Formula za odvod funkcije, podane na parametričen način. Dokaz in primeri uporabe te formule. Primeri izračuna odvodov prvega, drugega in tretjega reda.

Naj bo funkcija določena na parametričen način:
(1)
kjer je neka spremenljivka, imenovana parameter. In naj imajo funkcije izvedenke pri določeni vrednosti spremenljivke. Poleg tega ima funkcija tudi inverzno funkcijo v določeni okolici točke. Takrat ima funkcija (1) v točki odvod, ki je v parametrični obliki določen s formulami:
(2)

Tukaj in sta odvoda funkcij in glede na spremenljivko (parameter). Pogosto so zapisani na naslednji način:
;
.

Potem lahko sistem (2) zapišemo takole:

Dokaz

Po pogoju ima funkcija inverzno funkcijo. Označimo ga kot
.
Potem lahko izvirno funkcijo predstavimo kot kompleksno funkcijo:
.
Poiščimo njegovo izpeljanko z uporabo pravil za razlikovanje kompleksnih in inverznih funkcij:
.

Pravilo je dokazano.

Dokaz na drugi način

Poiščimo odvod na drugi način, ki temelji na definiciji odvoda funkcije v točki:
.
Naj uvedemo zapis:
.
Potem ima prejšnja formula obliko:
.

Izkoristimo dejstvo, da ima funkcija inverzno funkcijo v okolici točke.
Vstavimo naslednji zapis:
; ;
; .
Števec in imenovalec ulomka delite z:
.
Ob , . Potem
.

Pravilo je dokazano.

Izpeljanke višjega reda

Za iskanje odvodov višjih redov je potrebno večkrat izvesti diferenciacijo. Recimo, da moramo najti odvod drugega reda funkcije, definirane parametrično, naslednje oblike:
(1)

S formulo (2) najdemo prvi odvod, ki je prav tako določen parametrično:
(2)

Označimo prvi odvod s spremenljivko:
.
Če želite nato najti drugi odvod funkcije glede na spremenljivko, morate najti prvi odvod funkcije glede na spremenljivko. Odvisnost spremenljivke od spremenljivke je določena tudi na parametričen način:
(3)
Če primerjamo (3) s formulama (1) in (2), ugotovimo:

Zdaj pa izrazimo rezultat s funkcijama in . Če želite to narediti, zamenjajmo in uporabimo formulo izpeljanega ulomka:
.
Potem
.

Od tu dobimo drugi odvod funkcije glede na spremenljivko:

Podan je tudi v parametrični obliki. Upoštevajte, da lahko prvo vrstico zapišete tudi na naslednji način:
.

Z nadaljevanjem postopka lahko pridobite izpeljanke funkcij iz spremenljivke tretjega in višjega reda.

Upoštevajte, da nam ni treba uvesti zapisa za izpeljanko. Lahko zapišete takole:
;
.

Primer 1

Poiščite odvod funkcije, definirane parametrično:

rešitev

Najdemo izpeljanke glede na .
Iz tabele derivatov najdemo:
;
.
Uporabljamo:

.
Tukaj.

.
Tukaj.

Zahtevana izpeljanka:
.

Odgovori

Primer 2

Poiščite odvod funkcije, izražen s parametrom:

rešitev

Razširimo oklepaje z uporabo formul za potenčne funkcije in korene:
.

Iskanje izpeljanke:

.

Iskanje izpeljanke. Da bi to naredili, uvedemo spremenljivko in uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije.

.

Najdemo želeno izpeljanko:
.

Odgovori

Primer 3

Poiščite odvod drugega in tretjega reda funkcije, parametrično definirane v primeru 1:

rešitev

V primeru 1 smo našli izpeljanko prvega reda:

Predstavimo poimenovanje. Potem je funkcija odvod glede na . Parametrsko je določeno:

Da bi našli drugi odvod glede na , moramo najti prvi odvod glede na .

Razlikujmo po.
.
Našli smo izpeljanko v primeru 1:
.
Odvod drugega reda glede na je enak odvodu prvega reda glede na:
.

Torej smo našli odvod drugega reda glede na parametrično obliko:

Zdaj najdemo odvod tretjega reda. Predstavimo poimenovanje. Nato moramo najti odvod prvega reda funkcije, ki je podana na parametričen način:

Poiščite odvod glede na . Če želite to narediti, ga prepišemo v enakovredni obliki:
.
Od

.

Odvod tretjega reda glede na je enak odvodu prvega reda glede na:
.

Komentiraj

Ni vam treba vnesti spremenljivk in , ki sta izpeljanki iz in . Potem lahko zapišete takole:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Odgovori

V parametrični predstavitvi ima odvod drugega reda naslednjo obliko:

Izpeljanka tretjega reda:

Izpeljanka implicitno podane funkcije.
Izpeljava parametrično dano funkcijo

V tem članku si bomo ogledali še dve tipični nalogi, ki ju pogosto najdemo v testi Avtor: višja matematika. Za uspešno obvladovanje snovi moraš znati najti izpeljanke vsaj na srednji ravni. Izpeljanke se lahko naučite najti praktično iz nič v dveh osnovnih lekcijah in Odvod kompleksne funkcije. Če so vaše sposobnosti razlikovanja v redu, potem pojdimo.

Izpeljanka implicitno podane funkcije

Ali na kratko, derivat implicitne funkcije. Kaj je implicitna funkcija? Najprej se spomnimo same definicije funkcije ene spremenljivke:

Funkcija ene spremenljivke je pravilo, po katerem vsaka vrednost neodvisne spremenljivke ustreza eni in samo eni vrednosti funkcije.

Spremenljivka se imenuje neodvisna spremenljivka oz prepir.
Spremenljivka se imenuje odvisna spremenljivka oz funkcijo .

Doslej smo si ogledali funkcije, definirane v eksplicitno oblika. Kaj to pomeni? Izvedimo poročilo s posebnimi primeri.

Upoštevajte funkcijo

Vidimo, da imamo na levi osamljenega "igralca", na desni pa - samo "X". Oziroma funkcija izrecno izražena z neodvisno spremenljivko.

Poglejmo še eno funkcijo:

Tukaj se pomešajo spremenljivke. Poleg tega nikakor nemogoče izrazite "Y" samo skozi "X". Kakšne so te metode? Prenašanje členov iz dela v del s spremembo predznaka, premikanje iz oklepaja, metanje faktorjev po pravilu sorazmerja itd. Prepiši enakost in poskusi eksplicitno izraziti »y«: . Enačbo lahko obračate ure in ure, a vam ne bo uspelo.

Naj vam predstavim: – primer implicitna funkcija.

Med matematično analizo je bilo dokazano, da je implicitna funkcija obstaja(vendar ne vedno), ima graf (tako kot "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je popolnoma enaka obstaja prva izpeljanka, druga izpeljanka itd. Kot pravijo, se spoštujejo vse pravice spolnih manjšin.

In v tej lekciji se bomo naučili, kako najti odvod implicitno podane funkcije. Saj ni tako težko! Vsa pravila diferenciranja in tabela odvodov elementarnih funkcij ostajajo v veljavi. Razlika je v enem posebnem trenutku, ki si ga bomo ogledali prav zdaj.

Da, in povedal vam bom dobro novico - spodaj obravnavane naloge se izvajajo po dokaj strogem in jasnem algoritmu brez kamna pred tremi stezami.

Primer 1

1) Na prvi stopnji na oba dela pritrdimo poteze:

2) Uporabljamo pravila linearnosti odvoda (prvi dve pravili lekcije Kako najti izpeljanko? Primeri rešitev):

3) Neposredna diferenciacija.
Kako razlikovati je popolnoma jasno. Kaj storiti tam, kjer so "igre" pod udarci?

- do točke sramote, odvod funkcije je enak njenemu odvodu: .

Kako razlikovati
Tukaj imamo kompleksna funkcija. Zakaj? Zdi se, da je pod sinusom samo ena črka "Y". Toda dejstvo je, da obstaja samo ena črka "y" - JE SAMO FUNKCIJA(glej definicijo na začetku lekcije). Tako je sinus zunanja funkcija, – notranja funkcija. Uporabljamo pravilo razlikovanja kompleksna funkcija :

Izdelek razlikujemo po običajnem pravilu :

Upoštevajte, da – je tudi zapletena funkcija, vsaka "igra na zvonce in piščalke" je kompleksna funkcija:

Sama rešitev bi morala izgledati nekako takole:


Če obstajajo oklepaji, jih razširite:

4) Na levi strani zberemo izraze, ki vsebujejo črko "Y" s praštevilo. IN desna stran– prenesite vse ostalo:

5) Na levi strani vzamemo izpeljanko iz oklepaja:

6) In v skladu s pravilom sorazmerja spustimo te oklepaje v imenovalec desne strani:

Izpeljanka je najdena. pripravljena

Zanimivo je omeniti, da je vsako funkcijo mogoče implicitno prepisati. Na primer funkcija lahko prepišemo takole: . In ga ločite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Pravzaprav se besedni zvezi "implicitna funkcija" in "implicitna funkcija" razlikujeta v enem pomenskem odtenku. Besedna zveza "implicitno določena funkcija" je bolj splošna in pravilna, – ta funkcija je navedena implicitno, vendar tukaj lahko izrazite "igro" in funkcijo predstavite eksplicitno. Besedna zveza "implicitna funkcija" se nanaša na "klasično" implicitno funkcijo, ko "y" ni mogoče izraziti.

Druga rešitev

Pozor! Z drugo metodo se lahko seznanite le, če znate samozavestno najti delni derivati. Prosim za začetnike računanja in telebane ne berite in preskočite to točko, sicer bo v tvoji glavi popolna zmešnjava.

Poiščimo odvod implicitne funkcije z drugo metodo.

Vse pogoje prenašamo na leva stran:

In razmislite o funkciji dveh spremenljivk:

Potem lahko našo izpeljanko najdemo s formulo
Poiščimo delne odvode:

Torej:

Druga rešitev vam omogoča izvedbo preverjanja. Ni pa priporočljivo, da napišejo končno različico naloge, saj delne odvode obvladajo kasneje, učenec, ki študira temo Odvod funkcije ene spremenljivke, pa še ne bi smel poznati delnih odvodov.

Poglejmo si še nekaj primerov.

Primer 2

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Dodajte poteze na oba dela:

Uporabljamo pravila linearnosti:

Iskanje izpeljank:

Odpiranje vseh oklepajev:

Vse izraze premaknemo z na levo stran, ostale na desno stran:

Končni odgovor:

Primer 3

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Popolna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije.

Nič nenavadnega ni, da po diferenciaciji nastanejo ulomki. V takih primerih se morate znebiti ulomkov. Poglejmo si še dva primera.

Primer 4

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Oba dela zapremo pod poteze in uporabimo pravilo linearnosti:

Razlikujte z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije in pravilo diferenciacije količnikov :

Razširitev oklepajev:

Zdaj se moramo znebiti ulomka. To je mogoče storiti kasneje, vendar je bolj racionalno to storiti takoj. Imenovalec ulomka vsebuje . Pomnožite na . V podrobnostih bo videti takole:

Včasih se po diferenciaciji pojavijo 2-3 frakcije. Če bi imeli na primer še en ulomek, bi bilo treba operacijo ponoviti - pomnožiti vsak člen vsakega dela na

Na levi strani ga damo iz oklepaja:

Končni odgovor:

Primer 5

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Edina stvar je, da preden se znebite frakcije, se boste morali najprej znebiti trinadstropne strukture same frakcije. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Odvod parametrično definirane funkcije

Naj ne poudarjamo, tudi vse v tem odstavku je precej preprosto. Lahko zapišete splošno formulo parametrično definirane funkcije, vendar bom takoj zapisal, da bo jasno konkreten primer. V parametrični obliki je funkcija podana z dvema enačbama: . Enačbe pogosto niso zapisane v zavitih oklepajih, ampak zaporedno: , .

Spremenljivka se imenuje parameter in lahko sprejme vrednosti od "minus neskončnosti" do "plus neskončnosti". Upoštevajte na primer vrednost in jo nadomestite v obe enačbi: . Ali v človeških terminih: "če je x enak štiri, potem je y enak ena." Na koordinatni ravnini lahko označite točko in ta točka bo ustrezala vrednosti parametra. Podobno lahko najdete točko za katero koli vrednost parametra "te". Tako kot pri "običajni" funkciji, za Ameriški Indijanci parametrično definirane funkcije, upoštevane so tudi vse pravice: sestavite lahko graf, poiščete odpeljanke itd. Mimogrede, če morate narisati graf parametrično definirane funkcije, lahko uporabite moj program.

V najpreprostejših primerih je mogoče funkcijo predstaviti eksplicitno. Izrazimo parameter iz prve enačbe: – in ga nadomestite v drugo enačbo: . Rezultat je navadna kubična funkcija.

V bolj "hudih" primerih ta trik ne deluje. Vendar ni pomembno, ker obstaja formula za iskanje odvoda parametrične funkcije:

Najdemo izpeljanko "igre glede na spremenljivko te":

Vsa pravila razlikovanja in tabela izpeljank veljajo seveda za črko , torej v procesu iskanja derivatov ni novosti. Samo v mislih zamenjajte vse "X" v tabeli s črko "Te".

Najdemo izpeljanko "x glede na spremenljivko te":

Zdaj ostane le še, da najdene derivate nadomestimo v našo formulo:

pripravljena Izpeljanka je tako kot sama funkcija odvisna tudi od parametra.

Kar zadeva zapis, namesto da bi ga zapisali v formulo, bi ga lahko preprosto zapisali brez indeksa, saj je to "navadna" izpeljanka "glede na X". Toda v literaturi vedno obstaja možnost, zato ne bom odstopal od standarda.

Primer 6

Uporabljamo formulo

V tem primeru:

Torej:

Posebnost iskanja odvoda parametrične funkcije je dejstvo, da pri vsakem koraku je koristno čim bolj poenostaviti rezultat. Torej, v obravnavanem primeru sem, ko sem ga našel, odprl oklepaj pod korenom (čeprav tega morda nisem storil). Obstaja velika verjetnost, da se bo pri zamenjavi v formuli marsikaj dobro zmanjšalo. Čeprav seveda obstajajo primeri z okornimi odgovori.

Primer 7

Poiščite odvod funkcije, podane parametrično

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

V članku Najenostavnejši tipični problemi z izpeljankami pogledali smo primere, v katerih smo morali najti drugi odvod funkcije. Za parametrično definirano funkcijo lahko najdete tudi drugi odvod in ga najdete z naslednjo formulo: . Povsem očitno je, da morate za iskanje drugega odvoda najprej najti prvi odvod.

Primer 8

Poiščite prvi in ​​drugi odvod funkcije, podane parametrično

Najprej poiščimo prvo izpeljanko.
Uporabljamo formulo

V tem primeru:

Najdene izpeljanke nadomestimo v formulo. Za poenostavitev uporabimo trigonometrično formulo:

Razmislite o definiranju črte na ravnini, v kateri sta spremenljivki x, y funkciji tretje spremenljivke t (imenovane parameter):

Za vsako vrednost t iz določenega intervala ustrezajo določene vrednosti x in y, a, torej določena točka M (x, y) ravnine. Kdaj t teče skozi vse vrednosti iz danega intervala, nato točko M (x, y) opisuje neko črto L. Enačbe (2.2) imenujemo parametrične enačbe premic L.

Če ima funkcija x = φ(t) inverz t = Ф(x), potem če ta izraz nadomestimo v enačbo y = g(t), dobimo y = g(Ф(x)), ki določa l kot funkcija x. V tem primeru pravimo, da enačbe (2.2) definirajo funkcijo l parametrično.

Primer 1. Pustiti M(x,y)– poljubna točka na krogu polmera R in s središčem na izvoru. Pustiti t– kot med osmi Ox in polmer OM(glej sliko 2.3). Potem x, y se izražajo skozi t:

Enačbe (2.3) so parametrične enačbe kroga. Iz enačb (2.3) izločimo parameter t. To naredimo tako, da vsako enačbo kvadriramo in jo seštejemo, dobimo: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ali x 2 + y 2 = R 2 – kartezična enačba kroga koordinatni sistem. Definira dve funkciji: Vsaka od teh funkcij je podana s parametričnimi enačbami (2.3), vendar za prvo funkcijo , za drugo pa .

Primer 2. Parametrične enačbe

določite elipso s polosemi a, b(slika 2.4). Izključitev parametra iz enačb t, dobimo kanonično enačbo elipse:

Primer 3. Cikloida je premica, ki jo opisuje točka, ki leži na krožnici, če se ta krožnica kotali brez drsenja po ravni črti (slika 2.5). Predstavimo parametrične enačbe cikloide. Naj bo polmer kotalnega kroga a, pika M, ki opisuje cikloido, je na začetku gibanja sovpadala z izhodiščem koordinat.

Določimo koordinate x, y točk M potem ko se je krog zavrtel za kot t
(slika 2.5), t = ÐMCB. Dolžina loka M.B. enaka dolžini segmenta O.B. saj se krog kotali brez zdrsa, torej

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – strošek).

Tako dobimo parametrične enačbe cikloide:

Pri spreminjanju parametra t od 0 do 2π krog se zavrti za en obrat, točka pa M opisuje en lok cikloide. Enačbe (2.5) dajejo l kot funkcija x. Čeprav funkcija x = a(t – sint) ima inverzno funkcijo, vendar ni izražena z elementarne funkcije, torej funkcija y = f(x) ni izražena skozi elementarne funkcije.

Oglejmo si diferenciacijo funkcije, ki je parametrično definirana z enačbami (2.2). Funkcija x = φ(t) ima na določenem intervalu spremembe t obratno funkcijo t = Ф(x), Potem y = g(Ф(x)). Pustiti x = φ(t), y = g(t) imajo izvedenke in x"t≠0. Po pravilu diferenciacije kompleksnih funkcij y"x=y"t×t"x. Na podlagi pravila razlikovanja inverzna funkcija, Zato:

Nastala formula (2.6) omogoča iskanje odvoda za parametrično podano funkcijo.

Primer 4. Naj funkcija l, odvisno od x, je podana parametrično:

rešitev. .
Primer 5. Poiščite naklon k tangenta na cikloido v točki M 0, ki ustreza vrednosti parametra.
rešitev. Iz cikloidnih enačb: y" t = asint, x" t = a(1 – stroški), Zato

Faktor naklona tangenta v točki M0 enaka vrednosti pri t 0 = π/4:

DIFERENCIALNA FUNKCIJA

Naj funkcija na točki x 0 ima izpeljanko. A-priory:
torej glede na lastnosti meje (oddelek 1.8), kjer a– infinitezimalno pri Δx → 0. Od tod

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ker je Δx → 0, je drugi člen v enačbi (2.7) infinitezimal višjega reda v primerjavi z , zato sta Δy in f " (x 0)×Δx enakovredna, infinitezimalna (za f "(x 0) ≠ 0).

Tako je prirastek funkcije Δy sestavljen iz dveh členov, od katerih je prvi f "(x 0)×Δx glavni del prirastek Δy, linearen glede na Δx (za f "(x 0)≠ 0).

Diferencial funkcijo f(x) v točki x 0 imenujemo glavni del prirastka funkcije in ga označimo: dy oz df(x0). torej

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Primer 1. Poiščite diferencial funkcije dy in prirastek funkcije Δy za funkcijo y = x 2 pri:
1) poljubno x in Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

rešitev

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Če je x 0 = 20, Δx = 0,1, potem je Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Zapišimo enakost (2.7) v obliki:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Povečanje Δy se razlikuje od diferenciala dy na infinitezimalko višjega reda v primerjavi z Δx, zato se pri približnih izračunih uporablja približna enakost Δy ≈ dy, če je Δx dovolj majhen.

Če upoštevamo, da je Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), dobimo približno formulo:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2,10)

Primer 2. Izračunajte približno.

rešitev. Razmislite:

Z uporabo formule (2.10) dobimo:

Torej, ≈ 2,025.

Razmislimo geometrijski pomen diferencial df(x 0)(slika 2.6).

Na graf funkcije y = f(x) narišimo tangento v točki M 0 (x0, f(x 0)), naj bo φ kot med tangento KM0 in osjo Ox, potem je f"( x 0) = tanφ Iz ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Toda PN je prirastek tangentne ordinate, ko se x spremeni iz x 0 v x 0 + Δx.

Posledično je diferencial funkcije f(x) v točki x 0 enak prirastku ordinate tangente.

Poiščimo diferencial funkcije
y = x. Ker je (x)" = 1, potem je dx = 1×Δx = Δx. Predpostavili bomo, da je diferencial neodvisne spremenljivke x enak njenemu prirastku, tj. dx = Δx.

Če je x poljubno število, potem iz enačbe (2.8) dobimo df(x) = f "(x)dx, od koder .
Tako je odvod za funkcijo y = f(x) enak razmerju njenega diferenciala in diferenciala argumenta.

Razmislimo o lastnostih diferenciala funkcije.

Če sta u(x), v(x) diferenciabilni funkciji, veljajo naslednje formule:

Za dokaz teh formul se uporabljajo formule za izpeljavo vsote, produkta in količnika funkcije. Dokažimo na primer formulo (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Oglejmo si diferencial kompleksne funkcije: y = f(x), x = φ(t), tj. y = f(φ(t)).

Potem je dy = y" t dt, vendar y" t = y" x ×x" t, torej dy =y" x x" t dt. glede na to,

da je x" t = dx, dobimo dy = y" x dx =f "(x)dx.

Tako ima diferencial kompleksne funkcije y = f(x), kjer je x =φ(t), obliko dy = f "(x)dx, enako kot v primeru, ko je x neodvisna spremenljivka. Ta lastnost je poklican invariantnost oblike diferenciala A.

Funkcijo je mogoče določiti na več načinov. Odvisno je od pravila, ki se uporablja za določitev. Eksplicitna oblika podajanja funkcije je y = f (x). Včasih je njegov opis nemogoč ali neprijeten. Če obstaja veliko parov (x; y), ki jih je treba izračunati za parameter t v intervalu (a; b). Za rešitev sistema x = 3 cos t y = 3 sin t z 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definicija parametrične funkcije

Od tu imamo, da so x = φ (t), y = ψ (t) definirani pri vrednosti t ∈ (a; b) in imajo inverzno funkcijo t = Θ (x) za x = φ (t), potem govorimo o o podajanju parametrične enačbe funkcije oblike y = ψ (Θ (x)).

Obstajajo primeri, ko je za preučevanje funkcije potrebno poiskati odvod glede na x. Razmislimo o formuli za odvod parametrično definirane funkcije oblike y x " = ψ " (t) φ " (t), govorimo o odvodu 2. in n-tega reda.

Izpeljava formule za odvod parametrično definirane funkcije

Imamo x = φ (t), y = ψ (t), definiran in diferenciabilen za t ∈ a; b, kjer je x t " = φ " (t) ≠ 0 in x = φ (t), potem obstaja inverzna funkcija oblike t = Θ (x).

Za začetek bi morali preiti s parametrične naloge na eksplicitno. Če želite to narediti, morate pridobiti kompleksno funkcijo oblike y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kjer je argument x.

Na podlagi pravila za iskanje odvoda kompleksne funkcije dobimo, da je y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

To kaže, da sta t = Θ (x) in x = φ (t) inverzni funkciji iz formule inverzne funkcije Θ " (x) = 1 φ " (t), nato pa y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Preidimo k reševanju več primerov z uporabo tabele odvodov po pravilu diferenciacije.

Primer 1

Poiščite odvod za funkcijo x = t 2 + 1 y = t.

rešitev

Po pogoju velja, da je φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, od tod dobimo, da je φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Uporabiti morate izpeljano formulo in odgovor zapisati v obrazec:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

odgovor: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Pri delu z odvodom funkcije h parameter t podaja izraz argumenta x prek istega parametra t, da ne izgubi povezave med vrednostmi odvoda in parametrično definirano funkcijo z argumentom do ki jim te vrednosti ustrezajo.

Če želite določiti odvod drugega reda parametrično podane funkcije, morate uporabiti formulo za odvod prvega reda na dobljeni funkciji, potem dobimo to

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Primer 2

Poiščite odvod 2. in 2. reda dane funkcije x = cos (2 t) y = t 2 .

rešitev

S pogojem dobimo, da je φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Potem pa po preobrazbi

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Iz tega sledi, da je y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Dobimo, da je oblika odvoda 1. reda x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Za rešitev morate uporabiti formulo odvoda drugega reda. Dobimo izraz forme

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Nato določite odvod 2. reda z uporabo parametrične funkcije

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Podobno rešitev je mogoče rešiti z drugo metodo. Potem

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Od tod to razumemo

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

odgovor: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Odvode višjega reda s parametrično definiranimi funkcijami najdemo na podoben način.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Naj ne poudarjamo, tudi vse v tem odstavku je precej preprosto. Lahko zapišete splošno formulo za parametrično definirano funkcijo, a da bo jasno, bom takoj zapisal konkreten primer. V parametrični obliki je funkcija podana z dvema enačbama: . Enačbe pogosto niso zapisane v zavitih oklepajih, ampak zaporedno: , .

Spremenljivka se imenuje parameter in ima lahko vrednosti od "minus neskončnosti" do "plus neskončnosti". Upoštevajte na primer vrednost in jo nadomestite v obe enačbi: . Ali v človeških terminih: "če je x enak štiri, potem je y enak ena." Na koordinatni ravnini lahko označite točko in ta točka bo ustrezala vrednosti parametra. Podobno lahko najdete točko za katero koli vrednost parametra "te". Kar zadeva "navadno" funkcijo, so za ameriške Indijance parametrično definirane funkcije spoštovane tudi vse pravice: lahko sestavite graf, poiščete derivate itd. Mimogrede, če morate narisati graf parametrično določene funkcije, prenesite moj geometrijski program na strani Matematične formule in tabele.

V najpreprostejših primerih je mogoče funkcijo predstaviti eksplicitno. Izrazimo parameter iz prve enačbe: – in ga nadomestite v drugo enačbo: . Rezultat je navadna kubična funkcija.

V bolj "hudih" primerih ta trik ne deluje. Vendar ni pomembno, ker obstaja formula za iskanje odvoda parametrične funkcije:

Najdemo izpeljanko "igre glede na spremenljivko te":

Vsa pravila razlikovanja in tabela izpeljank veljajo seveda za črko , torej v procesu iskanja derivatov ni novosti. Samo v mislih zamenjajte vse "X" v tabeli s črko "Te".

Najdemo izpeljanko "x glede na spremenljivko te":

Zdaj ostane le še, da najdene derivate nadomestimo v našo formulo:

pripravljena Izpeljanka je tako kot sama funkcija odvisna tudi od parametra.

Kar zadeva zapis, namesto da bi ga zapisali v formulo, bi ga lahko preprosto zapisali brez indeksa, saj je to "navadna" izpeljanka "glede na X". Toda v literaturi vedno obstaja možnost, zato ne bom odstopal od standarda.

Primer 6

Uporabljamo formulo

V tem primeru:

Torej:

Posebnost iskanja odvoda parametrične funkcije je dejstvo, da pri vsakem koraku je koristno čim bolj poenostaviti rezultat. Torej, v obravnavanem primeru sem, ko sem ga našel, odprl oklepaj pod korenom (čeprav tega morda nisem storil). Obstaja velika verjetnost, da se bo pri zamenjavi v formuli marsikaj dobro zmanjšalo. Čeprav seveda obstajajo primeri z okornimi odgovori.

Primer 7

Poiščite odvod funkcije, podane parametrično

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

V članku Najenostavnejši tipični problemi z izpeljankami pogledali smo primere, v katerih smo morali najti drugi odvod funkcije. Za parametrično definirano funkcijo lahko najdete tudi drugi odvod in ga najdete z naslednjo formulo: . Povsem očitno je, da morate za iskanje drugega odvoda najprej najti prvi odvod.

Primer 8

Poiščite prvi in ​​drugi odvod funkcije, podane parametrično

Najprej poiščimo prvo izpeljanko.
Uporabljamo formulo

V tem primeru:

Najdene izpeljanke nadomesti v formulo. Za poenostavitev uporabimo trigonometrično formulo:

Opazil sem, da je pri problemu iskanja odvoda parametrične funkcije pogosto zaradi poenostavitve potrebno uporabiti trigonometrične formule . Zapomnite si jih ali jih imejte pri roki in ne zamudite priložnosti za poenostavitev vsakega vmesnega rezultata in odgovorov. Za kaj? Zdaj moramo vzeti izpeljanko iz , in to je očitno bolje kot iskanje izpeljanke iz .

Poiščimo drugo izpeljanko.
Uporabljamo formulo: .

Poglejmo našo formulo. Imenovalec smo že našli v prejšnjem koraku. Ostaja še najti števec - odvod prvega odvoda glede na spremenljivko "te":

Ostaja še uporaba formule:

Za utrjevanje snovi vam ponujam še nekaj primerov, ki jih lahko rešite sami.

Primer 9

Primer 10

Poiščite in za parametrično podano funkcijo

Želim ti uspeh!

Upam, da je bila ta lekcija uporabna in da lahko zdaj preprosto najdete izpeljanke funkcij, podanih implicitno in iz parametričnih funkcij

Rešitve in odgovori:

Primer 3: Rešitev:






Torej: