V matematiki obstaja neskončno število funkcij. In vsaka ima svoj značaj.) Za delo z najrazličnejšimi funkcijami potrebujete samski pristop. Sicer pa, kakšna matematika je to?!) In obstaja takšen pristop!

Pri delu s katero koli funkcijo jo predstavimo z standardni set vprašanja. In prvi, najbolj pomembno vprašanje- To obseg funkcije. Včasih se to področje imenuje niz veljavnih vrednosti argumentov, območje definicije funkcije itd.

Kakšen je obseg funkcije? Kako ga najti? Ta vprašanja se pogosto zdijo zapletena in nerazumljiva ... Čeprav je v resnici vse izjemno preprosto. O čem se lahko prepričate sami z branjem te strani. iti?)

No, kaj naj rečem ... Samo spoštovanje.) Da! Naravni obseg funkcije (o kateri govorimo tukaj) tekme z izrazi ODZ, vključenimi v funkcijo. V skladu s tem se iščejo po enakih pravilih.

Zdaj razmislite o ne povsem naravni domeni definicije.)

Dodatne omejitve glede obsega funkcije.

Tukaj bomo govorili o omejitvah, ki jih nalaga naloga. Tisti. naloga vsebuje nekaj dodatnih pogojev, ki jih je iznašel prevajalnik. Ali pa omejitve izvirajo iz načina definiranja funkcije.

Kar zadeva omejitve v nalogi - vse je preprosto. Običajno vam ni treba ničesar iskati, vse je že povedano v nalogi. Naj vas spomnim, da omejitve, ki jih je napisal avtor naloge, ne prekličejo temeljne omejitve matematike. Ne pozabite le upoštevati pogojev dodelitve.

Na primer, taka naloga:

Poiščite obseg funkcije:

na množici pozitivnih števil.

Zgoraj smo našli naravno domeno definicije te funkcije. To območje:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Pri verbalnem načinu nastavljanja funkcije morate natančno prebrati pogoj in tam poiskati omejitve za x. Včasih oči iščejo formule, besede pa žvižgajo mimo zavesti, ja...) Primer iz prejšnje lekcije:

Funkcija je podana s pogojem: vsaka vrednost naravnega argumenta x je povezana z vsoto števk, ki sestavljajo vrednost x.

Tukaj je treba opozoriti, da je samo o naravnih vrednostih x. Potem in D(f) takoj posneto:

D(f): x ∈ n

Kot lahko vidite, obseg funkcije ni tak kompleksen koncept. Iskanje tega območja se zmanjša na pregled funkcije, pisanje sistema neenačb in reševanje tega sistema. Seveda obstajajo najrazličnejši sistemi, preprosti in kompleksni. ampak...

odprto mala skrivnost. Včasih je funkcija, za katero morate najti obseg, videti prav zastrašujoča. Želim prebledeti in jokati.) Vendar je vredno zapisati sistem neenakosti ... In nenadoma se sistem izkaže za elementarnega! In pogosto, slabša ko je funkcija, enostavnejši je sistem ...

Morala: oči se bojijo, glava odloča!)

Naučili smo se, da obstaja X- množica, na kateri je formula, ki jo daje funkcija, smiselna. V matematični analizi je ta niz pogosto označen kot D (obseg funkcije ). Po drugi strani pa mnogi Y označen kot E (obseg delovanja ) in pri čemer D in E imenovane podmnožice R(množice realnih števil).

Če je funkcija podana s formulo, potem je, če ni posebnih zadržkov, njena definicijska domena največji niz, na katerem je ta formula smiselna, to je največji niz vrednosti argumentov, ki vodi do dejanskih vrednosti funkcije . Z drugimi besedami, niz vrednosti argumentov, na katerih "funkcija deluje".

Za splošno razumevanje je primer še vedno brez formule. Funkcija je podana kot pari relacij:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Poiščite domeno te funkcije.

Odgovori. Prvi element parov je spremenljivka x. Ker so drugi elementi parov podani tudi v definiciji funkcije - vrednosti spremenljivke l, potem je funkcija smiselna samo za tiste vrednosti x, ki ustrezajo določeni vrednosti y. To pomeni, da vzamemo vse x-e teh parov v naraščajočem vrstnem redu in iz njih pridobimo domeno funkcije:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Ista logika deluje, če je funkcija podana s formulo. Samo druge elemente v parih (to je vrednosti y) dobimo z zamenjavo določenih vrednosti x v formulo. Vendar, da bi našli domeno funkcije, nam ni treba iterirati čez vse pare x-ov in y-jev.

Primer 0. Kako najti domeno funkcije y, ki je enaka kvadratnemu korenu iz x minus pet (radikalni izraz x minus pet) ()? Samo rešiti morate neenakost

x - 5 ≥ 0 ,

ker da bi dobili realno vrednost y, mora biti radikalni izraz večji ali enak nič. Dobimo rešitev: domena funkcije so vse vrednosti x, ki so večje ali enake pet (ali x pripada intervalu od vključno pet do plus neskončnosti).

Na zgornji risbi - fragment numerične osi. Na njem je šrafirano področje definicije obravnavane funkcije, v smeri "plus" pa se šrafura nadaljuje v nedogled skupaj s samo osjo.

Če uporabljate računalniški programi, ki na podlagi vnesenih podatkov dajejo nekakšen odgovor, lahko opazite, da pri nekaterih vrednostih vnesenih podatkov program izpiše sporočilo o napaki, to je, da odgovora s takimi podatki ni mogoče izračunati. Takšno sporočilo zagotavljajo avtorji programa, če je izraz za izračun odgovora precej zapleten ali zadeva neko ozko področje, ali pa ga zagotavljajo avtorji programskega jezika, če gre za splošno sprejete norme, na primer, da je nemogoče deliti z nič.

Toda v obeh primerih odgovora (vrednosti nekega izraza) ni mogoče izračunati iz razloga, ker izraz nima smisla za nekatere vrednosti podatkov.

Primer (še vedno ne čisto matematičen): če program poda ime meseca po številki meseca v letu, potem z vnosom "15" prejmete sporočilo o napaki.

Najpogosteje je izračunani izraz le funkcija. Zato takšne neveljavne vrednosti podatkov niso vključene v obseg funkcije . In pri prostoročnih izračunih je prav tako pomembno, da predstavimo domeno funkcije. Na primer, izračunate določen parameter določenega izdelka z uporabo formule, ki je funkcija. Z nekaterimi vrednostmi vhodnega argumenta na izhodu ne boste dobili ničesar.

Domena definicije konstante

Definirana je konstanta (konstanta). za vse realne vrednosti x R realna števila. To lahko zapišemo tudi takole: domena te funkcije je celotna realna premica ]- ∞; +∞[ .

Primer 1. Poiščite obseg funkcije l = 2 .

rešitev. Obseg funkcije ni določen, kar pomeni, da je na podlagi zgornje definicije mišljena naravna domena definicije. Izraz f(x) = 2 je definiran za vse realne vrednosti x, zato je ta funkcija definirana na celotnem nizu R realna števila.

Zato je na zgornji risbi številska premica zasenčena vse od minus neskončnosti do plus neskončnosti.

Obseg korena n th stopnjo

V primeru, ko je funkcija podana s formulo in n- naravno število:

Primer 2. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Kot izhaja iz definicije, je koren sode stopnje smiseln, če je radikalni izraz nenegativen, to je, če je - 1 ≤ x≤ 1 . Zato je obseg te funkcije [- 1; 1] .

Osenčeno območje številske premice na zgornji risbi je območje definicije te funkcije.

Domena potenčne funkcije

Domena potenčne funkcije s celim eksponentom

če a- pozitivno, potem je domena funkcije množica vseh realnih števil, to je ]- ∞; + ∞[ ;

če a- negativna, potem je domena definicije funkcije množica ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , to je celotna številska premica razen ničle.

Na ustrezni risbi je celotna numerična črta od zgoraj zasenčena, točka, ki ustreza ničli, pa je izrezana (ni vključena v območje definicije funkcije).

Primer 3. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Prvi člen je celoštevilska potenca x enaka 3, potenco x v drugem členu pa lahko predstavimo kot enoto - prav tako celo število. Zato je domena te funkcije celotna številska premica, to je ]- ∞; +∞[ .

Domena potenčne funkcije z ulomljenim eksponentom

V primeru, ko je funkcija podana s formulo:

če je - pozitivno, potem je domena funkcije množica 0; +∞[ .

Primer 4. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Oba izraza v funkcijskem izrazu - močnostne funkcije s pozitivnimi delnimi eksponenti. Zato je domena te funkcije množica - ∞; +∞[ .

Področje definicije eksponentnih in logaritemskih funkcij

Domena eksponentne funkcije

V primeru, ko je funkcija podana s formulo, je domena funkcije celotna številska premica, to je ]- ∞; +∞[ .

Domena logaritemske funkcije

Logaritemska funkcija je definirana pod pogojem, da je njen argument pozitiven, to pomeni, da je njena definicijska domena množica ]0; +∞[ .

Sami poiščite obseg funkcije in si nato oglejte rešitev

Domena definicije trigonometričnih funkcij

Obseg funkcije l= cos( x) je tudi množica R realna števila.

Obseg funkcije l= tg( x) - kup R realna števila, razen števil .

Obseg funkcije l=ctg( x) - kup R realna števila, razen števil.

Primer 8. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Zunanja funkcija - decimalni logaritem in področje njegove definicije je podvrženo pogojem področja definicije logaritemske funkcije na splošno. To pomeni, da mora biti njegov argument pozitiven. Argument tukaj je sinus od "x". Če obračamo namišljeni kompas okoli kroga, vidimo, da je pogoj sin x> 0 je kršen, ko je "x" enak nič, "pi", dve, pomnoženo s "pi" in na splošno enak produktu števila "pi" in katerega koli sodega ali lihega celega števila.

Tako je domena definicije te funkcije podana z izrazom

,

Kje k je celo število.

Domena inverznih trigonometričnih funkcij

Obseg funkcije l= arcsin( x) - nastavite [-1; 1] .

Obseg funkcije l= arccos( x) - tudi niz [-1; 1] .

Obseg funkcije l= arktan( x) - kup R realna števila.

Obseg funkcije l= arcctg( x) je tudi množica R realna števila.

Primer 9. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Rešimo neenačbo:

Tako dobimo domeno definicije te funkcije - segment [- 4; 4] .

Primer 10. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Rešimo dve neenačbi:

Rešitev prve neenačbe:

Rešitev druge neenačbe:

Tako dobimo domeno definicije te funkcije - segment.

Domena ulomkov

Če je funkcija podana z ulomljenim izrazom, v katerem je spremenljivka v imenovalcu ulomka, potem je domena funkcije množica R realna števila razen x za katero se imenovalec ulomka izniči.

Primer 11. Poiščite obseg funkcije .

rešitev. Če rešimo enakost na nič imenovalca ulomka, najdemo področje definicije te funkcije - množica] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Kako najti obseg funkcije? S tem izzivom se pogosto srečujejo srednješolci.

Starši bi morali svojim otrokom pomagati razumeti to vprašanje.

Nastavitev funkcije.

Spomnimo se osnovnih pojmov algebre. Funkcija v matematiki je odvisnost ene spremenljivke od druge. Lahko rečemo, da je to strog matematični zakon, ki na določen način povezuje dve števili.

V matematiki se pri analizi formul numerične spremenljivke nadomestijo z abecednimi znaki. Najpogosteje uporabljena sta x ("x") in y ("y"). Spremenljivka x se imenuje argument, spremenljivka y pa odvisna spremenljivka ali funkcija od x.

obstajati različne načine nastavitev odvisnosti spremenljivk.

Naj jih naštejemo:

1. Analitični tip.
2. Tabelarni pogled.
3. Grafični prikaz.

Analitično metodo predstavlja formula. Razmislite o primerih: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formula y=2x+3 je značilna za linearna funkcija. Če nadomestimo numerično vrednost argumenta v dano formulo, dobimo vrednost y.

Tabelarna metoda je tabela, sestavljena iz dveh stolpcev. Prvi stolpec je dodeljen za vrednosti x, podatki za y pa so zabeleženi v naslednjem stolpcu.

Grafična metoda velja za najbolj vizualno. Graf je prikaz množice vseh točk na ravnini.

Za izris grafa se uporablja kartezični koordinatni sistem. Sistem je sestavljen iz dveh pravokotnih črt. Na osi položite iste posamezne segmente. Štetje je narejeno iz osrednja točka presečišče ravnih črt.

Neodvisna spremenljivka je navedena na vodoravni črti. Imenuje se abscisna os. Navpična črta (os y) prikazuje številsko vrednost odvisne spremenljivke. Na presečišču pravokotnic na te osi so označene točke. Če točke povežemo skupaj, dobimo trdno črto. Je osnova grafikona.

Vrste odvisnosti spremenljivk

Opredelitev.

IN splošni pogled odvisnost je predstavljena kot enačba: y=f(x). Iz formule sledi, da za vsako vrednost števila x obstaja določeno število l. Vrednost y, ki ustreza številu x, imenujemo vrednost funkcije.

Vse možne vrednosti, ki jih pridobi neodvisna spremenljivka, tvorijo domeno funkcije. Skladno s tem celoten niz števil odvisne spremenljivke določa obseg funkcije. Domena so vse vrednosti argumenta, za katere je f(x) smiselna.

Začetna naloga pri študiju matematičnih zakonov je najti domeno definicije. Ta izraz je treba pravilno opredeliti. V nasprotnem primeru bodo vsi nadaljnji izračuni neuporabni. Navsezadnje se obseg vrednosti oblikuje na podlagi elementov prvega sklopa.

Obseg funkcije je neposredno odvisen od omejitev. Omejitve so posledica nezmožnosti izvajanja določenih operacij. Obstajajo tudi omejitve glede uporabe številskih vrednosti.

Če ni omejitev, je domena definicije celoten številski prostor. Znak za neskončnost ima vodoravno osmico. Celoten niz števil je zapisan takole: (-∞; ∞).

V nekaterih primerih je podatkovni niz sestavljen iz več podmnožic. Meje numeričnih vrzeli ali vrzeli so odvisne od vrste zakona spreminjanja parametrov.

Navajamo seznam dejavnikov, ki vplivajo na omejitve:

• obratna sorazmernost;
• aritmetični koren;
• potenciranje;
• logaritemska odvisnost;
• trigonometrične oblike.

Če je takih elementov več, se iskanje omejitev razdeli za vsakega izmed njih. Največja težava je identifikacija kritične točke in intervali. Rešitev problema bo združitev vseh številskih podmnožic.

Množica in podmnožica števil

O kompletih.

Domena je izražena kot D(f), znak unije pa je predstavljen s simbolom ∪. Vsi številski intervali so v oklepajih. Če meja parcele ni vključena v komplet, potem postavite polkrožni nosilec. V nasprotnem primeru, ko je številka vključena v podnabor, se uporabijo oglati oklepaji.

Inverzna sorazmernost je izražena s formulo y \u003d k / x. Funkcijski graf je ukrivljena črta, sestavljena iz dveh vej. Imenuje se hiperbola.

Ker je funkcija izražena kot ulomek, se iskanje domene definicije zmanjša na analizo imenovalca. Znano je, da je deljenje z ničlo v matematiki prepovedano. Rešitev problema se zmanjša na izenačitev imenovalca na nič in iskanje korenin.

Tukaj je primer:

Podano: y=1/(x+4). Poiščite domeno definicije.

1. Nastavite imenovalec na nič.
   x+4=0
2. Poiščemo koren enačbe.
   x=-4
3. Določimo nabor vseh možnih vrednosti argumenta.
   D(f)=(-∞; -4)∪(-4; +∞)

Odgovor: obseg funkcije so vsa realna števila razen -4.

Vrednost števila pod znakom kvadratni koren ne more biti negativna. V tem primeru se definicija funkcije s korenom zmanjša na reševanje neenakosti. Korenski izraz mora biti večji od nič.

Domena korena je povezana s pariteto korenskega eksponenta. Če je eksponent deljiv z 2, je izraz smiseln le, če je njegova vrednost pozitivna. Liha številka indikatorja označuje dopustnost katere koli vrednosti radikalnega izraza: pozitivnega in negativnega.

Neenačbo rešujemo na enak način kot enačbo. Samo ena razlika je. Po množenju obeh delov neenakosti z negativno število znak mora biti obrnjen.

Če je kvadratni koren v imenovalcu, je treba postaviti dodaten pogoj. Vrednost števila ne sme biti nič. Neenakost preide v kategorijo strogih neenakosti.

Logaritemske in trigonometrične funkcije

Logaritemska oblika je smiselna za pozitivna števila. Tako je domena logaritemske funkcije podobna funkciji kvadratnega korena, razen ničle.

Razmislite o primeru logaritemskega razmerja: y=log(2x-6). Poiščite domeno definicije.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Odgovor: (3; +∞).

Domena y=sin x in y=cos x je množica vseh realnih števil. Obstajajo omejitve za tangens in kotangens. Povezani so z deljenjem s kosinusom ali sinusom kota.

Tangens kota je določen z razmerjem med sinusom in kosinusom. Označimo kote, pri katerih vrednost tangente ne obstaja. Funkcija y=tg x je smiselna za vse vrednosti argumenta, razen za x=π/2+πn, n∈Z.

Domena funkcije y=ctg x je celotna množica realnih števil, razen x=πn, n∈Z. Če je argument enak številu π ali večkratniku π, je sinus kota enak nič. V teh točkah (asimptotah) kotangens ne more obstajati.

Prve naloge za prepoznavanje domene definicije se začnejo pri pouku v 7. razredu. Ob prvem seznanjanju s tem delom algebre mora študent jasno razumeti temo.

Treba je opozoriti, da bo ta termin spremljal študenta, nato pa študenta skozi celotno obdobje študija.

\(\frac(x)(x-1)\) vrednost spremenljivke bo enaka 1, pravilo je kršeno: ne more deliti z ničlo. Zato tukaj \(x\) ne more biti enota, ODZ pa je zapisan takole: \(x\neq1\);

Če je v izrazu \(\sqrt(x-2)\) vrednost spremenljivke enaka \(0\), je pravilo kršeno: korenski izraz ne sme biti negativen. Torej tukaj \(x\) ne more biti \(0\) in tudi \(1, -3, -52,7\) itd. To pomeni, da mora biti x večji ali enak 2 in ODZ bo: \(x\geq2\);

Toda v izrazu \(4x+1\) lahko nadomestimo poljubno število namesto x in nobeno pravilo ne bo kršeno. Zato je območje dovoljenih vrednosti tukaj celotna številska os. V takih primerih se ODZ ne evidentira ker ne vsebuje nobenih koristnih informacij.

Najdete lahko vsa pravila, ki jih morate upoštevati.

ODZ v enačbah

Pomembno je, da se spomnite obsega dovoljenih vrednosti pri reševanju in , ker tam samo iščemo vrednosti spremenljivk in lahko slučajno najdemo tiste, ki kršijo matematična pravila.

Da bi razumeli pomen ODZ, primerjajmo dve rešitvi enačbe: z ODZ in brez ODZ.

Primer: reši enačbo
rešitev :

Brez ODZ:		Z ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4 1 (-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4 1 (-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - ne ustreza ODZ
Odgovori : \(4; -3\)		Odgovori : \(4\)

Vidite razliko? Pri prvi rešitvi se je v našem odgovoru pojavil napačen, odvečen !! Zakaj nezvesti? In poskusimo to nadomestiti v prvotno enačbo.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Vidite, tako na levi kot na desni smo dobili neizračunljive, nesmiselne izraze (navsezadnje ne morete deliti z ničlo). In dejstvo, da so enake, ni več pomembno, saj te vrednosti ne obstajajo. Tako je "\(-3\)" neustrezen, tuj koren in obseg veljavnih vrednosti nas ščiti pred tako resnimi napakami.

Zato boste za prvo rešitev dobili dvojko, za drugo pa pet. In to niso dolgočasna zaničevanja učitelja, saj neupoštevanje odz ni malenkost, ampak čisto specifična napaka, enako kot izgubljen znak ali uporaba napačne formule. Navsezadnje je končni odgovor napačen!

Iskanje razpona sprejemljivih vrednosti pogosto povzroči potrebo po reševanju enačb, zato morate biti sposobni to narediti dobro.

Primer : Poiščite obseg izraza \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

rešitev : Izraz ima dva korena, od katerih je eden v imenovalcu. Kdo se ne spomni omejitev, uvedenih v tem primeru, tisti. Kdor se spomni, zapiše, da je izraz pod prvim korenom večji ali enak nič, pod drugim pa večji od nič. Ali razumete, zakaj so omejitve takšne, kot so?

Odgovori : \((-2;2,5]\)