DISUGUAGLIANZE LOGARITMICHE NELL'USO
Sechin Michail Aleksandrovich
Piccola Accademia delle Scienze per Studenti della Repubblica del Kazakistan “Iskatel”
MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11a elementare, città. Distretto Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, insegnante dell'istituto scolastico comunale di bilancio “Scuola secondaria Sovetskaya n. 1”
Distretto sovietico
Obiettivo del lavoro: studio del meccanismo di soluzione disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti logaritmo
Materia di studio:
3) Imparare a risolvere specifiche disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard.
Risultati:
Contenuto
Introduzione……………………………….4
Capitolo 1. Storia del problema……………………………...5
Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche …………… 7
2.1. Transizioni equivalenti e generalizzate metodo dell'intervallo…………… 7
2.2. Metodo di razionalizzazione................................................................ 15
2.3. Sostituzione non standard………………................................. ..... .....22
2.4. Compiti con trappole…………………27
Conclusione…………………..……………..………….. 30
Letteratura……………………………………………………………………. 31
introduzione
Frequento la terza media e ho intenzione di entrare in un'università dove la materia principale è la matematica. Ecco perché lavoro molto con i problemi della parte C. Nel compito C3, devo risolvere una disuguaglianza o un sistema di diseguaglianze non standard, solitamente correlato ai logaritmi. Durante la preparazione per l'esame, mi sono trovato di fronte al problema della carenza di metodi e tecniche per risolvere le disuguaglianze logaritmiche dell'esame offerti in C3. Metodi studiati in curriculum scolastico su questo argomento, non fornire una base per risolvere i compiti C3. L'insegnante di matematica mi ha suggerito di lavorare sui compiti C3 in modo indipendente sotto la sua guida. Inoltre, mi interessava la domanda: incontriamo i logaritmi nelle nostre vite?
In quest’ottica è stato scelto l’argomento:
“Le disuguaglianze logaritmiche nell’Esame di Stato Unificato”
Obiettivo del lavoro: studio del meccanismo per risolvere i problemi C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti sul logaritmo.
Materia di studio:
1) Trovare le informazioni necessarie sui metodi non standard per risolvere le disuguaglianze logaritmiche.
2) Trova ulteriori informazioni sui logaritmi.
3) Impara a risolvere problemi C3 specifici utilizzando metodi non standard.
Risultati:
Significato pratico consiste nell'ampliare l'apparato per la risoluzione dei problemi C3. Questo materiale può essere utilizzato in alcune lezioni, per i club e per le lezioni facoltative di matematica.
Il prodotto del progetto sarà la raccolta “C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.
Capitolo 1. Contesto
Nel corso del XVI secolo il numero dei calcoli approssimativi aumentò rapidamente, soprattutto in astronomia. Il miglioramento degli strumenti, lo studio dei movimenti planetari e altri lavori hanno richiesto calcoli colossali, a volte pluriennali. L'astronomia correva il rischio reale di annegare in calcoli inadempiuti. In altri settori sono sorte difficoltà, ad esempio nel settore assicurativo erano necessarie tabelle degli interessi composti significati diversi per cento. La difficoltà principale era la moltiplicazione e la divisione di numeri a più cifre, in particolare di quantità trigonometriche.
La scoperta dei logaritmi si basò sulle proprietà delle progressioni ben note alla fine del XVI secolo. Sulla connessione tra i membri progressione geometrica q, q2, q3, ... e progressione aritmetica i loro indicatori sono 1, 2, 3,... Archimede ne parla nella sua “Salmite”. Un altro prerequisito era l'estensione del concetto di grado agli esponenti negativi e frazionari. Molti autori hanno sottolineato che moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice in progressione geometrica corrispondono in aritmetica - nello stesso ordine - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
Ecco l'idea del logaritmo come esponente.
Nella storia dello sviluppo della dottrina dei logaritmi sono passate diverse fasi.
Fase 1
I logaritmi furono inventati non più tardi del 1594 indipendentemente dal barone scozzese Napier (1550-1617) e dieci anni dopo dal meccanico svizzero Bürgi (1552-1632). Entrambi volevano fornire un nuovo e conveniente mezzo per i calcoli aritmetici, sebbene affrontassero questo problema in modi diversi. Napier espresse cinematicamente la funzione logaritmica ed entrò così in un nuovo campo della teoria delle funzioni. Bürgi si è mantenuto sulla base della considerazione delle progressioni discrete. Tuttavia, la definizione del logaritmo per entrambi non è simile a quella moderna. Il termine "logaritmo" (logarithmus) appartiene a Napier. Nasce da una combinazione di parole greche: logos - "relazione" e ariqmo - "numero", che significava "numero di relazioni". Inizialmente, Napier usò un termine diverso: numeri artificiales - "numeri artificiali", in contrapposizione a numeri naturalts - "numeri naturali".
Nel 1615, in una conversazione con Henry Briggs (1561-1631), professore di matematica al Gresh College di Londra, Napier propose di prendere zero come logaritmo di uno e 100 come logaritmo di dieci, o, ciò che equivale allo stesso cosa, semplicemente 1. Ecco come apparivano logaritmi decimali e furono stampate le prime tavole logaritmiche. Successivamente, le tavole di Briggs furono integrate dal libraio olandese e appassionato di matematica Adrian Flaccus (1600-1667). Napier e Briggs, sebbene arrivassero ai logaritmi prima di tutti gli altri, pubblicarono le loro tavole più tardi degli altri, nel 1620. I segni log e Log furono introdotti nel 1624 da I. Keplero. Il termine “logaritmo naturale” fu introdotto da Mengoli nel 1659 e seguito da N. Mercator nel 1668, e l'insegnante londinese John Speidel pubblicò tavole di logaritmi naturali dei numeri da 1 a 1000 sotto il nome di “Nuovi Logaritmi”.
Le prime tavole logaritmiche furono pubblicate in russo nel 1703. Ma in tutte le tavole logaritmiche c'erano errori di calcolo. Le prime tabelle prive di errori furono pubblicate nel 1857 a Berlino, elaborate dal matematico tedesco K. Bremiker (1804-1877).
Fase 2
L'ulteriore sviluppo della teoria dei logaritmi è associato ad una più ampia applicazione della geometria analitica e del calcolo infinitesimale. A quel punto, la connessione tra la quadratura di un'iperbole equilatera e logaritmo naturale. La teoria dei logaritmi di questo periodo è associata ai nomi di numerosi matematici.
Il matematico, astronomo e ingegnere tedesco Nikolaus Mercator in un saggio
"Logarithmotechnics" (1668) fornisce una serie che fornisce lo sviluppo di ln(x+1) in
potenze di x:
Questa espressione corrisponde esattamente al suo pensiero, anche se, ovviamente, non ha usato i segni d, ..., ma un simbolismo più ingombrante. Con la scoperta delle serie logaritmiche cambiò la tecnica per calcolare i logaritmi: si cominciò a determinarli utilizzando serie infinite. Nelle sue lezioni "Matematica Elementare con il punto più alto visione", letto nel 1907-1908, F. Klein propose di utilizzare la formula come punto di partenza per costruire la teoria dei logaritmi.
Fase 3
Definizione di una funzione logaritmica come funzione inversa
esponenziale, logaritmo come esponente di una data base
non è stato formulato immediatamente. Saggio di Leonhard Euler (1707-1783)
"Introduzione all'analisi degli infinitesimi" (1748) servì ad approfondire
sviluppo della teoria delle funzioni logaritmiche. Così,
Sono passati 134 anni da quando furono introdotti per la prima volta i logaritmi
(contando dal 1614), prima che i matematici arrivassero alla definizione
il concetto di logaritmo, che oggi è alla base del percorso scolastico.
Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche
2.1. Transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli.
Transizioni equivalenti
, se a > 1
, se 0 <
а <
1
Metodo degli intervalli generalizzati
Questo metodo più universale per risolvere disuguaglianze di quasi ogni tipo. Il diagramma della soluzione è simile al seguente:
1. Porta la disuguaglianza in una forma in cui si trova la funzione sul lato sinistro 
e a destra 0.
2. Trova il dominio della funzione .
3. Trova gli zeri della funzione , cioè risolvere l'equazione 
(e risolvere un'equazione è solitamente più facile che risolvere una disuguaglianza).
4. Disegna il dominio della definizione e gli zeri della funzione sulla linea numerica.
5. Determinare i segni della funzione sugli intervalli ottenuti.
6. Seleziona gli intervalli in cui la funzione assume i valori richiesti e annota la risposta.
Esempio 1.
Soluzione:
Applichiamo il metodo dell'intervallo
Dove
Per questi valori tutte le espressioni sotto i segni logaritmici sono positive.
Risposta:
Esempio 2.
Soluzione:
1° modo . L’ADL è determinata dalla disuguaglianza X> 3. Prendendo i logaritmi per tali X in base 10, otteniamo
L’ultima disuguaglianza potrebbe essere risolta applicando regole di espansione, cioè confrontando i fattori con zero. Tuttavia in questo caso è facile determinare gli intervalli di segno costante della funzione
pertanto è possibile applicare il metodo dell'intervallo.
Funzione F(X) = 2X(X- 3.5)lgĀ X- 3ǀ è continuo a X> 3 e svanisce nei punti X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Pertanto, determiniamo gli intervalli di segno costante della funzione F(X):
Risposta:
2° metodo . Applichiamo direttamente le idee del metodo degli intervalli alla disuguaglianza originale.
Per fare ciò, ricorda che le espressioni UN B- UN c e ( UN - 1)(B- 1) avere un segno. Allora la nostra disuguaglianza è pari a X> 3 equivale a disuguaglianza
O
L'ultima disuguaglianza viene risolta utilizzando il metodo dell'intervallo
Risposta:
Esempio 3.
Soluzione:
Applichiamo il metodo dell'intervallo
Risposta:
Esempio 4.
Soluzione:
Dal 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 per tutto reale X, Quello
Per risolvere la seconda disuguaglianza utilizziamo il metodo degli intervalli
Nella prima disuguaglianza effettuiamo la sostituzione
poi arriviamo alla disuguaglianza 2y 2 - sì - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sì, che soddisfano la disuguaglianza -0,5< sì < 1.
Da dove, da allora
otteniamo la disuguaglianza
che viene eseguito quando X, per cui 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ora, tenendo conto della soluzione della seconda disuguaglianza del sistema, otteniamo finalmente
Risposta:
Esempio 5.
Soluzione:
La disuguaglianza equivale a un insieme di sistemi
O
Usiamo il metodo dell'intervallo o
Risposta:
Esempio 6.
Soluzione:
La disuguaglianza è uguale al sistema
Permettere
Poi sì > 0,
e la prima disuguaglianza
il sistema prende forma
o, svolgersi
trinomio quadratico scomposto,
Applicando il metodo dell'intervallo all'ultima disuguaglianza,
vediamo che le sue soluzioni soddisfano la condizione sì> 0 sarà tutto sì > 4.
Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente al sistema:
Quindi, le soluzioni alla disuguaglianza ci sono tutte
2.2. Metodo di razionalizzazione.
Metodo precedente La razionalizzazione della disuguaglianza non era risolta, non era nota. Questo è il "nuovo moderno" metodo efficace soluzioni alle disuguaglianze esponenziali e logaritmiche" (citazione dal libro di S.I. Kolesnikova)
E anche se l'insegnante lo conosceva, c'era il timore: l'esperto dell'Esame di Stato Unificato lo conosce e perché non lo danno a scuola? Ci sono state situazioni in cui l'insegnante ha detto allo studente: "Dove l'hai preso - 2."
Ora il metodo viene promosso ovunque. E per gli esperti ci sono linee guida associate a questo metodo e nelle "Edizioni più complete di opzioni standard..." nella Soluzione C3 viene utilizzato questo metodo.
METODO MERAVIGLIOSO!
"Tavolo Magico"
In altre fonti
Se a >1 e b >1, quindi log a b >0 e (a -1)(b -1)>0;
Se a >1 e 0 se 0<UN<1 и b
>1, quindi registrare un b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
se 0<UN<1 и 00 e (a -1)(b -1)>0. Il ragionamento svolto è semplice, ma semplifica notevolmente la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Esempio 4.
ceppo x (x 2 -3)<0
Soluzione:
Esempio 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Soluzione: Esempio 6.
Per risolvere questa disuguaglianza, al posto del denominatore scriviamo (x-1-1)(x-1), e al posto del numeratore scriviamo il prodotto (x-1)(x-3-9 + x). Esempio 7.
Esempio 8.
2.3. Sostituzione non standard. Esempio 1.
Esempio 2.
Esempio 3.
Esempio 4.
Esempio 5.
Esempio 6.
Esempio 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Facciamo la sostituzione y=3 x -1; allora questa disuguaglianza assumerà la forma Ceppo 4 ceppo 0,25 Perché logaritmo 0,25 Facciamo la sostituzione t =log 4 y e otteniamo la disuguaglianza t 2 -2t +≥0, la cui soluzione sono gli intervalli - Pertanto, per trovare i valori di y abbiamo un insieme di due semplici disuguaglianze Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente all'insieme di due disuguaglianze esponenziali, La soluzione alla prima disuguaglianza di questo insieme è l'intervallo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Esempio 8.
Soluzione:
La disuguaglianza è uguale al sistema La soluzione alla seconda disuguaglianza che definisce l'ODZ sarà l'insieme di quelle X,
per cui X > 0.
Per risolvere la prima disuguaglianza facciamo la sostituzione Quindi otteniamo la disuguaglianza O L'insieme delle soluzioni dell'ultima disuguaglianza si trova con il metodo intervalli: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, noi abbiamo O Molti di quelli X, che soddisfano l'ultima disuguaglianza appartiene all'ODZ ( X> 0), quindi, è una soluzione del sistema, e quindi la disuguaglianza originaria. Risposta: 2.4. Compiti con trappole. Esempio 1.
Soluzione. L'ODZ della disuguaglianza è tutto x che soddisfa la condizione 0 Esempio 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Risposta. (0; 0,5)U.
Risposta :
(3;6)
.
= -log4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , quindi riscriviamo l'ultima disuguaglianza come 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La soluzione di questo insieme sono gli intervalli 0<у≤2 и 8≤у<+.
cioè aggregati 
. Pertanto, la disuguaglianza originale è soddisfatta per tutti i valori di x dagli intervalli 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Pertanto tutti gli x appartengono all'intervallo 0
Conclusione
Non è stato facile trovare metodi specifici per risolvere i problemi C3 da una grande abbondanza di diverse fonti educative. Nel corso del lavoro svolto, ho potuto studiare metodi non standard per risolvere disuguaglianze logaritmiche complesse. Questi sono: transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli, metodo di razionalizzazione , sostituzione non standard , compiti con trappole su ODZ. Questi metodi non sono inclusi nel curriculum scolastico.
Utilizzando diversi metodi, ho risolto 27 disuguaglianze proposte all'Esame di Stato Unificato nella parte C, ovvero C3. Queste disuguaglianze con soluzioni metodiche hanno costituito la base della raccolta “Disuguaglianze logaritmiche C3 con soluzioni”, che è diventata il prodotto progettuale della mia attività. L'ipotesi che avevo proposto all'inizio del progetto è stata confermata: i problemi C3 possono essere risolti efficacemente se si conoscono questi metodi.
Inoltre, ho scoperto fatti interessanti sui logaritmi. È stato interessante per me farlo. I prodotti del mio progetto saranno utili sia per gli studenti che per gli insegnanti.
Conclusioni:
Pertanto, l’obiettivo del progetto è stato raggiunto e il problema è stato risolto. E ho ricevuto l'esperienza più completa e diversificata delle attività progettuali in tutte le fasi del lavoro. Mentre lavoravo al progetto, il mio principale impatto sullo sviluppo è stato sulla competenza mentale, sulle attività legate alle operazioni mentali logiche, sullo sviluppo della competenza creativa, sull'iniziativa personale, sulla responsabilità, sulla perseveranza e sull'attività.
Una garanzia di successo nella creazione di un progetto di ricerca per Ho acquisito: esperienza scolastica significativa, capacità di ottenere informazioni da varie fonti, verificarne l'affidabilità e classificarle in base all'importanza.
Oltre alla conoscenza diretta della materia in matematica, ho ampliato le mie capacità pratiche nel campo dell'informatica, ho acquisito nuove conoscenze ed esperienze nel campo della psicologia, ho stabilito contatti con i compagni di classe e ho imparato a collaborare con gli adulti. Durante le attività del progetto sono state sviluppate competenze formative generali organizzative, intellettuali e comunicative.
Letteratura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemi di disuguaglianze con una variabile (compiti standard C3).
2. Malkova A. G. Preparazione per l'esame di stato unificato in matematica.
3. Samarova S. S. Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche.
4. Matematica. Raccolta di opere di formazione a cura di A.L. Semenov e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
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Disuguaglianze logaritmiche
Nelle lezioni precedenti abbiamo conosciuto le equazioni logaritmiche e ora sappiamo cosa sono e come risolverle. La lezione di oggi sarà dedicata allo studio delle disuguaglianze logaritmiche. Quali sono queste disuguaglianze e qual è la differenza tra risolvere un'equazione logaritmica e una disuguaglianza?
Le disuguaglianze logaritmiche sono disuguaglianze che hanno una variabile che appare sotto il segno del logaritmo o alla sua base.
Oppure possiamo anche dire che una disuguaglianza logaritmica è una disuguaglianza in cui il suo valore incognito, come in un'equazione logaritmica, apparirà sotto il segno del logaritmo.
Le disuguaglianze logaritmiche più semplici hanno la seguente forma:
dove f(x) e g(x) sono alcune espressioni che dipendono da x.
Consideriamolo utilizzando questo esempio: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche
Prima di risolvere le disuguaglianze logaritmiche, vale la pena notare che una volta risolte sono simili alle disuguaglianze esponenziali, vale a dire:
Innanzitutto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, bisogna confrontare anche la base del logaritmo con uno;
In secondo luogo, quando risolviamo una disuguaglianza logaritmica utilizzando un cambiamento di variabili, dobbiamo risolvere le disuguaglianze rispetto alla variazione finché non otteniamo la disuguaglianza più semplice.
Ma tu ed io abbiamo considerato aspetti simili nella risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Ora prestiamo attenzione ad una differenza piuttosto significativa. Tu ed io sappiamo che la funzione logaritmica ha un dominio di definizione limitato, pertanto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno logaritmico, dobbiamo tenere conto dell'intervallo di valori consentiti (ADV).
Cioè, si dovrebbe tenere conto del fatto che quando si risolve un'equazione logaritmica, tu ed io possiamo prima trovare le radici dell'equazione e quindi verificare questa soluzione. Ma risolvere una disuguaglianza logaritmica non funzionerà in questo modo, poiché passando dai logaritmi alle espressioni sotto il segno dei logaritmi, sarà necessario scrivere l'ODZ della disuguaglianza.
Inoltre, vale la pena ricordare che la teoria delle disuguaglianze è composta da numeri reali, che sono numeri positivi e negativi, oltre al numero 0.
Ad esempio, quando il numero “a” è positivo, è necessario utilizzare la seguente notazione: a >0. In questo caso anche la somma e il prodotto di questi numeri saranno positivi.
Il principio fondamentale per risolvere una disuguaglianza è sostituirla con una disuguaglianza più semplice, ma la cosa principale è che sia equivalente a quella data. Inoltre, abbiamo ottenuto anche una disuguaglianza e l'abbiamo nuovamente sostituita con una di forma più semplice, ecc.
Quando risolvi le disuguaglianze con una variabile, devi trovare tutte le sue soluzioni. Se due disuguaglianze hanno la stessa variabile x, allora tali disuguaglianze sono equivalenti, purché le loro soluzioni coincidano.
Quando si eseguono compiti sulla risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche, è necessario ricordare che quando a > 1, la funzione logaritmica aumenta e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metodi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche
Ora diamo un'occhiata ad alcuni dei metodi utilizzati per risolvere le disuguaglianze logaritmiche. Per una migliore comprensione e assimilazione, cercheremo di capirli utilizzando esempi specifici.
Sappiamo tutti che la disuguaglianza logaritmica più semplice ha la seguente forma:
In questa disuguaglianza, V – è uno dei seguenti segni di disuguaglianza:<,>, ≤ o ≥.
Quando la base di un dato logaritmo è maggiore di uno (a>1), effettuando la transizione dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, in questa versione il segno di disuguaglianza viene preservato e la disuguaglianza avrà la seguente forma:
che è equivalente a questo sistema:
Nel caso in cui la base del logaritmo sia maggiore di zero e minore di uno (0 Questo è equivalente a questo sistema: Diamo un'occhiata ad altri esempi di risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici mostrate nell'immagine qui sotto: Esercizio. Proviamo a risolvere questa disuguaglianza: Risolvere l'intervallo di valori accettabili. Ora proviamo a moltiplicare il suo lato destro per: Vediamo cosa possiamo inventare: Passiamo ora alla conversione delle espressioni sublogaritmiche. Poiché la base del logaritmo è 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; E da ciò ne consegue che l'intervallo da noi ottenuto appartiene interamente all'ODZ ed è una soluzione a tale disuguaglianza. Ecco la risposta che abbiamo ottenuto: Ora proviamo ad analizzare di cosa abbiamo bisogno per risolvere con successo le disuguaglianze logaritmiche? Per prima cosa, concentra tutta la tua attenzione e cerca di non commettere errori quando esegui le trasformazioni che si verificano in questa disuguaglianza. Inoltre, va ricordato che quando si risolvono tali disuguaglianze, è necessario evitare espansioni e contrazioni delle disuguaglianze, che possono portare alla perdita o all'acquisizione di soluzioni estranee. In secondo luogo, quando si risolvono le disuguaglianze logaritmiche, è necessario imparare a pensare in modo logico e comprendere la differenza tra concetti come un sistema di disuguaglianze e un insieme di disuguaglianze, in modo da poter selezionare facilmente soluzioni alla disuguaglianza, essendo guidati dal suo DL. In terzo luogo, per risolvere con successo tali disuguaglianze, ognuno di voi deve conoscere perfettamente tutte le proprietà delle funzioni elementari e comprenderne chiaramente il significato. Tali funzioni includono non solo logaritmica, ma anche razionale, potenza, trigonometrica, ecc., In una parola, tutte quelle che hai studiato durante l'algebra scolastica. Come puoi vedere, dopo aver studiato il tema delle disuguaglianze logaritmiche, non c'è nulla di difficile nel risolvere queste disuguaglianze, a condizione che tu sia attento e persistente nel raggiungere i tuoi obiettivi. Per evitare qualsiasi problema nella risoluzione delle disuguaglianze, è necessario esercitarsi il più possibile risolvendo vari compiti e allo stesso tempo ricordare i metodi di base per risolvere tali disuguaglianze e i loro sistemi. Se non riesci a risolvere le disuguaglianze logaritmiche, dovresti analizzare attentamente i tuoi errori per non ripeterli in futuro. Per comprendere meglio l'argomento e consolidare il materiale trattato, risolvi le seguenti disuguaglianze: Obiettivi della lezione: Didattico: Educativo: sviluppare memoria, attenzione, pensiero logico, capacità di confronto, essere in grado di generalizzare e trarre conclusioni Educativo: coltivare l'accuratezza, la responsabilità per il compito svolto e l'assistenza reciproca. Metodi di insegnamento:
verbale ,
visivo ,
pratico ,
ricerca parziale ,
autogoverno ,
controllo. Forme di organizzazione dell’attività cognitiva degli studenti:
frontale ,
individuale ,
lavoro in coppia. Attrezzatura:
una serie di attività di test, note di riferimento, fogli bianchi per soluzioni. Tipo di lezione: imparare nuovo materiale. Durante le lezioni 1. Momento organizzativo. Vengono comunicati l'argomento e gli obiettivi della lezione, il programma delle lezioni: a ogni studente viene consegnata una scheda di valutazione, che lo studente compila durante la lezione; per ogni coppia di studenti - i materiali stampati con i compiti devono essere completati in coppia; fogli di soluzione vuoti; fogli di supporto: definizione di logaritmo; grafico di una funzione logaritmica, sue proprietà; proprietà dei logaritmi; algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Tutte le decisioni dopo l'autovalutazione vengono sottoposte al docente. Scheda dei punteggi dello studente 2. Aggiornamento delle conoscenze. Istruzioni dell'insegnante. Richiama la definizione di logaritmo, il grafico della funzione logaritmica e le sue proprietà. Per fare ciò, leggi il testo alle pagine 88–90, 98–101 del libro di testo “Algebra e gli inizi dell'analisi 10–11” edito da Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin e altri. Agli studenti vengono consegnati dei fogli sui quali sono scritti: la definizione di logaritmo; mostra un grafico di una funzione logaritmica e le sue proprietà; proprietà dei logaritmi; algoritmo per risolvere disuguaglianze logaritmiche, un esempio di risoluzione di una disuguaglianza logaritmica che si riduce a quadratica. 3. Studio di nuovo materiale. La risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche si basa sulla monotonia della funzione logaritmica. Algoritmo per risolvere le disuguaglianze logaritmiche: A) Trovare il dominio di definizione della disuguaglianza (l'espressione sublogaritmica è maggiore di zero). Elemento di apprendimento n. 1. Obiettivo: consolidare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici Forma di organizzazione dell'attività cognitiva degli studenti: lavoro individuale. Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti. Per ogni disuguaglianza ci sono più risposte possibili; è necessario scegliere quella corretta e verificarla utilizzando la chiave. Elemento di apprendimento n.2. Obiettivo: consolidare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche utilizzando le proprietà dei logaritmi. Istruzioni dell'insegnante. Ricorda le proprietà fondamentali dei logaritmi. Per fare ciò, leggi il testo del libro di testo alle pagine 92, 103–104. Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti. CHIAVE: 2113, numero massimo di punti – 8 punti. Elemento di apprendimento n. 3. Scopo: studiare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche mediante il metodo di riduzione a quadratico. Istruzioni per l'insegnante: il metodo per ridurre una disuguaglianza a quadratica consiste nel trasformare la disuguaglianza in una forma tale che una certa funzione logaritmica sia denotata da una nuova variabile, ottenendo così una disuguaglianza quadratica rispetto a questa variabile. Usiamo il metodo dell'intervallo. Hai superato il primo livello di padronanza del materiale. Ora dovrai scegliere autonomamente un metodo per risolvere le equazioni logaritmiche, utilizzando tutte le tue conoscenze e capacità. Elemento di apprendimento n.4. Obiettivo: consolidare la soluzione alle disuguaglianze logaritmiche scegliendo autonomamente un metodo di soluzione razionale. Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti Elemento di apprendimento n.5. Istruzioni dell'insegnante. Ben fatto! Hai imparato a risolvere equazioni del secondo livello di complessità. L'obiettivo del tuo ulteriore lavoro è applicare le tue conoscenze e abilità in situazioni più complesse e non standard. Compiti per una soluzione indipendente: Istruzioni dell'insegnante. È fantastico se hai completato l'intera attività. Ben fatto! Il voto dell'intera lezione dipende dal numero di punti ottenuti per tutti gli elementi didattici: Consegnare le schede di valutazione al docente. 5. Compiti a casa: se hai ottenuto non più di 15 punti, lavora sui tuoi errori (le soluzioni possono essere ottenute dall'insegnante), se hai ottenuto più di 15 punti, completa un compito creativo sull'argomento "Diseguaglianze logaritmiche". Tra l'intera varietà di disuguaglianze logaritmiche, le disuguaglianze con base variabile vengono studiate separatamente. Vengono risolti utilizzando una formula speciale, che per qualche motivo viene raramente insegnata a scuola: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0 Al posto della casella “∨”, puoi inserire qualsiasi segno di disuguaglianza: più o meno. La cosa principale è che in entrambe le disuguaglianze i segni sono gli stessi. In questo modo eliminiamo i logaritmi e riduciamo il problema a una disuguaglianza razionale. Quest'ultimo è molto più semplice da risolvere, ma quando si scartano i logaritmi potrebbero apparire radici extra. Per eliminarli è sufficiente trovare l'intervallo di valori accettabili. Se hai dimenticato l'ODZ di un logaritmo, ti consiglio vivamente di ripeterlo - vedi "Cos'è un logaritmo". Tutto ciò che riguarda l'intervallo di valori accettabili deve essere scritto e risolto separatamente: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Queste quattro disuguaglianze costituiscono un sistema e devono essere soddisfatte simultaneamente. Una volta trovato l'intervallo di valori accettabili, non resta che intersecarlo con la soluzione della disuguaglianza razionale - e la risposta è pronta. Compito. Risolvi la disuguaglianza: Innanzitutto, scriviamo l'ODZ del logaritmo: Le prime due disuguaglianze vengono soddisfatte automaticamente, ma l'ultima dovrà essere scritta. Poiché il quadrato di un numero è zero se e solo se il numero stesso è zero, abbiamo: x2 + 1 ≠ 1; Risulta che l'ODZ del logaritmo è composto da tutti numeri tranne zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ora risolviamo la disuguaglianza principale: Passiamo dalla disuguaglianza logaritmica a quella razionale. La disuguaglianza originaria ha un segno “minore di”, il che significa che anche la disuguaglianza risultante deve avere un segno “minore di”. Abbiamo: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0; Gli zeri di questa espressione sono: x = 3; x = −3; x = 0. Inoltre, x = 0 è una radice della seconda molteplicità, il che significa che quando la attraversa, il segno della funzione non cambia. Abbiamo: Otteniamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Questo insieme è completamente contenuto nell'ODZ del logaritmo, il che significa che questa è la risposta. Spesso la disuguaglianza originaria è diversa da quella sopra. Questo può essere facilmente corretto utilizzando le regole standard per lavorare con i logaritmi - vedere "Proprietà di base dei logaritmi". Vale a dire: Separatamente, vorrei ricordarvi l'intervallo di valori accettabili. Poiché nella disuguaglianza originaria possono esserci più logaritmi, è necessario trovare il VA di ciascuno di essi. Pertanto, lo schema generale per risolvere le disuguaglianze logaritmiche è il seguente: Compito. Risolvi la disuguaglianza: Troviamo il dominio di definizione (DO) del primo logaritmo: Risolviamo utilizzando il metodo degli intervalli. Trovare gli zeri del numeratore: 3x−2 = 0; Quindi - gli zeri del denominatore: x−1 = 0; Contrassegniamo zeri e segni sulla freccia delle coordinate: Otteniamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Il secondo logaritmo avrà lo stesso VA. Se non ci credi, puoi verificarlo. Ora trasformiamo il secondo logaritmo in modo che la base sia due: Come puoi vedere, i tre alla base e davanti al logaritmo sono stati ridotti. Abbiamo due logaritmi con la stessa base. Sommiamoli: logaritmo 2 (x − 1) 2< 2; Abbiamo ottenuto la disuguaglianza logaritmica standard. Ci liberiamo dei logaritmi usando la formula. Poiché la disuguaglianza originale contiene un segno “minore di”, anche l’espressione razionale risultante deve essere minore di zero. Abbiamo: (f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0; Abbiamo due set: Resta da intersecare questi insiemi: otteniamo la vera risposta: Siamo interessati all'intersezione degli insiemi, quindi selezioniamo gli intervalli ombreggiati su entrambe le frecce. Otteniamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tutti i punti sono perforati.
Risoluzione di esempi
3x > 24;
x > 8. 
Cosa è necessario per risolvere le disuguaglianze logaritmiche?
Compiti a casa
B) Rappresentare (se possibile) i lati sinistro e destro della disuguaglianza come logaritmi sulla stessa base.
C) Determinare se la funzione logaritmica è crescente o decrescente: se t>1, allora crescente; se 0
D) Passare ad una disuguaglianza più semplice (espressioni sublogaritmiche), tenendo conto che il segno della disuguaglianza rimarrà lo stesso se la funzione aumenta e cambierà se diminuisce.
CHIAVE: 13321, numero massimo di punti – 6 punti.
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.
Conversione di disuguaglianze logaritmiche
x = 2/3.
x = 1.
logaritmo 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x2 − 2x + 1 − 4< 0;
x2-2x-3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
