Definicija

poliedar nazvat ćemo zatvorenu plohu sastavljenu od poligona koja omeđuje neki dio prostora.

Segmenti koji su stranice tih poligona nazivaju se rebra poliedar i sami poligoni - lica. Vrhovi poligona nazivaju se vrhovi poliedra.

Razmotrit ćemo samo konveksne poliedre (ovo je poliedar koji se nalazi na jednoj strani svake ravnine koja sadrži njegovu plohu).

Mnogokuti koji čine poliedar čine njegovu plohu. Dio prostora omeđen danim poliedrom naziva se njegova unutrašnjost.

Definicija: prizma

Razmotrimo dva jednaka poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) koji se nalaze u paralelne ravnine tako da se segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) su paralelni. Poliedar sastavljen od poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , kao i paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), naziva se (\(n\)-ugljen) prizma.

Poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) nazivaju se bazama prizme, paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočne strane, segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočna rebra.
Dakle, bočni bridovi prizme su međusobno paralelni i jednaki.

Razmotrimo primjer - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), čija je baza konveksni peterokut.

Visina Prizma je okomica iz bilo koje točke jedne baze na ravninu druge baze.

Ako bočni rubovi nisu okomiti na bazu, tada se takva prizma naziva kosi(Sl. 1), inače - ravno. Za ravnu prizmu, bočni bridovi su visine, i bočna lica su jednaki pravokutnici.

Ako pravilni mnogokut leži na bazi pravilne prizme, tada se prizma naziva ispraviti.

Definicija: pojam volumena

Jedinica volumena je jedinična kocka (kocka dimenzija \(1\times1\times1\) jedinice\(^3\) , gdje je jedinica neka mjerna jedinica).

Možemo reći da je volumen poliedra količina prostora koju taj poliedar ograničava. U suprotnom: to je vrijednost čija numerička vrijednost pokazuje koliko se puta jedinična kocka i njeni dijelovi uklapaju u dati poliedar.

Volumen ima ista svojstva kao površina:

1. Volumeni jednakih likova su jednaki.

2. Ako je poliedar sastavljen od više poliedara koji se ne sijeku, tada njegov volumen jednak je zbroju volumeni ovih poliedara.

3. Volumen je nenegativna vrijednost.

4. Volumen se mjeri u cm\(^3\) (kubičnim centimetrima), m\(^3\) ( Kubični metri) itd.

Teorema

1. Površina bočne površine prizme jednaka je proizvodu opsega baze i visine prizme.
Bočna površina je zbroj površina bočnih stranica prizme.

2. Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine prizme: \

Definicija: kutija

Paralelopiped To je prizma čija je baza paralelogram.

Sve plohe paralelopipeda (njihove \(6\) : \(4\) bočne plohe i \(2\) osnovke) su paralelogrami, a suprotne plohe (međusobno paralelne) jednaki su paralelogrami (slika 2).

Dijagonala kutije je segment koji povezuje dva vrha paralelopipeda koji ne leže na istoj plohi (njihov \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itd.).

kuboidan je pravi paralelopiped s pravokutnikom u osnovi.
Jer je pravi paralelopiped, tada su bočne strane pravokutnici. Dakle, općenito, sva lica pravokutnog paralelopipeda su pravokutnici.

Sve dijagonale kvadra su jednake (to proizlazi iz jednakosti trokuta \(\trokut ACC_1=\trokut AA_1C=\trokut BDD_1=\trokut BB_1D\) itd.).

Komentar

Dakle, paralelopiped ima sva svojstva prizme.

Teorema

Površina bočne površine pravokutnog paralelopipeda jednaka je \

Ukupna površina pravokutnog paralelopipeda je \

Teorema

Volumen kvadra jednak je umnošku triju njegovih bridova koji izlaze iz jednog vrha (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Jer za pravokutni paralelepiped, bočni bridovi su okomiti na osnovicu, onda su to ujedno i njegove visine, odnosno \(h=AA_1=c\) baza je pravokutnik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Odatle dolazi formula.

Teorema

Dijagonala \(d\) kvadra se traži po formuli (gdje su \(a,b,c\) dimenzije kvadra)\

Dokaz

Razmotrite sl. 3. Jer baza je pravokutnik, tada je \(\trokut ABD\) pravokutan, dakle, prema Pitagorinom teoremu \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jer tada su svi bočni bridovi okomiti na baze \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) okomito na bilo koji pravac u ovoj ravnini, tj. \(BB_1\perp BD\) . Dakle, \(\trokut BB_1D\) je pravokutan. Zatim po Pitagorinom teoremu \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd

Definicija: kocka

Kocka je pravokutni paralelopiped čije su sve stranice jednaki kvadrati.

Dakle, tri dimenzije su međusobno jednake: \(a=b=c\) . Dakle, istinito je sljedeće

Teoremi

1. Volumen kocke s bridom \(a\) je \(V_(\tekst(kocka))=a^3\) .

2. Dijagonala kocke se traži formulom \(d=a\sqrt3\) .

3. Ukupna površina kocke \(S_(\text(full.circumcube))=6a^2\).

Paralelogram na grčkom znači ravnina. Paralelepiped je prizma čija je baza paralelogram. Postoji pet vrsta paralelograma: kosi, ravni i pravokutni paralelopiped. Kocka i romboedar također pripadaju paralelopipedu i njegova su varijanta.

Prije nego što prijeđemo na osnovne pojmove, dajmo neke definicije:

Dijagonala paralelopipeda je segment koji spaja vrhove paralelopipeda koji su jedan nasuprot drugom.
Ako dvije plohe imaju zajednički brid, onda ih možemo nazvati susjednim bridovima. Ako nema zajedničkog brida, tada se lica nazivaju suprotnim.
Dva vrha koji ne leže na istoj plohi nazivaju se suprotnim.

Koja su svojstva paralelopipeda?

Lica paralelopipeda koji leže na suprotnim stranama međusobno su paralelna i jednaka.
Ako nacrtate dijagonale od jednog vrha do drugog, tada će ih sjecište tih dijagonala podijeliti na pola.
Stranice paralelopipeda koje leže pod istim kutom u odnosu na bazu bit će jednake. Drugim riječima, kutovi kodirekcijskih stranica bit će međusobno jednaki.

Koje su vrste paralelopipeda?

Sada shvatimo što su paralelepipedi. Kao što je gore spomenuto, postoji nekoliko vrsta ove figure: ravni, pravokutni, kosi paralelopiped, kao i kocka i romboedar. Po čemu se međusobno razlikuju? Sve je u ravninama koje ih tvore i kutovima koje tvore.

Pogledajmo pobliže svaku od navedenih vrsta paralelopipeda.

Kao što ime sugerira, nagnuta kutija ima nagnute strane, odnosno one koje nisu pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na bazu.
Ali za pravi paralelopiped, kut između baze i lica je samo devedeset stupnjeva. Iz tog razloga ova vrsta paralelepipeda ima takav naziv.
Ako su sva lica paralelopipeda isti kvadrati, tada se ova figura može smatrati kockom.
Pravokutni paralelopiped je dobio ime zbog ravnina koje ga tvore. Ako su svi pravokutnici (uključujući bazu), onda je to kvadar. Ova vrsta paralelopipeda nije tako česta. Na grčkom, romboedar znači lice ili baza. Ovo je naziv trodimenzionalne figure, u kojoj su lica rombovi.

Osnovne formule za paralelopiped

Volumen paralelopipeda jednak je umnošku površine baze i njegove visine okomite na bazu.

Površina bočne površine bit će jednaka proizvodu perimetra baze i visine.
Poznavajući osnovne definicije i formule, možete izračunati osnovnu površinu i volumen. Možete odabrati bazu po želji. Međutim, u pravilu se kao osnova koristi pravokutnik.

Prizma i paralelopiped

Svojstva kutije

Za paralelepiped:

1) suprotna lica su jednaka i paralelna;

2) sve četiri dijagonale sijeku se u jednoj točki iu njoj se dijele popola.

Dokaz:

1) Promotrimo neke dvije suprotne strane paralelopipeda, na primjer, i (slika 5).

Kako su sve plohe paralelopipeda paralelogrami, pravac AD je paralelan s pravcem BC, a pravac je paralelan s pravcem. Iz ovoga slijedi da su ravnine razmatranih lica paralelne.

Iz činjenice da su stranice paralelopipeda paralelogrami, slijedi da su AB, CD i paralelni i jednaki. Iz ovoga zaključujemo da je lice spojeno paralelnim prevođenjem duž ruba AB s licem. Stoga su ovi rubovi jednaki.

2) Uzmite dvije dijagonale paralelopipeda (slika 5), na primjer, i, i povucite dodatne linije i. AB i redom su jednaki i paralelni s bridom DC, dakle međusobno su jednaki i paralelni; kao rezultat toga, lik je paralelogram u kojem su ravne linije i dijagonale, au paralelogramu su dijagonale podijeljene na pola u točki sjecišta. Slično, možemo dokazati da se druge dvije dijagonale sijeku u jednoj točki i dijele tu točku na pola. Sjecište svakog para dijagonala nalazi se u središtu dijagonale. Dakle, sve četiri dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki O i raspolavljaju tu točku. Dakle, točka sjecišta dijagonala paralelopipeda je njegov centar simetrije.

Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Dokaz:

To proizlazi iz prostornog Pitagorinog teorema. Ako je dijagonala pravokutnog paralelopipeda, onda su njegove projekcije na tri u paru okomita pravca (sl. 6). Stoga, .

Napomena: u kvadru su sve dijagonale jednake.

Binomni koeficijenti

Cnk brojevi imaju niz izvanrednih svojstava. Ova svojstva u konačnici izražavaju različite odnose između podskupova danog skupa X. Mogu se dokazati izravno iz formule (1)...

Binomni koeficijenti

1. Zbroj koeficijenata ekspanzije (a + b)n je 2n. Da bismo to dokazali, dovoljno je staviti a = b = 1. Tada ćemo na desnoj strani binomnog proširenja imati zbroj binomnih koeficijenata, a na lijevoj: (1 + 1)n = 2n. 2.Koeficijenti članova...

Vrste poliedara

Bočna površina (ili jednostavno bočna površina) prizme (paralelepipeda) je zbroj površina svih njezinih bočnih strana ...

Multivarijantni Fibonaccijevi nizovi

Izgradimo niz i nazovimo ga trodimenzionalni Fibonaccijev niz. Ovaj niz će se sastojati od skupova M1, M2, ... i tako dalje. Skup M1 sastoji se od samo jedne aditivne trojke (2,1,1)...

Multiplikativne polugrupe nenegativnih realnih brojeva

Neka je S komutativna multiplikativna nesvodljiva polugrupa s 1 i bez jediničnih djelitelja. Takve se polugrupe nazivaju cjelobrojne ili koničke. Za elemente i iz S kaže se da su međusobno prosti ako je gcd(,)=1...

Neeuklidska geometrija

Razmotrimo neka svojstva, koncepte i činjenice koje vrijede u geometriji Lobačevskog. U ovom slučaju razmatrao sam svojstva temeljena na Klein modelu. Većina njih će biti izvedena na drugim modelima neeuklidske geometrije...

Nekoliko sjajnih oblina

Normala Pascalovog puža u njegovoj točki M (slika 7) prolazi točkom N glavne kružnice K, dijametralno suprotno od točke P u kojoj se OM siječe s glavnom kružnicom...

Determinante i njihova primjena u algebri i geometriji

Determinanta ima niz svojstava: 1) Determinanta se ne mijenja kada se matrice (retci i stupci) transportiraju. 2) Ako se jedan od stupaca (redova) sastoji od nula, tada je determinanta nula ...

Transformacije koje povećavaju red ravninskih algebarskih krivulja

Smatrati najjednostavniji način formiranje cisoide - krivulje koju su otkrili stari u potrazi za rješenjem poznatog problema udvostručenja kocke. Uzmite krug (koji se naziva generirajući) s promjerom i tangentom na njega...

Prizma i paralelopiped

Ako je baza prizme paralelogram, onda se ona naziva paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami. Slika 3 prikazuje kosi okvir, a slika 4 pravi okvir. Lica paralelepipeda...

Podjela prirodnih nizova

U ovom odjeljku ćemo govoriti o problemima posvećenim dijeljenju prirodnih nizova u nizove io teoremu koji ih dokazuje ...

Ekstremni problem kod indeksiranja klasa

Trebaju nam dvije činjenice iz . 1. Za bilo koji postoji jedinstveni FR. 2. Ako, tada je skup jednoelementan. Ako, tada postoje kontinuirane obitelji s jednim parametrom (tj. za i (simbol označava slabu konvergenciju)) i DF-ovi kao što su...

U ovoj lekciji svatko će moći proučavati temu "Pravokutna kutija". Na početku lekcije ponovit ćemo što su proizvoljni i ravni paralelopiped, prisjetiti se svojstava njihovih suprotnih stranica i dijagonala paralelopipeda. Zatim ćemo razmotriti što je kvadar i razgovarati o njegovim glavnim svojstvima.

Tema: Okomitost pravca i ravnine

Lekcija: Kvadar

Ploha sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelopiped(Sl. 1).

Riža. 1 paralelopiped

Odnosno: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), leže u paralelnim ravninama tako da su bočni bridovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se ploha sastavljena od paralelograma naziva paralelopiped.

Dakle, površina paralelopipeda je zbroj svih paralelograma koji čine paralelopiped.

1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.

(figure su jednake, odnosno mogu se spajati preklapanjem)

Na primjer:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (jer su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotna lica paralelopipeda),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (budući da su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelopipeda).

2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i tu točku raspolavljaju.

Dijagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sijeku se u jednoj točki O, a svaka se dijagonala tom točkom dijeli na pola (slika 2).

Riža. 2 Dijagonale paralelopipeda sijeku i raspolavljaju sjecište.

3. Tri su četvorke jednakih i paralelnih bridova paralelopipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su mu bočni bridovi okomiti na baze.

Neka bočni brid AA 1 bude okomit na podnožje (sl. 3). To znači da je pravac AA 1 okomit na pravce AD i AB koji leže u ravnini baze. I, prema tome, pravokutnici leže u bočnim stranama. A baze su proizvoljni paralelogrami. Označimo, ∠BAD = φ, kut φ može biti bilo koji.

Riža. 3 Desna kutija

Dakle, prava kutija je kutija u kojoj su bočni rubovi okomiti na osnovice kutije.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravokutnik, ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovicu. Osnove su pravokutnici.

Paralelepiped AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 je pravokutan (slika 4) ako je:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočni brid je okomit na ravninu baze, odnosno ravni paralelopiped).

2. ∠BAD = 90°, tj. baza je pravokutnik.

Riža. 4 Kuboid

Pravokutni okvir ima sva svojstva proizvoljnog okvira. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.

Tako, kuboidan je paralelopiped čiji su bočni rubovi okomiti na osnovicu. Osnovica kvadra je pravokutnik.

1. U kvadru su svih šest stranica pravokutnici.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su po definiciji pravokutnici.

2. Bočna rebra okomito na bazu. To znači da su sve bočne strane kvadra pravokutnici.

3. svi diedralni kutovi pravokutni paralelopiped ravne linije.

Promotrimo, na primjer, diedarski kut pravokutnog paralelopipeda s bridom AB, tj. diedarski kut između ravnina ABB 1 i ABC.

AB je brid, točka A 1 leži u jednoj ravnini - u ravnini ABB 1, a točka D u drugoj - u ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski kut može označiti i ovako: ∠A 1 AVD.

Uzmite točku A na rubu AB. AA 1 je okomit na brid AB u ravnini ABB-1, AD je okomit na brid AB u ravnini ABC. Dakle, ∠A 1 AD je linearni kut danog diedralnog kuta. ∠A 1 AD \u003d 90 °, što znači da je diedarski kut na rubu AB 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Slično se dokazuje da su svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda pravi.

Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Bilješka. Duljine triju bridova koji izlaze iz istog vrha kvadra mjere su kvadra. Ponekad se nazivaju duljina, širina, visina.

Zadano je: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni paralelopiped (sl. 5).

Dokaži: .

Riža. 5 Kuboid

Dokaz:

Pravac CC 1 okomit je na ravninu ABC, a time i na pravac AC. Dakle, trokut CC 1 A je pravokutni trokut. Prema Pitagorinoj teoremi:

Smatrati pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:

Ali prije Krista i AD - suprotne strane pravokutnik. Dakle, BC = AD. Zatim:

Jer , A , To. Budući da je CC 1 = AA 1, ono što je trebalo dokazati.

Dijagonale pravokutnog paralelopipeda su jednake.

Označimo dimenzije paralelopipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada je AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =