömme x=0x=0:

Siten akselin OyOy leikkauspisteellä on koordinaatit (0;8)(0;8).

Etsitään abskissa-akselin OxOx leikkauspisteet, joille asetetaan y=0y=0:

Yhtälöllä ei ole juuria, joten siinä ei ole leikkauspisteitä OxOx-akselin kanssa.

Huomaa, että x2+8>0x2+8>0 mille tahansa xx:lle. Siksi x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funktio y>0y>0 (ottaa positiiviset arvot, kuvaaja on x-akselin yläpuolella), x∈(1;+∞) )x∈(1; +∞) funktio y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktio ei ole parillinen eikä pariton, koska:

5) Tutkimme funktiota jaksollisuudelle. Funktio ei ole jaksollinen, koska se on murto-osainen rationaalinen funktio.

6) Tutkimme ääripäiden ja monotonisuuden funktiota. Tätä varten löydämme funktion ensimmäisen derivaatan:

Yhdistäkäämme ensimmäinen derivaatta nollaan ja etsitään stationaariset pisteet (joissa y′=0y′=0):

Saimme kolme kriittistä pistettä: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Jaamme funktion koko alueen intervalleiksi annetuilla pisteillä ja määritämme derivaatan merkit kussakin välissä:

Kohdalle x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivaatta y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Kun x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaatta y′>0y′>0, funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Tässä tapauksessa x=−2x=−2 on paikallinen minimipiste (funktio pienenee ja sitten kasvaa), x=4x=4 on paikallinen maksimipiste (funktio kasvaa ja sitten pienenee).

Etsitään funktion arvot näistä kohdista:

Minimipiste on siis (−2;4)(−2;4), maksimipiste (4;−8)(4;−8).

7) Tutkimme funktiota mutkille ja kuperuudelle. Etsitään funktion toinen derivaatta:

Yhdistä toinen derivaatta nollaan:

Tuloksena olevalla yhtälöllä ei ole juuria, joten siinä ei ole käännepisteitä. Lisäksi kun x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 täyttyy, eli funktio on kovera, kun x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Tutkimme funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, eli .

Koska rajat ovat äärettömät, ei ole horisontaalisia asymptootteja.

Yritetään määrittää vinot asymptootit muodossa y=kx+by=kx+b. Laskemme k,bk,b:n arvot tunnettujen kaavojen mukaan:

Huomasimme, että funktiolla on yksi vino asymptootti y=−x−1y=−x−1.

9) Lisäpisteitä. Lasketaan funktion arvo joissakin muissa pisteissä, jotta kuvaaja voidaan rakentaa tarkemmin.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) Saatujen tietojen perusteella rakennetaan graafi, täydennetään sitä asymptooteilla x=1x=1 (sininen), y=−x−1y=−x−1 (vihreä) ja merkitään ominaispisteet (leikkaus ordinaatta-akseli on violetti, ääripisteet oranssit, lisäpisteet ovat mustia):

Tehtävä 4: Geometriset, taloudelliset ongelmat (en tiedä mitä, tässä on likimääräinen valikoima ongelmia ratkaisuineen ja kaavoineen)

Esimerkki 3.23. a

Ratkaisu. x Ja y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Koska x = a/4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan, muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen läpi kulkiessaan. xa/4 S > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esimerkki 3.24.

Ratkaisu.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Esimerkki 3.22. Etsi funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ääripää.

Ratkaisu. Koska f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), niin funktion kriittiset pisteet x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3. Ääripisteet voivat olla vain näissä pisteissä. Eli kun kulkiessaan pisteen x 1 \u003d 2 läpi derivaatta muuttaa plusmerkin miinukseksi, niin tässä vaiheessa funktiolla on maksimi.Pisteessä x 2 \u003d 3 derivaatta muuttaa miinusmerkin plussiksi, joten pisteessä x 2 \u003d 3 funktiolla on minimi. Funktion arvojen laskeminen pisteissä
x 1 = 2 ja x 2 = 3, löydämme funktion ääripäät: maksimi f(2) = 14 ja minimi f(3) = 13.

Esimerkki 3.23. Kivimuurien lähelle on tarpeen rakentaa suorakaiteen muotoinen alue niin, että se on aidattu kolmelta sivulta metalliverkolla ja se on seinän vieressä neljänneltä puolelta. Tätä varten on a verkon lineaarimetrit. Millä kuvasuhteella sivustolla on suurin pinta-ala?

Ratkaisu. Merkitse sivuston sivut läpi x Ja y. Kohteen pinta-ala on S = xy. Antaa y on seinän vieressä olevan sivun pituus. Sitten ehdon mukaan yhtälön 2x + y = a on oltava voimassa. Siksi y = a - 2x ja S = x(a - 2x), missä
0 ≤ x ≤ a/2 (alueen pituus ja leveys eivät voi olla negatiivisia). S "= a - 4x, a - 4x = 0, kun x = a/4, mistä
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Koska x = a/4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan, muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen läpi kulkiessaan. xa/4 S > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esimerkki 3.24. Vaaditaan suljettu sylinterimäinen säiliö, jonka tilavuus on V=16p ≈ 50 m 3 . Mitkä pitäisi olla säiliön mitat (säde R ja korkeus H), jotta sen valmistukseen kuluisi mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu. Sylinterin kokonaispinta-ala on S = 2pR(R+H). Tiedämme sylinterin tilavuuden V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Siten S(R) = 2p(R2+16/R). Löydämme tämän funktion johdannaisen:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8, joten
R = 2, H = 16/4 = 4.

Samanlaisia ​​tietoja.

TheBatissa (ei ole selvää mistä syystä) sisäänrakennettu SSL-varmennetietokanta on jo jonkin aikaa lakannut toimimasta oikein.

Viestiä tarkasteltaessa tulee virheilmoitus:

Tuntematon CA-varmenne
Palvelin ei esittänyt juurivarmennetta istunnossa eikä vastaavaa juurivarmennetta löytynyt osoitekirjasta.
Tämä yhteys ei voi olla salainen. Ole kiltti
ota yhteyttä palvelimen järjestelmänvalvojaan.

Ja sille tarjotaan erilaisia ​​vastauksia - KYLLÄ / EI. Ja niin aina kun lähetät postia.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa sinun on korvattava S/MIME- ja TLS-toteutusstandardi Microsoft CryptoAPI:lla TheBatissa!

Koska minun piti yhdistää kaikki tiedostot yhdeksi, muunsin ensin kaikki doc-tiedostot yhdeksi pdf-tiedostoksi (Acrobat-ohjelmalla) ja siirsin sen sitten fb2:een online-muuntimen kautta. Voit myös muuntaa tiedostoja yksitellen. Muodot voivat olla täysin mitä tahansa (lähde) ja doc, ja jpg, ja jopa zip-arkisto!

Sivuston nimi vastaa sen olemusta:) Online Photoshop.

Päivitys toukokuussa 2015

Löysin toisen mahtavan sivuston! Vielä kätevämpi ja toimivampi täysin mielivaltaisen kollaasin luomiseen! Tämä sivusto on http://www.fotor.com/ru/collage/. Käytä terveyteen. Ja aion käyttää sitä itsekin.

Kohtannut elämässään sähköliesien korjausta. Tein jo paljon asioita, opin paljon, mutta jotenkin minulla oli vähän tekemistä laattojen kanssa. Säätimien ja polttimien koskettimet oli vaihdettava. Heräsi kysymys - kuinka määrittää sähköliesi polttimen halkaisija?

Vastaus osoittautui yksinkertaiseksi. Mitään ei tarvitse mitata, voit rauhassa määrittää silmällä minkä koon tarvitset.

Pienin poltin on 145 millimetriä (14,5 senttimetriä)

Keskikokoinen poltin on 180 millimetriä (18 senttimetriä).

Ja lopuksi eniten iso poltin on 225 millimetriä (22,5 senttimetriä).

Riittää, kun määrität koon silmällä ja ymmärrät, minkä halkaisijan tarvitset polttimen. Kun en tiennyt tätä, jylläsin näiden kokojen kanssa, en tiennyt miten mitata, missä reunassa navigoida jne. Nyt olen viisas :) Toivottavasti se auttoi sinuakin!

Olen elämässäni kohdannut tällaisen ongelman. Luulen, etten ole ainoa.

Funktion opiskelu tapahtuu selkeän kaavion mukaan ja vaatii opiskelijalta vankkaa tietämystä matemaattisista peruskäsitteistä, kuten määritelmä- ja arvoalue, funktion jatkuvuus, asymptootti, ääripisteet, pariteetti, jaksollisuus, jne. Opiskelijan tulee vapaasti erottaa funktioita ja ratkaista yhtälöitä, jotka ovat joskus hyvinkin monimutkaisia.

Toisin sanoen tämä tehtävä testaa merkittävää tietotasoa, jonka aukot ovat esteenä oikean ratkaisun saamiselle. Erityisen usein vaikeuksia syntyy funktiokaavioiden rakentamisessa. Tämä virhe tarttuu välittömästi opettajan silmään ja voi pilata arvosanasi suuresti, vaikka kaikki muu olisi tehty oikein. Täältä löydät tehtävät funktion tutkimiseen verkossa: tutkia esimerkkejä, ladata ratkaisuja, tilata tehtäviä.

Tutki funktiota ja kuvaajaa: esimerkkejä ja ratkaisuja verkossa

Olemme laatineet sinulle paljon valmiita ominaisuustutkimuksia, sekä maksullisia ratkaisukirjassa että ilmaisia ​​Ominaisuuksien tutkimusesimerkit -osiossa. Näiden ratkaistujen tehtävien perusteella pystyt perehtymään yksityiskohtaisesti tällaisten tehtävien suorittamisen metodologiaan, analogisesti, suorittamaan oman tutkimuksen.

Tarjoamme valmiita esimerkkejä yleisimpien tyyppisten funktiokaavioiden täydellisestä tutkimuksesta ja piirtämisestä: polynomit, murto-rationaaliset, irrationaaliset, eksponentiaaliset, logaritmiset, trigonometriset funktiot. Jokaiseen ratkaistuun tehtävään liittyy valmis graafi, jossa on valitut avainpisteet, asymptootit, maksimit ja minimit, ratkaisu suoritetaan funktion tutkimiseen tarkoitetun algoritmin mukaan.

Ratkaistut esimerkit ovat joka tapauksessa hyvä apu sinulle, sillä ne kattavat suosituimmat toimintotyypit. Tarjoamme sinulle satoja jo ratkaistuja tehtäviä, mutta kuten tiedät, maailmassa on ääretön määrä matemaattisia funktioita, ja opettajat ovat suuria asiantuntijoita keksimään yhä monimutkaisempia tehtäviä köyhille opiskelijoille. Joten, rakkaat opiskelijat, pätevä apu ei vahingoita teitä.

Tehtävän ratkaiseminen funktion tutkimiseen tilauksesta

Tässä tapauksessa kumppanimme tarjoavat sinulle toisen palvelun - täyden toiminnon tutkimus verkossa tilata. Tehtävä suoritetaan sinulle kaikkien tällaisten ongelmien ratkaisemisen algoritmin vaatimusten mukaisesti, mikä miellyttää suuresti opettajaasi.

Teemme sinulle täydellisen tutkimuksen funktiosta: löydämme määritelmäalueen ja arvoalueen, tutkimme jatkuvuuden ja epäjatkuvuuden, asetamme pariteetin, tarkistamme funktiosi jaksollisuuden, etsimme leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. . Ja tietysti edelleen differentiaalilaskennan avulla: etsitään asymptootteja, lasketaan ääripäät, käännepisteet ja rakennetaan itse graafi.