Dolžino segmenta na koordinatni osi najdemo po formuli:

Dolžino odseka na koordinatni ravnini iščemo po formuli:

Za iskanje dolžine segmenta v tridimenzionalnem koordinatnem sistemu se uporablja naslednja formula:

Koordinate sredine segmenta (za koordinatno os se uporablja samo prva formula, za koordinatno ravnino - prvi dve formuli, za tridimenzionalni koordinatni sistem - vse tri formule) se izračunajo po formulah:

funkcija je korespondenca obrazca l= f(x) med spremenljivkami, zaradi česar vsaka obravnavana vrednost neke spremenljivke x(argument ali neodvisna spremenljivka) ustreza določeni vrednosti druge spremenljivke, l(odvisna spremenljivka, včasih se ta vrednost preprosto imenuje vrednost funkcije). Upoštevajte, da funkcija predpostavlja to eno vrednost argumenta X lahko obstaja samo ena vrednost odvisne spremenljivke pri. Vendar pa enaka vrednost pri mogoče dobiti z različnimi X.

Obseg funkcije so vse vrednosti neodvisne spremenljivke (argument funkcije, običajno X), za katerega je definirana funkcija, tj. njegov pomen obstaja. Navedena je domena definicije D(l). Na splošno ste s tem konceptom že seznanjeni. Obseg funkcije drugače imenujemo obseg dovoljene vrednosti, oziroma ODZ, ki ga že dolgo lahko najdete.

Območje delovanja so vse možne vrednosti odvisne spremenljivke te funkcije. Označeno E(pri).

Funkcija se poveča v intervalu, kjer večja vrednost argument ustreza večji vrednosti funkcije. Funkcija Zmanjšanje na intervalu, na katerem večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

Funkcijski intervali so intervali neodvisne spremenljivke, pri katerih odvisna spremenljivka ohrani svoj pozitivni ali negativni predznak.

Funkcijske ničle so tiste vrednosti argumenta, za katere je vrednost funkcije enaka nič. V teh točkah graf funkcije seka abscisno os (OX os). Zelo pogosto potreba po iskanju ničel funkcije pomeni preprosto reševanje enačbe. Prav tako pogosto potreba po iskanju intervalov s konstantnim predznakom pomeni potrebo preprosto rešiti neenakost.

funkcija l = f(x) se imenujejo celo X

To pomeni, da so za vse nasprotne vrednosti argumenta vrednosti sode funkcije enake. Urnik celo funkcijo vedno simetričen glede na os y od y.

funkcija l = f(x) se imenujejo Čuden, če je definirana na simetrični množici in za poljubno X iz domene definicije je izpolnjena enakost:

To pomeni, da so za vse nasprotne vrednosti argumenta tudi vrednosti lihe funkcije nasprotne. Graf lihe funkcije je vedno simetričen glede na izvor.

Vsota korenin sodega in nenavadne lastnosti(presečišča x-osi OX) je vedno nič, ker za vsak pozitivni koren X ima negativen koren X.

Pomembno je vedeti, da ni nujno, da je neka funkcija soda ali liha. Obstaja veliko funkcij, ki niso niti sode niti lihe. Takšne funkcije imenujemo funkcije splošni pogled in zanje ne velja nobena od zgornjih enakosti ali lastnosti.

Linearna funkcija se imenuje funkcija, ki jo lahko podamo s formulo:

Urnik linearna funkcija je ravna črta in v splošnem primeru izgleda tako (naveden je primer za primer, ko k> 0, v tem primeru funkcija narašča; za to priložnost k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratne funkcije (parabola)

Graf parabole je podan s kvadratno funkcijo:

Kvadratna funkcija, tako kot katera koli druga funkcija, seka os OX v točkah, ki so njene korenine: ( x 1 ; 0) in ( x 2; 0). Če ni korenin, potem kvadratna funkcija ne seka osi OX, če obstaja en koren, potem na tej točki ( x 0; 0) kvadratna funkcija se samo dotika osi OX, vendar je ne seka. Kvadratna funkcija vedno seka os OY v točki s koordinatami: (0; c). Urnik kvadratna funkcija(parabola) lahko izgleda tako (slika prikazuje primere, ki še zdaleč niso izčrpani možne vrste parabola):

pri čemer:

• če koeficient a> 0, v funkciji l = sekira 2 + bx + c, potem so veje parabole usmerjene navzgor;
• če a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinate vrhov parabole lahko izračunate z uporabo naslednjih formul. X vrhovi (str- na zgornjih slikah) parabole (ali točke, v kateri kvadratni trinom doseže največjo ali najmanjšo vrednost):

Y vrhovi (q- na zgornjih slikah) parabole ali največ, če so veje parabole usmerjene navzdol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrednost kvadratnega trinoma:

Grafi drugih funkcij

funkcija moči

Tu je nekaj primerov grafov funkcij moči:

Obratno sorazmerna odvisnost pokličite funkcijo, podano s formulo:

Odvisno od predznaka števila k grafikon nazaj proporcionalna odvisnost ima lahko dve glavni možnosti:

Asimptota je premica, ki se ji premica grafa funkcije približuje neskončno blizu, vendar se ne seka. Asimptote za grafe obratno sorazmernost na zgornji sliki so prikazane koordinatne osi, ki se jim graf funkcije neskončno približa, vendar jih ne seka.

eksponentna funkcija z bazo A pokličite funkcijo, podano s formulo:

a graf eksponentne funkcije ima lahko dve temeljni možnosti (navedli bomo tudi primere, glej spodaj):

logaritemska funkcija pokličite funkcijo, podano s formulo:

Odvisno od tega, ali je število večje ali manjše od ena a Graf logaritemske funkcije ima lahko dve temeljni možnosti:

Funkcijski graf l = |x| kot sledi:

Grafi periodičnih (trigonometričnih) funkcij

funkcija pri = f(x) je poklican periodika, če obstaja takšno število, ki ni nič T, Kaj f(x + T) = f(x), za vsakogar X izven obsega funkcije f(x). Če funkcija f(x) je periodična s periodo T, potem funkcija:

Kje: A, k, b so stalne številke in k ni enako nič, tudi periodično s periodo T 1 , ki se določi s formulo:

Večina primerov periodičnih funkcij je trigonometričnih funkcij. Tukaj so grafi glavnega trigonometrične funkcije. Naslednja slika prikazuje del grafa funkcije l= greh x(celoten graf se nadaljuje v nedogled levo in desno), graf funkcije l= greh x klical sinusoida:

Funkcijski graf l= cos x klical kosinusni val. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Ker se graf sinusa neskončno nadaljuje vzdolž osi OX v levo in desno:

Funkcijski graf l=tg x klical tangentoid. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Tako kot grafi drugih periodičnih funkcij, ta grafikon se neomejeno ponavlja vzdolž osi OX v levo in desno.

In končno, graf funkcije l=ctg x klical kotangentoid. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Tako kot grafi drugih periodičnih in trigonometričnih funkcij se tudi ta graf neomejeno ponavlja vzdolž osi OX v levo in desno.

Naučite se vseh formul in zakonov v fiziki ter formul in metod v matematiki. Pravzaprav je tudi to zelo preprosto narediti, v fiziki je le okoli 200 potrebnih formul, v matematiki pa še malo manj. Pri vsakem od teh predmetov obstaja približno ducat standardnih metod za reševanje problemov osnovne ravni zahtevnosti, ki se jih je mogoče tudi naučiti in tako povsem samodejno in brez težav ob pravem času rešiti večino digitalne preobrazbe. Po tem boste morali razmišljati le o najtežjih nalogah.

Udeležite se vseh treh stopenj vadbenega preverjanja znanja iz fizike in matematike. Vsako RT lahko obiščete dvakrat, da rešite obe možnosti. Ponovno, na CT je treba poleg sposobnosti hitrega in učinkovitega reševanja problemov ter poznavanja formul in metod znati pravilno načrtovati čas, razporediti moči in predvsem pravilno izpolniti obrazec za odgovore. , ne da bi zamenjali številke odgovorov in nalog ali svoje ime. Prav tako se je med RT pomembno navaditi na stil zastavljanja vprašanj v nalogah, ki se lahko nepripravljenemu človeku na DT zdi zelo nenavaden.

Uspešno, vestno in odgovorno izvajanje teh treh točk vam bo omogočilo, da na CT pokažete odličen rezultat, največ tega, kar ste sposobni.

Ste našli napako?

Če menite, da ste našli napako v gradiva za usposabljanje, potem pišite o tem po pošti. Napako lahko prijavite tudi v socialno omrežje(). V pismu navedite predmet (fizika ali matematika), ime ali številko teme ali testa, številko naloge ali mesto v besedilu (stran), kjer je po vašem mnenju napaka. Opišite tudi, kaj je domnevna napaka. Vaše pismo ne bo ostalo neopaženo, napako bodo popravili ali pa vam bodo pojasnili, zakaj ne gre za napako.

Delavnica

Z matematično analizo

Za večerne študente

Vau seveda

(I. del)

Učna pomoč

Moskva, 2006

UDK 512.8:516

BBK S42

Recenzenti:

Kandidat fizikalnih in matematičnih znanosti, izredni profesor Karolinskaya S.N. (Moskovski letalski inštitut po imenu S. Ordzhonikidze);

Kandidat fizikalnih in matematičnih znanosti, izredni profesor Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT po imenu M.V. Lomonosov).

Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Delavnica matematične analize za študente večernega oddelka 1. letnika (I. del), Izobraževalni in metodološki priročnik - M .: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 s.: ilustr. 29 .

Odobrila Komisija za knjižnice in založništvo MITHT jim. M.V. Lomonosov kot učni pripomoček. poz. ___/2006.

Priročnik je povzetek 6 praktične vaje na tečaju matematične analize za študente večernega oddelka MITHT jim. M.V. Lomonosov. I. del vključuje naslednje razdelke: "Funkcija in njene osnovne lastnosti", "Limit funkcije", "Zvezne in diskontinuitetne točke funkcije".

Vsaka lekcija je posvečena ločeni temi. Povzetki 5 lekcij vsebujejo povzetek ustrezna teorija, tipični primeri in naloge za samostojno reševanje (z odgovori). V povzetku lekcije št. 6 je podana vzorčna možnost kontrolno delo(z rešitvami), podanimi v tej lekciji.

Priročnik je namenjen študentom večernega oddelka univerz kemijskega profila.

© MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006

Lekcija 1.

Pojem funkcije. Glavni elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi ………………….............

Lekcija 2. Polarni koordinatni sistem. Konstrukcija grafov funkcij s premikanjem in raztezanjem vzdolž koordinatnih osi ………………………………………………….

Lekcija 3. Omejitev delovanja. Kontinuiteta delovanja. Računanje limitov zveznih, racionalnih in nekaterih iracionalnih funkcij ………….............

Lekcija 4. Prva in druga čudovita meja. Izračun mej potenčne eksponentne funkcije. Neskončno majhen in neskončno velik
vrednosti …………………………………………………….

Lekcija 5. Kontinuitetne točke in diskontinuitetne točke funkcije. Razvrstitev prelomnih točk. Preiskava funkcije za kontinuiteto ………………………………

Lekcija 6. Izpit št. 1 na temo "Izračun meja funkcij. Preiskava funkcije za kontinuiteto"…………………………………………………….

Literatura……………………………………………….

Lekcija 1.

Pojem funkcije. Osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi.

Definicija 1. Odvisnost spremenljivke od spremenljivke imenujemo funkcijoče vsaka vrednost ustreza eni sami vrednosti.

Pišemo: In govoriti, ki je funkcija . Hkrati se imenuje neodvisna spremenljivka(ali argument), in - odvisna spremenljivka.

Definicija 2. Obseg funkcije(označeno z ) so vse vrednosti, ki . Niz funkcijskih vrednosti(označeno z ) so vse vrednosti, ki .

Definicija 3. Funkcija se imenuje povečevanje (upadanje) na numeričnem intervalu , če za katerega koli od , tako da , velja naslednja neenakost:

.

Definicija 4. Funkcija se imenuje monotono na intervalu, če se samo zmanjša ali poveča le za .

Definicija 5. Funkcija se imenuje celo (Čuden), če je simetrična glede na nič in za katerega koli od:

.

Nacionalna raziskovalna univerza

Oddelek za uporabno geologijo

Esej o višji matematiki

Na temo: "Osnovne elementarne funkcije,

njihove lastnosti in grafi"

Dokončano:

Preverjeno:

učiteljica

Opredelitev. Pokliče se funkcija, podana s formulo y=a x (kjer je a>0, a≠1). eksponentna funkcija z osnovo a.

Formulirajmo glavne lastnosti eksponentne funkcije:

1. Definicijsko področje je množica (R) vseh realnih števil.

2. Razpon vrednosti je nabor (R+) vseh pozitivnih realnih števil.

3. Pri a > 1 funkcija narašča na celotni realni premici; ob 0<а<1 функция убывает.

4. Je splošna funkcija.

, na intervalu xн [-3;3]
, na intervalu xн [-3;3]

Funkcijo oblike y(х)=х n , kjer je n število ОR, imenujemo potenčna funkcija. Število n ima lahko različne vrednosti: tako celo kot delno, tako sodo kot liho. Odvisno od tega bo imela funkcija moči drugačno obliko. Razmislite o posebnih primerih, ki so potenčne funkcije in odražajo glavne lastnosti te vrste krivulj v naslednjem vrstnem redu: potenčna funkcija y \u003d x² (funkcija s sodim eksponentom - parabola), potenčna funkcija y \u003d x³ (funkcija z lihim eksponentom - kubično parabolo) in funkcijo y \u003d √ x (x na potenco ½) (funkcija z delnim eksponentom), funkcijo z negativnim celim eksponentom (hiperbola).

Funkcija moči y=x²

1. D(x)=R – funkcija je definirana na celotni numerični osi;

2. E(y)= in narašča na intervalu

Funkcija moči y=x³

1. Graf funkcije y \u003d x³ se imenuje kubična parabola. Funkcija moči y=x³ ima naslednje lastnosti:

2. D(x)=R – funkcija je definirana na celotni numerični osi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija zavzame vse vrednosti v svoji definicijski domeni;

4. Ko je x=0 y=0 – gre funkcija skozi izhodišče O(0;0).

5. Funkcija narašča po celotni domeni definicije.

6. Funkcija je liha (simetrična glede na izvor).

, na intervalu xн [-3;3]

Odvisno od numeričnega faktorja pred x³ je lahko funkcija strma/ravna in naraščajoča/padajoča.

Potenčna funkcija s celim negativnim eksponentom:

Če je eksponent n lih, se graf takšne potenčne funkcije imenuje hiperbola. Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom ima naslednje lastnosti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) za poljuben n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), če je n liho število; E(y)=(0;∞), če je n sodo število;

3. Funkcija pada čez celotno domeno definicije, če je n liho število; funkcija narašča na intervalu (-∞;0) in pada na intervalu (0;∞), če je n sodo število.

4. Funkcija je liha (simetrična glede na izvor), če je n liho število; funkcija je soda, če je n sodo število.

5. Funkcija gre skozi točki (1;1) in (-1;-1), če je n liho število, in skozi točki (1;1) in (-1;1), če je n sodo število.

, na intervalu xн [-3;3]

Potenčna funkcija z delnim eksponentom

Potenčna funkcija z ulomljenim eksponentom oblike (slika) ima graf funkcije, prikazane na sliki. Potenčna funkcija z ulomljenim eksponentom ima naslednje lastnosti: (slika)

1. D(x) нR, če je n liho število in D(x)=
, na intervalu xн
, na intervalu xн [-3;3]

Logaritemska funkcija y \u003d log a x ima naslednje lastnosti:

1. Domena definicije D(x)н (0; + ∞).

2. Območje vrednosti E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcija ni niti soda niti liha (splošno).

4. Funkcija narašča na intervalu (0; + ∞) za a > 1, pada na (0; + ∞) za 0< а < 1.

Graf funkcije y = log a x lahko dobimo iz grafa funkcije y = a x z uporabo simetrične transformacije glede na premico y = x. Na sliki 9 je narisan graf logaritemske funkcije za a > 1, na sliki 10 pa za 0< a < 1.

; na intervalu xO
; na intervalu xO

Funkcije y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x imenujemo trigonometrične funkcije.

Funkcije y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x so lihe, funkcija y \u003d cos x pa soda.

Funkcija y \u003d sin (x).

1. Domena definicije D(x) ОR.

2. Razpon vrednosti E (y) О [ - 1; 1].

3. funkcija je periodična; glavna perioda je 2π.

4. Funkcija je liha.

5. Funkcija narašča na intervalih [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] in pada na intervalih [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graf funkcije y \u003d sin (x) je prikazan na sliki 11.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določena oseba ali povezanost z njim.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.

Varstvo osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.