Koje leže u istoj ravnini i podudaraju se ili se ne sijeku. U nekim školskim definicijama pravci koji se podudaraju ne smatraju se paralelnima; takva se definicija ovdje ne razmatra.

Svojstva

1. Paralelizam je binarni odnos ekvivalencije, dakle, dijeli cijeli skup linija u klase linija koje su međusobno paralelne.
2. Kroz bilo koju zadanu točku može proći točno jedan pravac paralelan s zadanom. Ovo je posebno svojstvo euklidske geometrije, u drugim geometrijama broj 1 zamijenjen je drugim (u geometriji Lobačevskog postoje najmanje dvije takve linije)
3. 2 paralelna pravca u prostoru leže u istoj ravnini.
4. Kada se dva paralelna pravca sijeku, poziva se treći pravac sječna:
   1. Sekans mora sijeći oba pravca.
   2. Prilikom križanja nastaje 8 uglova od kojih neki karakteristični parovi imaju posebna imena i svojstva:
      1. Križ leži kutovi su jednaki.
      2. Dotični kutovi su jednaki.
      3. Jednostrano kutovi zbroje do 180°.

U geometriji Lobačevskog

U geometriji Lobačevskog u ravnini kroz točku Nije moguće raščlaniti izraz (leksička pogreška): Cizvan ove linije $AB$

Postoji beskonačan broj ravnih linija koje se ne sijeku AB. Od ovih, paralelno s AB samo su dva imenovana.

Ravno CE naziva se jednakokračan (paralelan) pravac AB u smjeru od A Do B, ako:

1. bodova B I E ležati s jedne strane ravne linije AC ;
2. ravno CE ne prelazi granicu AB, ali svaka zraka koja prolazi unutar kuta ACE, prelazi gredu AB .

Slično, ravna linija, jednakokračna AB u smjeru od B Do A .

Svi ostali pravci koji ne sijeku zadani nazivaju se ultraparalelan ili odvojit.

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

• Prekrižene linije
• Nesterihin, Jurij Efremovič

Pogledajte što su "paralelne linije" u drugim rječnicima:

PARALELNE LINIJE- PARALELNE PRAVE, prave koje se ne sijeku i leže u istoj ravnini... Moderna enciklopedija

PARALELNE LINIJE Veliki enciklopedijski rječnik

Paralelne linije- PARALELNI PRAVCI, pravci koji se ne sijeku i leže u istoj ravnini. … Ilustrirani enciklopedijski rječnik

Paralelne linije- u euklidskoj geometriji, pravci koji leže u istoj ravnini i ne sijeku se. U apsolutnoj geometriji (vidi Apsolutna geometrija) kroz točku koja ne leži na danom pravcu prolazi barem jedan pravac koji ne siječe dani pravac. U…… Velika sovjetska enciklopedija

paralelne linije su pravci koji se ne sijeku i leže u istoj ravnini. * * * PARALELNI PRAVCI PARALELNI PRAVCI, pravci koji se ne sijeku leže u istoj ravnini ... enciklopedijski rječnik

PARALELNE LINIJE- u euklidskoj geometriji, pravci koji leže u istoj ravnini i ne sijeku se. U apsolutnoj geometriji, kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi barem jedan pravac koji ne siječe zadani pravac. U euklidskoj geometriji postoji samo jedan ... ... Matematička enciklopedija

PARALELNE LINIJE prave koje se ne sijeku i leže u istoj ravnini... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Paralelni svjetovi u fantaziji- Ovaj članak može sadržavati izvorno istraživanje. Dodajte poveznice na izvore, inače bi moglo biti stavljeno na brisanje. Više informacija može biti na stranici za razgovor. Ovo je ... Wikipedia

Paralelni svjetovi - Paralelni svijet(u fikciji) stvarnost koja nekako postoji istodobno s našom, ali neovisno o njoj. Ova samostalna stvarnost može varirati u veličini od malog geografskog područja do cijelog svemira. Paralelno ... Wikipedia

Paralelno- pravci Ravni se nazivaju ravni ako se ni oni ni njihovi produžeci međusobno ne sijeku. Vijesti jedne od ovih ravnih linija su na istoj udaljenosti od druge. Međutim, uobičajeno je reći da se dvije ravne linije sijeku u beskonačnosti. Takav…… Enciklopedija Brockhausa i Efrona

knjige

• Set stolova. Matematika. 6. razred. 12 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Brošura sa smjernice za učitelja. Edukativni album od 12 listova. Djeljivost…

Uputa

Prije početka dokaza provjerite leže li pravci u istoj ravnini i mogu li se na njoj povući. Najviše na jednostavan način dokaz je metoda mjerenja ravnalom. Da biste to učinili, pomoću ravnala izmjerite udaljenost između ravnih linija na nekoliko mjesta što je moguće udaljenije. Ako udaljenost ostane ista, dani pravci su paralelni. Ali ova metoda nije dovoljno precizna, pa je bolje koristiti druge metode.

Nacrtajte treću liniju tako da siječe obje paralelne linije. S njima tvori četiri vanjska i četiri unutarnja kuta. Razmislite o unutarnjim kutovima. Oni koji leže kroz sekansu nazivaju se križno ležeći. Oni koji leže na jednoj strani nazivaju se jednostrani. Pomoću kutomjera izmjerite dva unutarnja dijagonalna kuta. Ako su jednaki, tada će linije biti paralelne. Ako ste u nedoumici, izmjerite jednostrane unutarnje kutove i zbrojite dobivene vrijednosti. Pravci će biti paralelni ako je zbroj jednakostraničkih unutarnjih kutova jednak 180º.

Ako nemate kutomjer, upotrijebite kvadrat od 90º. Pomoću njega konstruirajte okomicu na jednu od linija. Nakon toga nastavite ovu okomicu na način da siječe drugu liniju. Istim kvadratom provjerite pod kojim ga kutom ova okomica siječe. Ako je i ovaj kut jednak 90º, tada su linije paralelne jedna s drugom.

U slučaju da su pravci zadani u Kartezijevom koordinatnom sustavu, pronađite njihove vodilice ili normalne vektore. Ako su ti vektori kolinearni jedan s drugim, tada su pravci paralelni. Dovedite jednadžbu pravaca u opći oblik i pronađite koordinate vektora normale svakog od pravaca. Njegove koordinate jednake su koeficijentima A i B. U slučaju da je omjer odgovarajućih koordinata normalnih vektora isti, oni su kolinearni, a pravci paralelni.

Na primjer, ravne linije su dane jednadžbama 4x-2y+1=0 i x/1=(y-4)/2. Prva jednadžba je opći pogled, drugi je kanonski. Drugu jednadžbu dovedite u opći oblik. Upotrijebite pravilo pretvorbe proporcija za ovo i dobit ćete 2x=y-4. Nakon redukcije na opći oblik, dobiti 2x-y + 4 = 0. Kako je opća jednadžba za bilo koji pravac napisana Ax+By+C=0, onda je za prvi pravac: A=4, B=2, a za drugi pravac A=2, B=1. Za prvu direktnu koordinatu vektora normale (4;2), a za drugu - (2;1). Odredite omjer odgovarajućih koordinata vektora normale 4/2=2 i 2/1=2. Ovi brojevi su jednaki, što znači da su vektori kolinearni. Budući da su vektori kolinearni, pravci su paralelni.

POGLAVLJE III.
PARALELNE LINIJE

§ 35. ZNAKOVI USPOREDNOSTI DVIJE IZRAVNE CRTE.

Teorem da su dvije okomice na jedan pravac paralelne (§ 33) daje znak da su dva pravca paralelna. Možete povući više zajedničke značajke paralelnost dviju linija.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca s trećim unutarnji kutovi koji leže poprijeko jednaki, tada su ti pravci paralelni.

Neka pravci AB i CD sijeku pravac EF i / 1 = / 2. Uzmite točku O - sredinu segmenta KL sekante EF (slika 189).

Spustimo okomicu OM iz točke O na pravac AB i nastavimo je dok ne presječe pravac CD, AB_|_MN. Dokažimo da je CD_|_MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi su trokuti međusobno jednaki. Doista: / 1 = / 2 prema uvjetu teorema; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK kako okomiti kutovi. Dakle, stranica i dva kuta uz nju jednog trokuta jednaki su stranici i dva kuta uz nju drugog trokuta; stoga, /\ MOL = /\ NOK, i stoga
/ LMO = / no ali / LMO je izravan, dakle, i / KNO je također izravan. Dakle, pravci AB i CD okomiti su na isti pravac MN, dakle paralelni su (§ 33), što je trebalo dokazati.

Bilješka. Sjecište pravaca MO i CD može se ustanoviti zakretanjem trokuta MOL oko točke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Pogledajmo jesu li pravci AB i CD paralelni ako su im u sjecištu trećeg pravca EF pripadni kutovi jednaki.

Neka su, na primjer, neki odgovarajući kutovi jednaki / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, jer su kutovi okomiti; Sredstva, / 2 će biti jednako / 1. Ali kutovi 2 i 1 su unutarnji poprečni kutovi, a već znamo da ako su u sjecištu dviju ravnih crta s trećom unutarnji poprečno ležeći kutovi jednaki, onda su ti pravci paralelni. Prema tome, AB || CD.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca trećeg odgovarajući kutovi jednaki, tada su ta dva pravca paralelna.

Na tom se svojstvu temelji konstrukcija paralelnih pravaca uz pomoć ravnala i crtaćeg trokuta. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trokut na ravnalo kao što je prikazano na crtežu 191. Pomaknut ćemo trokut tako da mu jedna stranica klizi po ravnalu i povući nekoliko ravnih linija duž bilo koje druge stranice trokuta. Ove će linije biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Znajmo da je u sjecištu dvaju pravaca AB i CD s trećim pravcem zbroj svih unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2. d(ili 180°). Hoće li u tom slučaju pravci AB i CD biti paralelni (slika 192).

Neka / 1 i / 2 unutarnja jednostrana kuta i zbrojite do 2 d.
Ali / 3 + / 2 = 2d kao susjedni uglovi. Stoga, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odavde / 1 = / 3, a ovi uglovi iznutra leže poprečno. Prema tome, AB || CD.

Ako je u sjecištu dvaju pravaca s trećim zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2 d, tada su dvije crte paralelne.

Vježbajte.

Dokaži da su pravci paralelni:
a) ako su vanjski poprečni kutovi jednaki (slika 193);
b) ako je zbroj vanjskih jednostranih kutova 2 d(vrag 194).

Paralelnost dvaju pravaca može se dokazati na temelju teorema prema kojem će dvije okomice povučene na jedan pravac biti paralelne. Postoje određeni znakovi paralelnih linija - ima ih tri, a mi ćemo ih sve detaljnije razmotriti.

Prvi znak paralelizma

Pravci su paralelni ako su u sjecištu njihovog trećeg pravca formirani unutarnji kutovi koji leže poprijeko jednaki.

Pretpostavimo da su u sjecištu pravaca AB i CD s pravcem EF nastali kutovi /1 i /2. One su jednake jer pravac EF teče pod istim nagibom u odnosu na druge dvije pravce. Na sjecištu linija stavljamo točke Ki L - imamo segment sekante EF. Nađemo njegovu sredinu i stavimo točku O (slika 189).

Na pravac AB spustimo okomicu iz točke O. Nazovimo je OM. Nastavljamo okomicu dok se ne siječe s pravcem CD. Kao rezultat, izvorni pravac AB je strogo okomit na MN, što znači da je CD _ | _ MN, ali ova tvrdnja zahtijeva dokaz. Kao rezultat crtanja okomice i crte sjecišta, formirali smo dva trokuta. Jedan od njih je MOJ, drugi je NOK. Razmotrimo ih detaljnije. znakovi paralelnih pravaca 7. razred

Ti su trokuti jednaki jer je prema uvjetima teorema /1 = /2, a prema konstrukciji trokuta stranica OK = stranica OL. Kut MOL =/NOK budući da su to okomiti kutovi. Iz ovoga slijedi da su stranica i dva kuta uz nju jednog od trokuta jednaki stranici i dva kuta uz nju drugog trokuta. Dakle, trokut MOL \u003d trokut NOK, a time i kut LMO \u003d kut KNO, ali znamo da je / LMO pravi, što znači da je i odgovarajući kut KNO prav. Odnosno, uspjeli smo dokazati da su i pravac AB i pravac CD okomiti na pravac MN. Odnosno, AB i CD su međusobno paralelni. To je ono što smo trebali dokazati. Razmotrimo preostale znakove paralelnih pravaca (razred 7), koji se razlikuju od prvog znaka u načinu dokaza.

Drugi znak paralelizma

Prema drugom znaku paralelnosti pravaca trebamo dokazati da će kutovi dobiveni u procesu presjeka paralelnih pravaca AB i CD s pravcem EF biti jednaki. Dakle, znakovi paralelnosti dviju linija, i prve i druge, temelje se na jednakosti kutova koji se dobiju kada ih križa treći pravac. Pretpostavimo da je /3 = /2, a kut 1 = /3, jer je okomit na njega. Dakle, i /2 će biti jednak kutu 1, međutim, treba uzeti u obzir da su i kut 1 i kut 2 unutarnji, poprečni kutovi. Dakle, ostaje nam da primijenimo svoje znanje, naime, da će dva segmenta biti paralelna ako će u njihovom sjecištu s trećim pravcem formirani unakrsni kutovi biti jednaki. Tako smo saznali da je AB || CD.

Uspjeli smo dokazati da je pod uvjetom da su dvije okomice paralelne s jednom ravnom crtom, prema odgovarajućem teoremu, predznak paralelnosti pravaca očit.

Treći znak paralelizma

Postoji i treći kriterij paralelnosti, koji se dokazuje pomoću zbroja jednakostraničkih unutarnjih kutova. Takav dokaz znaka paralelnosti pravaca omogućuje nam da zaključimo da će dva pravca biti paralelna ako će, kada se sijeku s trećim pravcem, zbroj dobivenih jednostranih unutarnjih kutova biti jednak 2d. Vidi sliku 192.

U ovom ćemo članku govoriti o paralelnim linijama, dati definicije, označiti znakove i uvjete paralelizma. Radi preglednosti teorijskog gradiva koristit ćemo se ilustracijama i rješavanjem tipičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Paralelni pravci u ravnini su dvije ravne crte u ravnini koje nemaju zajedničke točke.

Definicija 2

Paralelne linije u 3D prostoru- dvije ravne crte u trodimenzionalnom prostoru koje leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Treba napomenuti da je za određivanje paralelnih pravaca u prostoru iznimno važno pojašnjenje “leže u istoj ravnini”: dva pravca u trodimenzionalnom prostoru koji nemaju zajedničkih točaka i ne leže u istoj ravnini nisu paralelni, ali se sijeku.

Za označavanje paralelnih pravaca uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su dani pravci a i b paralelni, ovaj uvjet treba ukratko napisati na sljedeći način: a ‖ b . Usmeno se paralelnost pravaca označava na sljedeći način: pravci a i b su paralelni, ili je pravac a paralelan s pravcem b, ili je pravac b paralelan s pravcem a.

Formulirajmo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.

Aksiom

Kroz točku koja ne pripada zadanom pravcu vodi samo jedan pravac paralelan zadanom pravcu. Ova se tvrdnja ne može dokazati na temelju poznatih aksioma planimetrije.

U slučaju kada pričamo o prostoru, teorem je istinit:

Teorem 1

Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne pripada zadanom pravcu proći će samo jedan pravac paralelan zadanom.

Ovaj je teorem lako dokazati na temelju gornjeg aksioma (program geometrije za 10.-11. razred).

Predznak paralelnosti je dovoljan uvjet pod kojim je zajamčena paralelnost pravaca. Drugim riječima, ispunjenje ovog uvjeta dovoljno je za potvrdu činjenice paralelizma.

Konkretno, postoje potrebni i dovoljni uvjeti za paralelnost pravaca u ravnini i prostoru. Objasnimo: nužan je uvjet čije je ispunjenje potrebno za paralelne pravce; ako nije zadovoljen, linije nisu paralelne.

Ukratko, nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca je takav uvjet čije je poštivanje potrebno i dovoljno da pravci budu međusobno paralelni. S jedne strane, ovo je znak paralelizma, s druge strane, svojstvo svojstveno paralelnim linijama.

Prije nego što precizno formuliramo potrebne i dovoljne uvjete, podsjetit ćemo se na još nekoliko dodatnih pojmova.

Definicija 3

sječna linija je pravac koji siječe svaki od dva zadana pravca koji se ne podudaraju.

Presijecajući dvije ravne crte, sekanta tvori osam neraširenih kutova. Da bismo formulirali potreban i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste kutova kao što su križni, odgovarajući i jednostrani. Pokažimo ih na ilustraciji:

Teorem 2

Ako dva pravca u ravnini sijeku sekantu, tada je da bi zadani pravci bili paralelni potrebno i dovoljno da unakrsno ležeći kutovi budu jednaki, ili da odgovarajući kutovi budu jednaki, ili da zbroj jednostraničkih kutova bude jednak 180. stupnjeva.

Grafički ilustrirajmo potreban i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini:

Dokaz ovih uvjeta nalazi se u programu geometrije za 7.-9.

Općenito, ovi uvjeti vrijede i za trodimenzionalni prostor, pod uvjetom da dva pravca i sekanta pripadaju istoj ravnini.

Istaknimo još nekoliko teorema koji se često koriste u dokazivanju činjenice da su pravci paralelni.

Teorem 3

U ravnini su dva pravca paralelna s trećim međusobno paralelna. Ova značajka je dokazana na temelju gore spomenutog aksioma paralelizma.

Teorem 4

U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.

Dokaz atributa proučava se u programu geometrije za 10. razred.

Dajemo ilustraciju ovih teorema:

Naznačimo još jedan par teorema koji dokazuju paralelnost pravaca.

Teorem 5

U ravnini su dva pravca okomita na treći paralelni jedan s drugim.

Formulirajmo sličan za trodimenzionalni prostor.

Teorem 6

U trodimenzionalnom prostoru dvije su crte okomite na treću paralelne jedna s drugom.

Ilustrirajmo:

Svi gornji teoremi, znakovi i uvjeti omogućuju prikladno dokazivanje paralelnosti linija metodama geometrije. To jest, da bi se dokazala paralelnost pravaca, može se pokazati da su odgovarajući kutovi jednaki, ili pokazati činjenicu da su dva zadana pravca okomita na treći, i tako dalje. Ali napominjemo da je često prikladnije koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti pravaca u ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru.

Paralelnost pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu

U danom pravokutnom koordinatnom sustavu, ravna linija određena je jednadžbom ravne linije na ravnini jedne od moguće vrste. Slično tome, pravac zadan u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednadžbama pravca u prostoru.

Napišimo potrebne i dovoljne uvjete paralelnosti pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu, ovisno o vrsti jednadžbe koja opisuje zadane pravce.

Pođimo od uvjeta paralelnih pravaca u ravnini. Temelji se na definicijama vektora smjera pravca i vektora normale pravca u ravnini.

Teorem 7

Da bi dva pravca koji se ne podudaraju bila paralelna na ravnini, potrebno je i dovoljno da vektori smjera zadanih pravaca budu kolinearni, ili normalni vektori zadanih pravaca kolinearni, ili da je vektor smjera jednog pravca okomit na vektor normale drugog pravca.

Postaje očito da se uvjet paralelnosti pravaca na ravnini temelji na uvjetu kolinearnosti vektora ili uvjetu okomitosti dvaju vektora. To jest, ako su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera pravaca a i b ;

i n b → = (n b x , n b y) su normalni vektori pravaca a i b , tada gornji nužni i dovoljni uvjet pišemo na sljedeći način: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ili n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate smjernica ili direktnih vektora određene su zadanim jednadžbama pravaca. Razmotrimo glavne primjere.

1. Definirana je pravac a u pravokutnom koordinatnom sustavu opća jednadžba izravna: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; pravac b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Tada će normalni vektori zadanih pravaca imati koordinate (A 1 , B 1) odnosno (A 2 , B 2). Uvjet paralelnosti pišemo na sljedeći način:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Pravac a opisan je jednadžbom pravca s nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Ravna linija b - y \u003d k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori zadanih pravaca imati koordinate (k 1 , - 1) odnosno (k 2 , - 1), a uvjet paralelnosti pišemo na sljedeći način:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Dakle, ako su paralelne linije na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu dane jednadžbama nagiba, tada faktori nagiba zadane linije će biti jednake. A vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako su pravci koji se ne podudaraju na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu određeni jednadžbama pravca s istim koeficijentima nagiba, tada su ti zadani pravci paralelni.

1. Pravci a i b u pravokutnom koordinatnom sustavu dani su kanonskim jednadžbama pravca na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednadžbama pravca na ravnini: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y i x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Tada će vektori smjera zadanih pravaca biti: a x , a y odnosno b ​​x , b y, a uvjet paralelnosti pišemo na sljedeći način:

a x = t b x a y = t b y

Pogledajmo primjere.

Primjer 1

Dana su dva pravca: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1 . Morate utvrditi jesu li paralelni.

Riješenje

Jednadžbu ravne linije u segmentima pišemo u obliku opće jednadžbe:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo da je n a → = (2 , - 3) vektor normale pravca 2 x - 3 y + 1 = 0 , a n b → = 2 , 1 5 vektor normale pravca x 1 2 + y 5 = 1.

Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost t za koju će vrijediti jednakost:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dakle, nije zadovoljen nužan i dovoljan uvjet paralelnosti pravaca na ravnini, što znači da zadani pravci nisu paralelni.

Odgovor: zadani pravci nisu paralelni.

Primjer 2

Zadani su pravci y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2 . Jesu li paralelni?

Riješenje

Pretvorimo kanonsku jednadžbu ravne crte x 1 \u003d y - 4 2 u jednadžbu ravne crte s nagibom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo da jednadžbe pravaca y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, pravci bi bili isti) i nagibi pravaca su jednaki, što znači da zadani pravci su paralelni.

Pokušajmo problem riješiti drugačije. Prvo provjeravamo podudaraju li se zadani pravci. Koristimo bilo koju točku linije y \u003d 2 x + 1, na primjer, (0, 1) , koordinate ove točke ne odgovaraju jednadžbi linije x 1 \u003d y - 4 2, što znači da linije se ne poklapaju.

Sljedeći korak je utvrđivanje ispunjenosti uvjeta paralelnosti zadanih pravaca.

Vektor normale pravca y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor smjera drugog zadanog pravca je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora je nula:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Dakle, vektori su okomiti: to nam pokazuje da je ispunjen potreban i dovoljan uvjet da izvorni pravci budu paralelni. Oni. zadani pravci su paralelni.

Odgovor: ove su linije paralelne.

Za dokaz paralelnosti pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora koristi se sljedeći nužan i dovoljan uvjet.

Teorem 8

Da bi dvije pravce koje se ne podudaraju u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjerova tih pravaca budu kolinearni.

Oni. za zadane jednadžbe pravaca u trodimenzionalnom prostoru odgovor na pitanje: jesu li paralelni ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora smjera zadanih pravaca, kao i provjerom uvjeta njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) vektori smjera pravaca a odnosno b, tada da bi bili paralelni, postojanje takvog realnog broja t potreban je tako da vrijedi jednakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primjer 3

Zadani su pravci x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravaca.

Riješenje

Uvjeti problema su kanonske jednadžbe jednog pravca u prostoru i parametarske jednadžbe drugog pravca u prostoru. Vektori smjera a → i b → zadani pravci imaju koordinate: (1 , 0 , - 3) i (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , tada je a → = 1 2 b → .

Dakle, ispunjen je potreban i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u prostoru.

Odgovor: dokazana je paralelnost zadanih pravaca.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter