Obstajajo tri osnovna pravila za iskanje antiderivacijskih funkcij. So zelo podobna ustreznim pravilom razlikovanja.

1. pravilo

Če je F antiodvod za neko funkcijo f in je G antiodvod za neko funkcijo g, potem bo F + G antiodvod za f + g.

Po definiciji antiizpeljave F' = f. G' = g. In ker so ti pogoji izpolnjeni, potem bomo po pravilu za izračun odvoda za vsoto funkcij imeli:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

2. pravilo

Če je F protiodpeljava za neko funkcijo f in je k neka konstanta. Potem je k*F antiderivacija za funkcijo k*f. To pravilo izhaja iz pravila za izračun odvoda kompleksne funkcije.

Imamo: (k*F)' = k*F' = k*f.

3. pravilo

Če je F(x) nek protiodvod od f(x) in sta k in b nekaj konstant in je k različen od nič, potem bo (1/k)*F*(k*x+b) antiodvod od f (k*x+b).

To pravilo izhaja iz pravila za izračun odvoda kompleksne funkcije:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Oglejmo si nekaj primerov uporabe teh pravil:

Primer 1. Najti splošna oblika antiodvodi za funkcijo f(x) = x^3 +1/x^2. Za funkcijo x^3 bo eden od protiodvodov funkcija (x^4)/4, za funkcijo 1/x^2 pa bo eden od protiodvodov funkcija -1/x. Z uporabo prvega pravila imamo:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Primer 2. Poiščimo splošno obliko protiodvodov za funkcijo f(x) = 5*cos(x). Za funkcijo cos(x) bo eden od protiodvodov funkcija sin(x). Če zdaj uporabimo drugo pravilo, bomo imeli:

F(x) = 5*sin(x).

Primer 3 Poiščite enega od protiodvodov za funkcijo y = sin(3*x-2). Za funkcijo sin(x) bo eden od protiodvodov funkcija -cos(x). Če zdaj uporabimo tretje pravilo, dobimo izraz za antiizpeljavo:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Primer 4. Poiščite protiodvod za funkcijo f(x) = 1/(7-3*x)^5

Protiodvod za funkcijo 1/x^5 bo funkcija (-1/(4*x^4)). Zdaj, z uporabo tretjega pravila, dobimo.

Videli smo, da ima izpeljanka številne aplikacije: izpeljanka je hitrost gibanja (ali, splošneje, hitrost katerega koli procesa); izpeljanka je naklon tangenta na graf funkcije; z uporabo odvoda lahko raziščete funkcijo za monotonost in ekstreme; Izpeljanka pomaga pri reševanju problemov optimizacije.

Ampak v resnično življenje Rešiti je treba tudi inverzne probleme: na primer poleg problema iskanja hitrosti iz znanega zakona gibanja obstaja tudi problem obnovitve zakona gibanja iz znane hitrosti. Razmislimo o eni od teh težav.

Primer 1 Premika se v ravni črti materialna točka, je hitrost njegovega gibanja v času t podana s formulo u = tg. Poiščite zakon gibanja.

rešitev. Naj bo s = s(t) želeni zakon gibanja. Znano je, da je s"(t) = u"(t). Torej, da bi rešili problem, moramo izbrati funkcijo s = s(t), katerega odvod je enak tg. To je lahko uganiti

Takoj opazimo, da je primer rešen pravilno, vendar nepopolno. Dosegli smo, da ima problem dejansko neskončno veliko rešitev: katera koli funkcija oblike poljubna konstanta, lahko služi kot zakon gibanja, saj

Da bi bila naloga bolj specifična, smo morali popraviti začetno situacijo: navesti koordinato gibljive točke v nekem trenutku, na primer pri t=0. Če je recimo s (0) \u003d s 0, potem iz enakosti dobimo s (0) \u003d 0 + C, tj. S 0 \u003d C. Zdaj je zakon gibanja enolično definiran:
V matematiki se medsebojno inverznim operacijam dajejo različna imena, izmišljene so posebne oznake: na primer kvadriranje (x 2) in ekstrahiranje. kvadratni koren sinus (sinx) in arcsinus(arcsin x) itd. Postopek iskanja izpeljanke glede na dano funkcijo imenujemo diferenciacija, inverzna operacija, tj. postopek iskanja funkcije po danem odvodu – z integracijo.
Sam izraz "derivacija" je mogoče utemeljiti "na svetovni način": funkcija y - f (x) "proizvaja v svet" novo funkcijo y "= f" (x) Funkcija y \u003d f (x) deluje kot "starš", vendar ga matematiki seveda ne imenujejo "starš" ali "proizvajalec", pravijo, da je v odnosu do funkcije y "=f" (x) primarna slika , ali na kratko, protiizpeljanka.

Definicija 1. Funkcija y \u003d F (x) se imenuje antiderivacija za funkcijo y \u003d f (x) na danem intervalu X, če za vse x iz X velja enakost F "(x) \u003d f (x) .

V praksi interval X običajno ni specificiran, ampak impliciran (kot naravna domena funkcije).

Tukaj je nekaj primerov:

1) Funkcija y \u003d x 2 je protiizpeljava za funkcijo y \u003d 2x, saj za vse x velja enakost (x 2) "\u003d 2x.
2) funkcija y - x 3 je protiizpeljava za funkcijo y-3x 2, saj za vse x velja enakost (x 3)" \u003d 3x 2.
3) Funkcija y-sinx je protiodpeljava za funkcijo y=cosx, saj za vse x velja enakost (sinx) "=cosx.
4) Funkcija je antiizpeljana za funkcijo na intervalu, saj za vse x > 0 velja enakost
Na splošno, če poznamo formule za iskanje derivatov, ni težko sestaviti tabele formul za iskanje antiderivatov.

Upamo, da razumete, kako je ta tabela sestavljena: izpeljanka funkcije, ki je zapisana v drugem stolpcu, je enaka funkciji, ki je zapisana v ustrezni vrstici prvega stolpca (preverite, ne bodite leni, to je zelo uporabno). Na primer, za funkcijo y \u003d x 5 je protiodpeljava, kot jo ugotovite, funkcija (glejte četrto vrstico tabele).

Opombe: 1. Spodaj dokažemo izrek, da če je y = F(x) protiodvod za funkcijo y = f(x), potem ima funkcija y = f(x) neskončno veliko protiodvodov in vsi imajo obliko y = F (x ) + C. Zato bi bilo pravilneje dodati člen C povsod v drugi stolpec tabele, kjer je C poljubno realno število.
2. Zaradi jedrnatosti včasih namesto izraza "funkcija y = F(x) je protiodpeljava za funkcijo y = f(x)" rečejo F(x) protiodpeljava za f(x) ".

2. Pravila iskanja antiizpeljank

Pri iskanju antiizpeljank, pa tudi pri iskanju izpeljank, ne uporabljamo le formul (navedene so v tabeli na str. 196), temveč tudi nekatera pravila. Neposredno so povezani z ustreznimi pravili za računanje izpeljank.

Vemo, da je odvod vsote enak vsoti odvodov. To pravilo generira ustrezno pravilo za iskanje antiizpeljank.

1. pravilo Protiodvod vsote je enak vsoti praodvodov.

Opozarjamo vas na nekaj "lahkotnosti" tega besedila. Pravzaprav bi bilo potrebno oblikovati izrek: če imata funkciji y = f(x) in y=g(x) antiodvode na intervalu X, y-F(x) oziroma y-G(x), potem je vsota funkcij y = f(x) + g(x) ima protiodvod na intervalu X in ta protiodvod je funkcija y = F(x) + G(x). Toda običajno pri oblikovanju pravil (in ne izrekov) ostanejo le ključne besede - to je bolj priročno za uporabo pravila v praksi.

Primer 2 Poiščite protiodvod za funkcijo y = 2x + cos x.

rešitev. Protiodvod za 2x je x "; protiodvod za cosx je sin x. Zato bo protiodvod za funkcijo y \u003d 2x + cos x funkcija y \u003d x 2 + sin x (in na splošno katera koli funkcija oblika Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Vemo, da lahko konstantni faktor vzamemo iz predznaka odvoda. To pravilo generira ustrezno pravilo za iskanje antiizpeljank.

2. pravilo Konstantni faktor lahko vzamemo iz protiizpeljanega predznaka.

Primer 3

rešitev. a) Antiizpeljava za sin x je -cos x; zato bo za funkcijo y \u003d 5 sin x antiodvod funkcija y \u003d -5 cos x.

b) Protiodvod za cos x je sin x; zato bo za antiderivacijsko funkcijo obstajala funkcija
c) Protiodvod za x 3 je protiodvod za x je protiodvod za funkcijo y \u003d 1 je funkcija y \u003d x. Z uporabo prvega in drugega pravila za iskanje protiodvodov dobimo, da je protiodvod za funkcijo y \u003d 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentiraj. Kot veste, odvod produkta ni enak produktu odvodov (pravilo za razlikovanje produkta je bolj zapleteno) in odvod količnika ni enak kvocientu odvodov. Zato ni pravil za iskanje protiodvoda produkta ali protiodvoda kvocienta dveh funkcij. Bodi previden!
Dobimo še eno pravilo za iskanje antiizpeljank. Vemo, da se odvod funkcije y \u003d f (kx + m) izračuna po formuli

To pravilo generira ustrezno pravilo za iskanje antiizpeljank.
3. praviloČe je y \u003d F (x) protiodvod za funkcijo y \u003d f (x), potem je protiodvod za funkcijo y \u003d f (kx + m) funkcija

Prav zares,

To pomeni, da je protiizpeljava za funkcijo y \u003d f (kx + m).
Pomen tretjega pravila je naslednji. Če veste, da je protiodvod za funkcijo y \u003d f (x) funkcija y \u003d F (x), in morate najti antiizvod funkcije y \u003d f (kx + m), potem nadaljujte kot sledi: vzemite isto funkcijo F, vendar namesto argumenta x nadomestite izraz xx+m; poleg tega ne pozabite napisati "korekcijski faktor" pred znakom funkcije
Primer 4 Poiščite protiodvode za dane funkcije:

rešitev, a) Antiizpeljava za sin x je -cos x; to pomeni, da bo za funkcijo y \u003d sin2x protiodpeljava funkcija
b) Protiodvod za cos x je sin x; zato bo za antiderivacijsko funkcijo obstajala funkcija

c) Protiodvod za x 7 je torej za funkcijo y \u003d (4-5x) 7, protiodvod bo funkcija

3. Nedoločen integral

Zgoraj smo že omenili, da ima problem iskanja antiizpeljave za dano funkcijo y = f(x) več kot eno rešitev. Razpravljajmo o tem vprašanju podrobneje.

Dokaz. 1. Naj bo y \u003d F (x) antiizpeljava za funkcijo y \u003d f (x) na intervalu X. To pomeni, da za vse x iz X velja enakost x "(x) \u003d f (x) res Poiščite odvod katere koli funkcije oblike y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Torej, (F(x)+C) = f(x). To pomeni, da je y \u003d F (x) + C antiderivacija za funkcijo y \u003d f (x).
Tako smo dokazali, da če ima funkcija y \u003d f (x) protiodvod y \u003d F (x), potem ima funkcija (f \u003d f (x) neskončno veliko antiodvodov, na primer katera koli funkcija oblika y \u003d F (x) +C je antiderivativna.
2. Dokažimo zdaj, da je celoten niz antiizpeljank izčrpan z navedenim tipom funkcij.

Naj sta y=F 1 (x) in y=F(x) dva protiodvoda za funkcijo Y = f(x) na intervalu X. To pomeni, da za vse x iz intervala X veljajo naslednje relacije: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Razmislite o funkciji y \u003d F 1 (x) -.F (x) in poiščite njen derivat: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Znano je, da če je odvod funkcije na intervalu X identično enak nič, potem je funkcija na intervalu X konstantna (glej izrek 3 v § 35). Zato je F 1 (x) -F (x) \u003d C, tj. Fx) \u003d F (x) + C.

Izrek je dokazan.

Primer 5 Postavljen je zakon spremembe hitrosti od časa v = -5sin2t. Poiščite zakon gibanja s = s(t), če je znano, da je bila v času t=0 koordinata točke enaka številu 1,5 (torej s(t) = 1,5).

rešitev. Ker je hitrost odvod koordinate v odvisnosti od časa, moramo najprej najti protiodvod hitrosti, tj. antiodvod za funkcijo v = -5sin2t. Eden od takšnih protiizvodov je funkcija , množica vseh protiizvodov pa ima obliko:

Za iskanje določene vrednosti konstante C uporabimo začetne pogoje, po katerih je s(0) = 1,5. Če v formuli (1) nadomestimo vrednosti t = 0, S = 1,5, dobimo:

Če nadomestimo najdeno vrednost C v formulo (1), dobimo zakon gibanja, ki nas zanima:

Definicija 2.Če ima funkcija y = f(x) protiodvod y = F(x) na intervalu X, potem je množica vseh protiodvodov, tj. množica funkcij oblike y \u003d F (x) + C, se imenuje nedoločen integral funkcije y \u003d f (x) in ga označimo:

(preberi: " nedoločen integral ef od x de x").
V naslednjem razdelku bomo izvedeli, kaj je skriti pomen tega zapisa.
Na podlagi tabele protiodvodov, ki je na voljo v tem odstavku, bomo sestavili tabelo osnovnih nedoločenih integralov:

Na podlagi zgornjih treh pravil za iskanje antiizpeljank lahko oblikujemo ustrezna integracijska pravila.

1. pravilo Integral vsote funkcij je enaka vsoti integrali teh funkcij:

2. pravilo Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

3. praviloče

Primer 6 Poiščite nedoločene integrale:

rešitev, a) Z uporabo prvega in drugega pravila integracije dobimo:

Zdaj uporabljamo 3. in 4. integracijsko formulo:

Kot rezultat dobimo:

b) Z uporabo tretjega pravila integracije in formule 8 dobimo:

c) Za neposredno določitev danega integrala nimamo niti ustrezne formule niti ustreznega pravila. V takšnih primerih včasih pomagajo predhodne enake transformacije izraza, vsebovanega pod znakom integrala.

Uporabimo trigonometrična formula znižanje:

Nato zaporedno najdemo:

A.G. Mordkovič algebra 10. razred

Koledarsko-tematsko načrtovanje pri matematiki, video pri matematiki na spletu , Matematika v šoli

Dokument

Neki interval X. Če Za kateri koli xX F "(x) \u003d f (x), potem funkcijo F klicalprimitivenZafunkcije f na intervalu X. protiizpeljankaZafunkcije lahko poskusite najti ...

Antiizpeljava za funkcijo

Dokument

... . funkcija F(x) klicalprimitivenZafunkcije f(x) na intervalu (a;b) if Za za vse x(a;b) velja enakost F(x) = f(x). na primer Zafunkcije x2 primitiven volja funkcijo x3 ...

Učni priročnik Osnove integralnega računa

Vadnica

... ; 5. Poiščite integral. ; B) ; C); D) ; 6. funkcijaklicalprimitiven Za funkcije na snemanju, če: Za vsi; na neki točki; Za vsi; v nekem ... intervalu. Definicija 1. funkcijaklicalprimitivenZafunkcije na snemanju...

Antiderivacija Nedoločen integral

Dokument

Integracija. protiizpeljanka. neprekinjeno funkcijo F(x) klicalprimitivenZafunkcije f (x) na intervalu X if Za vsak F' (x) = f (x). PRIMER funkcija F(x) = x 3 je primitivenZafunkcije f(x)=3x...

POSEBNEGA IZOBRAŽEVANJA ZSSR Odobrila izobraževalna in metodološka uprava za visoko šolstvo

Smernice

Vprašanja Za samotestiranje Določi primitivenfunkcije. Navedite geometrijski smisel agregati antiderivatifunkcije. Kaj klical nedoločen...

Nedoločen integral

Glavna naloga diferencialnega računa je bil izračun odvoda ali diferenciala dane funkcije. Integralni račun, ki ga zdaj preučujemo, rešuje inverzni problem, in sicer iskanje same funkcije iz njenega odvoda ali diferenciala. Se pravi imeti dF(x)= f(x)d (7.1) oz F′(x)= f(x),

Kje f(x)- znana funkcija, morate najti funkcijo F(x).

definicija:Pokliče se funkcija F(x). primitiven funkcijo f (x) na segmentu, če na vseh točkah tega segmenta velja enakost: F′(x) = f(x) oz dF(x)= f(x)d.

Na primer, eden od antiizpeljank za funkcijo f(x)=3x2 volja F (x) \u003d x 3, Ker ( x 3)′=3x 2. Toda antiderivat za funkcijo f(x)=3x2 bodo tudi funkcije in , ker .

Torej ta funkcija f(x)=3x2 ima neskončno število primitivov, od katerih se vsak razlikuje le po konstantnem členu. Pokažimo, da ta rezultat velja tudi v splošnem primeru.

Izrek Dva različna praodvoda iste funkcije, definirana v nekem intervalu, se na tem intervalu razlikujeta s konstantnim členom.

Dokaz

Naj funkcija f(x) določen na intervalu (a¸b) in F 1 (x) in F 2 (x) - primitivne, tj. F 1 ′(x)= f(x) in F 2 ′(x)= f(x).

Potem F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))'= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) \u003d C

Od tod, F 2 (x) \u003d F 1 (x) + C

Kje Z je konstanta (tu uporabljamo posledico iz Lagrangeovega izreka).

Izrek je tako dokazan.

geometrijska ilustracija. če pri = F 1 (x) in pri = F 2 (x) so antiderivati ​​iste funkcije f(x), nato pa tangento na njuna grafa v točkah s skupno absciso X vzporedni drug z drugim (slika 7.1).

V tem primeru razdalja med temi krivuljami vzdolž osi OU ostane konstantna F 2 (x) - F 1 (x) \u003d C , torej te krivulje v nekaj razumevanja so "vzporedni" drug z drugim.

Posledica .

Dodajanje v nekaj primitivnih F(x) za to funkcijo f(x) določen na intervalu X, vse možne konstante Z, dobimo vse možne protiodvode za funkcijo f(x).

Torej izraz F(x)+C , kjer , in F(x) je nek antiizpeljanka funkcije f(x) vključuje vse možne protiizpeljanke za f(x).

Primer 1 Preverite, ali so funkcije antiderivati ​​za funkcijo

rešitev:

Odgovori: protiizpeljanke za funkcijo bodo funkcije in

definicija: Če je funkcija F(x) nek protiodvod za funkcijo f(x), se imenuje množica vseh antiodvodov F(x) + C nedoločen integral od f(x) in označimo:

∫f(x)dx.

A-priory:

f(x) - integrand,

f(x)dx - integrand

Iz tega sledi, da je nedoločeni integral funkcija splošne oblike, katere diferencial je enak integrandu in odvod po spremenljivki X je v vseh točkah enak integrandu.

Z geometrijskega vidika nedoločen integral je družina krivulj, od katerih vsako dobimo s premikanjem ene od sebi vzporednih krivulj navzgor ali navzdol, to je vzdolž osi OU(slika 7.2).

Imenuje se operacija izračuna nedoločenega integrala neke funkcije integracija to funkcijo.

Upoštevajte, da če je izpeljanka iz elementarna funkcija je vedno elementarna funkcija, potem ni treba, da je antiodvod elementarne funkcije predstavljen s končnim številom elementarnih funkcij.

Razmislite zdaj lastnosti nedoločenega integrala.

Definicija 2 pomeni:

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu, to je če F′(x) = f(x) , To

2. Diferencial nedoločenega integrala je enak integrandu

. (7.4)

Iz definicije diferenciala in lastnosti (7.3)

3. Nedoločeni integral diferenciala neke funkcije je enak tej funkciji do konstantnega člena, tj. (7.5)

Razmislite o gibanju točke vzdolž ravne črte. Pusti nekaj časa t od začetka gibanja je točka pretekla pot s(t). Nato trenutna hitrost v(t) enaka odvodu funkcije s(t), to je v(t) = s"(t).

V praksi se pojavlja inverzni problem: glede na določeno hitrost točke v(t) najti njeno pot s(t), torej najti tako funkcijo s(t), katerega izpeljanka je v(t). funkcija s(t), tako da s"(t) = v(t), se imenuje antiodvod funkcije v(t).

Na primer, če v(t) = pri, Kje A je dano število, potem funkcija
s(t) = (pri 2) / 2v(t), Ker
s "(t) \u003d ((pri 2) / 2) " \u003d pri \u003d v (t).

funkcija F(x) se imenuje antiderivacijska funkcija f(x) v določenem intervalu, če za vse X iz tega intervala F"(x) = f(x).

Na primer funkcija F(x) = sin x je antiderivacija funkcije f(x) = cos x, Ker (sin x)" = cos x; funkcijo F (x) \u003d x 4 / 4 je antiderivacija funkcije f(x) = x 3, Ker (x 4 / 4)" \u003d x 3.

Razmislimo o problemu.

Naloga.

Dokažite, da so funkcije x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 antiizvod iste funkcije f (x) \u003d x 2.

rešitev.

1) Označimo F 1 (x) \u003d x 3 / 3, nato F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3 / 3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3 / 3 + 1)" \u003d (x 3 / 3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f (x).

3) F 3 (x) \u003d x 3 / 3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3 / 3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Na splošno je katera koli funkcija x 3 / 3 + C, kjer je C konstanta, antiderivacija funkcije x 2. To izhaja iz dejstva, da je odvod konstante enak nič. Ta primer kaže, da za dano funkcijo njen protiodvod ni enolično definiran.

Naj sta F 1 (x) in F 2 (x) dva protiodvoda iste funkcije f(x).

Potem je F 1 "(x) = f(x) in F" 2 (x) = f(x).

Odvod njihove razlike g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) je enak nič, saj g "(x) = F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.

Če je g "(x) \u003d 0 na določenem intervalu, potem je tangenta na graf funkcije y \u003d g (x) v vsaki točki tega intervala vzporedna z osjo Ox. Zato je graf funkcije y \u003d g (x) je ravna črta, vzporedna z osjo Ox, tj. g (x) \u003d C, kjer je C neka konstanta Iz enakosti g (x) = C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) sledi, da je F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Torej, če je funkcija F(x) protiodvod od f(x) na nekem intervalu, potem so vsi antiodvodi od f(x) zapisani kot F(x) + С, kjer je S poljubna konstanta.

Razmislite o grafih vseh antiodvodov dane funkcije f(x). Če je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x), potem dobimo kateri koli antiodvod te funkcije tako, da F(x) dodamo neko konstanto: F(x) + C. Grafi funkcij y = F(x) + C dobimo iz grafa y = F(x) s premikom vzdolž osi Oy. Z izbiro C lahko zagotovimo, da graf protiizpeljave poteka skozi dano točko.

Bodimo pozorni na pravila iskanja primitivov.

Spomnimo se, da se imenuje operacija iskanja odvoda za dano funkcijo diferenciacija. Imenuje se obratna operacija iskanja antiodvoda za dano funkcijo integracija(iz latinske besede "obnovi").

Tabela protiizpeljank za nekatere funkcije je mogoče sestaviti s tabelo izpeljank. Na primer vedeti, da (cos x)" = -sin x, dobimo (-cos x)" = sin x, od koder sledi, da vse antiderivativne funkcije greh x so zapisane v obrazcu -cos x + C, Kje Z- konstantno.

Razmislimo o nekaterih vrednostih antiderivatov.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. protiizpeljanka: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. protiizpeljanka: lnx + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. protiizpeljanka: (x p + 1) / (p + 1) + C.

4) Funkcija: e x. protiizpeljanka: e x + C.

5) Funkcija: greh x. protiizpeljanka: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0. protiizpeljanka: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. protiizpeljanka: (1/k) ln (kx + b) + С.

8) Funkcija: e kx + b , k ≠ 0. protiizpeljanka: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. protiizpeljanka: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. protiizpeljanka: (1/k) sin (kx + b).

Pravila integracije je mogoče dobiti z uporabo pravila razlikovanja. Poglejmo nekaj pravil.

Pustiti F(x) in G(x) so antiizpeljanke funkcij f(x) in g(x) v nekem intervalu. Nato:

1) funkcijo F(x) ± G(x) je antiderivacija funkcije f(x) ± g(x);

2) funkcijo aF(x) je antiderivacija funkcije af(x).

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.