1. Najmanji broj Tetraedar ima 6 bridova.

2. Prizma ima n ploha. Koji poligon leži u njegovoj bazi?

(n - 2) - kvadrat.

3. Je li prizma ravna ako su joj dvije susjedne bočne plohe okomite na ravninu baze?

Da je.

4. U kojoj prizmi su bočni bridovi paralelni s njezinom visinom?

U ravnoj prizmi.

5. Je li prizma pravilna ako su joj svi bridovi međusobno jednaki?

Ne, možda nije izravno.

6. Može li visina jedne od bočnih ploha nagnute prizme biti i visina prizme?

Da, ako je ovo lice okomito na bazu.

7. Postoji li prizma kod koje je: a) bočni brid okomit samo na jedan brid baze; b) samo je jedna bočna ploha okomita na osnovicu?

a) da. b) ne.

8. Pravilna trokutasta prizma podijeljena je na dvije prizme ravninom koja prolazi središnjicama baza. Koliki je omjer bočnih površina tih prizmi?

Prema teoremu 27 nalazimo da su bočne plohe u omjeru 5:3

9. Hoće li piramida biti pravilna ako su joj bočne strane pravilni trokuti?

10. Koliko stranica okomitih na ravninu baze može imati piramida?

11. Postoji li četverokutna piramida čije su nasuprotne stranice okomite na bazu?

Ne, inače bi vrhom piramide prolazile najmanje dvije ravne crte, okomite na baze.

12. Mogu li sva lica trokutaste piramide biti pravokutni trokuti?

Da (Slika 183).

Videotečaj “Get an A” uključuje sve teme koje trebate uspješan završetak Jedinstveni državni ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složeni pojmovi. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos područja bočnih lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine osnovnih bridova, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih bridova. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Problem (22) . U nagnutoj prizmi provodi se odjeljak, okomito na bočna rebra i sijeku sva bočna rebra. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka jednak p, a bočni bridovi jednaki l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju, kombinirajući baze prizme. U tom slučaju dobivamo ravnu prizmu čija je baza presjek izvorne prizme, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna ploha izvorne prizme jednaka je pl.

Sažetak obrađene teme

Pokušajmo sada sažeti temu koju smo obradili o prizmama i prisjetimo se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, prizma ima sve svoje baze kao jednake poligone;
Drugo, prizma ima sve svoje bočna lica su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni ili nagnuti.

Koja se prizma naziva ravnom prizmom?

Ako je bočni rub prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom.

Ne bi bilo suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Koja se vrsta prizme naziva kosom?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je to nagnuta prizma.

Koja se prizma naziva ispravnom?

Ako pravilni mnogokut leži u podnožju ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Prisjetimo se sada koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one će uvijek biti jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedite veličine bočnih rebara, tada su u pravilnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, ispravna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako u pravilnoj prizmi bočne strane imaju oblik kvadrata, tada se takva figura obično naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

Pokušajmo sada rješavanjem zadataka učvrstiti naučeno.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu čiji će razmak bridova biti jednak: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna ploha te prizme bit će jednaka 60 cm2. Imajući ove parametre, pronađite bočni rub ove prizme.

Znate li da nas geometrijske figure neprestano okružuju ne samo na nastavi geometrije, već iu Svakidašnjica Postoje objekti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svaki dom, škola ili posao ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući središnjom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Tijelo predstavlja dio prostora ograničen određenom površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksnim ako se nalazi s jedne strane ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i plohe poliedra naziva se rub. Stranice konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica nazivaju se bridovi poliedra, a vrhovi su vrhovi poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata, koji su njezina lica. Sadrži 12 bridova (stranice kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelne ravnine kombinirani paralelnom translacijom, i svi segmenti koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočni rubovi prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljik, ako njegova baza sadrži n-kut.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva koja proizlaze iz činjenice da su baze prizme kombinirane paralelnim prevođenjem:

1. Osnovice prizme su jednake.

2. Bočni bridovi prizme su paralelni i jednaki.

Ploha prizme sastoji se od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (to proizlazi iz svojstava prizme). Područje bočne površine prizme je zbroj površina bočnih stranica.

Ravna prizma

Prizma se zove ravno, ako su njegovi bočni rubovi okomiti na baze. Inače se prizma zove sklona.

Lice pravilne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je njezinim bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbroj bočne površine i površina baza.

S pravom prizmom zove se prava prizma s pravilnim poligonom u osnovi.

Teorem 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega i visine prizme (ili, što je isto, bočnom rubu).

Dokaz. Bočne plohe prave prizme su pravokutnici čije su osnovice stranice mnogokuta na osnovicama prizme, a visine su bočni bridovi prizme. Tada je, prema definiciji, bočna površina:

,

gdje je opseg baze ravne prizme.

Paralelopiped

Ako paralelogrami leže na osnovicama prizme, tada se ona zove paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne stranice paralelopipeda su paralelne i jednake.

Teorem 13.2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelopipeda su paralelogrami, tada i , što znači prema To postoje dvije ravne linije paralelne s trećom. Osim toga, to znači da prave i leže u istoj ravnini (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih pravaca i . Dakle, četverokut je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale sijeku i sjecištem ih dijeli popola, što je i trebalo dokazati.

Pravi paralelopiped čija je baza pravokutnik naziva se pravokutni paralelopiped. Sva lica pravokutnog paralelopipeda su pravokutnici. Duljine neparalelnih bridova pravokutnog paralelopipeda nazivamo njegovim linearnim dimenzijama (mjerama). Postoje tri takve veličine (širina, visina, duljina).

Teorem 13.3. U pravokutnom paralelopipedu, kvadrat bilo koje dijagonale jednak zbroju kvadrati svoje tri dimenzije (dokazano dva puta primjenom Pitagorinog T).

Naziva se pravokutni paralelopiped kojem su svi bridovi jednaki kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima? n- karbonska prizma

13.2 U kosoj trokutastoj prizmi razmaci između bočnih bridova su 37, 13 i 40. Odredite razmak između većeg bočnog brida i suprotnog bočnog brida.

13.3Kroz stranu donje baze ispravnog trokutasta prizma nacrtana je ravnina koja siječe bočne plohe duž odsječaka, čiji je kut . Odredite kut nagiba te ravnine prema osnovici prizme.

Definicija. Prizma je poliedar, čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravnine, au te iste dvije ravnine leže dvije plohe prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, a svi bridovi koji ne leže u tim ravninama su paralelni.

Dva jednaka lica nazivaju se baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Sve bočne strane čine bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Bridovi koji ne leže na bazama nazivaju se bočnim bridovima prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme je segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na istoj plohi (AD 1).

Duljina isječka koji povezuje osnovice prizme i okomita na obje osnovice u isto vrijeme naziva se visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu obilaska, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog brida označeni su istim slovima, označeni su samo vrhovi koji leže u jednoj bazi slovima bez indeksa, au drugom - s indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem kutova u liku koji leži u njezinoj osnovi, na primjer, na slici 1 nalazi se peterokut u bazi, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali zbog takva prizma ima 7 lica, onda ga heptaedar(2 lica - baze prizme, 5 lica - paralelogrami, - njegove bočne strane)

Među ravnim prizmama ističe se posebna vrsta: pravilne prizme.

Ravna prizma naziva se točno, ako su mu osnovice pravilni mnogokuti.

Pravilna prizma ima sve bočne stranice jednake pravokutnike. Poseban slučaj prizme je paralelopiped.

Paralelopiped

Paralelopiped je četverokutna prizma u čijoj osnovi leži paralelogram (nagnuti paralelopiped). Pravi paralelopiped- paralelopiped čiji su bočni rubovi okomiti na ravnine baze.

Pravokutni paralelopiped- pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik.

Svojstva i teoremi:

Neka svojstva paralelopipeda slična su poznatim svojstvima paralelograma. Pravokutni paralelopiped jednakih dimenzija naziva se kocka .Sve plohe kocke su jednaki kvadrati.Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata njezine tri dimenzije.

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.

Ideju prizme daje:

• razne arhitektonske građevine;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Površina ukupne i bočne površine prizme

Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njegovih lica Bočna površina naziva se zbroj površina njegovih bočnih strana. Osnovice prizme su jednaki mnogokuti, tada su im površine jednake. Zato

S puni = S bočni + 2S glavni,

Gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S baza- osnovna površina

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme..

S strana= P osnovni * h,

Gdje S strana- površina bočne površine ravne prizme,

P main - opseg baze ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnom rubu.

Volumen prizme

Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.