מערכת הומוגנית היא תמיד עקבית ויש לה פתרון טריוויאלי
. כדי להתקיים פתרון לא טריוויאלי, יש צורך בדרגת המטריצה היה פחות מספרלא ידוע:

.

מערכת בסיסית של פתרונות מערכת הומוגנית
לקרוא למערכת של פתרונות בצורה של וקטורים עמודים
, התואמים את הבסיס הקנוני, כלומר. בסיס שבו קבועים שרירותיים
מוגדרים לסירוגין שווה לאחד, בעוד השאר מוגדרים לאפס.

אז לפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית יש את הצורה:

איפה
- קבועים שרירותיים. במילים אחרות, הפתרון הכולל הוא שילוב ליניארי של מערכת הפתרונות הבסיסית.

לפיכך, ניתן לקבל פתרונות בסיסיים מהפתרון הכללי אם נותנים לבלתי ידועים החופשיים את הערך של אחד בתורו, ומציבים את כל האחרים כשווים לאפס.

דוגמא. בואו למצוא פתרון למערכת

בוא נקבל , ואז נקבל פתרון בצורה:

הבה נבנה כעת מערכת בסיסית של פתרונות:

.

הפתרון הכללי ייכתב כך:

פתרונות של מערכת הומוגנית משוואות ליניאריותיש מאפיינים:

במילים אחרות, כל שילוב ליניארי של פתרונות למערכת הומוגנית הוא שוב פתרון.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות בשיטת גאוס

פתרון מערכות של משוואות ליניאריות עניין מתמטיקאים כבר כמה מאות שנים. התוצאות הראשונות התקבלו במאה ה-18. בשנת 1750 פרסם G. Kramer (1704–1752) את עבודותיו על הקובעים של מטריצות מרובעות והציע אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה. בשנת 1809, גאוס התווה שיטת פתרון חדשה המכונה שיטת החיסול.

שיטת גאוס, או השיטה של ​​חיסול רציף של לא ידועים, מורכבת מהעובדה שבאמצעות טרנספורמציות יסודיות, מערכת משוואות מצטמצמת למערכת מקבילה של צורה שלבים (או משולשים). מערכות כאלה מאפשרות למצוא ברצף את כל הלא ידועים בסדר מסוים.

הבה נניח שבמערכת (1)
(מה שתמיד אפשרי).

(1)

הכפלת המשוואה הראשונה בזה אחר זה במה שנקרא מספרים מתאימים

ומוסיפים את תוצאת הכפל עם המשוואות המתאימות של המערכת, נקבל מערכת שוות ערך שבה בכל המשוואות מלבד הראשונה לא יהיה לא ידוע איקס 1

(2)

הבה נכפיל כעת את המשוואה השנייה של מערכת (2) במספרים מתאימים, בהנחה ש

,

ומוסיפים אותו עם התחתונים, אנו מבטלים את המשתנה מכל המשוואות, החל מהשלישית.

המשך תהליך זה, לאחר
שלב שנקבל:

(3)

אם לפחות אחד מהמספרים
אינו שווה לאפס, אז השוויון המקביל סותר והמערכת (1) אינה עקבית. לעומת זאת, עבור כל מערכת מספרים משותפת
שווים לאפס. מספר הוא לא יותר מדרגת המטריצה ​​של המערכת (1).

המעבר ממערכת (1) ל-(3) נקרא ישר שיטת גאוס, ומציאת הלא ידועים מ-(3) – בכיוון הפוך .

תגובה : נוח יותר לבצע טרנספורמציות לא עם המשוואות עצמן, אלא עם המטריצה ​​המורחבת של המערכת (1).

דוגמא. בואו למצוא פתרון למערכת

.

בוא נכתוב את המטריצה ​​המורחבת של המערכת:

.

בוא נוסיף את הראשון לשורות 2,3,4, כפול (-2), (-3), (-2) בהתאמה:

.

בואו נחליף שורות 2 ו-3, ואז במטריצה ​​שהתקבלה נוסיף שורה 2 לשורה 4, כפול ב :

.

הוסף לשורה 4 שורה 3 כפול
:

.

זה ברור ש
לכן, המערכת עקבית. ממערכת המשוואות שנוצרה

נמצא את הפתרון על ידי החלפה הפוכה:

,
,
,
.

דוגמה 2.מצא פתרון למערכת:

.

ברור שהמערכת לא עקבית, כי
, א
.

יתרונות שיטת גאוס :

פחות עבודה אינטנסיבית מהשיטה של ​​קריימר.

מבסס באופן חד משמעי את תאימות המערכת ומאפשר לך למצוא פתרון.

מאפשר לקבוע את הדרגה של כל מטריצות.

נקראת מערכת של משוואות ליניאריות שבה כל האיברים החופשיים שווים לאפס הוֹמוֹגֵנִי :

כל מערכת הומוגנית היא תמיד עקבית, שכן היא תמיד קיימת אֶפֶס (קַטנוּנִי ) פתרון. נשאלת השאלה באילו תנאים תהיה למערכת הומוגנית פתרון לא טריוויאלי.

משפט 5.2.למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם דרגת המטריצה ​​הבסיסית קטנה ממספר הלא ידועים שלה.

תוֹצָאָה. למערכת הומוגנית מרובעת יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הקובע של המטריצה ​​הראשית של המערכת אינו שווה לאפס.

דוגמה 5.6.קבע את ערכי הפרמטר l שבו למערכת יש פתרונות לא טריוויאליים, ומצא את הפתרונות הבאים:

פִּתָרוֹן. למערכת זו יהיה פתרון לא טריוויאלי כאשר הקובע של המטריצה ​​הראשית שווה לאפס:

לפיכך, המערכת אינה טריוויאלית כאשר l=3 או l=2. עבור l=3, דרגת המטריצה ​​הראשית של המערכת היא 1. לאחר מכן, השאר רק משוואה אחת ובהנחה ש y=או ז=ב, אנחנו מקבלים x=b-a, כלומר

עבור l=2, הדרגה של המטריצה ​​הראשית של המערכת היא 2. לאחר מכן, בחירת הקטין כבסיס:

אנחנו מקבלים מערכת פשוטה

מכאן אנו מוצאים את זה x=z/4, y=z/2. מאמין ז=4א, אנחנו מקבלים

לסט של כל הפתרונות של מערכת הומוגנית יש חשיבות רבה תכונה ליניארית : אם עמודות X 1 ו-X 2 - פתרונות למערכת הומוגנית AX = 0, ואז כל שילוב ליניארי שלהםא איקס 1 + ב איקס 2 יהיה גם פתרון למערכת הזו. אכן, מאז גַרזֶן 1 = 0 ו גַרזֶן 2 = 0 , זה א(א איקס 1 + ב איקס 2) = א גַרזֶן 1 + ב גַרזֶן 2 = a · 0 + b · 0 = 0. בגלל תכונה זו, אם למערכת לינארית יש יותר מפתרון אחד, אז יהיה מספר אינסופי של פתרונות אלה.

עמודות עצמאיות באופן ליניארי ה 1 , ה 2 , אק, שהם פתרונות של מערכת הומוגנית, נקראים מערכת בסיסית של פתרונות מערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות אם ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של מערכת זו כשילוב ליניארי של העמודות הללו:

אם יש מערכת הומוגנית נמשתנים, ודרגת המטריצה ​​הראשית של המערכת שווה ל ר, זה ק = נ-ר.

דוגמה 5.7.מצא את מערכת הפתרונות הבסיסית למערכת המשוואות הלינאריות הבאה:

פִּתָרוֹן. בואו נמצא את הדרגה של המטריצה ​​הראשית של המערכת:

לפיכך, קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הזו יוצרת תת-מרחב ליניארי של מימד נ-ר= 5 - 2 = 3. בוא נבחר מינור כבסיס

.

לאחר מכן, אם נשאיר רק את המשוואות הבסיסיות (השאר יהיה שילוב ליניארי של המשוואות הללו) והמשתנים הבסיסיים (אנחנו מזיזים את השאר, מה שנקרא משתנים חופשיים ימינה), נקבל מערכת משוואות פשוטה:

מאמין איקס 3 = א, איקס 4 = ב, איקס 5 = ג, אנחנו מוצאים

, .

מאמין א= 1, b = ג= 0, נקבל את הראשון פתרון בסיסי; מאמין ב= 1, a = ג= 0, נקבל את הפתרון הבסיסי השני; מאמין ג= 1, a = ב= 0, נקבל את הפתרון הבסיסי השלישי. כתוצאה מכך, נורמלי מערכת יסודההחלטות יתקבלו בצורה

באמצעות המערכת הבסיסית, ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של מערכת הומוגנית

איקס = aE 1 + לִהיוֹת 2 + לִספִירַת הַנוֹצרִים 3. א

הבה נציין כמה תכונות של פתרונות למערכת לא הומוגנית של משוואות ליניאריות AX=Bוהקשר שלהם עם מערכת המשוואות ההומוגנית המקבילה AX = 0.

פתרון כללי של מערכת לא הומוגניתשווה לסכום הפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית המקבילה AX = 0 ופתרון פרטני שרירותי של המערכת הלא-הומוגנית. אכן, תן י 0 הוא פתרון פרטני שרירותי של מערכת לא הומוגנית, כלומר. AY 0 = ב, ו י- פתרון כללי של מערכת הטרוגנית, כלומר. AY=B. אם נחסר שוויון אחד מהשני, אנחנו מקבלים
א(Y-Y 0) = 0, כלומר. Y-Y 0 הוא הפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית המתאימה גַרזֶן=0. לָכֵן, Y-Y 0 = איקס, או Y=Y 0 + איקס. Q.E.D.

תן למערכת הבלתי-הומוגנית את הצורה AX = B 1 + ב 2 . אז ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של מערכת כזו כ-X = X 1 + איקס 2 , איפה AX 1 = ב 1 ו-AX 2 = ב 2. תכונה זו מבטאת את הקניין האוניברסלי של כל אחד מערכות ליניאריות(אלגברי, דיפרנציאלי, פונקציונלי וכו'). בפיזיקה תכונה זו נקראת עקרון סופרפוזיציה, בהנדסת חשמל ורדיו - עקרון הסופרפוזיציה. לדוגמה, בתיאוריה של מעגלים חשמליים ליניאריים, ניתן לקבל את הזרם בכל מעגל כ סכום אלגבריזרמים הנגרמים על ידי כל מקור אנרגיה בנפרד.

לתת M 0 – קבוצת פתרונות למערכת הומוגנית (4) של משוואות ליניאריות.

הגדרה 6.12.וקטורים עם 1 ,עם 2 , …, עם ע, שהם פתרונות של מערכת הומוגנית של משוואות לינאריות נקראות סט בסיסי של פתרונות(בקיצור FNR), אם

1) וקטורים עם 1 ,עם 2 , …, עם עבלתי תלוי ליניארי (כלומר, אף אחד מהם לא יכול לבוא לידי ביטוי במונחים של האחרים);

2) ניתן לבטא כל פתרון אחר למערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות במונחים של פתרונות עם 1 ,עם 2 , …, עם ע.

שימו לב שאם עם 1 ,עם 2 , …, עם ע– כל f.n.r., ואז הביטוי ק 1× עם 1 + ק 2× עם 2 + … + k p× עם עאתה יכול לתאר את כל הסט M 0 פתרונות למערכת (4), כך היא נקראת מבט כללי על פתרון המערכת (4).

משפט 6.6.לכל מערכת הומוגנית בלתי מוגדרת של משוואות ליניאריות יש מערכת בסיסית של פתרונות.

הדרך למצוא את מערכת הפתרונות הבסיסית היא כדלקמן:

מצא פתרון כללי למערכת הומוגנית של משוואות לינאריות;

לבנות ( נ – ר) פתרונות חלקיים של מערכת זו, בעוד הערכים של האלמונים החופשיים חייבים ליצור מטריצת זהות;

לכתוב במלואו צורה כלליתפתרונות הכלולים ב M 0 .

דוגמה 6.5.מצא מערכת בסיסית של פתרונות למערכת הבאה:

פִּתָרוֹן. בואו למצוא פתרון כללי למערכת הזו.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ ישנם חמישה לא ידועים במערכת זו ( נ= 5), מתוכם יש שני לא ידועים עיקריים ( ר= 2), ישנם שלושה אלמונים חופשיים ( נ – ר), כלומר, ערכת הפתרונות הבסיסית מכילה שלושה וקטורי פתרון. בואו נבנה אותם. יש לנו איקס 1 ו איקס 3 - לא ידועים עיקריים, איקס 2 , איקס 4 , איקס 5 - אלמונים בחינם

ערכים של אלמונים בחינם איקס 2 , איקס 4 , איקס 5 יוצרים את מטריצת הזהות הצו שלישי. יש את הווקטורים האלה עם 1 ,עם 2 , עם 3 טופס f.n.r. של המערכת הזו. אז קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית הזו תהיה M 0 = {ק 1× עם 1 + ק 2× עם 2 + ק 3× עם 3 , ק 1 , ק 2 , ק 3 О R).

הבה נגלה כעת את התנאים לקיומם של פתרונות שאינם אפס של מערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות, במילים אחרות, התנאים לקיומם של קבוצה בסיסית של פתרונות.

למערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות יש פתרונות שאינם אפס, כלומר, לא בטוח אם

1) דרגת המטריצה ​​הראשית של המערכת קטנה ממספר הלא ידועים;

2) במערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות, מספר המשוואות קטן ממספר הלא ידועים;

3) אם במערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים, והקביעה של המטריצה ​​הראשית שווה לאפס (כלומר | א| = 0).

דוגמה 6.6. באיזה ערך פרמטר אמערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות יש פתרונות שאינם אפס?

פִּתָרוֹן. בואו נרכיב את המטריצה ​​הראשית של מערכת זו ונמצא את הקובע שלה: = = 1×(–1) 1+1 × = – א– 4. הקובע של מטריצה ​​זו שווה לאפס ב א = –4.

תשובה: –4.

7. חשבון נ-מרחב וקטור ממדי

מושגים בסיסיים

בסעיפים הקודמים כבר נתקלנו במושג של קבוצה של מספרים ממשיים המסודרים בסדר מסוים. זוהי מטריצת שורות (או מטריצת עמודות) ופתרון למערכת של משוואות ליניאריות עם נלא ידוע. ניתן לסכם מידע זה.

הגדרה 7.1. נ-וקטור אריתמטי ממדינקרא סט מסודר של נמספרים אמיתיים.

אומר א= (a 1 , a 2 , …, a נ), היכן ש אניО R, אני = 1, 2, …, נ- מבט כללי של הווקטור. מספר נשקוראים לו מֵמַדוקטורים, ומספרים א אנינקראים שלו קואורדינטות.

לדוגמה: א= (1, –8, 7, 4, ) – וקטור חמישה ממדי.

מוכן נוקטורים ממדיים מסומנים בדרך כלל כ Rn.

הגדרה 7.2.שני וקטורים א= (a 1 , a 2 , …, a נ) ו ב= (b 1 , b 2 , …, b נ) מאותו מימד שווהאם ורק אם הקואורדינטות המתאימות שלהם שוות, כלומר a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a נ= ב נ.

הגדרה 7.3.כמותשתיים נוקטורים ממדיים א= (a 1 , a 2 , …, a נ) ו ב= (b 1 , b 2 , …, b נ) נקרא וקטור א + ב= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a נ+ ב נ).

הגדרה 7.4. העבודהמספר ממשי קלוקטור א= (a 1 , a 2 , …, a נ) נקרא וקטור ק× א = (ק×a 1, ק×a 2, …, ק×a נ)

הגדרה 7.5.וֶקטוֹר O= (0, 0, …, 0) נקרא אֶפֶס(אוֹ וקטור null).

קל לאמת שלפעולות (פעולות) של הוספת וקטורים והכפלתם במספר ממשי יש את המאפיינים הבאים: " א, ב, ג Î Rn, " ק, לО R:

1) א + ב = ב + א;

2) א + (ב+ ג) = (א + ב) + ג;

3) א + O = א;

4) א+ (–א) = O;

5) 1× א = א, 1 О R;

6) ק×( ל× א) = ל×( ק× א) = (ל× ק)× א;

7) (ק + ל)× א = ק× א + ל× א;

8) ק×( א + ב) = ק× א + ק× ב.

הגדרה 7.6.חבורה של Rnעם פעולות של הוספת וקטורים והכפלתם במספר ממשי שניתן עליו נקרא מרחב וקטורי n-ממדי אריתמטי.

לשיטה הגאוסית יש מספר חסרונות: אי אפשר לדעת אם המערכת עקבית או לא עד שבוצעו כל התמורות הנחוצות בשיטה הגאוסית; השיטה של ​​גאוס אינה מתאימה למערכות עם מקדמי אותיות.

הבה נבחן שיטות אחרות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות. שיטות אלו משתמשות במושג של דירוג מטריצה ​​ומצמצמות את הפתרון של כל מערכת עקבית לפתרון של מערכת שעליה חל הכלל של קריימר.

דוגמה 1.מצא פתרון כללי למערכת המשוואות הלינאריות הבאות באמצעות המערכת הבסיסית של פתרונות למערכת ההומוגנית המופחתת ופתרון מסוים למערכת הבלתי-הומוגנית.

1. הכנת מטריצה אומטריצת מערכת מורחבת (1)

2. חקור את המערכת (1) למען הביחד. לשם כך, אנו מוצאים את דרגות המטריצות או https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). אם יתברר ש, אז המערכת (1) שאינו עולה בקנה אחד. אם נקבל את זה , אז המערכת הזו עקבית ואנחנו נפתור אותה. (מחקר התאימות מבוסס על משפט Kronecker-Capelli).

א. אנחנו מוצאים rA.

למצוא rA, נשקול ברצף מינור לא אפס בסדרים הראשונים, השניים וכו' של המטריצה אוהקטינים המקיפים אותם.

M1=1≠0 (ניקח 1 מהפינה השמאלית העליונה של המטריצה א).

אנחנו מגבילים M1השורה השנייה והעמודה השנייה של המטריצה ​​הזו. . אנחנו ממשיכים לגבול M1השורה השנייה והעמודה השלישית..gif" width="37" height="20 src=">. כעת אנו תוחמים את המינור שאינו אפס M2′הזמנה שנייה.

יש לנו: (מכיוון ששתי העמודות הראשונות זהות)

(שכן השורה השנייה והשלישית פרופורציונלית).

אנחנו רואים ש rA=2, a הוא המינור הבסיסי של המטריצה א.

ב. אנחנו מוצאים.

קטין בסיסי למדי M2′מטריצות אגבול עם עמודה של מונחים חופשיים וכל השורות (יש לנו רק את השורה האחרונה).

. מכאן נובע M3′′נשאר הקטין הבסיסי של המטריצה ​​https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

כי M2′- בסיס מינור של המטריצה אמערכות (2) , אז מערכת זו מקבילה למערכת (3) , המורכב משתי המשוואות הראשונות של המערכת (2) (ל M2′נמצא בשתי השורות הראשונות של מטריצה ​​A).

(3)

מאז הקטין הבסיסי https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

במערכת זו ישנם שני לא ידועים בחינם ( x2 ו x4 ). בגלל זה FSR מערכות (4) מורכב משני פתרונות. כדי למצוא אותם, אנו מקצים אלמונים בחינם (4) ערכים תחילה x2=1 , x4=0 , ואז - x2=0 , x4=1 .

בְּ x2=1 , x4=0 אנחנו מקבלים:

.

למערכת הזו כבר יש הדבר היחיד פתרון (ניתן למצוא אותו באמצעות הכלל של Cramer או כל שיטה אחרת). בהפחתת הראשונה מהמשוואה השנייה, נקבל:

הפתרון שלה יהיה x1= -1 , x3=0 . בהתחשב בערכים x2 ו x4 , שהוספנו, אנו מקבלים את הפתרון הבסיסי הראשון של המערכת (2) : .

עכשיו אנחנו מאמינים (4) x2=0 , x4=1 . אנחנו מקבלים:

.

אנו פותרים את המערכת הזו באמצעות משפט קריימר:

.

אנו מקבלים את הפתרון הבסיסי השני של המערכת (2) : .

פתרונות β1 , β2 ולהתאפר FSR מערכות (2) . אז הפתרון הכללי שלו יהיה

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

כאן C1 , C2 - קבועים שרירותיים.

4. בוא נמצא אחד פְּרָטִי פִּתָרוֹן מערכת הטרוגנית(1) . כמו בפסקה 3 , במקום המערכת (1) בואו ניקח בחשבון מערכת מקבילה (5) , המורכב משתי המשוואות הראשונות של המערכת (1) .

(5)

הבה נעביר את הלא ידועים החופשיים לצדדים הנכונים x2ו x4.

(6)

בואו ניתן חינם אלמונים x2 ו x4 ערכים שרירותיים, למשל, x2=2 , x4=1 ולהכניס אותם (6) . בואו נשיג את המערכת

למערכת זו יש פתרון ייחודי (מאז הקובע M2′0). נפתור אותו (באמצעות משפט קריימר או שיטת גאוס), אנו מקבלים x1=3 , x3=3 . בהתחשב בערכים של הלא ידועים החופשיים x2 ו x4 , אנחנו מקבלים פתרון מסוים של מערכת לא הומוגנית(1)α1=(3,2,3,1).

5. עכשיו כל מה שנשאר זה לרשום את זה פתרון כללי α של מערכת לא הומוגנית(1) : זה שווה לסכום פתרון פרטימערכת זו ו פתרון כללי של המערכת ההומוגנית המופחתת שלו (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

זה אומר: (7)

6. בְּדִיקָה.כדי לבדוק אם פתרת את המערכת כהלכה (1) , אנחנו צריכים פתרון כללי (7) תחליף ב (1) . אם כל משוואה הופכת לזהות ( C1 ו C2 יש להשמיד), ואז הפתרון נמצא כהלכה.

אנחנו נחליף (7) לדוגמה, רק המשוואה האחרונה של המערכת (1) (איקס1 + איקס2 + איקס3 ‑9 איקס4 =‑1) .

נקבל: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

כאשר –1=–1. יש לנו זהות. אנו עושים זאת עם כל שאר המשוואות של המערכת (1) .

תגובה.הצ'ק בדרך כלל די מסורבל. ניתן להמליץ ​​על ה"בדיקה החלקית" הבאה: בפתרון הכללי של המערכת (1) להקצות כמה ערכים לקבועים שרירותיים ולהחליף את הפתרון החלקי המתקבל רק במשוואות שנמחקו (כלומר, במשוואות אלה מ (1) , שלא נכללו ב (5) ). אם אתה מקבל זהויות, אז יותר סביר, פתרון מערכת (1) נמצא כהלכה (אך בדיקה כזו אינה מספקת ערובה מלאה לנכונות!). לדוגמה, אם ב (7) לָשִׂים C2=- 1 , C1=1, אז נקבל: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. החלפה לתוך המשוואה האחרונה של המערכת (1), יש לנו: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , כלומר –1=–1. יש לנו זהות.

דוגמה 2.מצא פתרון כללי למערכת של משוואות לינאריות (1) , המבטאים את הבלתי ידועים הבסיסיים במונחים של אלה בחינם.

פִּתָרוֹן.כמו ב דוגמה 1, לחבר מטריצות או https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> מהמטריצות הללו. כעת נשאיר רק את המשוואות של המערכת (1) , שמקדמים נכללים במינורי הבסיסי הזה (כלומר, יש לנו את שתי המשוואות הראשונות) ושקול מערכת המורכבת מהן, שווה ערך למערכת (1).

הבה נעביר את הלא ידועים החופשיים לצד ימין של משוואות אלה.

מערכת (9) אנו פותרים בשיטת גאוס, תוך התחשבות בצדדים הימניים כמונחים חופשיים.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

אפשרות 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

אפשרות 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

אפשרות 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

אפשרות 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

מערכות לינאריות משוואות הומוגניות - יש את הצורה ∑a k i x i = 0. כאשר m > n או m מערכת הומוגנית של משוואות לינאריות היא תמיד עקבית, שכן rangA = rangB. ברור שיש לו פתרון המורכב מאפסים, שנקרא קַטנוּנִי.

מטרת השירות. המחשבון המקוון נועד למצוא פתרון לא טריוויאלי ויסודי ל-SLAE. הפתרון המתקבל נשמר בקובץ וורד (ראה דוגמה לפתרון).

הוראות. בחר ממד מטריצה:

מספר משתנים: 2 3 4 5 6 7 8 ו מספר שורות 2 3 4 5 6

תכונות של מערכות של משוואות הומוגניות ליניאריות

על מנת שיהיה למערכת פתרונות לא טריוויאליים, יש צורך ומספיק שדרגת המטריצה ​​שלו תהיה קטנה ממספר הלא ידועים.

מִשׁפָּט. למערכת במקרה m=n יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הקובע של מערכת זו שווה לאפס.

מִשׁפָּט. כל שילוב ליניארי של פתרונות למערכת הוא גם פתרון לאותה מערכת.
הַגדָרָה. קבוצת הפתרונות למערכת של משוואות הומוגניות ליניאריות נקראת מערכת בסיסית של פתרונות, אם קבוצה זו מורכבת מפתרונות בלתי תלויים ליניארית וכל פתרון למערכת הוא שילוב ליניארי של פתרונות אלו.

מִשׁפָּט. אם הדרגה r של מטריצת המערכת קטנה ממספר n של לא ידועים, אז קיימת מערכת בסיסית של פתרונות המורכבת מפתרונות (n-r).

אלגוריתם לפתרון מערכות של משוואות הומוגניות ליניאריות

1. מציאת דרגת המטריצה.
2. אנו בוחרים את הקטין הבסיסי. אנו מבחינים בין לא ידועים תלויים (בסיסיים) וחופשיים.
3. אנו חוצים את המשוואות של המערכת שהמקדמים שלהן אינם כלולים בבסיס מינור, שכן הם השלכות של האחרות (לפי המשפט על הבסיס מינור).
4. אנו מעבירים את מונחי המשוואות המכילות אלמונים חופשיים צד ימין. כתוצאה מכך, אנו מקבלים מערכת של משוואות r עם r לא ידועים, שוות ערך לנתון, שהקובע שלה אינו אפס.
5. אנו פותרים את המערכת המתקבלת על ידי ביטול אלמונים. אנו מוצאים קשרים המבטאים משתנים תלויים באמצעות משתנים חופשיים.
6. אם דרגת המטריצה ​​אינה שווה למספר המשתנים, אז נמצא את הפתרון הבסיסי של המערכת.
7. במקרה ring = n יש לנו פתרון טריוויאלי.

דוגמא. מצא את הבסיס של מערכת הוקטורים (a 1, a 2,..., a m), דרג ובטא את הוקטורים על סמך הבסיס. אם 1 =(0,0,1,-1), ו-2 =(1,1,2,0), ו-3 =(1,1,1,1) ו-4 =(3,2,1 ,4), ו-5 =(2,1,0,3).
נרשום את המטריצה ​​העיקרית של המערכת:

הכפל את השורה השלישית ב-(-3). בוא נוסיף את השורה הרביעית לשורה השלישית:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

הכפל את השורה הרביעית ב-(-2). בוא נכפיל את השורה החמישית ב-(3). בואו נוסיף את השורה החמישית לשורה הרביעית:
בוא נוסיף את השורה השנייה לשורה הראשונה:
בוא נמצא את דרגת המטריצה.
המערכת עם המקדמים של מטריצה ​​זו שוות ערך למערכת המקורית ובעלת הצורה:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
באמצעות השיטה של ​​חיסול אלמונים, אנו מוצאים פתרון לא טריוויאלי:
השגנו יחסים המבטאים את המשתנים התלויים x 1 , x 2 , x 3 דרך החופשיים x 4 , כלומר מצאנו פתרון כללי:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4