Ako určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie. Zvyšovanie a znižovanie funkcií na intervale, extrémy

Funkcia stúpajúca a klesajúca

funkciu r = f(X) sa nazýva zvyšovanie na intervale [ a, b], ak pre akúkoľvek dvojicu bodov X A X", a ≤ x, nerovnosť f(X) ≤ f (X"), a prísne sa zvyšuje - ak nerovnosť f (X) f(X"). Pokles a striktný pokles funkcie sú definované podobne. Napríklad funkcia pri = X 2 (ryža. , a) sa na segmente striktne zvyšuje, a

(ryža. , b) na tomto intervale striktne klesá. Zvyšujúce sa funkcie sú označené f (X) a klesá f (X)↓. Aby bola diferencovateľná funkcia f (X) sa zvyšoval v intervale [ A, b], je potrebné a postačujúce, aby jeho odvod f"(X) bola nezáporná dňa [ A, b].

Spolu s nárastom a poklesom funkcie na segmente sa uvažuje aj nárast a pokles funkcie v bode. Funkcia pri = f (X) sa nazýva zvyšovanie v bode X 0, ak existuje taký interval (α, β) obsahujúci bod X 0 , čo za ktorýkoľvek bod X z (α, β), x> X 0, nerovnosť f (X 0) ≤ f (X) a za akýkoľvek bod X z (α, β), x 0, nerovnosť f (X) ≤ f (X 0). Striktné zvýšenie funkcie v bode je definované podobne X 0 Ak f"(X 0) > 0, potom funkcia f(X) sa v súčasnosti výrazne zvyšuje X 0 Ak f (X) sa zvyšuje v každom bode intervalu ( a, b), potom sa v tomto intervale zvyšuje.

S. B. Stechkin.

Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Pozrite si, čo je „Funkcia zvyšovania a znižovania“ v iných slovníkoch:

Pojmy matematickej analýzy. Funkciu f(x) nazývame rastúca na intervale VEKOVÁ ŠTRUKTÚRA OBYVATEĽSTVA pomer počtu rôznych vekových skupín populácia. Závisí od pôrodnosti a úmrtnosti, priemernej dĺžky života ľudí... Veľký encyklopedický slovník

Pojmy matematickej analýzy. Funkcia f(x) sa nazýva rastúca na intervale, ak pre ľubovoľnú dvojicu bodov x1 a x2 platí a≤x1 ... encyklopedický slovník

Pojmy z matematiky. analýza. Volaná funkcia f(x). rastúce na segmente [a, b], ak pre ľubovoľnú dvojicu bodov x1 a x2, a<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Prírodná veda. encyklopedický slovník

Odvetvie matematiky, ktoré študuje derivácie a diferenciály funkcií a ich aplikácie na štúdium funkcií. registrácia D. a. do samostatnej matematickej disciplíny sa spája s menami I. Newtona a G. Leibniza (druhá polovica 17 ... Veľká sovietska encyklopédia

Odvetvie matematiky, v ktorom sa študujú pojmy derivácie a diferenciálu a ako sa aplikujú na štúdium funkcií. vývoj D. a. úzko súvisí s rozvojom integrálneho počtu. Neodmysliteľne a ich obsah. Spolu tvoria základ... Matematická encyklopédia

Tento výraz má iné významy, pozri funkciu. Požiadavka "Zobraziť" je presmerovaná sem; pozri aj iné významy ... Wikipedia

Aristoteles a peripatetici- Aristotelovská otázka Život Aristotela Aristoteles sa narodil v roku 384/383. BC e. v Stagire, na hraniciach s Macedónskom. Jeho otec, menom Nicomachus, bol lekárom v službách macedónskeho kráľa Amyntasa, Filipovho otca. Spolu so svojou rodinou mladý Aristoteles ...... Západná filozofia od jej počiatkov až po súčasnosť

- (QCD), kvantová teória poľa silného vplyvu kvarkov a gluónov, postavená na obraze kvanta. elektrodynamika (QED) založená na "farebnej" meracej symetrii. Na rozdiel od QED majú fermióny v QCD komplement. kvantový stupeň voľnosti. číslo,…… Fyzická encyklopédia

I Srdce Srdce (latinsky cor, grécky cardia) je dutý fibromuskulárny orgán, ktorý ako pumpa zabezpečuje pohyb krvi v obehovom systéme. Anatómia Srdce sa nachádza v prednom mediastíne (mediastíne) v osrdcovníku medzi ... ... Lekárska encyklopédia

Život rastliny, podobne ako každého iného živého organizmu, je komplexný súbor vzájomne súvisiacich procesov; najvýznamnejšou z nich, ako je známe, je výmena látok s prostredím. Životné prostredie je zdrojom, z ktorého ... ... Biologická encyklopédia

Aby ste porozumeli tejto téme, zvážte funkciu zobrazenú v grafe // Ukážme si, ako vám graf funkcie umožňuje určiť jej vlastnosti.

Vlastnosti funkcie analyzujeme na príklade

Rozsah funkcie je yavl. interval [ 3,5; 5,5].

Rozsah funkcie yavl. interval [ 1; 3].

1. Pri x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 je hodnota funkcie nulová.

Hodnota argumentu, pri ktorej je hodnota funkcie nula, sa nazýva nula funkcie.

//tie. pre túto funkciu čísla -3;-1;1,5; 4,5 sú nuly.

2. Na intervaloch [ 4.5; 3) a (1; 1.5) a (4.5; 5.5] je graf funkcie f umiestnený nad osou x a v intervaloch (-3; -1) a (1.5; 4.5) pod osou x. vysvetlené nasledovne - na intervaloch [ 4.5; 3) a (1; 1.5) a (4.5; 5.5] funkcia nadobúda kladné hodnoty a na intervaloch (-3; -1) a ( 1.5; 4.5) sú záporné.

Každý z uvedených intervalov (kde funkcia nadobúda hodnoty rovnakého znamienka) sa nazýva interval konštantného znamienka funkcie f.//t.j. ak si napríklad vezmeme interval (0; 3), tak to nie je interval s konštantným znamienkom danej funkcie.

V matematike je pri hľadaní intervalov konštantného znamienka funkcie zvykom uvádzať intervaly maximálnej dĺžky. //Tie. interval (2; 3) je interval stálosti funkcia f, ale odpoveď by mala obsahovať interval [ 4,5; 3) obsahujúci interval (2; 3).

3. Ak sa pohybujete pozdĺž osi x od 4,5 do 2, všimnete si, že graf funkcie klesá, to znamená, že hodnoty funkcie klesajú. //V matematike sa zvykne hovoriť, že na intervale [ 4,5; 2] funkcia klesá.

Keď sa x zvyšuje z 2 na 0, graf funkcie stúpa, t.j. funkčné hodnoty sa zvyšujú. //V matematike sa zvykne hovoriť, že na intervale [ 2; 0] funkcia je rastúca.

Funkcia f sa volá, ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu x1 a x2 z tohto intervalu tak, že x2 > x1 je splnená nerovnosť f (x2) > f (x1). // alebo Funkcia sa volá zvýšenie v určitom intervale, ak pre akékoľvek hodnoty argumentu z tohto intervalu väčšiu hodnotu argument zodpovedá väčšej hodnote funkcie.//t.j. čím viac x, tým viac y.

Volá sa funkcia f v určitom intervale klesá, ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu x1 a x2 z tohto intervalu tak, že x2 > x1 je splnená nerovnosť f(x2) klesajúca na niektorom intervale, ak pre ľubovoľné hodnoty argumentu z tohto intervalu je väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie. //tie. čím viac x, tým menej y.

Ak funkcia rastie v celej oblasti definície, potom sa volá zvyšujúci sa.

Ak funkcia klesá v celej oblasti definície, potom sa volá ubúdanie.

Príklad 1 graf rastúcich a klesajúcich funkcií, resp.

Príklad 2

Definuj yavl. je lineárna funkcia f(x) = 3x + 5 rastúca alebo klesajúca?

Dôkaz. Použime definície. Nech x1 a x2 sú ľubovoľné hodnoty argumentu a x1< x2., например х1=1, х2=7

Funkčné extrémy

Definícia 2

Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\le f(x_0 )$ je spokojný.

Definícia 3

Bod $x_0$ sa nazýva maximálny bod funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\ge f(x_0) $ je spokojný.

Pojem extrém funkcie úzko súvisí s pojmom kritický bod funkcie. Predstavme si jeho definíciu.

Definícia 4

$x_0$ sa nazýva kritický bod funkcie $f(x)$, ak:

1) $x_0$ - vnútorný bod definičnej oblasti;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ alebo neexistuje.

Pre pojem extrém možno formulovať vety o dostatočných a nevyhnutných podmienkach jeho existencie.

Veta 2

Dostatočný extrémny stav

Nech je bod $x_0$ kritický pre funkciu $y=f(x)$ a leží v intervale $(a,b)$. Nech na každom intervale $\left(a,x_0\right)\ a\ (x_0,b)$ existuje derivácia $f"(x)$ a udržiava konštantné znamienko. Potom:

1) Ak na intervale $(a,x_0)$ je derivácia $f"\left(x\right)>0$ a na intervale $(x_0,b)$ je derivácia $f"\left(x\ správny)

2) Ak je derivácia $f"\left(x\right)0$ na intervale $(a,x_0)$, potom bod $x_0$ je minimálny bod pre túto funkciu.

3) Ak je na intervale $(a,x_0)$ aj na intervale $(x_0,b)$ derivácia $f"\left(x\right) >0$ alebo derivácia $f"\left(x \správny)

Táto veta je znázornená na obrázku 1.

Obrázok 1. Dostatočný stav pre existenciu extrémov

Príklady extrémov (obr. 2).

Obrázok 2. Príklady extrémnych bodov

Pravidlo na skúmanie funkcie pre extrém

2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;

7) Urobte závery o prítomnosti maxím a miním v každom intervale pomocou vety 2.

Funkcia stúpajúca a klesajúca

Najprv si predstavme definície rastúcich a klesajúcich funkcií.

Definícia 5

Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva rastúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1

Definícia 6

Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva klesajúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1f(x_2)$.

Skúmanie funkcie pre zvyšovanie a znižovanie

Pomocou derivácie môžete skúmať funkcie na zvyšovanie a znižovanie.

Ak chcete preskúmať funkciu pre intervaly nárastu a poklesu, musíte urobiť nasledovné:

1) Nájdite definičný obor funkcie $f(x)$;

2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;

3) Nájdite body, kde je rovnosť $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;

4) Nájdite body, kde $f"(x)$ neexistuje;

5) Označte na súradnicovej čiare všetky nájdené body a definičný obor danej funkcie;

6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom výslednom intervale;

7) Záver: na intervaloch kde $f"\vľavo(x\vpravo)0$ sa funkcia zvyšuje.

Príklady úloh na štúdium funkcií zvyšovania, klesania a prítomnosti extrémnych bodov

Príklad 1

Preskúmajte funkciu zvyšovania a znižovania a prítomnosť bodov maxím a miním: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Keďže prvých 6 bodov je rovnakých, najskôr ich vyžrebujeme.

1) Definičná oblasť - všetky reálne čísla;

2) $f"\vľavo(x\vpravo)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ existuje vo všetkých bodoch domény definície;

5) Súradnicová čiara:

Obrázok 3

6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom intervale:

\ \ .

Dostatočné podmienky pre extrém funkcie.

Ak chcete nájsť maximá a minimá funkcie, môžete použiť ktorékoľvek z troch extrémnych znamienok, samozrejme, ak funkcia spĺňa ich podmienky. Najbežnejší a najpohodlnejší je prvý z nich.

Prvá postačujúca podmienka pre extrém.

Nech je funkcia y=f(x) diferencovateľná v -okolí bodu a je spojitá v samotnom bode.

Inými slovami:

Algoritmus na nájdenie extrémnych bodov prvým znakom extrému funkcie.

Nájdenie rozsahu funkcie.
Deriváciu funkcie nájdeme na definičnom obore.
Určíme nuly čitateľa, nuly menovateľa derivácie a body definičného oboru, kde derivácia neexistuje (všetky uvedené body sú tzv. body možného extrému pri prechode cez tieto body môže derivácia len zmeniť svoje znamienko).
Tieto body rozdeľujú definičný obor funkcie na intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko. Znamienka derivácie určíme na každom z intervalov (napríklad tak, že vypočítame hodnotu derivácie funkcie v ľubovoľnom bode jedného intervalu).
Vyberáme body, v ktorých je funkcia spojitá a pri prechode cez ktoré derivácia mení znamienko - sú to krajné body.

Príliš veľa slov, uvažujme o niekoľkých príkladoch hľadania extrémnych bodov a extrémov funkcie pomocou prvej postačujúcej podmienky pre extrém funkcie.

Príklad.

Nájdite extrémy funkcie.

Riešenie.

Rozsah funkcie je celá množina reálnych čísel okrem x=2 .

Nájdeme derivát:

Nuly v čitateli sú body x=-1 a x=5 , menovateľ ide na nulu pri x=2 . Označte tieto body na číselnej osi

Určíme znamienka derivácie na každom intervale, preto vypočítame hodnotu derivácie v ktoromkoľvek z bodov každého intervalu, napríklad v bodoch x=-2, x=0, x=3 a x= 6.

Preto je derivácia na intervale kladná (na obrázku nad tento interval umiestnime znamienko plus). Podobne

Preto dáme mínus na druhý interval, mínus na tretí a plus na štvrtý.

Zostáva vybrať body, v ktorých je funkcia spojitá a jej derivácia mení znamienko. Toto sú extrémne body.

Na mieste x=-1 funkcia je spojitá a derivácia mení znamienko z plus na mínus, preto podľa prvého znamienka extrému je x=-1 maximálny bod, zodpovedá maximu funkcie .

Na mieste x=5 funkcia je spojitá a derivácia mení znamienko z mínus na plus, preto x=-1 je minimálny bod, zodpovedá minimu funkcie .

Grafické znázornenie.

odpoveď:

UPOZORNENIE: prvý dostatočný znak extrému nevyžaduje, aby bola funkcia diferencovateľná v samotnom bode.

Príklad.

Nájdite extrémne body a extrémy funkcie .

Riešenie.

Oblasťou funkcie je celá množina reálnych čísel. Samotná funkcia môže byť napísaná ako:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Na mieste x=0 derivácia neexistuje, pretože hodnoty jednostranných limitov sa nezhodujú, keď má argument tendenciu k nule:

Pôvodná funkcia je zároveň spojitá v bode x=0 (pozri časť o skúmaní funkcie spojitosti):

Nájdite hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia zmizne:

Všetky získané body označíme na reálnej čiare a určíme znamienko derivácie na každom z intervalov. Na tento účel vypočítame hodnoty derivácie v ľubovoľných bodoch každého intervalu, napríklad keď x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.