Jos tehtävä vaatii täysi tutkimus funktio f (x) = x 2 4 x 2 - 1 sen graafin rakentamisen kanssa, niin tarkastelemme tätä periaatetta yksityiskohtaisesti.

Tämän tyyppisen ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee käyttää mainin ominaisuuksia ja kaavioita perustoiminnot. Tutkimusalgoritmi sisältää seuraavat vaiheet:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Määritelmäalueen löytäminen

Koska tutkimusta tehdään funktion määrittelyalueelta, on välttämätöntä aloittaa tästä vaiheesta.

Esimerkki 1

Annetussa esimerkissä etsitään nimittäjän nollia niiden jättämiseksi pois ODZ:stä.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Tämän seurauksena voit saada juuria, logaritmeja ja niin edelleen. Sitten ODZ:stä voidaan etsiä parillisen asteen juuria tyyppiä g (x) 4 epäyhtälöllä g (x) ≥ 0, logaritmin loki a g (x) epäyhtälöllä g (x) > 0.

ODZ:n rajojen tutkiminen ja vertikaalisten asymptootien löytäminen

Toiminnan rajoilla on vertikaaliset asymptootit, kun yksipuoliset rajat tällaisissa kohdissa ovat äärettömät.

Esimerkki 2

Oletetaan esimerkiksi, että rajapisteet ovat yhtä suuria kuin x = ± 1 2.

Sitten on tarpeen tutkia funktiota yksipuolisen rajan löytämiseksi. Sitten saadaan, että: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = raja x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = raja x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ raja x → 1 2 - 0 f (x) = raja x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = raja x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Tämä osoittaa, että yksipuoliset rajat ovat äärettömät, mikä tarkoittaa, että suorat x = ± 1 2 ovat graafin pystysuorat asymptootit.

Tutkimus funktiosta ja siitä, onko se parillinen vai pariton

Kun ehto y (- x) = y (x) täyttyy, funktiota pidetään parillisena. Tämä viittaa siihen, että graafi sijaitsee symmetrisesti Oy:n suhteen. Kun ehto y (- x) = - y (x) täyttyy, funktiota pidetään parittomana. Tämä tarkoittaa, että symmetria on suhteessa koordinaattien alkupisteeseen. Jos ainakin yksi epäyhtälö ei täyty, saadaan yleisen muodon funktio.

Yhtälö y (- x) = y (x) osoittaa, että funktio on parillinen. Rakennettaessa on huomioitava, että Oy:n suhteen tulee symmetriaa.

Epäyhtälön ratkaisemiseksi käytetään kasvu- ja laskuvälejä ehdoilla f " (x) ≥ 0 ja f " (x) ≤ 0, vastaavasti.

Määritelmä 1

Kiinteät pisteet- Nämä ovat pisteitä, jotka kääntävät derivaatan nollaan.

Kriittiset kohdat- nämä ovat määritelmäalueen sisäisiä pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Päätöstä tehdessä on otettava huomioon seuraavat huomautukset:

• olemassa oleville kasvavien ja pienentyvien epäyhtälöiden intervalleille, jotka ovat muotoa f " (x) > 0, kriittisiä pisteitä ei sisällytetä ratkaisuun;
• pisteet, joissa funktio määritellään ilman äärellistä derivaatta, tulee sisällyttää kasvun ja pienenemisen väliin (esim. y = x 3, missä piste x = 0 tekee funktion määritellyksi, derivaatalla on tässä ääretön arvo piste, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 sisältyy kasvavaan väliin);
• Erimielisyyksien välttämiseksi on suositeltavaa käyttää opetusministeriön suosittelemaa matemaattista kirjallisuutta.

Kriittisten pisteiden sisällyttäminen kasvu- ja laskuväleihin, jos ne täyttävät funktion määrittelyalueen.

Määritelmä 2

varten määritettäessä funktion kasvu- ja laskuvälit, on löydettävä:

• johdannainen;
• kriittiset kohdat;
• jakaa määritelmäalue intervalleiksi kriittisten pisteiden avulla;
• määritä derivaatan etumerkki kullakin aikavälillä, missä + on kasvu ja - on lasku.

Esimerkki 3

Etsi derivaatta määritelmän alueelta f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Ratkaisu

Ratkaisuun tarvitset:

• etsi kiinteät pisteet, tässä esimerkissä on x = 0;
• Etsi nimittäjän nollat, esimerkki saa arvon nolla kohdassa x = ± 1 2.

Asetamme pisteet numeroviivalle määrittääksemme kunkin intervallin derivaatan. Tätä varten riittää, että otetaan mikä tahansa piste intervallista ja suoritetaan laskelma. klo positiivinen tulos Kuvaajassa on +, mikä tarkoittaa, että funktio kasvaa, ja - tarkoittaa, että se pienenee.

Esimerkiksi f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, mikä tarkoittaa, että ensimmäisellä välillä vasemmalla on +-merkki. Tarkastellaan lukuviivaa.

Vastaus:

• funktio kasvaa välillä - ∞; - 1 2 ja (- 1 2 ; 0 ] ;
• intervalli pienenee [0; 1 2) ja 1 2; + ∞ .

Kaaviossa + ja - on kuvattu funktion positiivisuus ja negatiivisuus, ja nuolet osoittavat laskua ja kasvua.

Funktion ääripisteet ovat pisteitä, joissa funktio on määritelty ja joiden kautta derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Esimerkki 4

Jos tarkastellaan esimerkkiä, jossa x = 0, niin siinä olevan funktion arvo on f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kun derivaatan etumerkki muuttuu arvosta + arvoksi - ja kulkee pisteen x = 0 läpi, niin pisteen koordinaatit (0; 0) katsotaan maksimipisteeksi. Kun merkki muuttuu arvosta - +:ksi, saadaan minimipiste.

Kupera ja koveruus määritetään ratkaisemalla epäyhtälöt muotoa f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0. Harvemmin käytetty on nimi kupera alaspäin koveruuden sijaan ja kupera ylöspäin kuperuuden sijaan.

Määritelmä 3

varten koveruuden ja kuperuuden välit määritetään tarpeellista:

• etsi toinen derivaatta;
• etsi toisen derivaattafunktion nollat;
• jaa määritysalue intervalleiksi esiintyvien pisteiden kanssa;
• määritä intervallin merkki.

Esimerkki 5

Etsi toinen derivaatta määritelmäalueesta.

Ratkaisu

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Löydämme osoittajan ja nimittäjän nollat, missä esimerkissämme on, että nimittäjän x nollat ​​= ± 1 2

Nyt sinun on piirrettävä pisteet numeroviivalle ja määritettävä toisen derivaatan etumerkki jokaisesta intervallista. Me ymmärrämme sen

Vastaus:

• funktio on kupera väliltä -1 2 ; 12;
• funktio on kovera intervalleista - ∞ ; - 1 2 ja 1 2; + ∞ .

Määritelmä 4

Käännepiste– tämä on muotoa x 0 oleva piste; f (x 0) . Kun sillä on tangentti funktion kuvaajalle, niin kun se kulkee x 0:n läpi, funktio vaihtaa etumerkkiä päinvastaiseksi.

Toisin sanoen tämä on piste, jonka läpi toinen derivaatta kulkee ja muuttaa etumerkkiä, ja itse pisteissä se on yhtä suuri kuin nolla tai sitä ei ole olemassa. Kaikkia pisteitä pidetään funktion toimialueina.

Esimerkissä oli selvää, että käännepisteitä ei ole, koska toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteiden x = ± 1 2 läpi. Ne puolestaan ​​eivät kuulu määritelmän piiriin.

Vaakasuuntaisten ja vinojen asymptootien löytäminen

Kun määrität funktiota äärettömyyteen, sinun on etsittävä vaakasuuntaisia ​​ja vinoja asymptootteja.

Määritelmä 5

Viistot asymptootit on kuvattu yhtälön y = k x + b antamilla suorilla viivoilla, joissa k = lim x → ∞ f (x) x ja b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Kun k = 0 ja b ei ole yhtä suuri kuin ääretön, huomaamme, että vino asymptootti tulee vaakasuoraan.

Toisin sanoen asymptootteja pidetään viivoina, joita funktion kuvaaja lähestyy äärettömässä. Tämä helpottaa funktiokaavion nopeaa rakentamista.

Jos asymptootteja ei ole, mutta funktio on määritelty molemmissa äärettömissä, on tarpeen laskea funktion raja näissä äärettömissä, jotta voidaan ymmärtää, kuinka funktion kuvaaja käyttäytyy.

Esimerkki 6

Tarkastellaanpa esimerkkinä sitä

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

on horisontaalinen asymptootti. Kun olet tutkinut funktion, voit aloittaa sen rakentamisen.

Funktion arvon laskeminen välipisteissä

Jotta kuvaaja olisi tarkempi, on suositeltavaa löytää useita funktioarvoja välipisteistä.

Esimerkki 7

Käsitellystä esimerkistä on tarpeen löytää funktion arvot pisteistä x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Koska funktio on parillinen, saadaan, että arvot ovat samat näiden pisteiden arvojen kanssa, eli saamme x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Kirjoitetaan ja ratkaistaan:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funktion maksimien ja minimien, käännepisteiden ja välipisteiden määrittämiseksi on tarpeen rakentaa asymptootteja. Kätevää määritystä varten kirjataan kasvun, pienenemisen, kuperuuden ja koveruuden aikavälit. Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Merkittyjen pisteiden läpi on piirrettävä kaavioviivat, joiden avulla voit lähestyä asymptootteja seuraamalla nuolia.

Tämä päättää toiminnon täydellisen tutkimisen. On tapauksia, joissa rakennetaan joitain perusfunktioita, joissa käytetään geometrisia muunnoksia.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Funktion tutkiminen tapahtuu selkeän kaavion mukaan ja vaatii opiskelijalta vankkaa tietämystä matemaattisista peruskäsitteistä, kuten määritelmä- ja arvoalue, funktion jatkuvuus, asymptootti, ääripisteet, pariteetti, jaksollisuus jne. . Opiskelijan tulee pystyä erottamaan funktioita vapaasti ja ratkaisemaan yhtälöitä, jotka voivat joskus olla hyvinkin monimutkaisia.

Toisin sanoen tämä tehtävä testaa merkittävää tietotasoa, jonka aukot ovat esteenä oikean ratkaisun saamiselle. Erityisen usein vaikeuksia syntyy funktiokaavioiden muodostamisessa. Tämän virheen huomaa välittömästi opettajalle ja voi vahingoittaa arvosanaasi suuresti, vaikka kaikki muu olisi tehty oikein. Täältä löydät online-toimintojen tutkimusongelmat: tutkia esimerkkejä, ladata ratkaisuja, tilata tehtäviä.

Tutustu funktioon ja piirrä kaavio: esimerkkejä ja ratkaisuja verkossa

Olemme tehneet sinulle paljon valmiita funktiotutkimuksia, sekä ratkaisukirjassa maksullisia että ilmaisia ​​osiossa Esimerkkejä funktiotutkimuksista. Näiden ratkaistujen tehtävien perusteella pystyt perehtymään yksityiskohtaisesti vastaavien tehtävien suorittamisen metodologiaan ja suorittamaan tutkimuksesi analogisesti.

Tarjoamme valmiita esimerkkejä yleisimpien funktioiden täydellinen tutkimus ja piirtäminen: polynomit, rationaalinen murtoluku, irrationaalinen, eksponentiaalinen, logaritminen, trigonometriset funktiot. Jokaisen ratkaistun tehtävän mukana on valmis graafi, jossa on korostettu avainpisteet, asymptootit, maksimit ja minimit, ja ratkaisu suoritetaan funktion tutkimiseen tarkoitetun algoritmin avulla.

Joka tapauksessa ratkaistut esimerkit ovat suureksi avuksi sinulle, koska ne kattavat suosituimmat toimintotyypit. Tarjoamme sinulle satoja jo ratkaistuja tehtäviä, mutta kuten tiedät, maailmassa on ääretön määrä matemaattisia funktioita, ja opettajat ovat loistavia asiantuntijoita keksimään yhä hankalampia tehtäviä köyhille opiskelijoille. Joten, rakkaat opiskelijat, pätevä apu ei satuta teitä.

Räätälöityjen funktioiden tutkimusongelmien ratkaiseminen

Tässä tapauksessa kumppanimme tarjoavat sinulle toisen palvelun - täyden toiminnon tutkimus verkossa tilata. Tehtävä suoritetaan sinulle kaikkien tällaisten ongelmien ratkaisemiseen tarkoitetun algoritmin vaatimusten mukaisesti, mikä miellyttää suuresti opettajaasi.

Teemme funktion täydellisen tutkimuksen puolestasi: löydämme määritelmäalueen ja arvojen alueen, tutkimme jatkuvuuden ja epäjatkuvuuden, määritämme pariteetin, tarkistamme funktiosi jaksollisuuden ja löydämme leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. . Ja tietysti edelleen differentiaalilaskennan avulla: etsimme asymptootteja, laskemme ääripäät, käännepisteet ja rakennamme itse graafin.

Yksi differentiaalilaskennan tärkeimmistä tehtävistä on sen kehittäminen yleisiä esimerkkejä toimintakäyttäytymisen tutkimukset.

Jos funktio y=f(x) on jatkuva välillä , ja sen derivaatta on positiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a,b), niin y=f(x) kasvaa (f"(x)0) Jos funktio y=f (x) on jatkuva janalla ja sen derivaatta on negatiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a,b), niin y=f(x) pienenee (f"(x)0 )

Intervalleja, joissa funktio ei pienene tai kasva, kutsutaan funktion monotonisuuden intervalleiksi. Funktion monotonisuus voi muuttua vain niissä määrittelyalueen kohdissa, joissa ensimmäisen derivaatan etumerkki muuttuu. Pisteitä, joissa funktion ensimmäinen derivaatta katoaa tai jossa on epäjatkuvuus, kutsutaan kriittisiksi.

Lause 1 (1. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoon funktio y=f(x) määritelty pisteessä x 0 ja olkoon naapuruus δ>0 siten, että funktio on jatkuva välillä ja differentioituva välillä (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , ja sen derivaatta säilyttää vakiomerkin jokaisella näistä intervalleista. Sitten jos kohdilla x 0 -δ,x 0) ja (x 0 , x 0 +δ) derivaatan etumerkit ovat erilaiset, niin x 0 on ääripiste, ja jos ne ovat samat, niin x 0 ei ole ääripiste . Lisäksi, jos pisteen x0 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin (x 0:n vasemmalla puolella f"(x)>0 täyttyy, niin x 0 on maksimipiste; jos derivaatta muuttaa etumerkkiä miinus plussaan (x 0:n oikealla puolella suoritettu f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi ja funktion maksimi- ja minimipisteitä sen ääriarvoiksi.

Lause 2 (paikallisen ääripään välttämätön merkki).

Jos funktiolla y=f(x) on äärisumma nykyisessä x=x 0, niin joko f’(x 0)=0 tai f’(x 0) ei ole olemassa.
Differentioituvan funktion ääripisteissä sen graafin tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa.

Algoritmi funktion tutkimiseksi ääripäälle:

1) Etsi funktion derivaatta.
2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteet, joissa funktio on jatkuva ja derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.
3) Tarkastellaan kunkin pisteen lähialuetta ja tutkitaan derivaatan etumerkkiä tämän pisteen vasemmalla ja oikealla puolella.
4) Määritä ääripisteiden koordinaatit; korvaa tätä varten kriittisten pisteiden arvot tähän funktioon. Tee tarvittavat johtopäätökset käyttämällä riittäviä ehtoja ääripäälle.

Esimerkki 18. Tutki funktiota y=x 3 -9x 2 +24x ääripäälle

Ratkaisu.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Kun derivaatta lasketaan nollaan, saadaan x 1 =2, x 2 =4. Tässä tapauksessa johdannainen määritellään kaikkialla; Tämä tarkoittaa, että kahta löydettyä pistettä lukuun ottamatta ei ole muita kriittisiä pisteitä.
3) Derivaatan etumerkki y"=3(x-2)(x-4) muuttuu intervallin mukaan kuvan 1 mukaisesti. Kun kuljetaan pisteen x=2 läpi, derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, ja kun kuljetaan pisteen x=4 läpi - miinuksesta plussaan.
4) Pisteessä x=2 funktiolla on maksimi y max =20 ja pisteessä x=4 - minimi y min =16.

Lause 3. (2. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoon f"(x 0) ja pisteessä x 0 on olemassa f""(x 0). Sitten jos f""(x 0)>0, niin x 0 on minimipiste, ja jos f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Janalla funktio y=f(x) voi saavuttaa pienimmän (y pienin) tai suurimman (y suurin) arvon joko välissä (a;b) olevan funktion kriittisissä pisteissä tai segmentin päät.

Algoritmi jatkuvan funktion y=f(x) suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi segmentiltä:

1) Etsi f"(x).
2) Etsi pisteet, joissa f"(x)=0 tai f"(x) ei ole olemassa, ja valitse niistä ne, jotka sijaitsevat janan sisällä.
3) Laske funktion y=f(x) arvo vaiheessa 2) saaduissa pisteissä sekä janan päissä ja valitse niistä suurin ja pienin: ne ovat vastaavasti suurimmat (y funktion suurin) ja pienin (y pienin) arvot välissä.

Esimerkki 19. Etsi eniten korkeampi arvo jatkuva funktio y=x 3 -3x 2 -45+225 segmentillä.

1) Meillä on segmentissä y"=3x 2 -6x-45
2) Derivaata y" on olemassa kaikille x:ille. Etsitään pisteet, joissa y"=0; saamme:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 = -3; x 2 =5
3) Laske funktion arvo pisteissä x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Jana sisältää vain pisteen x=5. Suurin funktion löydetyistä arvoista on 225 ja pienin luku 50. Eli y max = 225, y min = 50.

Konveksiteettifunktion tutkimus

Kuvassa on kaavioita kahdesta funktiosta. Ensimmäinen niistä on kupera ylöspäin, toinen on kupera alaspäin.

Funktio y=f(x) on jatkuva janalla ja differentioituva välillä (a;b), sitä kutsutaan kuperaksi ylöspäin (alaspäin) tällä janalla, jos axb:n graafi ei ole korkeampi (ei alempi) kuin tangentti piirretty mihin tahansa pisteeseen M 0 (x 0 ;f(x 0)), missä axb.

Lause 4. Olkoon funktiolla y=f(x) toinen derivaatta missä tahansa janan sisäpisteessä x ja se on jatkuva tämän janan päissä. Sitten jos epäyhtälö f""(x)0 pätee välillä (a;b), niin funktio on kupera alaspäin välissä ; jos epäyhtälö f""(x)0 pätee välillä (a;b), niin funktio on kupera ylöspäin .

Lause 5. Jos funktiolla y=f(x) on toinen derivaatta välillä (a;b) ja jos se muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteen x 0 läpi, niin M(x 0 ;f(x 0)) on käännekohta.

Sääntö käännepisteiden löytämiseksi:

1) Etsi pisteet, joissa f""(x) ei ole olemassa tai katoaa.
2) Tarkastele merkkiä f""(x) vasemmalla ja oikealla puolella jokaisesta ensimmäisessä vaiheessa löydetystä pisteestä.
3) Tee johtopäätös lauseen 4 perusteella.

Esimerkki 20. Etsi funktion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 kaavion ääripisteet ja käännepisteet.

Meillä on f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ilmeisesti f"(x)=0, kun x 1 =0, x 2 =1. Pisteen x=0 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussiksi, mutta pisteen x=1 läpi kulkiessaan se ei muuta etumerkkiä. Tämä tarkoittaa, että x=0 on minimipiste (y min =12), eikä pisteessä x=1 ole ääriarvoa. Seuraavaksi löydämme . Toinen derivaatta häviää pisteistä x 1 =1, x 2 =1/3. Toisen derivaatan merkit muuttuvat seuraavasti: Säteellä (-∞;) meillä on f""(x)>0, välillä (;1) meillä on f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Siksi x= on funktiokuvaajan käännepiste (siirtymä konveksuudesta alaspäin kuperuuteen ylöspäin) ja x=1 on myös käännepiste (siirtymä konveksuudesta ylöspäin kuperaan alaspäin). Jos x=, niin y= ; jos, niin x=1, y=13.

Algoritmi graafin asymptootin löytämiseksi

I. Jos y=f(x) x → a, niin x=a on pystysuora asymptootti.
II. Jos y=f(x) x → ∞ tai x → -∞, niin y=A on vaaka-asymptootti.
III. Vinon asymptootin löytämiseksi käytämme seuraavaa algoritmia:
1) Laske. Jos raja on olemassa ja se on yhtä suuri kuin b, niin y=b on vaakasuuntainen asymptootti; jos , siirry toiseen vaiheeseen.
2) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä kuin k, siirry kolmanteen vaiheeseen.
3) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä suuri kuin b, siirry neljänteen vaiheeseen.
4) Kirjoita vinon asymptootin y=kx+b yhtälö.

Esimerkki 21: Etsi funktion asymptootti

1)
2)
3)
4) Vinon asymptootin yhtälöllä on muoto

Kaavio funktion tutkimiseksi ja sen graafin muodostamiseksi

I. Etsi funktion määritelmäalue.
II. Etsi funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.
III. Etsi asymptootteja.
IV. Etsi mahdolliset ääripisteet.
V. Etsi kriittiset kohdat.
VI. Tutki ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä apukuvan avulla. Määritä kasvavan ja pienenevän funktion alueet, löydä graafin kuperuuden suunta, ääripisteet ja käännepisteet.
VII. Muodosta kaavio ottaen huomioon kohdissa 1-6 tehty tutkimus.

Esimerkki 22: Muodosta funktion kuvaaja yllä olevan kaavion mukaisesti

Ratkaisu.
I. Funktioalue on kaikkien reaalilukujen joukko paitsi x=1.
II. Koska yhtälöllä x 2 +1=0 ei ole todellisia juuria, funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä Ox-akselin kanssa, vaan se leikkaa Oy-akselin pisteessä (0;-1).
III. Selvennetään kysymys asymptoottien olemassaolosta. Tutkitaan funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteen lähellä x=1. Koska y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, niin suora x=1 on funktion kuvaajan pystyasymptootti.
Jos x → +∞(x → -∞), niin y → +∞(y → -∞); siksi kuvaajalla ei ole vaakasuuntaista asymptoottia. Lisäksi rajojen olemassaolosta

Ratkaisemalla yhtälön x 2 -2x-1=0 saadaan kaksi mahdollista ääripistettä:
x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2

V. Kriittisten pisteiden löytämiseksi laskemme toisen derivaatan:

Koska f""(x) ei katoa, kriittisiä pisteitä ei ole.
VI. Tarkastellaan ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä. Mahdollisia huomioitavia ääripisteitä: x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2, jaa funktion olemassaoloalue intervalleiksi (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) ja (1+√2;+∞).

Jokaisella näistä intervalleista johdannainen säilyttää merkkinsä: ensimmäisessä - plus, toisessa - miinus, kolmannessa - plus. Ensimmäisen derivaatan merkkijono kirjoitetaan seuraavasti: +,-,+.
Havaitsemme, että funktio kasvaa kohdassa (-∞;1-√2), pienenee kohdassa (1-√2;1+√2) ja kasvaa jälleen kohdassa (1+√2;+∞). Ääripisteet: maksimi kohdassa x=1-√2 ja f(1-√2)=2-2√2 minimi kohdassa x=1+√2 ja f(1+√2)=2+2√2. Kohdassa (-∞;1) kuvaaja on kupera ylöspäin ja kohdassa (1;+∞) se on kupera alaspäin.
VII Tehdään taulukko saaduista arvoista

VIII Muodostetaan saatujen tietojen perusteella luonnos funktion kuvaajasta

Tutkitaan funktiota \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ja rakennetaan sen kaavio.

1. Määritelmän laajuus.
Rationaalisen funktion (murto-osan) määritelmäalue on: nimittäjä ei ole nolla, ts. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Verkkotunnus $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Toiminnan katkaisupisteet ja niiden luokittelu.
Funktiolla on yksi taitepiste x = 1
Tarkastellaan pistettä x= 1. Etsitään funktion raja epäjatkuvuuspisteen oikealla ja vasemmalla puolella, oikealla $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ ja pisteen $$ vasemmalla puolella \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Tämä on toisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste, koska yksipuoliset rajat ovat yhtä suuria kuin \(\infty\).

Suora \(x = 1\) on pystysuora asymptootti.

3. Funktiopariteetti.
Tarkistamme pariteetin \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funktio ei ole parillinen eikä pariton.

4. Funktion nollat ​​(leikkauspisteet Ox-akselin kanssa). Funktion vakiomerkin intervallit.
Funktion nollia ( leikkauspiste Ox-akselin kanssa): yhtälöimme \(y=0\), saamme \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Käyrällä on yksi leikkauspiste Ox-akselin kanssa koordinaatilla \((0;0)\).

Funktion vakiomerkin intervallit.
Tarkastetuilla aikaväleillä \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) käyrällä on yksi leikkauspiste Ox-akselin kanssa, joten tarkastelemme määritelmäaluetta kolmella aikavälillä.

Määritetään funktion etumerkki määritelmäalueen aikaväleillä:
väli \((-\infty; 0) \) etsi funktion arvo missä tahansa pisteessä \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
väli \((0; 1) \) löydämme funktion arvon mistä tahansa pisteestä \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), tällä välillä funktio on positiivinen \(f(x ) > 0 \), ts. sijaitsee Ox-akselin yläpuolella.
väli \((1;+\infty) \) etsi funktion arvo missä tahansa pisteessä \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Leikkauspisteet Oy-akselin kanssa: yhtälöimme \(x=0\), saamme \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Leikkauspisteen koordinaatit Oy-akselin kanssa \((0; 0)\)

6. Yksitoikkoisuuden välit. Toiminnon ääripää.
Etsitään kriittiset (stationaarit) pisteet, tätä varten etsitään ensimmäinen derivaatta ja rinnastetaan se nollaan $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ yhtä suuri kuin 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Etsitään funktion arvo tässä pisteessä \( f(0) = 0\) ja \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Saimme kaksi kriittistä pistettä, joiden koordinaatit \((0;0)\) ja \((1.5;-6.75)\)

Monotonisuuden intervallit.
Funktiolla on kaksi kriittistä pistettä (mahdolliset ääripisteet), joten tarkastelemme monotonisuutta neljällä aikavälillä:
väli \((-\infty; 0) \) etsi ensimmäisen derivaatan arvo missä tahansa välin pisteessä \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
väli \((0;1)\) löydämme ensimmäisen derivaatan arvon mistä tahansa välin \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funktio kasvaa tällä aikavälillä.
väli \((1;1.5)\) löydämme ensimmäisen derivaatan arvon mistä tahansa välin \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funktio kasvaa tällä aikavälillä.
väli \((1,5; +\infty)\) etsi ensimmäisen derivaatan arvo missä tahansa välin pisteessä \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Toiminnon ääripää.

Funktiota tutkiessamme saatiin kaksi kriittistä (stationaarista) pistettä määritelmäalueen väliltä. Selvitetään, ovatko ne äärimmäisyyksiä. Tarkastellaan derivaatan etumerkin muutosta, kun kuljemme kriittisten pisteiden läpi:

piste \(x = 0\) derivaatta muuttaa etumerkkiä \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - piste ei ole ääriarvo.
piste \(x = 1,5\) derivaatta muuttaa etumerkkiä \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - piste on maksimipiste.

7. Kuperuuden ja koveruuden välit. Käännepisteet.

Löytääksemme kuperuuden ja koveruuden välit etsimme funktion toisen derivaatan ja rinnastamme sen nollaan $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ vastaa nollaa $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funktiolla on yksi Kriittinen piste toisen lajin koordinaatit \((0;0)\).
Määritellään konveksius määritelmäalueen aikaväleille ottaen huomioon toisen tyyppinen kriittinen piste (mahdollisen taivutuksen piste).

väli \((-\infty; 0)\) etsi toisen derivaatan arvo missä tahansa pisteessä \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
väli \((0; 1)\) löydämme toisen derivaatan arvon mistä tahansa pisteestä \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), tällä välillä funktion toinen derivaatta on positiivinen \(f""(x) > 0 \) funktio on kupera alaspäin (kupera).
väli \((1; \infty)\) etsi toisen derivaatan arvo missä tahansa pisteessä \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Käännepisteet.

Tarkastellaan toisen derivaatan etumerkin muutosta, kun kuljemme toisen tyyppisen kriittisen pisteen läpi:
Pisteessä \(x =0\), toinen derivaatta vaihtaa etumerkkiä \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funktion kuvaaja muuttaa konveksiteettia, ts. tämä on käännepiste koordinaattein \((0;0)\).

8. Asymptootit.

Pystyasymptootti. Funktion kaaviossa on yksi pystysuora asymptootti \(x =1\) (katso kappale 2).
Vino asymptootti.
Jotta funktion \(y= \frac(x^3)(1-x) \) kaaviossa \(x \to \infty\) olisi vino asymptootti \(y = kx+b\) , se on välttämätön ja riittävä , joten on olemassa kaksi rajaa $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$löydämme sen $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ja toinen raja $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, koska \(k = \infty\) - ei ole vinoa asymptoottia.

Horisontaalinen asymptootti: vaakasuuntaisen asymptootin olemassaoloon tarvitaan raja $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$. Etsitään se $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Ei ole olemassa horisontaalista asymptoottia.

9. Funktiokaavio.

Tänään kutsumme sinut tutkimaan ja rakentamaan funktion kaaviota kanssamme. Kun olet tutkinut tämän artikkelin huolellisesti, sinun ei tarvitse hikoilla kauan suorittaaksesi tämän tyyppisen tehtävän. Funktion kaavion tutkiminen ja rakentaminen ei ole helppoa, se on mittava työ, joka vaatii maksimaalista huomiota ja laskelmien tarkkuutta. Jotta materiaali olisi helpompi ymmärtää, tutkimme samaa toimintoa vaihe vaiheelta ja selitämme kaikki toimintamme ja laskelmamme. Tervetuloa matematiikan hämmästyttävään ja kiehtovaan maailmaan! Mennä!

Verkkotunnus

Jotta voit tutkia ja piirtää funktiota, sinun on tiedettävä useita määritelmiä. Funktio on yksi matematiikan tärkeimmistä (perus)käsitteistä. Se heijastaa useiden muuttujien (kahden, kolmen tai useamman) välistä riippuvuutta muutosten aikana. Funktio näyttää myös joukkojen riippuvuuden.

Kuvittele, että meillä on kaksi muuttujaa, joilla on tietty vaihteluväli. Joten y on x:n funktio edellyttäen, että jokainen toisen muuttujan arvo vastaa toisen muuttujan yhtä arvoa. Tässä tapauksessa muuttuja y on riippuvainen, ja sitä kutsutaan funktioksi. On tapana sanoa, että muuttujat x ja y ovat in. Tämän riippuvuuden selkeyttämiseksi funktiosta rakennetaan kuvaaja. Mikä on funktion kuvaaja? Tämä on joukko pisteitä koordinaattitasolla, jossa jokainen x-arvo vastaa yhtä y-arvoa. Kaaviot voivat olla erilaisia ​​- suora, hyperbola, paraabeli, siniaalto ja niin edelleen.

On mahdotonta piirtää funktiota ilman tutkimusta. Tänään opimme tekemään tutkimusta ja rakentamaan funktion kaavion. On erittäin tärkeää tehdä muistiinpanoja opiskelun aikana. Tämä tekee tehtävästä paljon helpompi selviytyä. Kätevin tutkimussuunnitelma:

1. Verkkotunnus.
2. Jatkuvuus.
3. Parillinen tai pariton.
4. Jaksoisuus.
5. Asymptootit.
6. Nollat.
7. Merkin pysyvyys.
8. Lisääntyy ja vähenee.
9. Äärimmäisyydet.
10. Kupera ja koveruus.

Aloitetaan ensimmäisestä kohdasta. Etsitään määritelmän alue, eli millä aikaväleillä funktiomme on olemassa: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Meidän tapauksessamme funktio on olemassa kaikille x:n arvoille, eli määritelmäalue on yhtä suuri kuin R. Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti xÎR.

Jatkuvuus

Nyt tarkastelemme epäjatkuvuusfunktiota. Matematiikassa termi "jatkuvuus" ilmestyi liikkeen lakien tutkimuksen tuloksena. Mikä on ääretön? Tila, aika, jotkin riippuvuudet (esimerkki on muuttujien S ja t riippuvuus liikeongelmissa), kuumennetun esineen lämpötila (vesi, paistinpannu, lämpömittari jne.), jatkuva viiva (eli sellainen, joka voidaan piirtää nostamatta sitä kynästä).

Graafia pidetään jatkuvana, jos se ei katkea jossain vaiheessa. Yksi selkeimmistä esimerkeistä tällaisesta kaaviosta on sinimuoto, jonka näet tämän osan kuvassa. Funktio on jatkuva jossain kohdassa x0, jos useat ehdot täyttyvät:

• funktio on määritelty tietyssä pisteessä;
• pisteen oikea ja vasen raja ovat yhtä suuret;
• raja yhtä suuri kuin arvo toimii pisteessä x0.

Jos vähintään yksi ehto ei täyty, funktion sanotaan epäonnistuvan. Ja pisteitä, joissa funktio katkeaa, kutsutaan yleensä taukopisteiksi. Esimerkki funktiosta, joka "katkoutuu" graafisesti esitettynä, on: y=(x+4)/(x-3). Lisäksi y:tä ei ole olemassa pisteessä x = 3 (koska nollalla jakaminen on mahdotonta).

Tutkimassamme funktiossa (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) kaikki osoittautui yksinkertaiseksi, koska graafista tulee jatkuva.

Parillinen, outo

Tutki nyt pariteetin funktiota. Ensin vähän teoriaa. Parillinen funktio on sellainen, joka täyttää ehdon f(-x)=f(x) mille tahansa muuttujan x arvolle (arvoalueelta). Esimerkkejä:

• moduuli x (kaavio näyttää daw:lta, kaavion ensimmäisen ja toisen neljänneksen puolittajalta);
• x neliö (paraabeli);
• kosini x (kosini).

Huomaa, että kaikki nämä kaaviot ovat symmetrisiä, kun niitä tarkastellaan y-akselin (eli y-akselin) suhteen.

Mitä sitten kutsutaan parittomaksi funktioksi? Nämä ovat ne funktiot, jotka täyttävät ehdon: f(-x)=-f(x) mille tahansa muuttujan x arvolle. Esimerkkejä:

• hyperbeli;
• kuutioinen paraabeli;
• sinusoidi;
• tangentti ja niin edelleen.

Huomaa, että nämä funktiot ovat symmetrisiä pisteen (0:0), eli origon suhteen. Artikkelin tässä osassa sanotun perusteella jopa ja outo toiminto täytyy olla ominaisuus: x kuuluu määritelmään ja myös -x.

Tarkastellaan pariteetin funktiota. Näemme, että hän ei sovi yhteenkään kuvauksesta. Siksi funktiomme ei ole parillinen eikä pariton.

Asymptootit

Aloitetaan määritelmästä. Asymptootti on käyrä, joka on mahdollisimman lähellä kuvaajaa, eli etäisyys tietystä pisteestä pyrkii nollaan. Kaikkiaan asymptootteja on kolme tyyppiä:

• pystysuora, eli yhdensuuntainen y-akselin kanssa;
• vaakasuora, eli yhdensuuntainen x-akselin kanssa;
• taipuvainen.

Mitä tulee ensimmäiseen tyyppiin, näitä rivejä tulisi etsiä joistakin kohdista:

• aukko;
• määritelmäalueen päät.

Tässä tapauksessa funktio on jatkuva ja määritelmäalue on yhtä suuri kuin R. Siksi vertikaalisia asymptootteja ei ole.

Funktion kuvaajalla on vaaka-asymptootti, joka täyttää seuraavan vaatimuksen: jos x pyrkii äärettömyyteen tai miinus äärettömyyteen ja raja on yhtä suuri kuin tietty luku (esim. a). Tässä tapauksessa y=a on vaakasuuntainen asymptootti. Opiskelmassamme funktiossa horisontaaliset asymptootit Ei.

Vino asymptootti on olemassa vain, jos kaksi ehtoa täyttyy:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Sitten se voidaan löytää kaavalla: y=kx+b. Jälleen, meidän tapauksessamme ei ole vinoja asymptootteja.

Toimintojen nollia

Seuraava vaihe on tutkia funktion kuvaajaa nollia varten. On myös erittäin tärkeää huomata, että funktion nollien löytämiseen liittyvä tehtävä ei esiinny vain funktion kuvaajaa tutkittaessa ja rakennettaessa, vaan myös itsenäisenä tehtävänä ja epäyhtälöiden ratkaisemisena. Saatat joutua etsimään funktion nollat ​​kaaviosta tai käyttämään matemaattista merkintää.

Näiden arvojen löytäminen auttaa sinua piirtämään funktion tarkemmin. Jos puhumme yksinkertaisella kielellä, niin funktion nolla on muuttujan x arvo, jossa y = 0. Jos etsit funktion nollia kaaviosta, sinun tulee kiinnittää huomiota pisteisiin, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin.

Löytääksesi funktion nollat, sinun on ratkaistava seuraava yhtälö: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Tarvittavien laskelmien suorittamisen jälkeen saamme seuraavan vastauksen:

Merkin pysyvyys

Seuraava funktion (graafin) tutkimuksen ja rakentamisen vaihe on vakiomerkkisten intervallien etsiminen. Tämä tarkoittaa, että meidän on määritettävä, millä aikaväleillä funktio saa positiivisen arvon ja millä aikaväleillä se ottaa negatiivisen arvon. Viimeisessä osiossa löydetyt nollafunktiot auttavat meitä tässä. Joten meidän täytyy rakentaa suora (erillinen kaaviosta) ja jakaa funktion nollat ​​sitä pitkin oikeassa järjestyksessä pienimmästä suurimpaan. Nyt sinun on määritettävä, millä tuloksena olevista intervalleista on "+"-merkki ja missä "-".

Meidän tapauksessamme funktio saa positiivisen arvon aikaväleillä:

• 1 - 4;
• 9:stä äärettömään.

Negatiivinen merkitys:

• miinus äärettömästä 1;
• 4-9.

Tämä on melko helppo määrittää. Korvaa mikä tahansa luku väliltä funktioon ja katso, mikä merkki vastauksessa on (miinus tai plus).

Lisätään ja vähennetään toimintoja

Funktion tutkimiseksi ja rakentamiseksi on tiedettävä, missä kaavio kasvaa (nousee Oy-akselia pitkin) ja minne se putoaa (ryömi alas y-akselia pitkin).

Funktio kasvaa vain, jos muuttujan x suurempi arvo vastaa suurempaa y:n arvoa. Eli x2 on suurempi kuin x1 ja f(x2) on suurempi kuin f(x1). Ja havaitsemme täysin päinvastaisen ilmiön pienenevällä funktiolla (mitä enemmän x, sitä vähemmän y). Kasvu- ja laskuvälin määrittämiseksi sinun on löydettävä seuraavat tiedot:

• määritelmäalue (meillä on jo);
• johdannainen (tässä tapauksessa: 1/3(3x^2-28x+49);
• ratkaise yhtälö 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Laskelmien jälkeen saamme tuloksen:

Saamme: funktio kasvaa aikaväleillä miinus äärettömästä 7/3:aan ja 7:stä äärettömään ja pienenee välillä 7/3 arvoon 7.

Äärimmäisyydet

Tutkittava funktio y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) on jatkuva ja se on olemassa mille tahansa muuttujan x arvolle. Ääripiste näyttää tietyn funktion maksimin ja minimin. Meidän tapauksessamme niitä ei ole, mikä yksinkertaistaa huomattavasti rakennustehtävää. Muuten ne löytyvät myös derivaattafunktiolla. Kun ne on löydetty, älä unohda merkitä niitä kaavioon.

Kuperuus ja koveruus

Jatkamme funktion y(x) tutkimista. Nyt meidän on tarkistettava se kuperuuden ja koveruuden varalta. Näiden käsitteiden määritelmät ovat melko vaikeita ymmärtää, on parempi analysoida kaikkea esimerkkien avulla. Testiä varten: funktio on kupera, jos se on ei-laskeva funktio. Samaa mieltä, tämä on käsittämätöntä!

Meidän on löydettävä toisen asteen funktion derivaatta. Saamme: y=1/3(6x-28). Nyt tasataan oikea puoli nollaan ja ratkaise yhtälö. Vastaus: x=14/3. Löysimme käännepisteen, eli paikan, jossa graafi muuttuu kuperasta koveraksi tai päinvastoin. Välillä miinus äärettömyydestä 14/3 funktio on kupera ja 14/3 plus äärettömään se on kovera. On myös erittäin tärkeää huomata, että kaavion käännekohdan tulee olla sileä ja pehmeä, ei terävät kulmat ei pitäisi olla läsnä.

Lisäpisteiden määrittely

Tehtävämme on tutkia ja rakentaa funktion kuvaaja. Olemme saaneet tutkimuksen päätökseen, funktion kaavion rakentaminen ei ole nyt vaikeaa. Käyrän tai suoran tarkempaa ja yksityiskohtaisempaa toistoa varten koordinaattitasolla löydät useita apupisteitä. Ne on melko helppo laskea. Esimerkiksi otamme x=3, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja löydämme y=4. Tai x=5 ja y=-5 ja niin edelleen. Voit ottaa niin monta lisäpistettä kuin tarvitset rakentamiseen. Niitä löytyy ainakin 3-5.

Kaavion piirtäminen

Meidän piti tutkia funktiota (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Kaikki tarvittavat merkit laskelmien aikana tehtiin koordinaattitasolle. Ainoa mitä on tehtävä, on rakentaa kaavio, eli yhdistää kaikki pisteet. Pisteiden yhdistämisen tulee olla sujuvaa ja tarkkaa, tämä on taitokysymys - vähän harjoittelua ja aikataulusi on täydellinen.