Raziskave funkcij.

1) D(y) - Domena definicije: množica vseh teh vrednosti spremenljivke x. pod katerimi sta algebraična izraza f(x) in g(x) smiselna.

Če je funkcija podana s formulo, potem domeno definicije sestavljajo vse vrednosti neodvisne spremenljivke, za katere je formula smiselna.

2) Lastnosti funkcije: sodo/liho, periodičnost:

Čuden in celo se imenujejo funkcije, katerih grafi so simetrični glede na spremembo predznaka argumenta.

nenavadna funkcija- funkcija, ki spremeni vrednost v nasprotno, ko se spremeni predznak neodvisne spremenljivke (simetrična glede na koordinatno središče).

Celotna funkcija- funkcija, ki ne spremeni svoje vrednosti, ko se spremeni predznak neodvisne spremenljivke (simetrična glede na os y).

Niti soda niti liha funkcija (funkcija splošni pogled) je funkcija, ki nima simetrije. Ta kategorija vključuje funkcije, ki ne spadajo v prejšnji 2 kategoriji.

Pokličejo se funkcije, ki ne spadajo v nobeno od zgornjih kategorij niti sodo niti liho(ali generične funkcije).

Čudne funkcije

Liha potenca kjer je poljubno celo število.

Tudi funkcije

Soda potenca kjer je poljubno celo število.

Periodična funkcija je funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti v določenem rednem intervalu argumenta, tj. ne spremeni svoje vrednosti, ko je argumentu dodano določeno neničelno število ( obdobje funkcije) v celotni domeni definicije.

3) Ničele (korenine) funkcije so točke, kjer izgine.

Iskanje presečišča grafa z osjo Oj. Če želite to narediti, morate izračunati vrednost f(0). Poiščite tudi presečišča grafa z osjo Ox, zakaj najti korenine enačbe f(x) = 0 (ali se prepričajte, da ni korenin).

Točke, kjer graf seka os, se imenujejo funkcijske ničle. Če želite najti ničle funkcije, morate rešiti enačbo, to je najti teh vrednosti x, za katero funkcija izgine.

4) Intervali konstantnosti znakov, znakov v njih.

Intervali, kjer funkcija f(x) ohrani svoj predznak.

Interval konstantnosti je interval na vsaki točki, v kateri funkcija pozitivna ali negativna.

NAD osjo x.

POD osjo.

5) Kontinuiteta (točke diskontinuitete, značaj diskontinuitete, asimptote).

neprekinjena funkcija- funkcija brez "skokov", to je tista, pri kateri majhne spremembe argumenta povzročijo majhne spremembe vrednosti funkcije.

Odstranljive prelomne točke

Če je meja funkcije obstaja, vendar funkcija na tej točki ni definirana ali pa se meja ne ujema z vrednostjo funkcije na tej točki:

,

potem se imenuje točka prelomna točka funkcije (v kompleksni analizi odstranljiva singularna točka).

Če "popravimo" funkcijo na točki odstranljive diskontinuitete in postavimo , potem dobimo funkcijo, ki je na tej točki zvezna. Takšna operacija na funkciji se imenuje razširitev funkcije na neprekinjeno oz razširitev funkcije s kontinuiteto, kar upravičuje ime točke, kot točke za enkratno uporabo vrzel.

Točke diskontinuitete prve in druge vrste

Če ima funkcija na dani točki diskontinuiteto (to pomeni, da je meja funkcije na dani točki odsotna ali ne sovpada z vrednostjo funkcije na dani točki), sta za numerične funkcije dve možni možnosti. povezanih z obstojem numeričnih funkcij enostranske omejitve:

če obe enostranski meji obstajata in sta končni, se taka točka imenuje prelomna točka prve vrste. Odstranljive diskontinuitetne točke so diskontinuitetne točke prve vrste;

če vsaj ena od enostranskih mej ne obstaja ali ni končna vrednost, se taka točka imenuje prelomna točka druge vrste.

Asimptota - naravnost, ki ima to lastnost, da je razdalja od točke krivulje do te naravnost teži k nič, ko se točka premika po veji v neskončnost.

navpično

Navpična asimptota - mejna črta .

Praviloma pri določanju navpične asimptote ne iščejo ene meje, temveč dve enostranski (levo in desno). To naredimo zato, da ugotovimo, kako se funkcija obnaša, ko se približuje navpični asimptoti iz različnih smeri. Na primer:

Vodoravno

Horizontalna asimptota - naravnost vrste, odvisno od obstoja omejitev

.

poševno

Poševna asimptota - naravnost vrste, odvisno od obstoja omejitve

Opomba: funkcija ima lahko največ dve poševni (vodoravni) asimptoti.

Opomba: če vsaj ena od dveh zgornjih mej ne obstaja (ali je enaka ), potem poševna asimptota pri (ali ) ne obstaja.

če je v točki 2.), potem , mejo pa najdemo s formulo horizontalna asimptota, .

6) Iskanje intervalov monotonosti. Poiščite intervale monotonosti funkcije f(x) (to je intervale naraščanja in zmanjševanja). To naredimo tako, da preučimo predznak izpeljanke f(x). Če želite to narediti, poiščite izpeljanko f(x) in reši neenačbo f(x)0. Na intervalih, kjer je ta neenakost izpolnjena, funkcija f(x) poveča. Kjer velja obratna neenakost f(x)0, funkcija f(x) zmanjša.

Iskanje lokalnega ekstrema. Ko najdemo intervale monotonosti, lahko takoj določimo točke lokalnega ekstrema, kjer se povečanje nadomesti z zmanjšanjem, obstajajo lokalni maksimumi in kjer zmanjšanje nadomesti povečanje, lokalni minimumi. Izračunajte vrednost funkcije v teh točkah. Če ima funkcija kritične točke, ki niso lokalne ekstremne točke, potem je koristno izračunati vrednost funkcije tudi na teh točkah.

Iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije y = f(x) na segmentu(nadaljevanje)

1. Poiščite odvod funkcije: f(x). 2. Poiščite točke, kjer je odvod enak nič: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Določite lastništvo točk X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: pustiti x 1a;b, A x 2a;b .

Če želite to narediti, uporabite grafični papir ali grafični kalkulator. Izberite poljubno število številskih vrednosti za neodvisno spremenljivko x (\displaystyle x) in jih vključite v funkcijo za izračun vrednosti odvisne spremenljivke y (\displaystyle y). Najdene koordinate točk postavite na koordinatno ravnino in nato povežite te točke, da zgradite graf funkcije.

• V funkcijo nadomestite pozitivne številske vrednosti x (\displaystyle x) in ustrezne negativne številske vrednosti. Na primer, glede na funkcijo. Vanjo nadomestite naslednje vrednosti x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Dobil sem točko s koordinatami (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Dobil sem točko s koordinatami (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Dobil sem točko s koordinatami (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Preverite, ali je graf funkcije simetričen glede na os y. Simetrija se nanaša na zrcalno sliko grafa glede na os y. Če se del grafa desno od osi y (pozitivne vrednosti neodvisne spremenljivke) ujema z delom grafa levo od osi y (negativne vrednosti neodvisne spremenljivke), graf je simetričen glede na os y. Če je funkcija simetrična glede na os y, je funkcija soda.

• Simetričnost grafa lahko preverite po posameznih točkah. Če vrednost y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), se ujema z vrednostjo y (\displaystyle y), kar ustreza vrednosti − x (\displaystyle -x), funkcija je enakomerna. V našem primeru s funkcijo f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) dobili smo naslednje koordinate točk:
  • (1,3) in (-1,3)
  • (2,9) in (-2,9)
• Upoštevajte, da je za x=1 in x=-1 odvisna spremenljivka y=3, za x=2 in x=-2 pa je odvisna spremenljivka y=9. Funkcija je torej enakomerna. Pravzaprav je treba za natančno določitev oblike funkcije upoštevati več kot dve točki, vendar je opisana metoda dober približek.

Preverite, ali je graf funkcije simetričen glede na izvor. Izhodišče je točka s koordinatami (0,0). Simetrija glede na izvor pomeni pozitivno vrednost y (\displaystyle y)(s pozitivno vrednostjo x (\displaystyle x)) ustreza negativni vrednosti y (\displaystyle y)(z negativno vrednostjo x (\displaystyle x)), in obratno. Lihe funkcije imajo simetrijo glede na izvor.

• Če v funkcijo nadomestimo več pozitivnih in ustreznih negativnih vrednosti x (\displaystyle x), vrednote y (\displaystyle y) se bodo razlikovali v predznaku. Na primer, glede na funkcijo f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Vanj nadomestite več vrednosti x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Dobil sem točko s koordinatami (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Dobil sem točko s koordinatami (-2,-10).
• Tako je f(x) = -f(-x), kar pomeni, da je funkcija liha.

Preverite, ali ima graf funkcije simetrijo. Zadnja vrsta funkcije je funkcija, katere graf nima simetrije, to pomeni, da ni zrcalne slike glede na os y in glede na izvor. Na primer, glede na funkcijo.

• V funkcijo nadomestite več pozitivnih in ustreznih negativnih vrednosti x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Dobil sem točko s koordinatami (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Dobil sem točko s koordinatami (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Dobili smo točko s koordinatami (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Dobil sem točko s koordinatami (2,-2).
• Glede na dobljene rezultate simetrije ni. Vrednote y (\displaystyle y) za nasprotne vrednosti x (\displaystyle x) se ne ujemajo in niso nasprotne. Tako funkcija ni niti soda niti liha.
• Upoštevajte, da funkcija f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) lahko zapišemo takole: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Zapisana v tej obliki se zdi, da je funkcija soda, ker obstaja sodi eksponent. Toda ta primer dokazuje, da oblike funkcije ni mogoče hitro določiti, če je neodvisna spremenljivka v oklepaju. V tem primeru morate odpreti oklepaje in analizirati nastale eksponente.

funkcija je eden najpomembnejših matematičnih konceptov. Funkcija - odvisnost spremenljivke pri iz spremenljivke x, če je vsaka vrednost X se ujema z eno samo vrednostjo pri. spremenljivka X imenujemo neodvisna spremenljivka ali argument. spremenljivka pri imenovana odvisna spremenljivka. Vse vrednosti neodvisne spremenljivke (spremenljivke x) tvorijo domeno funkcije. Vse vrednosti, ki jih ima odvisna spremenljivka (spremenljivka l), tvorijo obseg funkcije.

Funkcijski graf imenujejo množico vseh točk koordinatne ravnine, katerih abscise so enake vrednostim argumenta, ordinate pa enake ustreznim vrednostim funkcije, to je vrednostim spremenljivke so narisane vzdolž abscisne osi x, vrednosti spremenljivke pa so narisane vzdolž osi y l. Če želite narisati funkcijo, morate poznati lastnosti funkcije. Glavne lastnosti funkcije bomo obravnavali spodaj!

Za risanje funkcijskega grafa priporočamo uporabo našega programa - Graphing Functions Online. Če imate med preučevanjem gradiva na tej strani kakršna koli vprašanja, jih lahko vedno postavite na našem forumu. Tudi na forumu vam bodo pomagali rešiti naloge iz matematike, kemije, geometrije, teorije verjetnosti in mnogih drugih predmetov!

Osnovne lastnosti funkcij.

1) Obseg funkcij in obseg funkcij.

Obseg funkcije je nabor vseh veljavnih veljavnih vrednosti argumenta x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) definiran.
Območje funkcije je množica vseh realnih vrednosti l ki jih funkcija sprejme.

V osnovni matematiki se funkcije preučujejo le na množici realnih števil.

2) Funkcijske ničle.

Vrednote X, pri katerem y=0, je poklican funkcijske ničle. To so abscise točk presečišča grafa funkcije z osjo x.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali predznaka funkcije so takšni intervali vrednosti x, na katerem so vrednosti funkcije l imenujemo samo pozitivne ali samo negativne intervali predznak konstantnosti funkcije.

4) Monotonost funkcije.

Naraščajoča funkcija (v nekem intervalu) - funkcija, za katero večja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Padajoča funkcija (v nekem intervalu) - funkcija, pri kateri večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije.

5) Sode (lihe) funkcije.

Soda funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X f(-x) = f(x). Graf sode funkcije je simetričen glede na os y.

ne celo funkcijo- funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za katero koli X s področja definicije enakost f(-x) = - f(x). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

Celotna funkcija
1) Definicijsko področje je simetrično glede na točko (0; 0), to je, če je točka a spada v domeno definicije, potem bistvo -a spada tudi v domeno definicije.
2) Za katero koli vrednost x f(-x)=f(x)
3) Graf sode funkcije je simetričen glede na os Oy.

nenavadna funkcija ima naslednje lastnosti:
1) Definicijsko področje je simetrično glede na točko (0; 0).
2) za katero koli vrednost x, ki spada v domeno definicije, enakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče (0; 0).

Vsaka funkcija ni soda ali liha. Funkcije splošni pogled niso niti sodi niti lihi.

6) Omejene in neomejene funkcije.

Funkcija se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M, tako da velja |f(x)| ≤ M za vse vrednosti x. Če takega števila ni, je funkcija neomejena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x iz domene funkcije velja f(x+T) = f(x). Takšna najmanjše število imenujemo obdobje funkcije. Vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).

funkcija f se imenuje periodično, če obstaja število, tako da za katero koli x s področja definicije enakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobje funkcije.

Vsaka periodična funkcija ima neskončno število period. V praksi se običajno upošteva najmanjša pozitivna doba.

Vrednosti periodične funkcije se ponovijo po intervalu, ki je enak obdobju. To se uporablja pri risanju grafov.

Grafi sodih in lihih funkcij imajo naslednje lastnosti:

Če je funkcija soda, potem je njen graf simetričen glede na os y. Če je funkcija liha, potem je njen graf simetričen glede na izvor.

Primer. Narišite funkcijo \(y=\levo|x \desno|\).

rešitev. Razmislite o funkciji: \(f\levo(x \desno)=\levo|x \desno|\) in zamenjajte \(x \) za nasprotno \(-x \). Kot rezultat preprostih transformacij dobimo: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In z drugimi besedami, če zamenjamo argument z nasprotnim znakom, se funkcija ne bo spremenila.

To pomeni, da je ta funkcija soda in bo njen graf simetričen glede na os y (navpična os). Graf te funkcije je prikazan na sliki na levi. To pomeni, da lahko pri risanju grafa zgradite le polovico, drugi del pa (levo od navpične osi narišite že simetrično na desno stran). Če določite simetrijo funkcije, preden začnete risati njen graf, lahko močno poenostavite postopek konstruiranja ali preučevanja funkcije. Če je težko opraviti preverjanje v splošni obliki, lahko to storite lažje: v enačbo nadomestite enake vrednosti različnih znakov. Na primer -5 in 5. Če sta vrednosti funkcije enaki, potem lahko upamo, da bo funkcija enakomerna. Z matematičnega vidika ta pristop ni povsem pravilen, s praktičnega vidika pa je primeren. Če želite povečati zanesljivost rezultata, lahko zamenjate več parov takih nasprotnih vrednosti.

Primer. Narišite funkcijo \(y=x\levo|x \desno|\).

rešitev. Preverimo enako kot v prejšnjem primeru: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ To pomeni, da je prvotna funkcija liha (predznak funkcije je obrnjen).

Sklep: funkcija je simetrična glede na izvor. Lahko zgradite samo eno polovico, drugo polovico pa narišete simetrično. To simetrijo je težje narisati. To pomeni, da grafikon gledate z druge strani lista in celo obrnjenega na glavo. Lahko pa tudi to: vzemite narisani del in ga zavrtite okoli izhodišča za 180 stopinj v nasprotni smeri urinega kazalca.

Primer. Narišite funkcijo \(y=x^3+x^2\).

rešitev. Izvedimo enako preverjanje spremembe predznaka kot v prejšnjih dveh primerih. $$f\levo(-x \desno)=\levo(-x \desno)^3+\levo(-x \desno)^2=-x^2+x^2$$ $$f\levo( -x \desno)\not=f\levo(x \desno),f\levo(-x \desno)\not=-f\levo(x \desno)$$ Kar pomeni, da funkcija ni niti soda niti liha .

Sklep: funkcija ni simetrična ne glede na izhodišče ne glede na središče koordinatnega sistema. To se je zgodilo, ker je vsota dveh funkcij: sode in lihe. Ista situacija bo, če odštejete dve različni funkciji. Toda množenje ali deljenje vodi do drugačnega rezultata. Na primer, produkt sode in lihe funkcije daje liho. Ali količnik dveh lihih vodi do sode funkcije.

celo, če za vse \(x\) iz njegove domene velja: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf sode funkcije je simetričen glede na os \(y\):

Primer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je soda, ker \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Klicana je funkcija \(f(x)\). Čuden, če za vse \(x\) iz njegove domene velja: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor:

Primer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je liha, ker \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcije, ki niso niti sode niti lihe, imenujemo generične funkcije. Tako funkcijo lahko vedno enolično predstavimo kot vsoto sode in lihe funkcije.

Na primer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je vsota sode funkcije \(f_1=x^2\) in lihe funkcije \(f_2=-x\) .

\(\črnitrikotnik desno\) Nekatere lastnosti:

1) Zmnožek in količnik dveh funkcij enake paritete je soda funkcija.

2) Zmnožek in količnik dveh funkcij različnih paritet - nenavadna funkcija.

3) Vsota in razlika sodih funkcij je soda funkcija.

4) Vsota in razlika lihih funkcij je liha funkcija.

5) Če je \(f(x)\) soda funkcija, potem ima enačba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) edinstven koren, če in samo če, ko \(x =0\) .

6) Če je \(f(x)\) soda ali liha funkcija in ima enačba \(f(x)=0\) koren \(x=b\) , potem bo ta enačba nujno imela drugo koren \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se imenuje periodična na \(X\), če za neko število \(T\ne 0\) velja \(f(x)=f(x+ T) \) , kjer \(x, x+T\v X\) . Najmanjši \(T\) , za katerega ta enakost velja, se imenuje glavna (osnovna) perioda funkcije.

Periodična funkcija ima poljubno število v obliki \(nT\) , kjer bo \(n\in \mathbb(Z)\) tudi obdobje.

Primer: katerikoli trigonometrična funkcija je periodičen;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) in \(f(x)=\cos x\) je glavna perioda \(2\pi\) , za funkcije \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) in \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavna perioda je \(\pi\) .

Če želite narisati periodično funkcijo, lahko narišete njen graf na katerikoli segment dolžine \(T\) (glavna perioda); potem se graf celotne funkcije dopolni s premikom konstruiranega dela za celo število obdobij v desno in levo:

\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je množica, ki jo sestavljajo vse vrednosti argumenta \(x\), za katere je funkcija smiselna (je definirano).

Primer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima definicijsko domeno: \(x\in

Naloga 1 #6364

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Za katere vrednosti parametra \(a\) enačba

ima edinstveno rešitev?

Upoštevajte, da sta \(x^2\) in \(\cos x\) sodi funkciji, če ima enačba koren \(x_0\) , bo imela tudi koren \(-x_0\) .
Res, naj bo \(x_0\) koren, to je enakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) prav. Nadomesti \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Če je torej \(x_0\ne 0\), bo enačba že imela vsaj dva korena. Zato \(x_0=0\) . Nato:

Dobili smo dve vrednosti parametra \(a\). Upoštevajte, da smo uporabili dejstvo, da je \(x=0\) točno koren izvirne enačbe. Nikoli pa nismo uporabili dejstva, da je edini. Zato je treba dobljene vrednosti parametra \(a\) nadomestiti v prvotno enačbo in preveriti, za kateri točno \(a\) bo koren \(x=0\) res edinstven.

1) Če \(a=0\) , bo enačba imela obliko \(2x^2=0\) . Očitno ima ta enačba samo en koren \(x=0\) . Zato nam ustreza vrednost \(a=0\).

2) Če \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , ima enačba obliko \ Enačbo prepišemo v obliki \ Ker \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Zato vrednosti desne strani enačbe (*) pripadajo intervalu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Ker je \(x^2\geqslant 0\), potem leva stran enačba (*) je večja ali enaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Tako lahko enakost (*) velja le, če sta obe strani enačbe enaki \(\mathrm(tg)^2\,1\) . In to pomeni to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zato nam ustreza vrednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

odgovor:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Naloga 2 #3923

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih je graf funkcije \

simetričen glede izvora.

Če je graf funkcije simetričen glede na izvor, potem je taka funkcija liha, kar pomeni, da je \(f(-x)=-f(x)\) izpolnjeno za katerikoli \(x\) iz domena funkcije. Zato je potrebno najti tiste vrednosti parametrov, za katere \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\levo(3\mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \konec(poravnano)\]

Zadnja enačba mora veljati za vse \(x\) iz domene \(f(x)\), torej \(\sin(2\pi a)=0 \Desna puščica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Naloga 3 #3069

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\) , za vsako od katerih ima enačba \ 4 rešitve, kjer je \(f\) soda periodična funkcija s periodo \(T=\dfrac(16)3\) definirana na celotni realni premici in \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Naloga naročnikov)

Ker je \(f(x)\) soda funkcija, je njen graf simetričen glede na os y, torej, ko \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Tako pri \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), in to je odsek dolžine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .

1) Naj \(a>0\) . Potem bo graf funkcije \(f(x)\) videti takole:


Potem, da ima enačba 4 rešitve, je potrebno, da gre graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) skozi točko \(A\):


torej \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(poravnano) \end(zbrano)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zbrano)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( zbrano)\desno.\] Ker je \(a>0\), potem je \(a=\dfrac(18)(23)\) v redu.

2) Naj \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Potrebujemo graf \(g(x)\), da gre skozi točko \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end(zbrano)\desno.\] Ker \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Primer, ko \(a=0\) ni primeren, ker potem \(f(x)=0\) za vse \(x\), \(g(x)=2\sqrtx\) in enačba bo imela samo 1 koren.

odgovor:

\(a\in \levo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)

Naloga 4 #3072

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti \(a\) , za vsako od katerih enačba \

ima vsaj en koren.

(Naloga naročnikov)

Enačbo prepišemo v obliki \ in upoštevajte dve funkciji: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) in \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je soda, ima točko minimuma \(x=0\) (in \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je padajoča in za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Dejansko se za \(x>0\) drugi modul razširi pozitivno (\(|x|=x\)), zato bo \(f(x)\) enako \, ne glede na to, kako se prvi modul razširi ( kx+A\) , kjer je \(A\) izraz iz \(a\) in \(k\) je enako \(-9\) ali \(-3\) . Za \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Poiščite vrednost \(f\) na največji točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \(f\) in \(g\) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ \\]

odgovor:

\(a\v \(-7\)\skodelica\)

Naloga 5 #3912

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih enačba \

ima šest različnih rešitev.

Naredimo zamenjavo \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potem bo enačba dobila obliko \ Postopoma bomo izpisali pogoje, pod katerimi bo imela prvotna enačba šest rešitev.
Upoštevajte, da ima lahko kvadratna enačba \((*)\) največ dve rešitvi. Katera koli kubična enačba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ima lahko največ tri rešitve. Torej, če ima enačba \((*)\) dve različni rešitvi (pozitivni!, ker mora biti \(t\) večji od nič) \(t_1\) in \(t_2\) , potem, ko naredite obratno zamenjava, dobimo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(poravnano)\end(zbrano)\desno.\] Ker je lahko vsako pozitivno število do neke mere predstavljeno kot \(\sqrt2\), na primer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), potem bo prva enačba množice prepisana v obliki \ Kot smo že povedali, katera koli kubična enačba nima več kot tri rešitve, zato bo imela vsaka enačba iz niza največ tri rešitve. To pomeni, da celoten niz ne bo imel več kot šest rešitev.
To pomeni, da mora imeti kvadratna enačba \((*)\) dve različni rešitvi, da ima izvirna enačba šest rešitev, vsaka nastala kubična enačba (iz nabora) pa mora imeti tri različne rešitve (in ne ene rešitev ene enačbe mora sovpadati s katero - ali z odločitvijo druge!)
Očitno je, da če ima kvadratna enačba \((*)\) eno rešitev, potem ne bomo dobili šestih rešitev za prvotno enačbo.

Tako postane načrt rešitve jasen. Izpišimo pogoje, ki morajo biti izpolnjeni po točkah.

1) Da ima enačba \((*)\) dve različni rešitvi, mora biti njen diskriminant pozitiven: \

2) Prav tako potrebujemo, da sta oba korena pozitivna (ker \(t>0\)). Če je zmnožek dveh korenov pozitiven in je njuna vsota pozitivna, bosta korena sama pozitivna. Zato potrebujete: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Tako smo si že zagotovili dva različna pozitivna korena \(t_1\) in \(t_2\) .

3) Poglejmo to enačbo \ Za kaj \(t\) bo imel tri različne rešitve?
Razmislite o funkciji \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Lahko se pomnoži: \ Zato so njene ničle: \(x=-1;2\) .
Če najdemo odvod \(f"(x)=3x^2-6x\) , potem dobimo dve skrajni točki \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Zato je graf videti takole:


Vidimo, da je vsaka vodoravna črta \(y=k\), kjer je \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ima tri različne rešitve, je nujno, da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Torej potrebujete: \[\začetek(primeri) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Takoj zapomnimo tudi, da če sta števili \(t_1\) in \(t_2\) različni, bosta števili \(\log_(\sqrt2)t_1\) in \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različni, zato so enačbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) in \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bodo imeli različne korenine.
Sistem \((**)\) lahko prepišemo takole: \[\začetek(primeri) 1

Tako smo ugotovili, da morata oba korena enačbe \((*)\) ležati v intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ta pogoj?
Korenov ne bomo izrecno zapisali.
Razmislite o funkciji \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola z vejami navzgor, ki ima dve presečni točki z osjo abscise (ta pogoj smo zapisali v odstavku 1)). Kako naj bo videti njegov graf, da bodo presečišča z abscisno osjo v intervalu \((1;4)\) ? Torej:


Prvič, vrednosti \(g(1)\) in \(g(4)\) funkcije v točkah \(1\) in \(4\) morajo biti pozitivne, in drugič, oglišče parabola \(t_0\ ) mora biti tudi v intervalu \((1;4)\) . Zato lahko sistem zapišemo: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ima vedno vsaj en koren \(x=0\) . Torej, da bi izpolnili pogoj problema, je potrebno, da enačba \

je imela štiri različne ničelne korene, ki skupaj z \(x=0\) predstavljajo aritmetično progresijo.

Upoštevajte, da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) soda, torej če je \(x_0\) koren enačbe \((* )\ ) , potem bo \(-x_0\) tudi njegov koren. Potem je potrebno, da so koreni te enačbe števila, urejena v naraščajočem vrstnem redu: \(-2d, -d, d, 2d\) (nato \(d>0\) ). Takrat bo teh pet števil tvorilo aritmetično progresijo (z razliko \(d\)).

Da so te korenine števila \(-2d, -d, d, 2d\) , morajo biti številke \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) korenine enačba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Potem po Vietovem izreku:

Enačbo prepišemo v obliki \ in upoštevajte dve funkciji: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) in \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcija \(g(x)\) ima največjo točko \(x=0\) (in \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Ničelni derivat: \(x=0\) . Za \(x<0\) имеем: \(g">0\), za \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) narašča in za \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Dejansko se za \(x>0\) prvi modul razširi pozitivno (\(|x|=x\)), zato bo \(f(x)\) enako \, ne glede na to, kako se drugi modul razširi ( kx+A\) , kjer je \(A\) izraz iz \(a\) in \(k\) je bodisi \(13-10=3\) ali \(13+10=23\) . Za \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Poiščimo vrednost \(f\) na minimalni točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \(f\) in \(g\) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ Če rešimo ta sklop sistemov, dobimo odgovor: \\]

odgovor:

\(a\v \(-2\)\skodelica\)