מחקר פונקציות.

1) D(y) - תחום ההגדרה: קבוצת כל אותם ערכים של המשתנה x. שמתחתם הביטויים האלגבריים f(x) ו-g(x) הגיוניים.

אם הפונקציה ניתנת על ידי נוסחה, אז תחום ההגדרה מורכב מכל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי שעבורו הנוסחה הגיונית.

2) מאפייני פונקציה: זוגי/אי זוגי, מחזוריות:

מוזרו אֲפִילוּנקראות פונקציות שהגרפים שלהן סימטריים ביחס לשינוי בסימן הארגומנט.

פונקציה אי - זוגית- פונקציה המשנה את הערך להיפך כאשר הסימן של המשתנה הבלתי תלוי משתנה (סימטרי לגבי מרכז הקואורדינטות).

פונקציה אפילו- פונקציה שאינה משנה את ערכה כאשר הסימן של המשתנה הבלתי תלוי משתנה (סימטרי על ציר ה-y).

לא פונקציה זוגית ולא מוזרה (פוּנקצִיָה השקפה כללית) היא פונקציה שאין לה סימטריה. קטגוריה זו כוללת פונקציות שאינן נופלות תחת 2 הקטגוריות הקודמות.

פונקציות שאינן שייכות לאף אחת מהקטגוריות לעיל נקראות לא זוגי ולא מוזר(או פונקציות כלליות).

פונקציות מוזרות

חזקה אי-זוגית שבה הוא מספר שלם שרירותי.

אפילו פונקציות

כוח זוגי שבו הוא מספר שלם שרירותי.

פונקציה תקופתיתהיא פונקציה שחוזרת על ערכיה במרווח קבוע כלשהו של הארגומנט, כלומר, אינה משנה את ערכה כאשר מתווסף מספר קבוע שאינו אפס לארגומנט ( פרק זמןפונקציות) על כל תחום ההגדרה.

3) אפסים (שורשים) של פונקציה הם הנקודות שבהן היא נעלמת.

מציאת נקודת החיתוך של הגרף עם הציר אוי. כדי לעשות זאת, אתה צריך לחשב את הערך ו(0). מצא גם את נקודות החיתוך של הגרף עם הציר שׁוֹר, למה למצוא את שורשי המשוואה ו(איקס) = 0 (או לוודא שאין שורשים).

הנקודות שבהן הגרף חותך את הציר נקראות אפסים של הפונקציה. כדי למצוא את האפסים של הפונקציה, צריך לפתור את המשוואה, כלומר למצוא ערכי x אלה, שעבורו הפונקציה נעלמת.

4) מרווחי קביעות של סימנים, סימנים בהם.

מרווחים שבהם הפונקציה f(x) שומרת על הסימן שלה.

מרווח הקביעות הוא המרווח בכל נקודה שבההפונקציה חיובית או שלילית.

מעל ציר ה-x.

מתחת לציר.

5) המשכיות (נקודות של אי-רציפות, אופי של אי-רציפות, אסימפטוטים).

תפקוד מתמשך- פונקציה ללא "קפיצות", כלומר כזו שבה שינויים קטנים בארגומנט מובילים לשינויים קטנים בערך הפונקציה.

נקודות שבירה נשלפות

אם הגבול של הפונקציה קיים, אך הפונקציה אינה מוגדרת בשלב זה, או שהמגבלה אינה תואמת את ערך הפונקציה בשלב זה:

,

ואז נקראת הנקודה נקודת שבירהפונקציות (בניתוח מורכב, נקודה יחידנית הניתנת להסרה).

אם "נתקן" את הפונקציה בנקודה של אי רציפות הניתנת להסרה ונשים , אז נקבל פונקציה שהיא רציפה בנקודה זו. פעולה כזו על פונקציה נקראת הרחבת הפונקציה לרציףאוֹ הרחבת הפונקציה על ידי המשכיות, המצדיק את שם הנקודה, כנקודות חַד פַּעֲמִיפער.

נקודות אי המשכיות מהסוג הראשון והשני

אם לפונקציה יש אי רציפות בנקודה נתונה (כלומר, הגבול של הפונקציה בנקודה נתונה נעדר או אינו עולה בקנה אחד עם ערך הפונקציה בנקודה נתונה), אזי עבור פונקציות מספריות קיימות שתי אפשרויות אפשריות קשור לקיומן של פונקציות מספריות מגבלות חד צדדיות:

אם שני הגבולות החד-צדדיים קיימים והם סופיים, אז נקודה כזו נקראת נקודת שבירה מהסוג הראשון. נקודות אי רציפות נשלפות הן נקודות אי רציפות מהסוג הראשון;

אם לפחות אחד מהגבולות החד-צדדיים אינו קיים או אינו ערך סופי, אזי נקודה כזו נקראת נקודת שבירה מהסוג השני.

אסימפטוטה - יָשָׁר, שיש לו את התכונה שהמרחק מנקודה של העקומה לזה יָשָׁרשואף לאפס כאשר הנקודה נעה לאורך הענף עד אינסוף.

אֲנָכִי

אסימפטוטה אנכית - קו גבול .

ככלל, בעת קביעת האסימפטוטה האנכית, הם מחפשים לא גבול אחד, אלא שניים חד-צדדיים (משמאל וימין). זה נעשה על מנת לקבוע כיצד הפונקציה מתנהגת כשהיא מתקרבת לאסימפטוטה האנכית מכיוונים שונים. לדוגמה:

אופקי

אסימפטוטה אופקית - יָשָׁרמינים, בכפוף לקיום לְהַגבִּיל

.

אֲלַכסוֹנִי

אסימפטוטה אלכסונית - יָשָׁרמינים, בכפוף לקיום גבולות

הערה: לפונקציה יכולה להיות לא יותר משתי אסימפטוטות אלכסוניות (אופקיות).

הערה: אם לפחות אחד משני הגבולות שהוזכרו לעיל אינו קיים (או שווה ל-), אז האסימפטוטה האלכסונית ב-(או ) אינה קיימת.

אם בפריט 2.), אז , והגבול נמצא על ידי הנוסחה אסימפטוטה אופקית, .

6) מציאת מרווחים של מונוטוניות.מצא מרווחי מונוטוניות של פונקציה ו(איקס) (כלומר מרווחי עלייה וירידה). זה נעשה על ידי בחינת הסימן של הנגזרת ו(איקס). כדי לעשות זאת, מצא את הנגזרת ו(איקס) ולפתור את אי השוויון ו(איקס)0. על המרווחים שבהם אי שוויון זה מסופק, הפונקציה ו(איקס) עולה. איפה אי השוויון ההפוך מתקיים ו(איקס)0, פונקציה ו(איקס) יורד.

מציאת קיצון מקומי.לאחר שמצאנו את מרווחי המונוטוניות, נוכל לקבוע מיד את הנקודות של קיצון מקומי שבו העלייה מוחלפת בירידה, יש מקסימום מקומי, והיכן הירידה מוחלפת בעלייה, מינימה מקומית. חשב את ערך הפונקציה בנקודות אלו. אם לפונקציה יש נקודות קריטיות, שאינן נקודות קיצון מקומיות, אז כדאי לחשב את ערך הפונקציה גם בנקודות אלו.

מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה y = f(x) בקטע(הֶמְשֵׁך)

1. מצא את הנגזרת של פונקציה: ו(איקס). 2. מצא נקודות שבהן הנגזרת היא אפס: ו(איקס)=0איקס 1, איקס 2 ,... 3. קבע את הבעלות על נקודות איקס 1 ,איקס 2 , … קטע [ א; ב]: לתת איקס 1א;ב, א איקס 2א;ב .

לשם כך, השתמש בנייר גרפי או במחשבון גרפי. בחר כל מספר של ערכים מספריים עבור המשתנה הבלתי תלוי x (\displaystyle x)וחבר אותם לפונקציה כדי לחשב את ערכי המשתנה התלוי y (\displaystyle y). שים את הקואורדינטות שנמצאו של הנקודות במישור הקואורדינטות, ולאחר מכן חבר את הנקודות הללו כדי לבנות גרף של הפונקציה.

• החלף ערכים מספריים חיוביים בפונקציה x (\displaystyle x)וערכים מספריים שליליים מתאימים. לדוגמה, נתונה פונקציה. החלף בו את הערכים הבאים x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3)​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). יש נקודה עם קואורדינטות (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). יש נקודה עם קואורדינטות (− 1 , 3)​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). יש נקודה עם קואורדינטות (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

בדוק אם הגרף של הפונקציה סימטרי על ציר ה-y.סימטריה מתייחסת לתמונת המראה של הגרף על ציר ה-y. אם החלק של הגרף מימין לציר y (ערכים חיוביים של המשתנה הבלתי תלוי) תואם את החלק של הגרף שמשמאל לציר y (ערכים שליליים של המשתנה הבלתי תלוי), הגרף הוא סימטרי על ציר y. אם הפונקציה סימטרית על ציר y, הפונקציה היא זוגית.

• אתה יכול לבדוק את הסימטריה של הגרף לפי נקודות בודדות. אם הערך y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), תואם את הערך y (\displaystyle y), התואם את הערך − x (\displaystyle -x), הפונקציה זוגית. בדוגמה שלנו עם הפונקציה f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1)קיבלנו את הקואורדינטות הבאות של הנקודות:
  • (1.3) ו-(-1.3)
  • (2.9) ו-(-2.9)
• שימו לב שעבור x=1 ו-x=-1 המשתנה התלוי הוא y=3, ועבור x=2 ו-x=-2 המשתנה התלוי הוא y=9. אז הפונקציה שווה. למעשה, יש לקחת בחשבון יותר משתי נקודות כדי לקבוע במדויק את צורת הפונקציה, אך השיטה המתוארת היא קירוב טוב.

בדוק אם הגרף של הפונקציה סימטרי לגבי המקור.המקור הוא הנקודה עם הקואורדינטות (0,0). סימטריה לגבי המקור פירושה ערך חיובי y (\displaystyle y)(עם ערך חיובי x (\displaystyle x)) מתאים לערך שלילי y (\displaystyle y)(עם ערך שלילי x (\displaystyle x)), ולהיפך. לפונקציות מוזרות יש סימטריה ביחס למקור.

• אם נחליף כמה ערכים שליליים חיוביים ומתאימים לפונקציה x (\displaystyle x), ערכים y (\displaystyle y)יהיה שונה בסימן. לדוגמה, נתונה פונקציה f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). החלף בו ערכים מרובים x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). יש נקודה עם קואורדינטות (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). יש נקודה עם קואורדינטות (-2,-10).
• לפיכך, f(x) = -f(-x), כלומר, הפונקציה אי-זוגית.

בדוק אם לגרף של הפונקציה יש סימטריה כלשהי.סוג הפונקציה האחרון הוא פונקציה שאין לגרף שלה סימטריה, כלומר אין תמונת מראה הן ביחס לציר ה-y והן ביחס למקור. לדוגמה, נתונה פונקציה.

• החלף כמה ערכים שליליים חיוביים ומתאימים לפונקציה x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). יש נקודה עם קואורדינטות (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). יש נקודה עם קואורדינטות (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). קיבלנו נקודה עם קואורדינטות (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). יש נקודה עם קואורדינטות (2,-2).
• לפי התוצאות שהתקבלו, אין סימטריה. ערכים y (\displaystyle y)לערכים הפוכים x (\displaystyle x)אינם תואמים ואינם הפוכים. לפיכך, הפונקציה אינה זוגית ואינה.
• שימו לב שהפונקציה f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)אפשר לכתוב כך: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). כתוב בצורה זו, נראה שהפונקציה היא זוגית מכיוון שיש מעריך זוגי. אבל הדוגמה הזו מוכיחה שלא ניתן לקבוע במהירות את צורת הפונקציה אם המשתנה הבלתי תלוי מוקף בסוגריים. במקרה זה, עליך לפתוח את הסוגריים ולנתח את המעריכים המתקבלים.

פוּנקצִיָההוא אחד המושגים המתמטיים החשובים ביותר. פונקציה - תלות במשתנה בְּ-ממשתנה איקס, אם כל ערך איקסתואם ערך בודד בְּ-. מִשְׁתַנֶה איקסנקרא המשתנה הבלתי תלוי או הארגומנט. מִשְׁתַנֶה בְּ-נקרא המשתנה התלוי. כל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי (משתנה איקס) יוצרים את התחום של הפונקציה. כל הערכים שהמשתנה התלוי לוקח (משתנה y), יוצרים את הטווח של הפונקציה.

גרף פונקציותהם קוראים לקבוצת כל הנקודות של מישור הקואורדינטות, שהאבססיס שלהן שוות לערכי הארגומנט, והאורדינטות שוות לערכים המתאימים של הפונקציה, כלומר, הערכים של המשתנה משורטט לאורך ציר האבשיסה איקס, וערכי המשתנה משורטטים לאורך ציר ה-y y. כדי לשרטט פונקציה, אתה צריך לדעת את המאפיינים של הפונקציה. המאפיינים העיקריים של הפונקציה יידונו להלן!

כדי לשרטט גרף פונקציות, אנו ממליצים להשתמש בתוכנית שלנו - Graphing Functions Online. אם יש לך שאלות כלשהן במהלך לימוד החומר בעמוד זה, אתה תמיד יכול לשאול אותן בפורום שלנו. כמו כן בפורום תעזרו לפתור בעיות במתמטיקה, כימיה, גיאומטריה, תורת ההסתברות ועוד הרבה מקצועות!

מאפיינים בסיסיים של פונקציות.

1) היקף פונקציה וטווח פונקציות.

ההיקף של פונקציה הוא קבוצת כל הערכים החוקיים התקפים של הארגומנט איקס(מִשְׁתַנֶה איקס) שעבורו הפונקציה y = f(x)מוּגדָר.
הטווח של פונקציה הוא קבוצת כל הערכים האמיתיים yשהפונקציה מקבלת.

במתמטיקה יסודית, פונקציות נלמדות רק על קבוצת המספרים הממשיים.

2) אפסים פונקציה.

ערכים איקס, באיזה y=0, נקרא אפסים של הפונקציה. אלו הן האבססיס של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x.

3) מרווחים של קביעות הסימנים של פונקציה.

המרווחים של קביעות הסימנים של פונקציה הם מרווחים כאלה של ערכים איקס, שעליו ערכי הפונקציה yאו רק חיובי או רק שלילי נקראים מרווחים של קביעות הסימנים של הפונקציה.

4) מונוטוניות של הפונקציה.

פונקציה הגדלה (במרווח מסוים) - פונקציה שעבורה ערך גדול יותרארגומנט מהמרווח הזה מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה.

פונקציה יורדת (במרווח כלשהו) - פונקציה שבה ערך גדול יותר של הארגומנט מהמרווח הזה מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה.

5) פונקציות זוגיות (אי-זוגיות)..

פונקציה זוגית היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה סימטרי ביחס למקור ולכל איקס f(-x) = f(x). הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי על ציר ה-y.

לֹא פונקציה אפילו- פונקציה שתחום ההגדרה שלה סימטרי ביחס למקור ולכל איקסמתחום ההגדרה השוויון f(-x) = - f(x). הגרף של פונקציה אי זוגית הוא סימטרי לגבי המקור.

פונקציה אפילו
1) תחום ההגדרה הוא סימטרי ביחס לנקודה (0; 0), כלומר אם הנקודה אשייך לתחום ההגדרה, ואז הנקודה -אשייך גם לתחום ההגדרה.
2) לכל ערך איקס f(-x)=f(x)
3) הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי על ציר Oy.

פונקציה אי - זוגיתבעל המאפיינים הבאים:
1) תחום ההגדרה הוא סימטרי ביחס לנקודה (0; 0).
2) לכל ערך איקס, השייך לתחום ההגדרה, השוויון f(-x)=-f(x)
3) הגרף של פונקציה אי-זוגית הוא סימטרי ביחס למקור (0; 0).

לא כל פונקציה זוגית או אי זוגית. פונקציות השקפה כלליתאינם זוגיים ואינם מוזרים.

6) פונקציות מוגבלות ובלתי מוגבלות.

פונקציה נקראת מוגבלת אם קיים מספר חיובי M כך ש |f(x)| ≤ M עבור כל הערכים של x . אם אין מספר כזה, אז הפונקציה אינה מוגבלת.

7) מחזוריות של הפונקציה.

פונקציה f(x) היא תקופתית אם קיים מספר T שאינו אפס כך שלכל x מתחום הפונקציה, f(x+T) = f(x). כגון המספר הקטן ביותרנקראת תקופת הפונקציה. כל הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות. (נוסחאות טריגונומטריות).

פוּנקצִיָה ונקרא מחזורי אם קיים מספר כזה עבור כל איקסמתחום ההגדרה השוויון f(x)=f(x-T)=f(x+T). טהיא תקופת הפונקציה.

לכל פונקציה מחזורית יש אינסוף נקודות. בפועל, התקופה החיובית הקטנה ביותר נחשבת בדרך כלל.

הערכים של הפונקציה המחזורית חוזרים על עצמם לאחר תקופה השווה לתקופה. זה משמש כשמתווים גרפים.

לגרפים של פונקציות זוגיות ואי-זוגיות יש את התכונות הבאות:

אם פונקציה זוגית, אז הגרף שלה סימטרי על ציר ה-y. אם פונקציה אי-זוגית, אז הגרף שלה סימטרי לגבי המקור.

דוגמא.צייר את הפונקציה \(y=\left|x \right|\).

פִּתָרוֹן.שקול את הפונקציה: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) והחלף את \(x \) ב-\(-x \ ההפוך). כתוצאה מתמורות פשוטות, אנו מקבלים: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In במילים אחרות, אם מחליפים את הארגומנט בסימן ההפוך, הפונקציה לא תשתנה.

המשמעות היא שהפונקציה הזו זוגית, והגרף שלה יהיה סימטרי על ציר ה-y (הציר האנכי). הגרף של פונקציה זו מוצג באיור משמאל. זה אומר שכאשר מתווים גרף, אתה יכול לבנות רק חצי, ואת החלק השני (משמאל לציר האנכי, לצייר כבר באופן סימטרי לצד ימין). על ידי קביעת הסימטריה של פונקציה לפני שמתחילים לשרטט את הגרף שלה, אתה יכול לפשט מאוד את תהליך הבנייה או לימוד הפונקציה. אם קשה לבצע בדיקה בצורה כללית, אתה יכול לעשות את זה יותר קל: החלף את אותם ערכים של סימנים שונים במשוואה. למשל -5 ו-5. אם הערכים של הפונקציה זהים, אז אנחנו יכולים לקוות שהפונקציה תהיה זוגית. מבחינה מתמטית, גישה זו אינה נכונה לחלוטין, אך מבחינה מעשית היא נוחה. כדי להגביר את מהימנות התוצאה, אתה יכול להחליף כמה זוגות של ערכים מנוגדים כאלה.

דוגמא.צייר את הפונקציה \(y=x\left|x \right|\).

פִּתָרוֹן.בואו נבדוק אותו הדבר כמו בדוגמה הקודמת: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ זה אומר שהפונקציה המקורית היא אי זוגית (הסימן של הפונקציה הפוך).

מסקנה: הפונקציה היא סימטרית ביחס למקור. אתה יכול לבנות רק חצי אחד, ולצייר את החצי השני בצורה סימטרית. קשה יותר לצייר את הסימטריה הזו. זה אומר שאתה מסתכל על התרשים מהצד השני של הגיליון, ואפילו הפוך. ואתה יכול גם לעשות זאת: קח את החלק המצויר וסובב אותו סביב המקור ב-180 מעלות נגד כיוון השעון.

דוגמא.צייר את הפונקציה \(y=x^3+x^2\).

פִּתָרוֹן.בואו נבצע את אותה בדיקת שינוי סימן כמו בשתי הדוגמאות הקודמות. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ מה שאומר שהפונקציה היא לא זוגית ולא אי-זוגית .

מסקנה: הפונקציה אינה סימטרית לא לגבי המקור ולא לגבי מרכז מערכת הקואורדינטות. זה קרה כי זה סכום של שתי פונקציות: זוגי ואי-זוגי. אותו מצב יהיה אם תחסיר שתי פונקציות שונות. אבל כפל או חילוק יובילו לתוצאה אחרת. לדוגמה, המכפלה של פונקציה זוגית ואי-זוגית נותנת אי-זוגי. או המנה של שניים אי זוגיים מובילה לפונקציה זוגית.

אֲפִילוּ, אם עבור כולם \(x\) מהדומיין שלו נכון: \(f(-x)=f(x)\) .

הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי על ציר \(y\):

דוגמה: הפונקציה \(f(x)=x^2+\cos x\) היא זוגית, כי \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) נקראת הפונקציה \(f(x)\). מוזר, אם עבור כולם \(x\) מהדומיין שלו נכון: \(f(-x)=-f(x)\) .

הגרף של פונקציה אי זוגית הוא סימטרי ביחס למקור:

דוגמה: הפונקציה \(f(x)=x^3+x\) היא מוזרה בגלל \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) פונקציות שאינן זוגיות או אי-זוגיות נקראות פונקציות גנריות. פונקציה כזו תמיד יכולה להיות מיוצגת באופן ייחודי כסכום של פונקציה זוגית ואי-זוגית.

לדוגמה, הפונקציה \(f(x)=x^2-x\) היא הסכום של פונקציה זוגית \(f_1=x^2\) ופונקציה אי זוגית \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) כמה מאפיינים:

1) המכפלה והמנה של שתי פונקציות באותה זוגיות היא פונקציה זוגית.

2) המכפלה והמנה של שתי פונקציות בעלות זוגיות שונה - פונקציה אי - זוגית.

3) הסכום וההפרש של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית.

4) הסכום וההפרש של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית.

5) אם \(f(x)\) היא פונקציה זוגית, אז למשוואה \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) יש שורש ייחודי אם ורק אם, כאשר \(x =0\) .

6) אם \(f(x)\) היא פונקציה זוגית או אי-זוגית, ולמשוואה \(f(x)=0\) יש שורש \(x=b\) , אז למשוואה הזו תהיה בהכרח שנייה שורש \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) פונקציה \(f(x)\) נקראת מחזורית ב-\(X\) אם עבור מספר כלשהו \(T\ne 0\) יש לנו \(f(x)=f(x+ T) \) , כאשר \(x, x+T\ב-X\) . ה-\(T\) הקטן ביותר, שעבורו מתקיים שוויון זה, נקרא התקופה הראשית (הבסיסית) של הפונקציה.

לפונקציה מחזורית יש כל מספר בצורת \(nT\) , כאשר \(n\in \mathbb(Z)\) תהיה גם נקודה.

דוגמה: כל פונקציה טריגונומטריתהוא תקופתי;
עבור הפונקציות \(f(x)=\sin x\) ו-\(f(x)=\cos x\) התקופה העיקרית שווה ל-\(2\pi\) , עבור הפונקציות \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) ו-\(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) התקופה העיקרית היא \(\pi\) .

על מנת לשרטט פונקציה מחזורית, ניתן לשרטט את הגרף שלה על כל קטע באורך \(T\) (תקופה ראשית); לאחר מכן הושלם הגרף של הפונקציה כולה על ידי הזזת החלק הבנוי במספר שלם של נקודות ימינה ושמאלה:

\(\blacktriangleright\) התחום \(D(f)\) של הפונקציה \(f(x)\) הוא הסט המורכב מכל הערכים של הארגומנט \(x\) שעבורו הפונקציה הגיונית (מוגדר).

דוגמה: לפונקציה \(f(x)=\sqrt x+1\) יש תחום הגדרה: \(x\in

משימה 1 #6364

רמת משימה: שווה לבחינת המדינה המאוחדת

עבור אילו ערכים של הפרמטר \(a\) המשוואה

יש פתרון ייחודי?

שימו לב שמכיוון ש-\(x^2\) ו-\(\cos x\) הן פונקציות זוגיות, אם למשוואה יש שורש \(x_0\) , יהיה לה גם שורש \(-x_0\) .
אכן, תן \(x_0\) להיות שורש, כלומר השוויון \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)ימין. תחליף \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

לפיכך, אם \(x_0\ne 0\) , אז למשוואה כבר יהיו לפחות שני שורשים. לכן, \(x_0=0\) . לאחר מכן:

קיבלנו שני ערכי פרמטר\(a\) . שימו לב שהשתמשנו בעובדה ש\(x=0\) הוא בדיוק השורש של המשוואה המקורית. אבל מעולם לא השתמשנו בעובדה שהוא היחיד. לכן, יש צורך להחליף את הערכים המתקבלים של הפרמטר \(a\) במשוואה המקורית ולבדוק עבור איזה בדיוק \(a\) השורש \(x=0\) אכן יהיה ייחודי.

1) אם \(a=0\) , אז המשוואה תקבל את הצורה \(2x^2=0\) . ברור שלמשוואה זו יש רק שורש אחד \(x=0\) . לכן הערך \(a=0\) מתאים לנו.

2) אם \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , אז המשוואה מקבלת את הצורה \ נכתוב מחדש את המשוואה בטופס \ כי \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), זה \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). לכן, הערכים של הצד הימני של המשוואה (*) שייכים לקטע \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

מאז \(x^2\geqslant 0\), אז צד שמאלהמשוואה (*) גדולה או שווה ל-\(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

לפיכך, שוויון (*) יכול להתקיים רק כאשר שני הצדדים של המשוואה שווים ל-\(\mathrm(tg)^2\,1\) . וזה אומר את זה \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]לכן הערך \(a=-\mathrm(tg)\,1\) מתאים לנו.

תשובה:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

משימה 2 #3923

רמת משימה: שווה לבחינת המדינה המאוחדת

מצא את כל הערכים של הפרמטר \(a\) , עבור כל אחד מהם גרף הפונקציה \

סימטרי לגבי המקור.

אם הגרף של פונקציה סימטרי ביחס למקור, אז פונקציה כזו היא אי זוגית, כלומר, \(f(-x)=-f(x)\) מסופקת עבור כל \(x\) מה- תחום הפונקציה. לפיכך, נדרש למצוא את ערכי הפרמטרים שעבורם \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

המשוואה האחרונה חייבת להחזיק עבור כל \(x\) מהתחום \(f(x)\), ומכאן \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

תשובה:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

משימה 3 #3069

רמת משימה: שווה לבחינת המדינה המאוחדת

מצא את כל הערכים של הפרמטר \(a\) , שלכל אחד מהם יש למשוואה \ 4 פתרונות, כאשר \(f\) היא פונקציה מחזורית זוגית עם נקודה \(T=\dfrac(16)3\) מוגדר על כל הקו האמיתי , ו-\(f(x)=ax^2\) עבור \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(משימה של מנויים)

מכיוון ש-\(f(x)\) היא פונקציה זוגית, הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y, לכן, כאשר \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . לפיכך, ב \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), וזהו קטע באורך \(\dfrac(16)3\), הפונקציה \(f(x)=ax^2\) .

1) תן \(a>0\) . אז הגרף של הפונקציה \(f(x)\) ייראה כך:


לאחר מכן, כדי שלמשוואה יהיו 4 פתרונות, יש צורך שהגרף \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) יעבור דרך הנקודה \(A\) :


לָכֵן, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( נאסף)\נכון.\]מאז \(a>0\) , אז \(a=\dfrac(18)(23)\) בסדר.

2) תן \(א<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


אנחנו צריכים את הגרף \(g(x)\) כדי לעבור דרך הנקודה \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(מיושר) \end(gathered)\right.\]מאז<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) המקרה שבו \(a=0\) אינו מתאים, כי אז \(f(x)=0\) עבור כל \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) וה- למשוואה יהיה רק ​​שורש אחד.

תשובה:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

משימה 4 #3072

רמת משימה: שווה לבחינת המדינה המאוחדת

מצא את כל הערכים \(a\), שלכל אחד מהם המשוואה \

יש לפחות שורש אחד.

(משימה של מנויים)

נכתוב מחדש את המשוואה בטופס \ ושקול שתי פונקציות: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ו-\(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
הפונקציה \(g(x)\) היא זוגית, בעלת נקודת מינימום \(x=0\) (ו-\(g(0)=49\) ).
הפונקציה \(f(x)\) עבור \(x>0\) הולכת ופוחתת, ועבור \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
ואכן, עבור \(x>0\) המודול השני מתרחב באופן חיובי (\(|x|=x\) ), לכן, ללא קשר לאופן התרחבות המודול הראשון, \(f(x)\) יהיה שווה ל-\ (kx+A\), כאשר \(A\) הוא ביטוי מ-\(a\) ו-\(k\) שווה ל-\(-9\) או ל-\(-3\) . עבור \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
מצא את הערך \(f\) בנקודה המקסימלית: \

כדי שלמשוואה תהיה לפחות פתרון אחד, יש צורך שבגרפים של הפונקציות \(f\) ו-\(g\) יהיו לפחות נקודת חיתוך אחת. לכן, אתה צריך: \ \\]

תשובה:

\(a\in \(-7\)\cup\)

משימה 5 #3912

רמת משימה: שווה לבחינת המדינה המאוחדת

מצא את כל הערכים של הפרמטר \(a\) , עבור כל אחד מהם המשוואה \

יש שישה פתרונות שונים.

בוא נעשה את ההחלפה \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . ואז המשוואה תקבל את הצורה \ נכתוב בהדרגה את התנאים שבהם למשוואה המקורית יהיו שישה פתרונות.
שימו לב שלמשוואה הריבועית \((*)\) יכולים להיות לכל היותר שני פתרונות. כל משוואה מעוקבת \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) יכולה לקבל לא יותר משלושה פתרונות. לכן, אם למשוואה \((*)\) יש שני פתרונות שונים (חיובי!, שכן \(t\) חייב להיות גדול מאפס) \(t_1\) ו-\(t_2\) , אז, לאחר שעשה את ההפך החלפה, אנחנו מקבלים: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\]מכיוון שכל מספר חיובי יכול להיות מיוצג כ-\(\sqrt2\) במידה מסוימת, למשל, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), אז המשוואה הראשונה של הסט תיכתב מחדש בטופס \ כפי שכבר אמרנו, לכל משוואה מעוקבת אין יותר משלושה פתרונות, לכן, לכל משוואה מהקבוצה לא יהיו יותר משלושה פתרונות. זה אומר שלסט כולו יהיו לא יותר משישה פתרונות.
המשמעות היא שכדי שלמשוואה המקורית יהיו שישה פתרונות, המשוואה הריבועית \((*)\) חייבת להיות בעלת שני פתרונות שונים, ולכל משוואה מעוקבת שנוצרת (מהקבוצה) חייבות להיות שלושה פתרונות שונים (ולא אחד פתרון של משוואה אחת צריך לעלות בקנה אחד עם איזו - או לפי ההחלטה של ​​השניה!)
ברור שאם למשוואה הריבועית \((*)\) יש פתרון אחד, אז לא נקבל שישה פתרונות למשוואה המקורית.

כך מתבררת תוכנית הפתרון. בואו נכתוב את התנאים שיש לעמוד בהם נקודה אחר נקודה.

1) כדי שלמשוואה \((*)\) יהיו שני פתרונות שונים, ההבחנה שלה חייבת להיות חיובית: \

2) אנחנו גם צריכים ששני השורשים יהיו חיוביים (כי \(t>0\) ). אם המכפלה של שני שורשים חיובית וסכומם חיובי, אז השורשים עצמם יהיו חיוביים. לכן, אתה צריך: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

לפיכך, כבר סיפקנו לעצמנו שני שורשים חיוביים מובהקים \(t_1\) ו-\(t_2\) .

3) בואו נסתכל על המשוואה הזו \ עבור מה \(t\) יהיו לו שלושה פתרונות שונים?
שקול את הפונקציה \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
ניתן להכפיל: \ לכן, האפסים שלו הם: \(x=-1;2\) .
אם נמצא את הנגזרת \(f"(x)=3x^2-6x\), אז נקבל שתי נקודות קיצון \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
לכן, הגרף נראה כך:


אנו רואים שכל קו אופקי \(y=k\) , כאשר \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)יש שלושה פתרונות שונים, יש צורך ש-\(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
לפיכך, אתה צריך: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] שים לב מיד שאם המספרים \(t_1\) ו-\(t_2\) שונים, אז המספרים \(\log_(\sqrt2)t_1\) ו-\(\log_(\sqrt2)t_2\) יהיו להיות שונה, אז המשוואות \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)ו \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)יהיו שורשים שונים.
ניתן לשכתב את המערכת \((**)\) כך: \[\begin(cases) 1

לפיכך, קבענו ששני השורשים של המשוואה \((*)\) חייבים להיות במרווח \((1;4)\) . איך כותבים את התנאי הזה?
לא נכתוב במפורש את השורשים.
שקול את הפונקציה \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . הגרף שלו הוא פרבולה עם ענפים כלפי מעלה, שיש לה שתי נקודות חיתוך עם ציר האבשיסה (כתבנו תנאי זה בפסקה 1)). איך צריך להיראות הגרף שלו כך שנקודות החיתוך עם ציר האבשיסה יהיו במרווח \((1;4)\) ? כך:


ראשית, הערכים \(g(1)\) ו-\(g(4)\) של הפונקציה בנקודות \(1\) ו-\(4\) חייבים להיות חיוביים, ושנית, הקודקוד של הפרבולה \(t_0\ ) חייבת להיות גם במרווח \((1;4)\) . לכן, המערכת יכולה להיכתב: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4ל-\(a\) תמיד יש לפחות שורש אחד \(x=0\) . לכן, כדי למלא את תנאי הבעיה, יש צורך שהמשוואה \

היו לו ארבעה שורשים מובהקים שאינם אפס, המייצגים יחד עם \(x=0\) התקדמות אריתמטית.

שימו לב שהפונקציה \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) היא זוגית, כך שאם \(x_0\) הוא השורש של המשוואה \((* )\ ), אז \(-x_0\) יהיה גם השורש שלו. אז יש צורך ששורשי המשוואה הזו יהיו מספרים בסדר עולה: \(-2d, -d, d, 2d\) (ואז \(d>0\) ). זה אז שחמשת המספרים הללו יהוו התקדמות אריתמטית (בהפרש \(d\) ).

כדי שהשורשים האלה יהיו המספרים \(-2d, -d, d, 2d\) , יש צורך שהמספרים \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) יהיו השורשים של המשוואה \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . ואז לפי משפט וייטה:

נכתוב מחדש את המשוואה בטופס \ ושקול שתי פונקציות: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ו-\(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
לפונקציה \(g(x)\) יש נקודת מקסימום \(x=0\) (ו \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). נגזרת אפס: \(x=0\) . עבור \(x<0\) имеем: \(g">0\) , עבור \(x>0\) : \(g"<0\) .
הפונקציה \(f(x)\) עבור \(x>0\) הולכת וגדלה, ועבור \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
ואכן, עבור \(x>0\) המודול הראשון מתרחב באופן חיובי (\(|x|=x\) ), לכן, ללא קשר לאופן התרחבות המודול השני, \(f(x)\) יהיה שווה ל-\ ( kx+A\) , כאשר \(A\) הוא ביטוי מ-\(a\) , ו-\(k\) הוא \(13-10=3\) או \(13+10=23\) . עבור \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
בוא נמצא את הערך \(f\) בנקודת המינימום: \

כדי שלמשוואה תהיה לפחות פתרון אחד, יש צורך שבגרפים של הפונקציות \(f\) ו-\(g\) יהיו לפחות נקודת חיתוך אחת. לכן, אתה צריך: \ בפתרון מערכת מערכות זו, אנו מקבלים את התשובה: \\]

תשובה:

\(a\in \(-2\)\cup\)