Mislim da zaslužuješ više od ovoga. Evo mog ključa trigonometrije:

• Nacrtajte kupolu, zid i strop
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo nego postoci ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih na djelu pronalaženjem konkretnog primjera iz stvarnog života.

Zamislite da se nalazite usred kupole i želite objesiti platno filmskog projektora. Upirete prstom u kupolu pod određenim kutom "x" i ekran bi trebao biti obješen s te točke.

Kut na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina zaslona (od poda do točke montaže kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po podu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Želite li da ekran bude što veći? Objesite ga točno iznad sebe.

Želite li da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga ravno okomito. Zaslon će u ovom položaju imati nultu visinu i visit će najdalje, kao što ste tražili.

Visina i udaljenost od ekrana obrnuto su proporcionalne: što je ekran bliže, to je njegova visina veća.

Sinus i kosinus su postoci

Nitko mi tijekom godina studiranja, nažalost, nije objasnio da trigonometrijske funkcije sinus i kosinus nisu ništa više od postotaka. Njihove vrijednosti se kreću od +100% do 0 do -100%, ili od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je to. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da su me jednostavno otjerali.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je sinusna vrijednost 0,95, onda razumijem da TV visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dosegnuti svoju maksimalnu visinu u središtu kupole, a zatim ponovno početi opadati.

Kako možemo izračunati ovaj postotak? Vrlo je jednostavno: trenutnu visinu zaslona podijelite s najvećom mogućom (polumjer kupole, koji se naziva i hipotenuza).

Zato rečeno nam je da je "kosinus = suprotna strana / hipotenuza." Sve je u prikupljanju kamata! Najbolje je definirati sinus kao "postotak trenutne visine od najveće moguće." (Sinus postaje negativan ako vaš kut pokazuje "ispod zemlje". Kosinus postaje negativan ako kut pokazuje prema točki kupole iza vas.)

Pojednostavimo izračune pretpostavkom da smo u središtu jedinične kružnice (polumjer = 1). Možemo preskočiti dijeljenje i jednostavno uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je u biti jedinica, uvećana ili smanjena u mjerilu pravu veličinu. Dakle, odredite veze jediničnog kruga i primijenite rezultate na svoju specifičnu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji kut i pogledajte koliki postotak visine i širine prikazuje:

Grafikon rasta vrijednosti sinusa nije samo ravna linija. Prvih 45 stupnjeva pokriva 70% visine, ali zadnjih 10 stupnjeva (od 80° do 90°) pokriva samo 2%.

Tako će vam biti jasnije: ako hodate u krug, na 0° dižete se gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangens i sekans. zid

Jednog dana susjed je sagradio zid tik jedno uz drugo svojoj kupoli. Plakao je vaš pogled s prozora i povoljna cijena za preprodaju!

Ali je li moguće nekako pobijediti u ovoj situaciji?

Naravno da. Što ako objesimo filmsko platno ravno na susjedov zid? Ciljate kut (x) i dobivate:

• tan(x) = tan(x) = visina zaslona na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je radijus vaše kupole, zid se ne pomiče nigdje od vas, zar ne?)
• sekans(x) = sek(x) = "duljina ljestava" od vas koji stojite u središtu kupole do vrha visećeg zaslona

Razjasnimo nekoliko točaka u vezi s tangentom ili visinom zaslona.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete razvući ekran sve više i više na zidu kako biste stvorili beskrajno platno za gledanje vašeg omiljenog filma! (Za tako golemu, naravno, morat ćete potrošiti puno novca).
• tangens je samo veća verzija sinusa! I dok se povećanje sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

I Sekansu se ima čime pohvaliti:

• Sekans počinje od 1 (ljestve su na podu, od vas do zida) i odatle se počinje dizati
• Sekanta je uvijek duža od tangente. Nagnute ljestve koje koristite za vješanje zaslona trebale bi biti duže od samog zaslona, ​​zar ne? (Kod nerealnih veličina, kada je ekran takoooo dug i ljestve treba postaviti gotovo okomito, njihove su veličine gotovo iste. Ali čak i tada će sekans biti malo duži).

Zapamtite, vrijednosti su postotak. Ako odlučite objesiti zaslon pod kutom od 50 stupnjeva, tan(50)=1,19. Vaš zaslon je 19% veći od udaljenosti do zida (radijus kupole).

(Unesite x=0 i provjerite svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Strop

Nevjerojatno, vaš susjed je sada odlučio izgraditi krov nad vašom kupolom. (Što mu je? Očito ne želi da ga špijunirate dok šeta gol po dvorištu...)

Pa, vrijeme je da izgradite izlaz na krov i razgovarate sa susjedom. Vi birate kut nagiba i započinjete s gradnjom:

• okomita udaljenost između krovnog otvora i poda uvijek je 1 (polumjer kupole)
• kotangens(x) = cot(x) = udaljenost između vrha kupole i izlazne točke
• kosekans(x) = csc(x) = duljina vašeg puta do krova

Tangens i sekans opisuju zid, a COtangens i COsekant strop.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnima:

• Ako uzmete kut jednak 0°, vaš će izlazak na krov trajati zauvijek, jer nikada neće dosegnuti strop. Problem.
• Najkraće "ljestve" do krova dobit ćete ako ih izgradite pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo strogo okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("duljina ljestava" bit će minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako se sva tri slučaja nacrtaju u kombinaciji kupola-zid-strop, rezultat će biti sljedeći:

Pa, to je još uvijek isti trokut, povećan u veličini da dosegne zid i strop. Imamo okomite stranice (sinus, tangens), vodoravne stranice (kosinus, kotangens) i “hipotenuze” (sekant, kosekans). (Prema strelicama možete vidjeti gdje svaki element doseže. Kosekant je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trokuti dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorinog poučka (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trokuta povezane. Osim toga, omjeri "visine i širine" također bi trebali biti isti za sve trokute. (Jednostavno prijeđite s najvećeg trokuta na manji. Da, veličina se promijenila, ali omjeri stranica ostat će isti).

Znajući koja je strana u svakom trokutu jednaka 1 (polumjer kupole), lako možemo izračunati da je "sin/cos = tan/1".

Uvijek sam se pokušavao sjetiti tih činjenica kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici jasno vidite te ovisnosti i razumijete odakle dolaze. Ova tehnika je puno bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite na druge kutove

Psst... Nemojte zapeti na jednom grafikonu, misleći da je tangens uvijek manji od 1. Ako povećate kut, možete dosegnuti strop, a da ne dosegnete zid:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu varirati.

(Možda ste primijetili da su omjeri sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer se nalaze unutar kupole).

Ukratko: što trebamo zapamtiti?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i ponavljajući intervali
• analogija kupole/zida/krova pokazuje odnos između različitih trigonometrijske funkcije
• Trigonometrijske funkcije rezultiraju postocima koje primjenjujemo na našu skriptu.

Ne morate pamtiti formule poput 1 2 + cot 2 = csc 2 . Pogodni su samo za glupe testove u kojima se znanje neke činjenice predstavlja kao njeno razumijevanje. Odvojite minutu da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, označite elemente i sve formule će vam doći na papir.

Primjena: Inverzne funkcije

Svaka trigonometrijska funkcija uzima kut kao ulazni parametar i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da kut od 30 stupnjeva zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija piše se kao sin -1 ili arcsin. Asin se također često piše u raznim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koji je naš kut?

U našoj tablici proporcija možete pronaći omjer u kojem je sekans podijeljen s 1. Na primjer, sekans s 1 (hipotenuza u odnosu na horizontalu) bit će jednak 1 podijeljenom s kosinusom:

Recimo da je naš sekans 3,5, tj. 350% polumjera jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ta vrijednost?

Dodatak: Nekoliko primjera

Primjer: Pronađite sinus kuta x.

Dosadan zadatak. Zakomplicirajmo banalno "pronalaženje sinusa" na "Kolika je visina kao postotak maksimuma (hipotenuze)?"

Prvo primijetite da je trokut rotiran. Nema ništa loše u tome. Trokut također ima visinu, na slici je označena zelenom bojom.

Čemu je jednaka hipotenuza? Prema Pitagorinoj teoremi, znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Fino! Sinus je postotak visine najduže stranice trokuta ili hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na više načina. Sada kada znamo da je sinus 0,60, možemo jednostavno pronaći arcsinus:

Asin(0,6)=36,9

Evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "okrenut prema zidu", tako da možemo koristiti tangens umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost od zida 4, dakle tangenta je ¾ ili 75%. Možemo upotrijebiti arktangens da se vratimo s postotne vrijednosti na kut:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

Nalazite se u čamcu i imate dovoljno goriva da prijeđete 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim najvećim kutom prema obali možete doplivati ​​do njega da imate dovoljno goriva? Dodatak tvrdnji problema: imamo samo tablicu ark kosinusnih vrijednosti.

Što imamo? Obala se može prikazati kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “duljina ljestvi” pričvršćenih na zid najveća je moguća udaljenost koju brod može prijeći do obale (2 km). Pojavljuje se sekans.

Prvo, morate ići na postotke. Imamo 2 / 0,25 = 8, odnosno možemo preplivati ​​udaljenost koja je 8 puta veća od ravne udaljenosti do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje: "Koji je sekans od 8?" Ali ne možemo odgovoriti na to jer imamo samo ark kosinuse.

Koristimo naše prethodno izvedene ovisnosti da povežemo sekans s kosinusom: "sec/1 = 1/cos"

Sekani 8 jednak kosinusu⅛. Kut čiji je kosinus ⅛ jednak je acos(1/8) = 82,8. A to je najveći kut koji si možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-strop, izgubio bih se u hrpi formula i izračuna. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje potragu za rješenjem, a zanimljivo je i vidjeti koja će trigonometrijska funkcija u konačnici pomoći.

Za svaki problem razmislite ovako: Zanimam li me kupola (sin/cos), zid (tan/sek) ili strop (cot/csc)?

I trigonometrija će postati puno ugodnija. Jednostavni izračuni za vas!

Sinus i kosinus izvorno su nastali iz potrebe za izračunavanjem količina u pravokutnim trokutima. Uočeno je da ako se stupnjevna mjera kutova u pravokutnom trokutu ne mijenja, tada omjer stranica, bez obzira koliko se te stranice mijenjaju u duljini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice u odnosu na hipotenuzu, a kosinus je omjer stranice uz hipotenuzu.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinusi i sinusi mogu se koristiti za više od pravokutnih trokuta. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta ili stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Kosinusni teorem je prilično jednostavan: “Kvadrat stranice trokuta jednak zbroju kvadrati druge dvije strane minus dvostruki umnožak tih stranica s kosinusom kuta između njih.”

Postoje dvije interpretacije sinusnog teoreme: mala i proširena. Prema molu: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranicama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: “U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranicama, a njihov omjer jednak je promjeru opisane kružnice.”

Derivati

Derivacija je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu svog argumenta. Derivacije se koriste u geometriji iu nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivata trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvodnica sinusa je kosinus, a kosinus je sinus, ali s predznakom minus.

Primjena u matematici

Sinusi i kosinusi se posebno često koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema vezanih uz njih.

Pogodnost sinusa i kosinusa također se odražava u tehnologiji. Bilo je lako procijeniti kutove i stranice pomoću teoreme o kosinusima i sinusima, rastavljajući složene figure a predmete u “jednostavne” trokute. Inženjeri koji se često bave izračunima omjera stranica i stupnjevanih mjera utrošili su mnogo vremena i truda izračunavajući kosinuse i sinuse netabularnih kutova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje su sadržavale tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata različiti kutovi. U Sovjetsko vrijeme neki su učitelji tjerali svoje učenike da napamet uče stranice Bradisovih tablica.

Radijan je kutna vrijednost luka čija je duljina jednaka polumjeru ili 57,295779513° stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) - 1/360 dio kruga ili 1/90 dio pravi kut.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost Pi).

Tablica kosinusa za kutove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kut x (u stupnjevima)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kut x (u radijanima)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Ovaj članak sadrži tablice sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata. Prvo ćemo dati tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata kutova od 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupnjeva ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga ćemo dati tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangensa i kotangenata V. M. Bradisa, te pokazati kako koristiti ove tablice pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Navigacija po stranici.

Tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata za kutove od 0, 30, 45, 60, 90, ... stupnjeva

Bibliografija.

• Algebra: Udžbenik za 9. razred. prosj. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Obrazovanje, 1990. - 272 str. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. prosj. škola - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn i dr.; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Obrazovanje, 2004. - il.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
• Bradis V. M.Četveroznamenkaste matematičke tablice: Za opću nastavu. udžbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2

Jedno od područja matematike s kojim se učenici najviše muče je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa pomoću formula, pojednostavljivanje izraza i sposobnost korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, potrebno je znati koristiti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.

Porijeklo trigonometrije

Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangensa kuta, no prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.

Povijesno, glavni predmet proučavanja u ovom dijelu matematička znanost bili pravokutni trokuti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje razne operacije, omogućujući vam da odredite vrijednosti svih parametara predmetne figure pomoću dvije strane i jednog kuta ili dva kuta i jedne strane. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj uzorak i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak iu umjetnosti.

Prva razina

U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnog trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica uporabe u Svakidašnjica ovu granu matematike.

Učenje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega učenici koriste stečena znanja u fizici i rješavanju apstraktnih problema. trigonometrijske jednadžbe, rad s kojim počinje u srednjoj školi.

Sferna trigonometrija

Kasnije, kada je znanost dosegla sljedeći stupanj razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangensom i kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede drugačija pravila, a zbroj kutova u trokutu uvijek je veći od 180 stupnjeva. Ovaj odjeljak se ne proučava u školi, ali je potrebno znati za njegovo postojanje barem zato Zemljina površina, a površina bilo kojeg drugog planeta je konveksna, što znači da će svaka površinska oznaka biti "lučna" u trodimenzionalnom prostoru.

Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Napominjemo - poprimilo je oblik luka. Takvim oblicima bavi se sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.

Pravokutni trokut

Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangens, koji se proračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.

Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Najduži je. Sjećamo se da je prema Pitagorinom teoremu njezino brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije stranice.

Na primjer, ako su dvije stranice 3 odnosno 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.

Dvije preostale stranice, koje tvore pravi kut, nazivaju se krakovi. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu jednak 180 stupnjeva.

Definicija

Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se okrenuti definiciji sinusa, kosinusa i tangensa kuta.

Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. stranice nasuprot željenog kuta) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjedne stranice i hipotenuze.

Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Budući da je hipotenuza prema zadanim postavkama najduža, bez obzira na duljinu katete, bit će kraća od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj je odgovor očito netočan.

Konačno, tangens kuta je omjer suprotne strane prema susjednoj strani. Dijeljenje sinusa s kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice podijelimo s hipotenuzom, zatim podijelimo s duljinom druge stranice i pomnožimo s hipotenuzom. Time dobivamo isti odnos kao u definiciji tangente.

Kotangens je, prema tome, omjer stranice koja je uz ugao i suprotne strane. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedan s tangentom.

Dakle, pogledali smo definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa i možemo prijeći na formule.

Najjednostavnije formule

U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangens, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što se traži pri rješavanju problema.

Prva formula koju morate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova je formula izravna posljedica Pitagorinog teorema, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu kuta, a ne stranice.

Mnogi se učenici ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna pri rješavanju školskih zadataka: zbroj jedan i kvadrata tangente kuta jednak je jedinici podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte bolje: ovo je ista tvrdnja kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispada da jednostavna matematička operacija može trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Upamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangens i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku samostalno izvesti potrebno više složene formule na komadu papira.

Formule za dvostruke kutove i zbrajanje argumenata

Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Predstavljeni su na slici ispod. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje umnožak sinusa i kosinusa u paru.

Postoje i formule povezane s argumentima dvostrukog kuta. Oni su potpuno izvedeni iz prethodnih - kao trening pokušajte ih sami dobiti uzimajući alfa kut jednaka kutu beta.

Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangensa alfa.

Teoremi

Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangens, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.

Sinusni teorem kaže da dijeljenje duljine svake stranice trokuta sa suprotnim kutom rezultira istim brojem. Štoviše, taj će broj biti jednak dvama radijusima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke danog trokuta.

Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicirajući ga na sve trokute. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen s dvostrukim kosinusom susjednog kuta - dobivena vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Stoga se Pitagorin teorem ispostavlja kao poseban slučaj kosinusnog teorema.

Greške iz nepažnje

Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog odsutnosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, pogledajmo one najpopularnije.

Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao obični razlomak, osim ako nije drugačije navedeno u uvjetima. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koji bi se, prema ideji autora, trebali smanjiti. U tom ćete slučaju gubiti vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen iz tri ili korijen iz dva, jer se one nalaze u problemima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.

Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem odnosi na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite oduzeti dva puta umnožak stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete također pokazati potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od pogreške iz nepažnje.

Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.

Primjena

Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju jer ne razumiju njezino praktično značenje. Što je sinus, kosinus, tangens za inženjera ili astronoma? To su pojmovi pomoću kojih možete izračunati udaljenost do dalekih zvijezda, predvidjeti pad meteorita ili poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.

Konačno

Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangens. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske zadatke.

Cijela poanta trigonometrije svodi se na činjenicu da pomoću poznatih parametara trokuta morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: duljina tri stranice i veličina triju kutova. Jedina razlika u zadacima je u tome što su zadani različiti ulazni podaci.

Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangens na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze. Budući da ti izrazi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijskog problema je pronaći korijene obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.

Primjeri:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument i smisao

Kosinus oštrog kuta

Kosinus oštrog kuta može se odrediti pomoću pravokutnog trokuta - jednak je omjeru susjedne katete i hipotenuze.

Primjer :

1) Neka je zadan kut i trebamo odrediti kosinus tog kuta.

2) Dopunimo bilo koji pravokutni trokut na ovom kutu.

3) Nakon što smo izmjerili tražene stranice, možemo izračunati kosinus.

Kosinus broja

Brojevni krug vam omogućuje da odredite kosinus bilo kojeg broja, ali obično ćete pronaći kosinus brojeva nekako povezan s: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Na primjer, za broj \(\frac(π)(6)\) - kosinus će biti jednak \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . A za broj \(-\)\(\frac(3π)(4)\) to će biti jednako \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približno \ (-0 ,71\)).

Za kosinus za druge brojeve koji se često susreću u praksi, vidi.

Vrijednost kosinusa uvijek je u rasponu od \(-1\) do \(1\). U ovom slučaju, kosinus se može izračunati za apsolutno bilo koji kut i broj.

Kosinus bilo kojeg kuta

Zahvaljujući brojčani krug Možete odrediti kosinus ne samo oštrog kuta, već i tupog, negativnog, pa čak i većeg od \(360°\) (puni okret). Kako to učiniti lakše je vidjeti jednom nego čuti \(100\) puta, pa pogledajte sliku.

Sada objašnjenje: pretpostavimo da trebamo odrediti kosinus kuta KOA s mjerom stupnja u \(150°\). Kombiniranje točke OKO sa središtem kruga i bočnom stranom u redu– s osi \(x\). Nakon toga odložite \(150°\) suprotno od kazaljke na satu. Zatim ordinata točke A pokazat će nam kosinus ovog kuta.

Ako nas zanima kut s mjerom stupnjeva, na primjer, u \(-60°\) (kut KOV), radimo isto, ali postavljamo \(60°\) u smjeru kazaljke na satu.

I konačno, kut je veći od \(360°\) (kut CBS) - sve je slično onoj glupoj, samo nakon punog okretanja u smjeru kazaljke na satu, idemo u drugi krug i "dobijamo nedostatak stupnjeva". Konkretno, u našem slučaju, kut \(405°\) je iscrtan kao \(360° + 45°\).

Lako je pogoditi da za iscrtavanje kuta, na primjer, u \(960°\), morate napraviti dva okreta (\(360°+360°+240°\)), a za kut u \(2640 °\) - cijelih sedam.

Kao što možete zamijeniti, i kosinus broja i kosinus proizvoljnog kuta definirani su gotovo identično. Mijenja se samo način na koji se točka nalazi na krugu.

Predznaci kosinusa po četvrtinama

Pomoću kosinusne osi (odnosno apscisne osi, označene crvenom bojom na slici), lako je odrediti predznake kosinusa duž numeričke (trigonometrijske) kružnice:

Gdje su vrijednosti na osi od \(0\) do \(1\), kosinus će imati znak plus (I i IV četvrtine - zelena površina),
- gdje su vrijednosti na osi od \(0\) do \(-1\), kosinus će imati znak minus (II i III četvrtine - ljubičasto područje).

Veza s drugim trigonometrijskim funkcijama:

- isti kut (ili broj): glavni trigonometrijski identitet\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- isti kut (ili broj): po formuli \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- i sinus istog kuta (ili broja): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Ostale najčešće korištene formule pogledajte.

Rješenje jednadžbe \(\cos⁡x=a\)

Rješenje jednadžbe \(\cos⁡x=a\), gdje je \(a\) broj koji nije veći od \(1\) niti manji od \(-1\), tj. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Ako \(a>1\) ili \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Riješenje:

Riješimo jednadžbu pomoću brojčane kružnice. Za ovo:
1) Napravimo sjekire.
2) Konstruirajmo krug.
3) Na kosinusnoj osi (osi \(y\)) označite točku \(\frac(1)(2)\) .
4) Kroz ovu točku povucite okomicu na kosinusnu os.
5) Označite sjecišta okomice i kružnice.
6) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Zapišimo sve vrijednosti koje odgovaraju tim točkama pomoću formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Odgovor: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funkcija \(y=\cos(x)\)

Ako iscrtamo kutove u radijanima duž \(x\) osi i kosinusne vrijednosti koje odgovaraju tim kutovima duž \(y\) osi, dobit ćemo sljedeći grafikon:

Ovaj graf se zove i ima sljedeća svojstva:

Domena definicije je bilo koja vrijednost x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- raspon vrijednosti - od \(-1\) do \(1\) uključujući: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- parno: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodički s periodom \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- točke presjeka s koordinatnim osima:
apscisna os: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), gdje \(n ϵ Z\)
Y os: \((0;1)\)
- intervali konstantnosti predznaka:
funkcija je pozitivna na intervalima: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), gdje \(n ϵ Z\)
funkcija je negativna na intervalima: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), gdje \(n ϵ Z\)
- intervali povećanja i smanjenja:
funkcija raste na intervalima: \((π+2πn;2π+2πn)\), gdje je \(n ϵ Z\)
funkcija opada na intervalima: \((2πn;π+2πn)\), gdje je \(n ϵ Z\)
- maksimumi i minimumi funkcije:
funkcija ima najveću vrijednost \(y=1\) u točkama \(x=2πn\), gdje \(n ϵ Z\)
funkcija ima minimalnu vrijednost \(y=-1\) u točkama \(x=π+2πn\), gdje \(n ϵ Z\).