Agli scolari vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono problemi con la seguente formulazione: ci sono due significati. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con le frazioni quando denominatori diversi. In questo articolo vedremo come trovare LOC e concetti di base.

Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto suona come segue: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto. Quindi, per 4, i multipli saranno 8, 12, 16, 20,. e così via, fino al limite richiesto.

Inoltre, il numero di divisori per un valore specifico può essere limitato, ma i multipli sono infiniti. Lo stesso valore vale anche per i valori naturali. Questo è un indicatore che viene suddiviso in essi senza resto. Avendo compreso il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.

Trovare il NOC

Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale interamente divisibile per tutti i numeri specificati.

Esistono diversi modi per trovare tale valore, considerare i seguenti metodi:

1. Se i numeri sono piccoli, scrivi su una riga tutti quelli divisibili per essa. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Per iscritto sono indicati con la lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
2. Se questi sono grandi o devi trovare un multiplo di 3 o più valori, dovresti utilizzare un'altra tecnica che prevede la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi quello più grande elencato, poi tutti gli altri. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per quello più piccolo sottolinea i fattori e sommali a quello più grande. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
3. Quando si trovano 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dell'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nell'espansione del più grande. Li sommiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.

Ora sappiamo qual è la tecnica generale per trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Esistono però anche metodi privati, aiutando a cercare NOC se i precedenti non aiutano.

Come trovare GCD e NOC.

Metodi privati ​​di ricerca

Come per ogni sezione matematica, esistono casi speciali per trovare LCM che aiutano in situazioni specifiche:

• se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (il MCM di 60 e 15 è 15);
• reciprocamente numeri primi non hanno fattori primi comuni. Il loro valore più piccolo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi per i numeri 7 e 8 sarà 56;
• la stessa regola vale per altri casi, anche particolari, di cui si può leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche i casi di scomposizione di numeri composti, che sono oggetto di singoli articoli e persino delle tesi dei candidati.

I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni, dove ci sono denominatori disuguali.

Pochi esempi

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che ti aiuteranno a comprendere il principio per trovare il minimo multiplo:

1. Trova la LOC (35; 40). Prima scomponiamo 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungi 8 al numero più piccolo e ottieni LOC 280.
2. NOC (45; 54). Li scomponiamo ciascuno: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Sommiamo il numero da 6 a 45. Otteniamo un LCM pari a 270.
3. Bene, l'ultimo esempio. Esistono 5 e 4. Non esistono multipli primi, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, che è uguale a 20.

Grazie agli esempi puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.

Trovare NOC è molto più semplice di quanto possa sembrare inizialmente. Per fare ciò, vengono utilizzate sia la semplice espansione che la moltiplicazione valori semplici L'un l'altro. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio di argomenti matematici, in particolare delle frazioni a vari livelli le difficoltà.

Non dimenticare di risolvere periodicamente gli esempi vari metodi, questo sviluppa l'apparato logico e permette di ricordare numerosi termini. Impara come trovare un esponente di questo tipo e riuscirai a far bene il resto delle sezioni di matematica. Buon apprendimento della matematica!

video

Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come trovare il minimo comune multiplo.

Consideriamo di risolvere il seguente problema. Il passo del ragazzo è di 75 cm e quello della ragazza è di 60 cm. È necessario trovare la distanza più piccola alla quale entrambi fanno un numero intero di passi.

Soluzione. L'intero percorso che i bambini percorreranno dovrà essere divisibile per 60 e 70, poiché ciascuno di essi dovrà compiere un numero intero di passi. In altre parole, la risposta deve essere un multiplo sia di 75 che di 60.

Per prima cosa annoteremo tutti i multipli del numero 75. Otteniamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ora scriviamo i numeri che saranno multipli di 60. Otteniamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ora troviamo i numeri che sono in entrambe le righe.

• I multipli comuni dei numeri sarebbero 300, 600, ecc.

Il più piccolo è il numero 300. In questo caso verrà chiamato minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.

Tornando alla condizione del problema, la distanza minima alla quale i ragazzi faranno un numero intero di passi sarà di 300 cm. Il ragazzo percorrerà questo percorso in 4 passi e la ragazza dovrà fare 5 passi.

Determinazione del minimo comune multiplo

• Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b è il più piccolo numero naturale che sia multiplo sia di a che di b.

Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri non è necessario scrivere tutti i multipli di questi numeri in una riga.

È possibile utilizzare il seguente metodo.

Come trovare il minimo comune multiplo

Per prima cosa devi scomporre questi numeri in fattori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ora annotiamo tutti i fattori presenti nell'espansione del primo numero (2,2,3,5) e aggiungiamo ad essi tutti i fattori mancanti nell'espansione del secondo numero (5).

Di conseguenza, otteniamo una serie di numeri primi: 2,2,3,5,5. Il prodotto di questi numeri sarà il minimo comune divisore per questi numeri. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generale per trovare il minimo comune multiplo

• 1. Dividi i numeri in fattori primi.
• 2. Annota i fattori primi che fanno parte di uno di essi.
• 3. Aggiungere a questi fattori tutti quelli che sono nell'espansione degli altri, ma non in quello selezionato.
• 4. Trova il prodotto di tutti i fattori scritti.

Questo metodo è universale. Può essere utilizzato per trovare il minimo comune multiplo di qualsiasi numero di numeri naturali.

Definizione. Si chiama il numero naturale più grande per cui si dividono i numeri a e b senza resto il più grande divisore comune(CENNO) questi numeri.

Troviamo il massimo comun divisore dei numeri 24 e 35.
I divisori di 24 sono i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, mentre i divisori di 35 sono i numeri 1, 5, 7, 35.
Vediamo che i numeri 24 e 35 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati reciprocamente primi.

Definizione. Si chiamano i numeri naturali reciprocamente primi, se il loro massimo comun divisore (MCD) è 1.

Massimo Comun Divisore (MCD) può essere trovato senza scrivere tutti i divisori dei numeri dati.

Fattorizzando i numeri 48 e 36, otteniamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dai fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri, eliminiamo quelli che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero (cioè due due).
I fattori rimanenti sono 2 * 2 * 3. Il loro prodotto è uguale a 12. Questo numero è il massimo comun divisore dei numeri 48 e 36. Si trova anche il massimo comun divisore di tre o più numeri.

Trovare massimo comun divisore

2) dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, cancella quelli che non sono inclusi nell'espansione di altri numeri;
3) trovare il prodotto dei restanti fattori.

Se tutti i numeri dati sono divisibili per uno di essi, allora questo numero lo è massimo comun divisore dati numeri.
Ad esempio, il massimo comun divisore dei numeri 15, 45, 75 e 180 è il numero 15, poiché tutti gli altri numeri sono divisibili per esso: 45, 75 e 180.

Minimo comune multiplo (LCM)

Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) numeri naturali a e b è il più piccolo numero naturale che è multiplo sia di a che di b. Il minimo comune multiplo (MCM) dei numeri 75 e 60 può essere trovato senza scrivere i multipli di questi numeri in una riga. Per fare ciò, fattorizziamo 75 e 60 in fattori primi: 75 = 3 * 5 * 5 e 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Annotiamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e aggiungiamo ad essi i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del secondo numero (cioè combiniamo i fattori).
Otteniamo cinque fattori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, il cui prodotto è 300. Questo numero è il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.

Trovano anche il minimo comune multiplo di tre o più numeri.

A trovare il minimo comune multiplo più numeri naturali, ti occorre:
1) scomponirli in fattori primi;
2) annotare i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri;
3) sommare ad essi i fattori mancanti dagli sviluppi dei numeri rimanenti;
4) trovare il prodotto dei fattori risultanti.

Nota che se uno di questi numeri è divisibile per tutti gli altri numeri, allora questo numero è il minimo comune multiplo di questi numeri.
Ad esempio, il minimo comune multiplo dei numeri 12, 15, 20 e 60 è 60 perché è divisibile per tutti questi numeri.

Pitagora (VI secolo aC) e i suoi studenti studiarono la questione della divisibilità dei numeri. Numero, pari alla somma Chiamavano tutti i suoi divisori (senza il numero stesso) un numero perfetto. Ad esempio, i numeri 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sono perfetti. I successivi numeri perfetti sono 496, 8128, 33.550.336. I pitagorici conoscevano solo i primi tre numeri perfetti. Il quarto - 8128 - divenne noto nel I secolo. N. e. Il quinto – 33.550.336 – fu ritrovato nel XV secolo. Nel 1983 si conoscevano già 27 numeri perfetti. Ma gli scienziati non sanno ancora se esistano numeri perfetti dispari o se esista un numero perfetto più grande.
L'interesse degli antichi matematici per i numeri primi è dovuto al fatto che qualsiasi numero è primo o può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi, cioè i numeri primi sono come i mattoni con cui sono costruiti gli altri numeri interi.
Probabilmente hai notato che i numeri primi nella serie dei numeri naturali si presentano in modo non uniforme: in alcune parti della serie ce ne sono di più, in altre meno. Ma più ci spostiamo lungo la serie dei numeri, meno comuni sono i numeri primi. La domanda sorge spontanea: esiste un ultimo numero primo (il più grande)? L'antico matematico greco Euclide (III secolo a.C.), nel suo libro “Elementi”, che fu il principale libro di testo di matematica per duemila anni, dimostrò che esistono infiniti numeri primi, cioè dietro ogni numero primo ce n'è uno ancora più grande numero.
Per trovare i numeri primi, un altro matematico greco dello stesso tempo, Eratostene, ideò questo metodo. Ha scritto tutti i numeri da 1 a un numero qualsiasi, quindi ne ha cancellato uno, che non è né primo né numero composto, poi barra tutti i numeri che seguono il 2 (numeri multipli di 2, cioè 4, 6, 8, ecc.). Il primo numero rimasto dopo il 2 era 3. Poi, dopo il due, tutti i numeri successivi al 3 (numeri multipli di 3, cioè 6, 9, 12, ecc.) venivano cancellati. alla fine solo i numeri primi rimasero non incrociati.

L'argomento "Multipli" viene studiato al grado 5 scuola media. Il suo obiettivo è migliorare le capacità di calcolo matematico scritto e orale. In questa lezione vengono introdotti nuovi concetti: "numeri multipli" e "divisori", viene praticata la tecnica per trovare divisori e multipli di un numero naturale e la capacità di trovare LCM in vari modi.

Questo argomento è molto importante. La sua conoscenza può essere applicata quando si risolvono esempi con le frazioni. Per fare ciò, è necessario trovare il denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo (LCM).

Un multiplo di A è un numero intero divisibile per A senza resto.

Ogni numero naturale ha infiniti multipli di esso. È esso stesso considerato il più piccolo. Il multiplo non può essere inferiore al numero stesso.

Devi dimostrare che il numero 125 è un multiplo di 5. Per fare ciò, devi dividere il primo numero per il secondo. Se 125 è divisibile per 5 senza resto, la risposta è sì.

Questo metodo è applicabile per piccoli numeri.

Esistono casi speciali nel calcolo del LOC.

1. Se devi trovare un multiplo comune di 2 numeri (ad esempio, 80 e 20), dove uno di essi (80) è divisibile per l'altro (20), allora questo numero (80) è il minimo multiplo di questi due numeri.

MCM(80, 20) = 80.

2. Se due non hanno un divisore comune, allora possiamo dire che il loro MCM è il prodotto di questi due numeri.

MCM(6, 7) = 42.

Diamo un'occhiata all'ultimo esempio. 6 e 7 rispetto a 42 sono divisori. Dividono un multiplo di un numero senza resto.

In questo esempio, 6 e 7 sono fattori accoppiati. Il loro prodotto è uguale al numero più multiplo (42).

Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso o per 1 (3:1=3; 3:3=1). Il resto si chiama composito.

Un altro esempio riguarda la determinazione se 9 è un divisore di 42.

42:9=4 (resto 6)

Risposta: 9 non è un divisore di 42 perché la risposta ha resto.

Un divisore differisce da un multiplo in quanto il divisore è il numero per cui vengono divisi i numeri naturali e il multiplo stesso è divisibile per questo numero.

Massimo comun divisore di numeri UN E B, moltiplicato per il loro minimo multiplo, darà il prodotto dei numeri stessi UN E B.

Vale a dire: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

Multipli comuni per di più numeri complessi trovato nel modo seguente.

Ad esempio, trova l'LCM per 168, 180, 3024.

Scomponiamo questi numeri in fattori primi e li scriviamo come prodotto di potenze:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

VLCM(168, 180, 3024) = 15120.

Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. Il minimo comune multiplo (LCM) di un gruppo di numeri è il numero più piccolo divisibile per ciascun numero del gruppo senza lasciare resto. Per trovare il minimo comune multiplo è necessario trovare i fattori primi di determinati numeri. L'LCM può anche essere calcolato utilizzando una serie di altri metodi che si applicano a gruppi di due o più numeri.

Passi

Serie di multipli

Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è inferiore a 10. Se vengono forniti numeri più grandi, utilizzare un metodo diverso.

• Ad esempio, trova il minimo comune multiplo di 5 e 8. Questi sono numeri piccoli, quindi puoi utilizzare questo metodo.

1. Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. I multipli si trovano nella tavola pitagorica.

   • Ad esempio, i numeri multipli di 5 sono: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Scrivi una serie di numeri multipli del primo numero. Fallo sotto i multipli del primo numero per confrontare due serie di numeri.

   • Ad esempio, i numeri multipli di 8 sono: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

3. Trova il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli. Potrebbe essere necessario scrivere lunghe serie di multipli per trovarlo numero totale. Il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli è il minimo comune multiplo.

   • Per esempio, il numero più piccolo, che è presente nella serie dei multipli di 5 e 8, è il numero 40. Pertanto 40 è il minimo comune multiplo di 5 e 8.

   fattorizzazione in numeri primi

   1. Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è maggiore di 10. Se vengono forniti numeri più piccoli, utilizzare un metodo diverso.

      • Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 20 e 84. Ciascun numero è maggiore di 10, quindi puoi utilizzare questo metodo.

   2. Fattorizza il primo numero in fattori primi. Cioè, devi trovare numeri primi che, una volta moltiplicati, daranno come risultato un determinato numero. Una volta trovati i fattori primi, scrivili come uguaglianze.

      • Per esempio, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) E 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Pertanto, i fattori primi del numero 20 sono i numeri 2, 2 e 5. Scrivili come espressione: .

   3. Fattorizza il secondo numero in fattori primi. Fallo nello stesso modo in cui hai scomposto il primo numero, cioè trova i numeri primi che, una volta moltiplicati, produrranno il numero dato.

      • Per esempio, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) E 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Pertanto, i fattori primi del numero 84 sono i numeri 2, 7, 3 e 2. Scrivili come espressione: .

   4. Scrivi i fattori comuni a entrambi i numeri. Scrivi tali fattori come un'operazione di moltiplicazione. Mentre scrivi ciascun fattore, cancellalo in entrambe le espressioni (espressioni che descrivono la fattorizzazione dei numeri in fattori primi).

      • Ad esempio, entrambi i numeri hanno un fattore comune pari a 2, quindi scrivi 2 × (\displaystyle 2\times ) e cancella il 2 in entrambe le espressioni.
      • Ciò che entrambi i numeri hanno in comune è un altro fattore 2, quindi scrivi 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) e cancella il secondo 2 in entrambe le espressioni.

   5. Aggiungi i restanti fattori all'operazione di moltiplicazione. Si tratta di fattori che non vengono cancellati in entrambe le espressioni, cioè di fattori che non sono comuni a entrambi i numeri.

      • Ad esempio, nell'espressione 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\volte 2\volte 5) Entrambi i due (2) sono cancellati perché sono fattori comuni. Il fattore 5 non è cancellato, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Nell'espressione 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\volte 7\volte 3\volte 2) anche entrambi i due (2) sono cancellati. I fattori 7 e 3 non vengono cancellati, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calcola il minimo comune multiplo. Per fare ciò, moltiplica i numeri nell'operazione di moltiplicazione scritta.

      • Per esempio, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Quindi il minimo comune multiplo tra 20 e 84 è 420.

   Trovare fattori comuni

   1. Disegna una griglia come per il gioco del tris. Tale griglia è composta da due linee parallele che si intersecano (ad angolo retto) con altre due linee parallele. Questo ti darà tre righe e tre colonne (la griglia assomiglia molto all'icona #). Scrivi il primo numero nella prima riga e nella seconda colonna. Scrivi il secondo numero nella prima riga e nella terza colonna.

      • Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 18 e 30. Scrivi il numero 18 nella prima riga e nella seconda colonna e scrivi il numero 30 nella prima riga e nella terza colonna.

   2. Trova il divisore comune ad entrambi i numeri. Scrivilo nella prima riga e nella prima colonna. È meglio cercare i fattori primi, ma questo non è un requisito.

      • Ad esempio, 18 e 30 sono numeri pari, quindi il loro divisore comune è 2. Quindi scrivi 2 nella prima riga e nella prima colonna.

   3. Dividi ogni numero per il primo divisore. Scrivi ogni quoziente sotto il numero appropriato. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri.

      • Per esempio, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), quindi scrivi 9 sotto 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), quindi scrivi 15 sotto 30.

   4. Trova il divisore comune ad entrambi i quozienti. Se non esiste un tale divisore, salta i due passaggi successivi. Altrimenti scrivi il divisore nella seconda riga e nella prima colonna.

      • Ad esempio, 9 e 15 sono divisibili per 3, quindi scrivi 3 nella seconda riga e nella prima colonna.

   5. Dividi ciascun quoziente per il suo secondo divisore. Scrivi il risultato di ogni divisione sotto il quoziente corrispondente.

      • Per esempio, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), quindi scrivi 3 sotto 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), quindi scrivi 5 sotto 15.

   6. Se necessario, aggiungi ulteriori celle alla griglia. Ripeti i passaggi descritti finché i quozienti non hanno un divisore comune.

   7. Cerchia i numeri nella prima colonna e nell'ultima riga della griglia. Quindi scrivi i numeri selezionati come operazione di moltiplicazione.

      • Ad esempio, i numeri 2 e 3 sono nella prima colonna e i numeri 3 e 5 nell'ultima riga, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Trova il risultato della moltiplicazione dei numeri. Questo calcolerà il minimo comune multiplo di due numeri dati.

      • Per esempio, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\volte 3\volte 3\volte 5=90). Quindi il minimo comune multiplo tra 18 e 30 è 90.

   Algoritmo di Euclide

   1. Ricordare la terminologia associata all'operazione di divisione. Il dividendo è il numero che viene diviso. Il divisore è il numero per cui viene diviso. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri. Il resto è il numero rimasto quando si dividono due numeri.

      • Ad esempio, nell'espressione 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 è il dividendo
        6 è un divisore
        2 è il quoziente
        3 è il resto.