U životu morate češće zaokruživati ​​brojeve nego što mnogi misle. To posebno vrijedi za ljude u profesijama vezanim uz financije. Ljudi koji rade u ovom području dobro su obučeni za ovaj postupak. Ali i u Svakidašnjica postupak pretvaranje vrijednosti u cjelobrojni oblik Nije neobično. Mnogi su ljudi slučajno zaboravili zaokruživati ​​brojeve odmah nakon škole. Podsjetimo se na glavne točke ove akcije.

U kontaktu s

Okrugli broj

Prije nego što prijeđemo na pravila zaokruživanja vrijednosti, vrijedi razumjeti što je okrugli broj. Ako govorimo o o cijelim brojevima, onda nužno završava nulom.

Na pitanje gdje u svakodnevnom životu takva vještina može biti korisna, možete sigurno odgovoriti - tijekom osnovnih shopping putovanja.

Pomoću pravila približnog izračuna možete procijeniti koliko će koštati vaša kupnja i koliko trebate ponijeti sa sobom.

Upravo s okruglim brojevima lakše je računati bez upotrebe kalkulatora.

Primjerice, ako u supermarketu ili na tržnici kupe povrće težine 2 kg 750 g, tada u običnom razgovoru sa sugovornikom često ne navode točnu težinu, već kažu da su kupili 3 kg povrća. Prilikom određivanja udaljenosti između naselja Također se koristi riječ "o". To znači dovesti rezultat do prikladnog oblika.

Treba napomenuti da se neki izračuni u matematici i rješavanju problema također ne koriste uvijek točne vrijednosti. To je osobito istinito u slučajevima kada odgovor prima beskrajan periodički razlomak . Evo nekoliko primjera u kojima se koriste približne vrijednosti:

• neke vrijednosti konstantnih veličina prikazane su u zaokruženom obliku (broj "pi", itd.);
• tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, koje su zaokružene na određenu znamenku.

Bilješka! Kao što praksa pokazuje, približavanje vrijednosti cjelini, naravno, daje pogrešku, ali samo beznačajnu. Što je viši rang, točniji će biti rezultat.

Dobivanje približnih vrijednosti

Ovaj matematička operacija provodi prema određenim pravilima.

Ali za svaki skup brojeva oni su različiti. Imajte na umu da možete zaokružiti cijele brojeve i decimale.

Ali sa obični razlomci radnja se ne izvodi.

Prvo trebaju pretvoriti u decimale, a zatim nastavite s postupkom u traženom kontekstu.

Pravila za aproksimaciju vrijednosti su sljedeća:

• za cijele brojeve – zamjena znamenki iza zaokružene nulama;
• za decimalne razlomke - odbacivanje svih brojeva koji su izvan znamenke koja se zaokružuje.

Na primjer, zaokružujući 303 434 na tisuće, trebate zamijeniti stotine, desetice i jedinice s nulama, to jest 303 000. U decimalama, 3,3333 zaokružujući na najbližu deseticu x, jednostavno odbacite sve naredne znamenke i dobijete rezultat 3.3.

Točna pravila zaokruživanja brojeva

Kod zaokruživanja decimala nije dovoljno jednostavno odbaciti znamenke nakon zaokružene znamenke. To možete provjeriti na ovom primjeru. Ako se u trgovini kupi 2 kg 150 g slatkiša, onda kažu da je kupljeno oko 2 kg slatkiša. Ako je težina 2 kg 850 g, onda zaokružite, odnosno oko 3 kg. Odnosno, jasno je da se ponekad mijenja zaokružena znamenka. Kada i kako se to radi, moći će odgovoriti točna pravila:

1. Ako nakon zaokružene znamenke slijedi znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada zaokružena znamenka ostaje nepromijenjena, a sve sljedeće znamenke se odbacuju.
2. Ako iza znamenke koja se zaokružuje slijedi broj 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se zaokružena znamenka povećava za jedan, a sve sljedeće znamenke se također odbacuju.

Na primjer, kako ispraviti razlomak 7.41 približiti jedinstvu. Odredite broj koji slijedi iza znamenke. U ovom slučaju to je 4. Stoga, prema pravilu, broj 7 ostaje nepromijenjen, a brojevi 4 i 1 se odbacuju. Odnosno, dobivamo 7.

Ako je razlomak 7,62 zaokružen, tada iza jedinica slijedi broj 6. Prema pravilu, broj 7 treba povećati za 1, a brojeve 6 i 2 odbaciti. Odnosno, rezultat će biti 8.

Navedeni primjeri pokazuju kako zaokružiti decimale na jedinice.

Aproksimacija cijelim brojevima

Napominjemo da možete zaokružiti na jedinice na isti način kao i na cijele brojeve. Princip je isti. Zadržimo se detaljnije na zaokruživanju decimalnih ulomaka na određenu znamenku u cijelom dijelu ulomka. Zamislimo primjer aproksimacije 756.247 na desetke. Na desetom mjestu nalazi se broj 5. Nakon zaokruženog mjesta dolazi broj 6. Dakle, prema pravilima, potrebno je izvršiti Sljedeći koraci:

• zaokruživanje desetica po jedinici;
• na mjestu jedinica zamjenjuje se brojka 6;
• znamenke u razlomačkom dijelu broja se odbacuju;
• rezultat je 760.

Obratimo pozornost na neke vrijednosti u kojima proces matematičkog zaokruživanja na cijele brojeve prema pravilima ne odražava objektivnu sliku. Ako uzmemo razlomak 8,499, tada, transformirajući ga prema pravilu, dobivamo 8.

Ali u biti to nije posve točno. Ako zaokružimo na cijele brojeve, prvo dobijemo 8,5, a zatim odbacimo 5 iza decimalne točke i zaokružimo na više.

Brojke s kojima se moramo nositi stvaran život, postoje dvije vrste. Neki točno prenose pravu vrijednost, drugi samo približnu. Prvi su tzv točan, drugi - bliski suradnici.

U stvarnom životu najčešće se koriste približni brojevi umjesto točnih brojeva, budući da potonji obično nisu potrebni. Na primjer, približne vrijednosti se koriste kada se navode količine kao što su duljina ili težina. U puno slučajeva točan broj nemoguće pronaći.

Pravila zaokruživanja

Da bi se dobila približna vrijednost, broj dobiven kao rezultat bilo koje radnje mora se zaokružiti, odnosno zamijeniti najbližim okruglim brojem.

Brojevi se uvijek zaokružuju na određenu znamenku. Prirodni brojevi se zaokružuju na desetice, stotine, tisuće itd. Kod zaokruživanja brojeva na desetice zamjenjuju se okruglim brojevima koji se sastoje samo od cijelih desetica, a takvi brojevi na mjestu jedinica imaju nule. Kod zaokruživanja na najbliže stotine, brojevi se zamjenjuju zaokruženijim brojevima koji se sastoje samo od cijelih stotina, odnosno nule su već i na mjestu jedinica i na mjestu desetica. I tako dalje.

Decimale može se zaokružiti na isti način kao cijeli brojevi, odnosno na desetice, stotine itd. No mogu se zaokružiti i na desetinke, stotinke, tisućinke itd. Kod zaokruživanja decimalnih mjesta znamenke se ne popunjavaju nulama, već se jednostavno odbacuju. U oba slučaja zaokruživanje se vrši prema određeno pravilo:

Ako je odbačena znamenka veća ili jednaka 5, tada se prethodna mora povećati za jedan, a ako je manja od 5, tada se prethodna znamenka ne mijenja.

Pogledajmo neke primjere zaokruživanja brojeva:

• Zaokružite 43152 na najbližu tisuću. Ovdje trebamo odbaciti 152 jedinice, budući da je broj 1 desno od znamenke tisućice, tada ostavljamo prethodnu znamenku nepromijenjenu. Približna vrijednost 43152, zaokružena na najbližu tisuću, je 43000.
• Zaokružite 43152 na najbližu stotinu. Prvi broj koji se odbacuje je 5, što znači da prethodnu znamenku povećavamo za jedan: 43152 ≈ 43200.
• Zaokružite 43152 na najbližu deseticu: 43152 ≈ 43150.
• Zaokružite 17,7438 na jedinice: 17,7438 ≈ 18.
• Zaokružite 17,7438 na najbližu desetinu: 17,7438 ≈ 17,7.
• Zaokružite 17,7438 na najbližu stotinku: 17,7438 ≈ 17,74.
• Zaokružite 17,7438 na tisućinke: 17,7438 ≈ 17,744.

Znak ≈ naziva se znakom približne jednakosti i glasi "približno jednako".

Ako je pri zaokruživanju broja rezultat veći od početne vrijednosti, poziva se dobivena vrijednost približna vrijednost s viškom, ako je manje - približna vrijednost s nedostatkom:

7928 ≈ 8000, broj 8000 je približna vrijednost s viškom
5102 ≈ 5000, broj 5000 je približna vrijednost s nedostatkom

U nekim slučajevima točan broj kada se određeni iznos podijeli s određenim brojem u načelu se ne može odrediti. Na primjer, kad 10 podijelimo s 3, dobivamo 3,3333333333.....3, odnosno taj se broj ne može koristiti za brojanje određenih stavki u drugim situacijama. Zatim taj broj treba svesti na određenu znamenku, na primjer, na cijeli broj ili na broj s decimalnim mjestom. Ako 3,3333333333…..3 svedemo na cijeli broj, dobit ćemo 3, a ako 3,3333333333…..3 svedemo na broj s decimalnim mjestom, dobit ćemo 3,3.

Pravila zaokruživanja

Što je zaokruživanje? Ovo je odbacivanje nekoliko znamenki koje su posljednje u nizu točnog broja. Dakle, slijedeći naš primjer, odbacili smo sve posljednje znamenke da bismo dobili cijeli broj (3) i odbacili znamenke, ostavljajući samo mjesta desetica (3,3). Broj se može zaokružiti na stotinke i tisućinke, desettisućinke i druge brojeve. Sve ovisi o tome koliko točan broj treba biti. Na primjer, u proizvodnji medicinske potrepštine Količina svakog od sastojaka lijeka uzima se s najvećom preciznošću, budući da i tisućinka grama može biti kobna. Ako je potrebno izračunati napredak učenika u školi, tada se najčešće koristi broj s decimalnim ili stotim mjestom.

Pogledajmo još jedan primjer gdje se primjenjuju pravila zaokruživanja. Na primjer, postoji broj 3,583333 koji treba zaokružiti na tisućinke - nakon zaokruživanja trebale bi nam ostati tri znamenke iza decimalne točke, odnosno rezultat će biti broj 3,583. Ako ovaj broj zaokružimo na desetinke, tada ne dobivamo 3,5, već 3,6, jer nakon "5" postoji broj "8", koji je već jednak "10" tijekom zaokruživanja. Dakle, slijedeći pravila zaokruživanja brojeva, morate znati da ako su znamenke veće od "5", tada će zadnja znamenka koja se pohranjuje biti povećana za 1. Ako postoji znamenka manja od "5", zadnja znamenka koju treba pohraniti ostaje nepromijenjena. Ova pravila za zaokruživanje brojeva vrijede bez obzira na cijeli broj ili na desetice, stotinke itd. morate zaokružiti broj.

U većini slučajeva, kada trebate zaokružiti broj u kojem je zadnja znamenka "5", ovaj se postupak ne izvodi ispravno. Ali postoji i pravilo zaokruživanja koje se odnosi posebno na takve slučajeve. Pogledajmo primjer. Potrebno je zaokružiti broj 3,25 na najbližu desetinu. Primjenom pravila zaokruživanja brojeva dobivamo rezultat 3.2. Odnosno, ako nema znamenke nakon "pet" ili postoji nula, tada zadnja znamenka ostaje nepromijenjena, ali samo ako je parna - u našem slučaju "2" je parna znamenka. Ako bismo zaokružili 3,35, rezultat bi bio 3,4. Jer, u skladu s pravilima zaokruživanja, ako prije petice postoji neparna znamenka koja se mora ukloniti, neparna znamenka se povećava za 1. Ali samo pod uvjetom da iza petice nema značajnih znamenki . U mnogim slučajevima mogu se primijeniti pojednostavljena pravila, prema kojima, ako iza zadnje pohranjene znamenke slijede znamenke od 0 do 4, pohranjena znamenka se ne mijenja. Ako postoje druge znamenke, zadnja znamenka se povećava za 1.

Zadatak br. 1. Zaokruživanje rezultata mjerenja

Prilikom izvođenja mjerenja važno je pridržavati se određenih pravila zaokruživanja i evidentiranja njihovih rezultata u tehničkoj dokumentaciji, jer u slučaju nepoštivanja ovih pravila moguće su značajne pogreške u interpretaciji rezultata mjerenja.

Pravila za pisanje brojeva

1. Značajne znamenke zadanog broja su sve znamenke od prve s lijeve strane, koja nije jednaka nuli, do zadnje s desne strane. U ovom slučaju, nule koje proizlaze iz množitelja 10 se ne uzimaju u obzir.

Primjeri.

broj 12,0ima tri značajne brojke.

b) Broj 30ima dvije značajne brojke.

c) Broj 12010 8 ima tri značajne brojke.

G) 0,51410 -3 ima tri značajne brojke.

d) 0,0056ima dvije značajne brojke.

2. Ako je potrebno naznačiti da je broj točan, iza broja se navodi riječ "točno" ili se posljednja značajna znamenka tiska masno. Na primjer: 1 kW/h = 3600 J (točno) ili 1 kW/h = 360 0 J .

3. Zapisi približnih brojeva razlikuju se po broju značajnih znamenki. Na primjer, postoje brojevi 2.4 i 2.40. Pisanje 2,4 znači da su točne samo cijele i desetine; prava vrijednost broja može biti, na primjer, 2,43 i 2,38. Pisanje 2,40 znači da su i stotinke točne: prava vrijednost broja može biti 2,403 i 2,398, ali ne 2,41 i ne 2,382. Pisanje 382 znači da su svi brojevi točni: ako ne možete jamčiti za posljednju znamenku, tada broj treba napisati 3,810 2. Ako su samo prve dvije znamenke broja 4720 točne, treba ga napisati kao: 4710 2 ili 4,710 3.

4. Broj za koji je naznačeno dopušteno odstupanje mora imati posljednju značajnu znamenku iste znamenke kao i posljednju značajnu znamenku odstupanja.

Primjeri.

a) Ispravno: 17,0 + 0,2. Pogrešno: 17 + 0,2ili 17,00 + 0,2.

b) Ispravno: 12,13+ 0,17. Pogrešno: 12,13+ 0,2.

c) Ispravno: 46,40+ 0,15. Pogrešno: 46,4+ 0,15ili 46,402+ 0,15.

5. Preporučljivo je zapisati brojčane vrijednosti veličine i njezinu pogrešku (odstupanje) koja označava istu jedinicu količine. Na primjer: (80.555 + 0,002) kg.

6. Ponekad je preporučljivo intervale između numeričkih vrijednosti veličina napisati u tekstualnom obliku, tada prijedlog "od" znači "", prijedlog "do" - "", prijedlog "preko" - "> “, prijedlog “manje” – “<":

"d uzima vrijednosti od 60 do 100" znači "60 d100",

"d uzima vrijednosti veće od 120 manje od 150" znači "120<d< 150",

"d uzima vrijednosti preko 30 do 50" znači "30<d50".

Pravila zaokruživanja brojeva

1. Zaokruživanje broja je uklanjanje značajnih znamenki s desne strane određene znamenke uz moguću promjenu znamenke ove znamenke.

2. Ako je prva od odbačenih znamenki (brojeći slijeva na desno) manja od 5, tada se zadnja spremljena znamenka ne mijenja.

Primjer: Zaokruživanje broja 12,23daje do tri značajne brojke 12,2.

3. Ako je prva od odbačenih znamenki (brojeći slijeva na desno) jednaka 5, tada se zadnja spremljena znamenka povećava za jedan.

Primjer: Zaokruživanje broja 0,145daje do dvije znamenke 0,15.

Bilješka . U slučajevima kada treba uzeti u obzir rezultate prethodnog zaokruživanja, postupite na sljedeći način.

4. Ako je odbačena znamenka dobivena zaokruživanjem prema dolje, tada se posljednja preostala znamenka povećava za jedan (s prijelazom na sljedeće znamenke, ako je potrebno), inače - obrnuto. Ovo se odnosi i na razlomke i na cijele brojeve.

Primjer: Zaokruživanje broja 0,25(dobiven kao rezultat prethodnog zaokruživanja broja 0,252) daje 0,3.

4. Ako je prva odbačena znamenka (brojeći slijeva na desno) veća od 5, tada se zadnja spremljena znamenka povećava za jedan.

Primjer: Zaokruživanje broja 0,156daje dvije značajne brojke 0,16.

5. Zaokruživanje se vrši odmah na željeni broj značajnih znamenki, a ne u fazama.

Primjer: Zaokruživanje broja 565,46daje do tri značajne brojke 565.

6. Cijeli brojevi se zaokružuju prema istim pravilima kao i razlomci.

Primjer: Zaokruživanje broja 23456daje dvije značajne brojke 2310 3

Numerička vrijednost rezultata mjerenja mora završiti znamenkom iste znamenke kao i vrijednost pogreške.

Primjer:Broj 235,732 + 0,15treba zaokružiti na 235,73 + 0,15, ali ne do 235,7 + 0,15.

7. Ako je prva od odbačenih znamenki (brojeći slijeva na desno) manja od pet, tada se preostale znamenke ne mijenjaju.

Primjer: 442,749+ 0,4zaokruženo na 442,7+ 0,4.

8. Ako je prva znamenka koju treba odbaciti veća ili jednaka pet, tada se zadnja znamenka koju treba zadržati povećava za jedan.

Primjer: 37,268 + 0,5zaokruženo na 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 mora biti zaobljenprije 37,3 + 0,5.

9. Zaokruživanje treba izvršiti odmah na željeni broj značajnih znamenki; inkrementalno zaokruživanje može dovesti do pogrešaka.

Primjer: korak po korak zaokruživanje rezultata mjerenja 220,46+ 4daje u prvoj fazi 220,5+ 4a na drugom 221+ 4, dok je točan rezultat zaokruživanja 220+ 4.

10. Ako se pogreška mjerila prikazuje samo s jednom ili dvije značajne znamenke, a izračunata vrijednost pogreške dobije se s velikim brojem znamenki, u konačnoj vrijednosti treba ostaviti samo prve jednu ili dvije značajne znamenke. izračunata pogreška, odnosno. Štoviše, ako dobiveni broj počinje znamenkama 1 ili 2, tada odbacivanje drugog znaka dovodi do vrlo velike pogreške (do 3050%), što je neprihvatljivo. Ako dobiveni broj počinje s brojem 3 ili više, na primjer, s brojem 9, tada se čuva drugi znak, tj. označavanje pogreške, na primjer, 0,94 umjesto 0,9, je dezinformacija, jer izvorni podaci ne pružaju takvu točnost.

Na temelju toga u praksi je utvrđeno sljedeće pravilo: ako dobiveni broj počinje značajnom znamenkom koja je jednaka ili veća od 3, tada se u njemu zadržava samo jedan; ako počinje značajnim znamenkama manjim od 3, tj. od brojeva 1 i 2, tada su u njemu pohranjene dvije značajne brojke. U skladu s ovim pravilom utvrđuju se standardizirane vrijednosti pogrešaka mjernih instrumenata: dvije značajne brojke naznačene su brojevima 1,5 i 2,5%, ali brojevima 0,5; 4; 6% naznačena je samo jedna značajna brojka.

Primjer:Na voltmetru klase točnosti 2,5s granicom mjerenja x DO = 300 U očitanju izmjerenog napona x = 267,5P. U kojem obliku treba zabilježiti rezultat mjerenja u izvješću?

Pogodnije je izračunati pogrešku sljedećim redoslijedom: prvo morate pronaći apsolutnu pogrešku, a zatim relativnu. Apsolutna pogreška  x =  0 x DO/100, za smanjenu pogrešku voltmetra  0 = 2,5% i granice mjerenja (mjerni raspon) uređaja x DO= 300 V:  x= 2,5300/100 = 7,5 V ~ 8 V; relativna greška  =  x100/x = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Budući da je prva značajna znamenka apsolutne vrijednosti pogreške (7,5 V) veća od tri, ovu vrijednost treba zaokružiti prema uobičajenim pravilima zaokruživanja na 8 V, ali u vrijednosti relativne pogreške (2,81%) prva značajna znamenka je manja od 3, pa se ovdje u odgovoru moraju zadržati dvije decimale i navesti  = 2,8%. Primljena vrijednost x= 267,5 V mora se zaokružiti na isto decimalno mjesto kao i zaokružena apsolutna vrijednost pogreške, tj. do cijelih jedinica volta.

Dakle, konačni odgovor treba glasiti: „Mjerenje je obavljeno s relativnom greškom od = 2,8%. Izmjereni napon x= (268+ 8) B".

U ovom slučaju jasnije je naznačiti granice intervala nesigurnosti izmjerene vrijednosti u obliku x= (260276) V ili 260 VX276 V.

Pogledajmo primjere kako zaokružiti brojeve na desetine pomoću pravila zaokruživanja.

Pravilo zaokruživanja brojeva na desetine.

Da biste decimalni razlomak zaokružili na desetine, morate ostaviti samo jednu znamenku iza decimalne točke i odbaciti sve ostale znamenke koje slijede.

Ako je prva od odbačenih znamenki 0, 1, 2, 3 ili 4, tada se prethodna znamenka ne mijenja.

Ako je prva od odbačenih znamenki 5, 6, 7, 8 ili 9, tada prethodnu znamenku povećavamo za jedan.

Primjeri.

Zaokruži na najbližu desetinu:

Da biste zaokružili broj na desetinke, ostavite prvu znamenku nakon decimalne točke i odbacite ostatak. Budući da je prva odbačena znamenka 5, prethodnu znamenku povećavamo za jedan. Oni glase: "Dvadeset tri zarez sedam pet stotinki približno je jednako dvadeset tri zarez osam desetinki."

Da bismo ovaj broj zaokružili na desetine, ostavljamo samo prvu znamenku iza decimalne točke, a ostatak odbacujemo. Prva odbačena znamenka je 1, tako da ne mijenjamo prethodnu znamenku. Oni glase: "Tristo četrdeset osam zarez trideset jedna stotinka približno je jednako tristo četrdeset jedan zarez tri desetinke."

Kod zaokruživanja na desetine ostavljamo jednu znamenku iza decimalne točke, a ostatak odbacujemo. Prva od odbačenih znamenki je 6, što znači da prethodnu povećavamo za jedan. One glase: "Četrdeset devet zarez devet, devetsto šezdeset dvije tisućinke približno je jednako pedeset zarez nula, nula desetinki."

Zaokružujemo na najbližu desetinu, dakle iza decimalne točke ostavljamo samo prvu od znamenki, a ostale odbacujemo. Prva od odbačenih znamenki je 4, što znači da prethodnu znamenku ostavljamo nepromijenjenom. One glase: "Sedam zarez dvadeset osam tisućinki približno je jednako sedam zarez nula desetinki."

Za zaokruživanje određenog broja na desetinke ostavite jednu znamenku iza decimalne točke i odbacite sve one koje slijede. Budući da je prva odbačena znamenka 7, dodajemo jedan prethodnoj. Oni glase: "Pedeset šest zarez osam tisuća sedamsto šest deset tisućinki približno je jednako pedeset šest zarez devet desetina."

I još par primjera za zaokruživanje na desetine: