בהרצאה זו נכיר את הקשרים המוזרים בין שורשי משוואה ריבועית לבין המקדמים שלה. קשרים אלה התגלו לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט (1540-1603).

לדוגמה, עבור המשוואה Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, מבלי למצוא את השורשים שלה, אתה יכול, באמצעות משפט Vieta, לומר מיד שסכום השורשים הוא , ומכפלת השורשים היא
כלומר - 2. ועבור המשוואה x 2 - 6x + 8 \u003d 0 אנו מסיקים: סכום השורשים הוא 6, מכפלת השורשים היא 8; אגב, לא קשה לנחש למה השורשים שווים: 4 ו-2.
הוכחה למשפט וייטה. השורשים x 1 ו-x 2 של המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c \u003d 0 נמצאים לפי הנוסחאות

כאשר D \u003d b 2 - 4ac הוא המבחין של המשוואה. הנחת השורשים האלה
אנחנו מקבלים

כעת אנו מחשבים את המכפלה של השורשים x 1 ו- x 2 שיש לנו

הקשר השני מוכח:
תגובה. משפט וייטה תקף גם מתי משוואה ריבועיתיש שורש אחד (כלומר, כאשר D = 0), זה רק שבמקרה זה נחשב שלמשוואה יש שני שורשים זהים, עליהם חלים היחסים לעיל.
היחסים המוכחים עבור המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + px + q \u003d 0 לובשים צורה פשוטה במיוחד. במקרה זה, אנו מקבלים:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
הָהֵן. סכום השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה שווה למקדם השני, בסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי.
באמצעות משפט Vieta, ניתן לקבל גם קשרים אחרים בין השורשים והמקדמים של משוואה ריבועית. תנו, למשל, x 1 ו-x 2 להיות השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + px + q = 0. אז

עם זאת, המטרה העיקרית של משפט וייטה היא לא שהוא מבטא קשרים מסוימים בין השורשים והמקדמים של משוואה ריבועית. הרבה יותר חשובה היא העובדה שבעזרת משפט וייטה נגזרת נוסחה לפירוק טרינום ריבועי, שבלעדיה לא נסתדר בעתיד.

הוכחה. יש לנו

דוגמה 1. הפעל את הטרינום המרובע 3x 2 - 10x + 3.
פִּתָרוֹן. לאחר שפתרנו את המשוואה Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, אנו מוצאים את השורשים של הטרינום המרובע Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
באמצעות משפט 2, נקבל

זה הגיוני במקום לכתוב Zx - 1. ואז סוף סוף נקבל Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
שימו לב שניתן לחשב את הטרינום הריבועי הנתון ללא שימוש במשפט 2, בשיטת הקיבוץ:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

אבל, כפי שניתן לראות, בשיטה זו ההצלחה תלויה בשאלה האם נוכל למצוא קיבוץ מוצלח או לא, בעוד שבשיטה הראשונה ההצלחה מובטחת.
דוגמה 1. צמצם חלק

פִּתָרוֹן. מהמשוואה 2x 2 + 5x + 2 = 0 נמצא x 1 = - 2,

מהמשוואה x2 - 4x - 12 = 0 נמצא x 1 = 6, x 2 = -2. בגלל זה
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
כעת נפחית את השבר הנתון:

דוגמה 3. עשה פקטורון ביטויים:
א) x4 + 5x 2 +6; ב) 2x+-3
פתרון א) אנו מציגים משתנה חדש y = x 2 . זה יאפשר לנו לשכתב את הביטוי הנתון בצורה של טרינום ריבועי ביחס למשתנה y, כלומר בצורה y 2 + by + 6.
לאחר שפתרנו את המשוואה y 2 + by + 6 \u003d 0, אנו מוצאים את השורשים של הטרינום הריבועי y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. כעת אנו משתמשים במשפט 2; אנחנו מקבלים

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
נותר לזכור ש-y \u003d x 2, כלומר, חוזרים לביטוי הנתון. כך,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
ב) הבה נציג משתנה חדש y = . זה יאפשר לך לכתוב מחדש את הביטוי הנתון בצורה של טרינום ריבועי ביחס למשתנה y, כלומר בצורה 2y 2 + y - 3. לאחר שפתרת את המשוואה
2y 2 + y - 3 = 0, מצא את השורשים של הטרינום הריבועי 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . יתרה מכך, באמצעות משפט 2, נקבל:

נותר לזכור ש-y \u003d, כלומר, חוזרים לביטוי הנתון. כך,

הסעיף מסתיים בכמה שיקולים, הקשורים שוב למשפט Vieta, או ליתר דיוק, עם הקביעה ההפוכה:
אם המספרים x 1, x 2 הם כאלה ש-x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, אז המספרים האלה הם שורשי המשוואה
באמצעות הצהרה זו, ניתן לפתור משוואות ריבועיות רבות בעל פה, מבלי להשתמש בנוסחאות שורשים מסורבלות, וגם לחבר משוואות ריבועיות עם שורשים נתונים. בואו ניתן דוגמאות.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. כאן x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. קל לנחש ש-x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. כאן x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. קל לנחש ש-x 1 = -5, x 2 = -6.
שימו לב: אם האיבר החופשי של המשוואה הוא מספר חיובי, אז שני השורשים הם חיוביים או שליליים; זה חשוב לקחת בחשבון בעת ​​בחירת שורשים.

3) x 2 + x - 12 = 0. כאן x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. קל לנחש ש-x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
שימו לב: אם המונח החופשי של המשוואה הוא - מספר שלילי, אז השורשים שונים בסימן; זה חשוב לקחת בחשבון בעת ​​בחירת שורשים.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. קל לראות ש-x = 1 עונה על המשוואה, כלומר. x 1 \u003d 1 - שורש המשוואה. מאז x 1 x 2 \u003d -, ו-x 1 \u003d 1, אנחנו מקבלים את זה x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. כאן x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. אם תשים לב לעובדה ש-2830 = 283. 10, ו-293 \u003d 283 + 10, אז מתברר ש-x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (עכשיו תארו לעצמכם אילו חישובים יש לבצע כדי לפתור את המשוואה הריבועית הזו באמצעות נוסחאות סטנדרטיות).

6) בואו נרכיב משוואה ריבועית כך שהמספרים x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 ישמשו כשורשים שלה. בדרך כלל במקרים כאלה הם מרכיבים את המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + px + q \u003d 0.
יש לנו x 1 + x 2 \u003d -p, ולכן 8 - 4 \u003d -p, כלומר, p \u003d -4. יתר על כן, x 1 x 2 = q, כלומר. 8"(-4) = q, ומשם נקבל q = -32. אז, p \u003d -4, q \u003d -32, כלומר למשוואה הריבועית הרצויה יש את הצורה x 2 -4x-32 \u003d 0.

משפט וייטה (ליתר דיוק, המשפט משפט הפוך Vieta) מאפשר לך להפחית את הזמן לפתרון משוואות ריבועיות. אתה רק צריך לדעת איך להשתמש בו. איך ללמוד לפתור משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה? זה קל אם אתה חושב קצת.

כעת נדבר רק על פתרון המשוואה הריבועית המופחתת באמצעות משפט Vieta. המשוואה הריבועית המופחתת היא משוואה שבה a, כלומר המקדם מול x², שווה לאחד. ניתן לפתור משוואות ריבועיות שלא נתנו גם באמצעות משפט Vieta, אבל שם כבר לפחות אחד מהשורשים אינו מספר שלם. קשה יותר לנחש אותם.

המשפט הפונה למשפט וייטה אומר: אם המספרים x1 ו-x2 הם כאלה

אז x1 ו-x2 הם השורשים של המשוואה הריבועית

כאשר פותרים משוואה ריבועית באמצעות משפט Vieta, רק 4 אפשרויות אפשריות. אם אתה זוכר את מהלך ההיגיון, אתה יכול ללמוד למצוא שורשים שלמים מהר מאוד.

I. אם q הוא מספר חיובי,

זה אומר שהשורשים x1 ו-x2 הם מספרים של אותו סימן (מכיוון שרק כאשר מכפילים מספרים עם אותם סימנים, מתקבל מספר חיובי).

א.א. אם -p הוא מספר חיובי, (בהתאמה, עמ'<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. אם -p הוא מספר שלילי, (בהתאמה, p>0), אז שני השורשים הם מספרים שליליים (הם הוסיפו מספרים מאותו סימן, קיבלו מספר שלילי).

II. אם q הוא מספר שלילי,

המשמעות היא שלשורשים x1 ו-x2 יש סימנים שונים (כאשר מכפילים מספרים, מספר שלילי מתקבל רק כאשר הסימנים של הגורמים שונים). במקרה זה, x1 + x2 אינם עוד סכום, אלא הבדל (אחרי הכל, כאשר מוסיפים מספרים עם סימנים שוניםאנו מפחיתים את הקטן מהמודולו הגדול יותר). לכן, x1 + x2 מראה עד כמה השורשים x1 ו-x2 נבדלים, כלומר כמה שורש אחד גדול מהשני (מודולו).

II.a. אם -p הוא מספר חיובי, (כלומר עמ'<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.ב. אם -p הוא מספר שלילי, (p>0), אז השורש הגדול יותר (מודולו) הוא מספר שלילי.

שקול את הפתרון של משוואות ריבועיות לפי משפט וייטה באמצעות דוגמאות.

פתרו את המשוואה הריבועית הנתונה באמצעות משפט וייטה:

כאן q=12>0, כך שהשורשים x1 ו-x2 הם מספרים של אותו סימן. הסכום שלהם הוא -p=7>0, כך ששני השורשים הם מספרים חיוביים. אנו בוחרים מספרים שלמים שהמכפלה שלהם היא 12. אלו הם 1 ו-12, 2 ו-6, 3 ו-4. הסכום הוא 7 עבור הזוג 3 ו-4. לפיכך, 3 ו-4 הם שורשי המשוואה.

בדוגמה זו, q=16>0, כלומר השורשים x1 ו-x2 הם מספרים של אותו סימן. הסכום שלהם -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

כאן q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, אז המספר הגדול יותר חיובי. אז השורשים הם 5 ו-3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

ישנם מספר קשרים במשוואות ריבועיות. העיקריים שבהם הם היחסים בין שורשים ומקדמים. כמו כן, מספר קשרים פועלים במשוואות ריבועיות, הניתנות על ידי משפט וייטה.

בנושא זה, אנו מציגים את משפט וייטה עצמו ואת ההוכחה שלו למשוואה ריבועית, משפט הפונה למשפט וייטה, ומנתחים מספר דוגמאות לפתרון בעיות. נקדיש תשומת לב מיוחדת בחומר להתחשבות בנוסחאות ה-Vieta, המגדירות את הקשר בין השורשים האמיתיים של משוואת התואר האלגברית. נוהמקדמים שלו.

Yandex.RTB R-A-339285-1

הצהרה והוכחה למשפט וייטה

הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית a x 2 + b x + c = 0מהצורה x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, שבו D = b 2 − 4 a c, קובע את היחס x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. זה מאושר על ידי המשפט של וייטה.

משפט 1

במשוואה ריבועית a x 2 + b x + c = 0, איפה x 1ו x2- שורשים, סכום השורשים יהיה שווה ליחס המקדמים בו א, שנלקח עם הסימן ההפוך, ומכפלת השורשים תהיה שווה ליחס המקדמים גו א, כלומר x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

הוכחה 1

אנו מציעים לך את הסכמה הבאה לעריכת ההוכחה: אנו לוקחים את נוסחת השורשים, מרכיבים את הסכום והמכפלה של השורשים של המשוואה הריבועית ולאחר מכן הופכים את הביטויים המתקבלים על מנת לוודא שהם שווים -ב או ג אבהתאמה.

חבר את סכום השורשים x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. נביא את השברים למכנה משותף - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. נפתח את הסוגריים במונה של השבר המתקבל וניתן איברים דומים: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . הפחת את השבר ב: 2 - b a \u003d - b a.

אז הוכחנו את הקשר הראשון של משפט וייטה, המתייחס לסכום השורשים של משוואה ריבועית.

כעת נעבור ליחס השני.

לשם כך, עלינו להרכיב את המכפלה של השורשים של המשוואה הריבועית: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

זכור את הכלל להכפלת שברים וכתוב את המכפלה האחרונה באופן הבא: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

נבצע את הכפלת הסוגר בסוגר במונה השבר, או נשתמש בנוסחה של הפרש הריבועים על מנת להפוך את המכפלה הזו מהר יותר: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

בואו נשתמש בהגדרה של שורש ריבועי כדי לבצע את המעבר הבא: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . נוּסחָה D = b 2 − 4 a cמתאים לאבחנה של המשוואה הריבועית, לפיכך, לשבר במקום דניתן להחליף b 2 - 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

בואו נפתח את הסוגריים, ניתן מונחים כמו ונקבל: 4 · a · c 4 · a 2 . אם נקצר את זה ל 4 א, ואז c a נשאר. אז הוכחנו את הקשר השני של משפט וייטה למכפלת השורשים.

תיעוד ההוכחה למשפט וייטה יכול לקבל צורה תמציתית מאוד, אם נשמיט את ההסברים:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 2 a 4 a = D 2 - D 2 2 a 4 a = D = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

כאשר המבחין של משוואה ריבועית הוא אפס, למשוואה יהיה רק ​​שורש אחד. כדי שנוכל ליישם את משפט וייטה על משוואה כזו, אנו יכולים להניח שלמשוואה עם מבחין השווה לאפס יש שני שורשים זהים. אכן, ב D=0השורש של המשוואה הריבועית הוא: - b 2 a, ואז x 1 + x 2 = - b 2 a + - b 2 a = - b + (- b) 2 a = - 2 b 2 a = - b a ו-x 1 x 2 = - b 2 a - b 2 a = - b - b 4 a 2 = b 2, - 0 = a = a 2, - 0 , מכאן b 2 = 4 a c, אז b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

לרוב בפועל, משפט Vieta מיושם ביחס למשוואה הריבועית המופחתת של הצורה x 2 + p x + q = 0, כאשר המקדם המוביל a שווה ל-1. בהקשר זה, משפט וייטה מנוסח בדיוק עבור משוואות מסוג זה. זה לא מגביל את הכלליות בשל העובדה שניתן להחליף כל משוואה ריבועית במשוואה מקבילה. לשם כך, יש צורך לחלק את שני חלקיו במספר a, השונה מאפס.

הבה נביא ניסוח נוסף של משפט וייטה.

משפט 2

סכום השורשים במשוואה הריבועית הנתונה x 2 + p x + q = 0יהיה שווה למקדם ב-x, הנלקח עם הסימן ההפוך, מכפלת השורשים תהיה שווה לאיבר החופשי, כלומר. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

משפט הפוך למשפט של וייטה

אם אתה מסתכל מקרוב על הניסוח השני של משפט וייטה, אתה יכול לראות את זה עבור השורשים x 1ו x2משוואה ריבועית מופחתת x 2 + p x + q = 0יחסים x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q יהיו תקפים. מהיחסים האלה x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, נובע כי x 1ו x2הם שורשי המשוואה הריבועית x 2 + p x + q = 0. כך אנו מגיעים למשפט שהוא היפוך של משפט וייטה.

כעת אנו מציעים לנסח משפט זה כמשפט ולבצע את הוכחתו.

משפט 3

אם מספרים x 1ו x2הם כאלה x 1 + x 2 = − pו x 1 x 2 = q, זה x 1ו x2הם השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + p x + q = 0.

הוכחה 2

שינוי מקדמים עו שלביטוי שלהם דרך x 1ו x2מאפשר לך לשנות את המשוואה x 2 + p x + q = 0בשווי ערך .

אם נחליף את המספר במשוואה המתקבלת x 1במקום איקס, אז נקבל את השוויון x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. השוויון הזה לכל x 1ו x2הופך לשוויון מספרי אמיתי 0 = 0 , כי x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. זה אומר ש x 1- שורש המשוואה x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, אז מה x 1הוא גם השורש של המשוואה המקבילה x 2 + p x + q = 0.

החלפת משוואות x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0מספרים x2במקום x מאפשר לך לקבל שוויון x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. שוויון זה יכול להיחשב נכון, שכן x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. מסתבר ש x2הוא שורש המשוואה x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, ומכאן המשוואות x 2 + p x + q = 0.

המשפט הפונה למשפט וייטה מוכח.

דוגמאות לשימוש במשפט וייטה

כעת נמשיך לניתוח הדוגמאות האופייניות ביותר בנושא. נתחיל בניתוח של בעיות הדורשות יישום המשפט, ההפך ממשפט וייטה. ניתן להשתמש בו כדי לבדוק את המספרים שהתקבלו במהלך החישובים, האם הם השורשים של משוואה ריבועית נתונה. כדי לעשות זאת, עליך לחשב את הסכום וההפרש שלהם, ולאחר מכן לבדוק את תקפות היחסים x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

מימוש שני היחסים מצביע על כך שהמספרים המתקבלים במהלך החישובים הם שורשי המשוואה. אם נראה שלפחות אחד מהתנאים לא מתקיים, אז המספרים האלה לא יכולים להיות שורשי המשוואה הריבועית שניתנה במצב הבעיה.

דוגמה 1

איזה מזוגות המספרים 1) x 1 \u003d - 5, x 2 \u003d 3, או 2) x 1 \u003d 1 - 3, x 2 \u003d 3 + 3, או 3) x 1 \u003d 2 + 7 0, x 2 \u tic של 2, x 2 \u tic של 2, x 2 \u tic של 2 - משוואה 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

פִּתָרוֹן

מצא את המקדמים של המשוואה הריבועית 4 x 2 - 16 x + 9 = 0 .זהו a = 4 , b = − 16 , c = 9 . בהתאם למשפט Vieta, סכום השורשים של המשוואה הריבועית חייב להיות שווה ל -ב א, זה, 16 4 = 4 , ומכפלת השורשים צריכה להיות שווה ל ג א, זה, 9 4 .

בואו נבדוק את המספרים שהתקבלו על ידי חישוב הסכום והמכפלה של מספרים משלושה זוגות נתונים והשוואתם לערכים שהתקבלו.

במקרה הראשון x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. ערך זה שונה מ-4, כך שאינך צריך להמשיך לבדוק. על פי המשפט, היפוכו של משפט וייטה, אנו יכולים מיד להסיק שזוג המספרים הראשון אינם השורשים של המשוואה הריבועית הזו.

במקרה השני x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. אנו רואים כי התנאי הראשון מתקיים. אבל התנאי השני אינו: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. הערך שקיבלנו שונה ממנו 9 4 . המשמעות היא שזוג המספרים השני אינם שורשי המשוואה הריבועית.

נעבור לזוג השלישי. כאן x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ו-x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . שני התנאים מתקיימים, כלומר x 1ו x2הם השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה.

תשובה: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

אנו יכולים גם להשתמש בהיפוך של משפט וייטה כדי למצוא את השורשים של משוואה ריבועית. הדרך הקלה ביותר היא לבחור שורשים שלמים של המשוואות הריבועיות הנתונות עם מקדמים שלמים. אפשר לשקול גם אפשרויות אחרות. אבל זה יכול לסבך באופן משמעותי את החישובים.

כדי לבחור את השורשים, נשתמש בעובדה שאם סכום שני מספרים שווה למקדם השני של המשוואה הריבועית, נלקח בסימן מינוס, והמכפלה של המספרים הללו שווה לאיבר החופשי, אז המספרים הללו הם השורשים של המשוואה הריבועית הזו.

דוגמה 2

כדוגמה, אנו משתמשים במשוואה הריבועית x 2 − 5 x + 6 = 0. מספרים x 1ו x2יכולים להיות שורשי המשוואה הזו אם שני השוויון מתקיימים x1 + x2 = 5ו x 1 x 2 = 6. בוא נבחר את המספרים האלה. אלו הם המספרים 2 ו-3 כי 2 + 3 = 5 ו 2 3 = 6. מסתבר ש-2 ו-3 הם השורשים של המשוואה הריבועית הזו.

ניתן להשתמש בהיפוך של משפט וייטה כדי למצוא את השורש השני כאשר הראשון ידוע או ברור. לשם כך נוכל להשתמש ביחסים x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

דוגמה 3

שקול את המשוואה הריבועית 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. אנחנו צריכים למצוא את השורשים של המשוואה הזו.

פִּתָרוֹן

השורש הראשון של המשוואה הוא 1 מכיוון שסכום המקדמים של המשוואה הריבועית הזו הוא אפס. מסתבר ש x 1 = 1.

עכשיו בואו נמצא את השורש השני. כדי לעשות זאת, אתה יכול להשתמש ביחס x 1 x 2 = c a. מסתבר ש 1 x 2 = − 3 512, איפה x 2 \u003d - 3 512.

תשובה:שורשי המשוואה הריבועית המצוינת במצב הבעיה 1 ו - 3 512 .

אפשר לבחור שורשים באמצעות המשפט הפונה למשפט וייטה רק במקרים פשוטים. במקרים אחרים, עדיף לחפש באמצעות הנוסחה של שורשי המשוואה הריבועית דרך המבחין.

הודות למשפט ההפוך של וייטה, אנו יכולים ליצור גם משוואות ריבועיות בהינתן השורשים x 1ו x2. לשם כך, עלינו לחשב את סכום השורשים, אשר נותן את המקדם ב איקסעם הסימן ההפוך של המשוואה הריבועית המופחתת, ומכפלת השורשים, שנותנת את האיבר החופשי.

דוגמה 4

כתבו משוואה ריבועית ששורשיה הם מספרים − 11 ו 23 .

פִּתָרוֹן

בואו נקבל את זה x 1 = − 11ו x2 = 23. הסכום והמכפלה של המספרים הללו יהיו שווים ל: x1 + x2 = 12ו x 1 x 2 = − 253. המשמעות היא שהמקדם השני הוא 12, המונח החופשי − 253.

אנחנו עושים משוואה: x 2 - 12 x - 253 = 0.

תשובה: x 2 - 12 x - 253 = 0 .

נוכל להשתמש במשפט Vieta כדי לפתור בעיות הקשורות לסימני השורשים של משוואות ריבועיות. הקשר בין משפט וייטה קשור לסימני השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת x 2 + p x + q = 0בצורה הבאה:

• אם למשוואה הריבועית יש שורשים אמיתיים ואם האיבר החופשי שהוא מספר חיובי, אז לשורשים האלה יהיה אותו סימן "+" או "-";
• אם למשוואה הריבועית יש שורשים ואם האיבר החופשי שהוא מספר שלילי, אז שורש אחד יהיה "+" והשני "-".

שתי ההצהרות הללו הן תוצאה של הנוסחה x 1 x 2 = qוכללי הכפל למספרים חיוביים ושליליים, וכן למספרים בעלי סימנים שונים.

דוגמה 5

הם השורשים של משוואה ריבועית x 2 - 64 x - 21 = 0חִיוּבִי?

פִּתָרוֹן

לפי משפט וייטה, השורשים של המשוואה הזו לא יכולים להיות שניהם חיוביים, מכיוון שהם חייבים לעמוד בשוויון x 1 x 2 = − 21. זה לא אפשרי עם חיובי x 1ו x2.

תשובה:לא

דוגמה 6

באילו ערכים של הפרמטר רמשוואה ריבועית x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0יהיו שני שורשים אמיתיים עם סימנים שונים.

פִּתָרוֹן

בואו נתחיל בלמצוא את הערכים של מה ר, שעבורו יש למשוואה שני שורשים. תנו לנו למצוא את המפלה ונראה על מה רזה ייקח ערכים חיוביים. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. ערך ביטוי r2 + 8חיובי לכל אמיתי ר, לפיכך, המבחין יהיה גדול מאפס עבור כל אמיתי ר. המשמעות היא שלמשוואה הריבועית המקורית יהיו שני שורשים לכל ערכים אמיתיים של הפרמטר ר.

עכשיו בואו נראה מתי לשורשים יהיו סימנים שונים. זה אפשרי אם המוצר שלהם שלילי. לפי משפט וייטה, מכפלת השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת שווה לאיבר החופשי. אז הפתרון הנכון הוא הערכים האלה ר, שעבורו האיבר החופשי r − 1 שלילי. אנו פותרים את אי השוויון הליניארי r − 1< 0 , получаем r < 1 .

תשובה:ב-r< 1 .

נוסחאות וייטה

ישנן מספר נוסחאות שמתאימות לביצוע פעולות עם שורשים ומקדמים של לא רק ריבוע, אלא גם מעוקב וסוגים אחרים של משוואות. הם נקראים נוסחאות וייטה.

למשוואה אלגברית של תואר נמהצורה a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 המשוואה נחשבת כבעלת נשורשים אמיתיים x 1 , x 2 , … , x n, אשר עשוי לכלול את הדברים הבאים:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +. . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

הגדרה 1

קבל את הנוסחאות של Vieta עזרו לנו:

• משפט על פירוק פולינום לגורמים ליניאריים;
• הגדרה של פולינומים שווים באמצעות השוויון של כל המקדמים המתאימים להם.

אז, הפולינום a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n והרחבתו לגורמים ליניאריים בצורה a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) שווים.

אם נפתח את הסוגריים במוצר האחרון ונשווה את המקדמים המתאימים, אז נקבל את נוסחאות ה-Vieta. אם ניקח את n \u003d 2, נוכל לקבל את נוסחת Vieta עבור המשוואה הריבועית: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

הגדרה 2

הנוסחה של וייטה למשוואה מעוקבת:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

הצד השמאלי של נוסחאות ה-Vieta מכיל את מה שנקרא פולינומים סימטריים אלמנטריים.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

המהות של טכניקה זו היא למצוא את השורשים ללא עזרת המאבחן. עבור משוואה בצורה x2 + bx + c = 0, שבה יש שני שורשים ממש שונים, שתי הצהרות נכונות.

ההצהרה הראשונה אומרת שסכום השורשים של משוואה זו שווה לערך המקדם של המשתנה x (במקרה זה הוא b), אך עם הסימן ההפוך. מבחינה ויזואלית, זה נראה כך: x1 + x2 = −b.

האמירה השנייה כבר לא קשורה לסכום, אלא למכפלה של אותם שני שורשים. מוצר זה משווה למקדם חופשי, כלומר. ג. או, x1 * x2 = c. שתי הדוגמאות הללו נפתרות במערכת.

משפט וייטה מפשט מאוד את הפתרון, אבל יש לו מגבלה אחת. יש לצמצם משוואה ריבועית שניתן למצוא את שורשיה באמצעות טכניקה זו. במשוואה לעיל עבור מקדם a, זה שלפני x2 שווה לאחד. ניתן לצמצם כל משוואה לצורה דומה על ידי חלוקת הביטוי במקדם הראשון, אך פעולה זו אינה תמיד רציונלית.

הוכחה למשפט

ראשית, עלינו לזכור כיצד, לפי המסורת, נהוג לחפש את השורשים של משוואה ריבועית. השורש הראשון והשני נמצאים, כלומר: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. בדרך כלל מתחלק ב-2a, אבל, כפי שכבר הוזכר, ניתן ליישם את המשפט רק כאשר a=1.

ידוע ממשפט וייטה שסכום השורשים שווה למקדם השני עם סימן מינוס. זה אומר ש-x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

הדבר נכון גם למכפלת שורשים לא ידועים: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. בתורו, D = b2-4c (שוב, עם a=1). מסתבר שהתוצאה היא: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

מההוכחה הפשוטה לעיל, ניתן להסיק רק מסקנה אחת: משפט וייטה מאושש לחלוטין.

ניסוח שני והוכחה

למשפט וייטה יש פרשנות נוספת. ליתר דיוק, זה לא פרשנות, אלא ניסוח. העובדה היא שאם מתקיימים אותם תנאים כמו במקרה הראשון: ישנם שני שורשים אמיתיים שונים, אז ניתן לכתוב את המשפט בנוסחה שונה.

השוויון הזה נראה כך: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). אם הפונקציה P(x) חותכת בשתי נקודות x1 ו-x2, אז ניתן לכתוב אותה כ-P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). במקרה שבו ל-P יש את התואר השני, וכך בדיוק נראה הביטוי המקורי, אז R הוא מספר ראשוני, כלומר 1. משפט זה נכון מהסיבה שאם לא כן, השוויון לא יתקיים. מקדם x2 בעת פתיחת סוגריים לא צריך להיות יותר מאחד, והביטוי צריך להישאר מרובע.

אחת השיטות לפתרון משוואה ריבועית היא היישום נוסחאות VIETA, שנקראה על שם פרנסואיס וייט.

הוא היה עורך דין מפורסם, ושירת במאה ה-16 אצל המלך הצרפתי. בזמנו הפנוי למד אסטרונומיה ומתמטיקה. הוא יצר קשר בין השורשים והמקדמים של משוואה ריבועית.

יתרונות הנוסחה:

1 . על ידי יישום הנוסחה, אתה יכול למצוא במהירות את הפתרון. מכיוון שלא צריך להזין את המקדם השני בריבוע, ואז להחסיר ממנו 4ac, למצוא את המבחין, להחליף את הערך שלו בנוסחה למציאת השורשים.

2 . ללא פתרון, אתה יכול לקבוע את סימני השורשים, לאסוף את ערכי השורשים.

3 . לאחר שפתרו את המערכת של שני רשומות, לא קשה למצוא את השורשים עצמם. במשוואה הריבועית לעיל, סכום השורשים שווה לערך המקדם השני עם סימן מינוס. מכפלת השורשים במשוואה הריבועית לעיל שווה לערכו של המקדם השלישי.

4 . לפי השורשים הנתונים, כתוב משוואה ריבועית, כלומר לפתור את הבעיה ההפוכה. לדוגמה, שיטה זו משמשת בפתרון בעיות במכניקה תיאורטית.

5 . נוח ליישם את הנוסחה כאשר המקדם המוביל שווה לאחד.

פגמים:

1 . הנוסחה אינה אוניברסלית.

משפט וייטה כיתה ח'

נוּסחָה
אם x 1 ו-x 2 הם השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה x 2 + px + q \u003d 0, אז:

דוגמאות
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - השורשים של המשוואה x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

משפט הפוך

נוּסחָה
אם המספרים x 1 , x 2 , p, q מחוברים בתנאים:

אז x 1 ו-x 2 הם השורשים של המשוואה x 2 + px + q = 0.

דוגמא
בואו נעשה משוואה ריבועית לפי השורשים שלה:

X 1 \u003d 2 -? 3 ו-x 2 \u003d 2+? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

למשוואה הרצויה יש את הצורה: x 2 - 4x + 1 = 0.