Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0.
Za kvadratni trinom ax 2 + bx + c uporabimo iste transformacije, kot smo jih izvedli v § 13, ko smo dokazali izrek, da je graf funkcije y \u003d ax 2 + bx + c parabola.
Imamo

Običajno je izraz b 2 - 4ac označen s črko D in se imenuje diskriminant kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0 (ali diskriminanta kvadratnega trinoma ax + bx + c).

torej

Zato lahko kvadratno enačbo ax 2 + their + c \u003d O prepišemo kot

Vsako kvadratno enačbo je mogoče preoblikovati v obliko (1), kar je priročno, kot bomo zdaj videli, za določitev števila korenin kvadratne enačbe in iskanje teh korenin.

Dokaz. Če D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Primer 1 Rešite enačbo 2x 2 + 4x + 7 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Ker je D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dokaz. Če je D = 0, ima enačba (1) obliko

je edini koren enačbe.

Opomba 1. Ali se spomnite, da je x \u003d - abscisa vrha parabole, ki služi kot graf funkcije y \u003d ax 2 + ux + c? zakaj je to
vrednost se je izkazala za edino korenino kvadratne enačbe ax 2 + x + c - 0? "Skrinjica" se preprosto odpre: če je D 0, potem, kot smo ugotovili prej,

Graf iste funkcije je parabola z vrhom v točki (glej npr. sliko 98). Zato sta abscisa oglišča parabole in edini koren kvadratne enačbe za D = 0 enako število.

Primer 2 Rešite enačbo 4x 2 - 20x + 25 = 0.
rešitev. Tukaj a \u003d 4, b = -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Ker je D = 0, ima po izreku 2 ta kvadratna enačba en koren. Ta koren najdemo s formulo

Odgovor: 2,5.

Opomba 2. Upoštevajte, da je 4x2 - 20x +25 popoln kvadrat: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Če bi to takoj opazili, bi enačbo rešili takole: (2x - 5) 2 \u003d 0, kar pomeni 2x - 5 \u003d 0, iz česar dobimo x \u003d 2,5. Na splošno, če je D = 0, potem

ax 2 + bx + c = - to smo opazili prej v opombi 1.
Če je D > 0, ima kvadratna enačba ax 2 + bx + c \u003d 0 dva korena, ki ju najdemo po formulah

Dokaz. Kvadratno enačbo ax 2 + b x + c = 0 prepišemo v obliki (1)

Postavimo
Po predpostavki je D > 0, kar pomeni, da je desna stran enačbe pozitivno število. Nato iz enačbe (2) dobimo to

Torej ima podana kvadratna enačba dva korena:

Opomba 3. V matematiki se redkokdaj zgodi, da vpeljan izraz nima, figurativno rečeno, vsakdanjega ozadja. Vzemimo novo
koncept je diskriminativen. Zapomni si besedo "diskriminacija". Kaj to pomeni? Pomeni ponižanje enih in povzdigovanje drugih, tj. drugačna stališča
nie do raznih pudya. Obe besedi (tako diskriminator kot diskriminacija) izhajata iz latinskega discriminans - "razločevanje". Diskriminant razlikuje kvadratne enačbe po številu korenin.

Primer 3 Rešite enačbo 3x 2 + 8x - 11 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Ker je D > 0, ima ta kvadratna enačba po izreku 3 dva korena. Te korene najdemo s formulami (3)

Pravzaprav smo razvili naslednje pravilo:

Pravilo reševanja enačb
ax 2 + bx + c = 0

To pravilo je univerzalno, velja za popolne in nepopolne kvadratne enačbe. Vendar se nepopolne kvadratne enačbe običajno ne rešujejo po tem pravilu; bolj priročno jih je reševati, kot smo to storili v prejšnjem odstavku.

Primer 4 Reši enačbe:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rešitev a) Tukaj je a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. 1. (- 5) = 9 + 20 = 29.

Ker je D > 0, ima ta kvadratna enačba dva korena. Te korene najdemo s formulami (3)

B) Kot kažejo izkušnje, je primerneje obravnavati kvadratne enačbe, v katerih je vodilni koeficient pozitiven. Zato najprej pomnožimo obe strani enačbe z -1, dobimo

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tukaj a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Ker je D = 0, ima ta kvadratna enačba en koren. Ta koren najdemo s formulo x \u003d -. pomeni,

To enačbo bi lahko rešili drugače: saj
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, potem dobimo enačbo (3x - I) 2 \u003d 0, iz katere najdemo Zx - 1 \u003d 0, tj. x \u003d.

c) Tukaj a \u003d 2, b = - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Ker je D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematiki so praktični, gospodarni ljudje. Zakaj, pravijo, uporabite tako dolgo pravilo za reševanje kvadratne enačbe, je bolje takoj napisati splošno formulo:

Če se izkaže, da je diskriminant D \u003d b 2 - 4ac negativno število, potem zapisana formula ni smiselna (pod znakom kvadratni koren je negativno število), zato ni korenin. Če se izkaže, da je diskriminanta enaka nič, potem dobimo

To je en koren (pravijo tudi, da ima kvadratna enačba v tem primeru dva enaka korena:

Nazadnje, če se izkaže, da je b 2 - 4ac > 0, dobimo dva korena x 1 in x 2, ki ju izračunamo po enakih formulah (3), kot je navedeno zgoraj.

Samo število je v tem primeru pozitivno (kot vsak kvadratni koren pozitivnega števila), dvojni znak pred njim pa pomeni, da se v enem primeru (pri iskanju x 1) to pozitivno število doda številu - b in v drugem primeru (pri iskanju x 2) je pozitivno število, ki ga
branje iz številke - b.

Imate svobodo izbire. Če želite, podrobno rešite kvadratno enačbo z uporabo zgoraj oblikovanega pravila; če želite, takoj zapišite formulo (4) in jo uporabite za potrebne sklepe.

Primer 5. Reši enačbe:

Rešitev, a) Seveda lahko uporabimo formuli (4) ali (3), če upoštevamo, da v tem primeru Toda zakaj bi izvajali dejanja z ulomki, ko je lažje in, kar je najpomembneje, bolj prijetno ukvarjati se s celimi števili? Znebimo se imenovalcev. Če želite to narediti, morate oba dela enačbe pomnožiti z 12, to je z najmanjšim skupnim imenovalcem ulomkov, ki služijo kot koeficienti enačbe. Dobiti

od koder je 8x 2 + 10x - 7 = 0.

In zdaj uporabimo formulo (4)

B) Ponovno imamo enačbo z delnimi koeficienti: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Pomnožimo obe strani enačbe s 100, potem dobimo enačbo s celimi koeficienti:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Nato uporabimo formulo (4):

Preprosto ugibanje pokaže, da je diskriminanta (radikalni izraz) negativno število. Torej enačba nima korenin.

Primer 6 reši enačbo
rešitev. Tukaj je v nasprotju s prejšnjim primerom bolje delovati po pravilu in ne po reducirani formuli (4).

Imamo a \u003d 5, b \u003d -, c = 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Ker je D > 0, ima kvadratna enačba dva korena, ki ju bomo iskali s formulami (3)

Primer 7 reši enačbo
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

rešitev. Ta kvadratna enačba se razlikuje od vseh do sedaj obravnavanih kvadratnih enačb po tem, da koeficienti niso določena števila, ampak dobesedni izrazi. Take enačbe imenujemo enačbe s črkovnimi koeficienti ali enačbe s parametri. V tem primeru je parameter (črka) p vključen v drugi koeficient in prosti člen enačbe.
Poiščimo diskriminanco:

Primer 8. Rešite enačbo px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
rešitev. Tudi to je enačba s parametrom p, vendar je za razliko od prejšnjega primera ni mogoče takoj rešiti s formulama (4) ali (3). Dejstvo je, da so te formule uporabne za kvadratne enačbe, vendar tega še ne moremo trditi za dano enačbo. Kaj pa, če je p = 0? Potem
enačba bo imela obliko 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, tj. x - 1 \u003d 0, iz katerega dobimo x \u003d 1. Zdaj, če to zagotovo veste, potem lahko uporabite formule korenin kvadratne enačbe:

Prva stopnja

Kvadratne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

V izrazu "kvadratna enačba" je ključna beseda "kvadratna". To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (isti X) v kvadratu, hkrati pa ne sme biti X-ov na tretji (ali višji) stopnji.

Rešitev številnih enačb se reducira na rešitev kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da imamo kvadratno enačbo in ne kakšno drugo.

Primer 1

Znebite se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožite s

Prestavimo vse na leva stran in razporedi člene v padajočem vrstnem redu potenc x

Zdaj lahko z gotovostjo trdimo, da je ta enačba kvadratna!

Primer 2

Pomnožimo levo in desna stran na:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadrat!

Primer 3

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Vendar, če naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4

Zdi se, da je, vendar poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Glej, skrčil - in zdaj je preprosto linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadraten;
4. ni kvadraten;
5. ni kvadraten;
6. kvadrat;
7. ni kvadraten;
8. kvadrat.

Matematiki pogojno delijo vse kvadratne enačbe na naslednje vrste:

• Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega so med popolnimi kvadratnimi enačbami dano so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ni samo popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  Nepopolni so, ker jim manjka kakšen element. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat !!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadratna, ampak neka druga enačba.

Zakaj so se domislili takšne delitve? Zdi se, da obstaja X na kvadrat, in v redu. Takšna delitev je posledica metod rešitve. Razmislimo o vsakem od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – veliko enostavnejše so!

Nepopolne kvadratne enačbe so naslednjih vrst:

1. , je v tej enačbi koeficient enak.
2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
3. , sta v tej enačbi koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker vemo, kako vzeti kvadratni koren, izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Kvadrat števila ne more biti negativen, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedno vedeti in se spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj je treba izvleči koren iz levega in desnega dela. Konec koncev, se spomnite, kako izločiti korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

Primer 6:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 7:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, v katerih ni korenin, so si matematiki izmislili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tukaj ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

torej

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tukaj bomo storili brez primerov.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba oblike enačbe, kjer je

Reševanje polnih kvadratnih enačb je nekoliko bolj zapleteno (samo malo) od navedenih.

Ne pozabite, vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Preostale metode vam bodo pomagale hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej rešite rešitev z diskriminanto.

1. Reševanje kvadratnih enačb z diskriminanto.

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je zelo preprosto, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul.

Če, potem ima enačba koren Posebna pozornost narišite korak. Diskriminanta () nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
• Če, potem v koraku ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminatorja:

Torej ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je v standardni obliki, torej Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminatorja:

Torej ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je v standardni obliki, torej Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminatorja:

To pomeni, da iz diskriminante ne bomo mogli izluščiti korena. Ni korenin enačbe.

Zdaj znamo takšne odgovore pravilno zapisati.

odgovor: brez korenin

2. Rešitev kvadratnih enačb z uporabo Vieta izreka.

Če se spomnite, potem obstaja taka vrsta enačb, ki se imenujejo zmanjšane (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba enaka, produkt korenin pa enak.

Primer 12:

Reši enačbo

Ta enačba je primerna za rešitev z uporabo Vieta izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je, tj. dobimo prvo enačbo:

In izdelek je:

Ustvarimo in rešimo sistem:

• in. Vsota je;
• in. Vsota je;
• in. Znesek je enak.

in sta rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Enačba je reducirana, kar pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je - neznano - še nekaj števil.

Število imenujemo najvišje oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, A - brezplačen član.

Zakaj? Ker če, ​​bo enačba takoj postala linearna, ker bo izginilo.

V tem primeru in je lahko enako nič. V tej enačbi blata se imenuje nepopolna. Če so vsi členi na svojem mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Za začetek bomo analizirali metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - so preprostejše.

Razlikujemo lahko naslednje vrste enačb:

I. , v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , je v tej enačbi koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj razmislite o rešitvi vsakega od teh podtipov.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da manj ne more biti.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Če želite na kratko napisati, da težava nima rešitve, uporabimo ikono praznega niza.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej ima ta kvadratna enačba dva korena: in.

primer:

Reši enačbo.

rešitev:

Levo stran enačbe faktoriziramo in poiščemo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminator

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Ste opazili koren diskriminanta v korenski formuli? Toda diskriminant je lahko negativen. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

• Če ima enačba koren:
• Če, potem ima enačba isti koren, vendar v resnici en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če, potem koren diskriminante ni ekstrahiran. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je število korenin različno? Obrnimo se na geometrijski smisel kvadratna enačba. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba, . In to pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z osjo x (os). Parabola morda sploh ne prečka osi ali pa jo seka v eni (ko vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor, in če - potem navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietov izrek

Uporaba izreka Vieta je zelo enostavna: samo izbrati morate par števil, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietov izrek mogoče uporabiti samo za dane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

rešitev:

Ta enačba je primerna za rešitev z uporabo Vieta izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenin enačbe je:

In izdelek je:

Izberimo takšne pare števil, katerih zmnožek je enak, in preverimo, ali je njuna vsota enaka:

• in. Vsota je;
• in. Vsota je;
• in. Znesek je enak.

in sta rešitev sistema:

Tako sta in sta korenini naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

rešitev:

Izberemo takšne pare števil, ki dajejo zmnožek, nato pa preverimo, ali je njihova vsota enaka:

in: dati skupaj.

in: dati skupaj. Če ga želite dobiti, morate samo spremeniti znake domnevnih korenin: in navsezadnje delo.

odgovor:

Primer #3:

rešitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Torej je vsota korenin razlike njihovih modulov.

Izberemo takšne pare števil, ki dajejo produkt in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je - ni primerna;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primeren. Ostaja le, da se spomnimo, da je ena od korenin negativna. Ker mora biti njuna vsota enaka, mora biti koren, ki je absolutno manjši, negativen: . Preverjamo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

rešitev:

Enačba je reducirana, kar pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberemo takšne pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni naj imajo negativni predznak:

Očitno so samo korenine in primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

rešitev:

Enačba je reducirana, kar pomeni:

Vsota korenin je negativna, kar pomeni, da vsaj, je eden od korenov negativen. Ker pa je njun produkt pozitiven, pomeni, da sta oba korena minus.

Izberemo takšne pare števil, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno - ustno izumljati korenine, namesto da bi šteli to grdo diskriminacijo. Poskusite uporabiti Vietov izrek čim pogosteje.

Toda izrek Vieta je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Da vam bo uporaba donosna, morate dejanja pripeljati do avtomatizma. In za to reši še pet primerov. Vendar ne goljufajte: ne morete uporabiti diskriminatorja! Samo Vietov izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietovem izreku:

Kot običajno začnemo izbiro z izdelkom:

Ni primeren, ker količina;

: znesek je to, kar potrebujete.

Odgovor: ; .

Naloga 2.

In spet naš najljubši Vieta izrek: vsota bi se morala izkazati, vendar je produkt enak.

Ker pa bi moralo biti ne, ampak, spremenimo znake korenin: in (skupaj).

Odgovor: ; .

Naloga 3.

Hmm ... Kje je?

Vse pogoje je treba prenesti v en del:

Vsota korenin je enaka produktu.

Da, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietin izrek je uporaben samo v danih enačbah. Torej, najprej morate prinesti enačbo. Če tega ne morete omeniti, opustite to idejo in jo rešite na drug način (na primer z diskriminantom). Naj vas spomnim, da prinesti kvadratno enačbo pomeni, da je vodilni koeficient enak:

Super. Potem je vsota korenin enaka in produkt.

Tukaj je lažje pobrati: navsezadnje - praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

Naloga 4.

Prosti izraz je negativen. Kaj je tako posebnega na njem? In dejstvo, da bodo korenine različnih predznakov. In zdaj, med izbiro, ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko med njihovimi moduli: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, korenine so enake in, vendar je ena od njih z minusom. Vietov izrek nam pove, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, saj.

Odgovor: ; .

Naloga 5.

Kaj je treba storiti najprej? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenini sta enaki in, vendar je ena od njiju minus. kateri? Njihova vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo z minusom večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:

1. Vietov izrek se uporablja samo v danih kvadratnih enačbah.
2. Z uporabo izreka Vieta lahko najdete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni bil najden primeren par faktorjev prostega člena, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer z diskriminanto).

3. Metoda izbire polnega kvadrata

Če so vsi členi, ki vsebujejo neznanko, predstavljeni kot členi iz formul skrajšanega množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko po zamenjavi spremenljivk enačbo predstavimo kot nepopolno kvadratno enačbo tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Primer 2:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

IN splošni pogled transformacija bo izgledala takole:

To pomeni:.

Vas na nič ne spominja? To je diskriminator! Točno tako je bila pridobljena diskriminantna formula.

KVADRATNE ENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je neznanka, so koeficienti kvadratne enačbe, je prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačba, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

• če je koeficient, ima enačba obliko: ,
• če je prosti člen, ima enačba obliko: ,
• če in ima enačba obliko: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Izrazi neznano: ,

2) Preverite znak izraza:

• če, potem enačba nima rešitev,
• če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: ,

2) Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminante

1) Enačbo pripeljemo v standardno obliko: ,

2) Izračunajte diskriminant po formuli: , ki pove število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietovega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačba oblike, kjer je) je enaka, produkt korenin pa enak, tj. , A.

2.3. Polna kvadratna rešitev

Če ima kvadratna enačba oblike korenine, jo lahko zapišemo v obliki: .

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Ugotovili ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljanje izpita, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, rekel bom samo eno stvar ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da ste na izpitu boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?

NAPOLNITE SI ROKO, REŠUJTE PROBLEME NA TO TEMO.

Na izpitu ne boste vprašali teorije.

Boste potrebovali težave reševati pravočasno.

In, če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali je enostavno ne boste storili pravočasno.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjerkoli želite nujno z rešitvami podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Naše naloge lahko uporabite (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.

Če želite pomagati pri naših nalogah, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite dostop do vseh skritih nalog v tem članku - 299 rubljev.
2. Odkleni dostop do vseh skritih opravil v vseh 99 člankih vadnice - 499 rubljev.

Da, v učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.

"Razumem" in "znam rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Ta tema se lahko sprva zdi zapletena zaradi številnih ne tako preprostih formul. Ne le, da imajo same kvadratne enačbe dolge vnose, temveč se koreni najdejo tudi prek diskriminante. Skupaj so tri nove formule. Ni prav enostavno zapomniti. To je mogoče le po pogostem reševanju takih enačb. Potem si bodo vse formule zapomnile same.

Splošni pogled na kvadratno enačbo

Tukaj je predlagana njihova eksplicitna notacija, ko je največja stopnja zapisana najprej in nato - v padajočem vrstnem redu. Pogosto pride do situacij, ko se pojma razlikujeta. Potem je bolje enačbo prepisati v padajočem vrstnem redu glede na stopnjo spremenljivke.

Uvedemo notacijo. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Če sprejmemo te zapise, se vse kvadratne enačbe zmanjšajo na naslednji zapis.

Poleg tega je koeficient a ≠ 0. To formulo označimo s številko ena.

Ko je enačba podana, ni jasno, koliko korenin bo v odgovoru. Ker je vedno možna ena od treh možnosti:

• raztopina bo imela dve korenini;
• odgovor bo ena številka;
• Enačba sploh nima korenin.

In čeprav odločitev ni pripeljana do konca, je težko razumeti, katera od možnosti bo v posameznem primeru izpadla.

Vrste zapisov kvadratnih enačb

Naloge imajo lahko različne vnose. Ne bodo vedno videti kot splošna formula kvadratne enačbe. Včasih bo manjkalo nekaj izrazov. Zgoraj napisano je popolna enačba. Če v njem odstranite drugi ali tretji izraz, dobite nekaj drugega. Te zapise imenujemo tudi kvadratne enačbe, le nepopolne.

Poleg tega lahko izginejo samo izrazi, za katere koeficienta "b" in "c". Število "a" v nobenem primeru ne more biti enako nič. Ker se v tem primeru formula spremeni v linearno enačbo. Formule za nepopolno obliko enačb bodo naslednje:

Torej, obstajata samo dve vrsti, poleg popolnih obstajajo tudi nepopolne kvadratne enačbe. Naj bo prva formula številka dve, druga pa številka tri.

Diskriminanta in odvisnost števila korenin od njene vrednosti

To število je treba poznati, da lahko izračunamo korenine enačbe. Vedno ga je mogoče izračunati, ne glede na to, kakšna je formula kvadratne enačbe. Da bi izračunali diskriminanto, morate uporabiti spodaj napisano enakost, ki bo imela številko štiri.

Po zamenjavi vrednosti koeficientov v to formulo lahko dobite številke z različna znamenja. Če je odgovor pritrdilen, bosta odgovor na enačbo dva različna korena. Z negativnim številom bodo korenine kvadratne enačbe odsotne. Če je enako nič, bo odgovor ena.

Kako se reši popolna kvadratna enačba?

Pravzaprav se je obravnava tega vprašanja že začela. Kajti najprej morate najti diskriminanco. Ko je razjasnjeno, da obstajajo korenine kvadratne enačbe in je njihovo število znano, morate uporabiti formule za spremenljivke. Če obstajata dve korenini, potem morate uporabiti takšno formulo.

Ker vsebuje znak "±", bosta na voljo dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnega korena je diskriminanta. Zato lahko formulo prepišemo na drugačen način.

Formula pet. Iz istega zapisa je razvidno, da če je diskriminanta nič, bosta oba korena imela enake vrednosti.

Če rešitev kvadratnih enačb še ni izdelana, je bolje, da zapišete vrednosti vseh koeficientov, preden uporabite diskriminantne in spremenljive formule. Kasneje ta trenutek ne bo povzročal težav. Toda na samem začetku je zmeda.

Kako se reši nepopolna kvadratna enačba?

Tukaj je vse veliko preprostejše. Sploh ni potrebe po dodatne formule. In ne boste potrebovali tistih, ki so že napisane za diskriminantno in neznano.

Najprej razmislite nepopolna enačba na številki dve. V tej enačbi naj bi neznano vrednost vzeli iz oklepaja in rešili linearno enačbo, ki bo ostala v oklepaju. Odgovor bo imel dva korena. Prvi je nujno enak nič, ker obstaja faktor, sestavljen iz same spremenljivke. Drugo dobimo z reševanjem linearne enačbe.

Nepopolno enačbo pri številki tri rešimo s prenosom števila z leve strani enačbe na desno. Nato morate deliti s koeficientom pred neznanko. Ostaja le, da izvlečete kvadratni koren in ga ne pozabite dvakrat zapisati z nasprotnimi znaki.

Sledi nekaj dejanj, ki vam pomagajo pri učenju reševanja vseh vrst enačb, ki se spremenijo v kvadratne enačbe. Učencu bodo pomagali preprečiti napake zaradi nepazljivosti. Te pomanjkljivosti so vzrok za slabe ocene pri študiju obsežne teme "Kvadrične enačbe (8. razred)". Nato teh dejanj ne bo treba nenehno izvajati. Ker bo tam stabilna navada.

• Najprej morate napisati enačbo v standardni obliki. Se pravi, najprej izraz z največjo stopnjo spremenljivke, nato pa - brez stopnje in zadnji - le številka.

• Če se pred koeficientom "a" pojavi minus, lahko začetniku zaplete delo pri preučevanju kvadratnih enačb. Bolje se je znebiti. V ta namen je treba vse enakosti pomnožiti z "-1". To pomeni, da bodo vsi členi spremenili predznak v nasprotni.

• Na enak način je priporočljivo, da se znebite ulomkov. Enostavno pomnožite enačbo z ustreznim faktorjem, tako da se imenovalci izničijo.

Primeri

Rešiti je treba naslednje kvadratne enačbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva enačba: x 2 - 7x \u003d 0. Je nepopolna, zato jo rešujemo, kot je opisano za formulo številka dve.

Po oklepajih se izkaže: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi koren ima vrednost: x 1 \u003d 0. Drugi bo najden iz linearne enačbe: x - 7 \u003d 0. Zlahka je videti, da je x 2 \u003d 7.

Druga enačba: 5x2 + 30 = 0. Spet nepopolna. Le ta se reši, kot je opisano za tretjo formulo.

Po prenosu 30 na desno stran enačbe: 5x 2 = 30. Zdaj morate deliti s 5. Izkazalo se je: x 2 = 6. Odgovori bodo številke: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tretja enačba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tu in spodaj se bo rešitev kvadratnih enačb začela tako, da jih prepišemo v standardno obliko: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Zdaj je čas, da uporabimo drugo uporaben nasvet in vse pomnožite z minus ena. Izkazalo se je x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Po četrti formuli morate izračunati diskriminanco: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivno število. Iz zgoraj povedanega se izkaže, da ima enačba dva korena. Izračunati jih je treba po peti formuli. Glede na to se izkaže, da x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Potem x 1 \u003d 3, x 2 = - 5.

Četrta enačba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se pretvori v tole: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta je enaka tej vrednosti: -23. Ker je to število negativno, bo odgovor na to nalogo naslednji vnos: "Ni korenin."

Peto enačbo 12x + x 2 + 36 = 0 prepišemo takole: x 2 + 12x + 36 = 0. Po uporabi formule za diskriminanto dobimo število nič. To pomeni, da bo imel en koren, in sicer: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta enačba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahteva transformacije, ki so sestavljene iz dejstva, da morate prinesti podobne izraze, preden odprete oklepaje. Na mestu prvega bo tak izraz: x 2 + 2x + 1. Po enakosti se pojavi ta vnos: x 2 + 3x + 2. Po preštetju podobnih členov bo enačba dobila obliko: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepopolno. Podobno kot je bilo že obravnavano nekoliko višje. Korenini tega bosta števili 0 in 1.

V nadaljevanju teme "Reševanje enačb" vas bo gradivo v tem članku seznanilo s kvadratnimi enačbami.

Oglejmo si vse podrobno: bistvo in zapis kvadratne enačbe, določimo spremne izraze, analiziramo shemo za reševanje nepopolnih in popolne enačbe, se seznanili s formulo korenov in diskriminantom, vzpostavili bomo povezave med koreni in koeficienti ter seveda podali vizualno rešitev praktičnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna enačba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna enačba je enačba zapisana kot a x 2 + b x + c = 0, Kje x– spremenljivka, a , b in c je nekaj številk, medtem ko a ni nič.

Kvadratne enačbe pogosto imenujemo tudi enačbe druge stopnje, saj je v resnici kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Za ponazoritev podane definicije navedimo primer: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. so kvadratne enačbe.

Definicija 2

Števila a, b in c so koeficienti kvadratne enačbe a x 2 + b x + c = 0, medtem ko koeficient a se imenuje prvi ali starejši ali koeficient pri x 2, b - drugi koeficient ali koeficient pri x, A c imenovan brezplačni član.

Na primer v kvadratni enačbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najvišji koeficient je 6 , drugi koeficient je − 2 , prosti termin pa je enak − 11 . Bodimo pozorni na dejstvo, da pri koeficientih b in/ali c sta torej negativna kratka oblika evidence obrazca 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, vendar ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo tudi ta vidik: če koeficienti a in/ali b enaka 1 oz − 1 , potem ne smejo eksplicitno sodelovati pri pisanju kvadratne enačbe, kar je razloženo s posebnostmi zapisovanja navedenih numeričnih koeficientov. Na primer v kvadratni enačbi y 2 − y + 7 = 0 višji koeficient je 1, drugi koeficient pa je − 1 .

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost prvega koeficienta delimo kvadratne enačbe na reducirane in nereducirane.

Definicija 3

Zmanjšana kvadratna enačba je kvadratna enačba, kjer je vodilni koeficient 1. Za druge vrednosti vodilnega koeficienta je kvadratna enačba nereducirana.

Tukaj je nekaj primerov: kvadratne enačbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 so reducirane, v vsaki izmed njih je vodilni koeficient 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna enačba, kjer je prvi koeficient drugačen od 1 .

Vsako nereducirano kvadratno enačbo lahko pretvorimo v reducirano enačbo tako, da oba njena dela delimo s prvim koeficientom (ekvivalentna transformacija). Transformirana enačba bo imela enake korene kot dana nereducirana enačba ali pa tudi ne bo imela nobenih korenin.

Upoštevanje študija primera nam bo omogočilo vizualno prikazati prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer 1

Glede na enačbo 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Prvotno enačbo je potrebno pretvoriti v pomanjšano obliko.

rešitev

Po zgornji shemi delimo oba dela prvotne enačbe z vodilnim koeficientom 6 . Potem dobimo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0 : 3, in to je enako kot: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 in še: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0 . Od tod: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako dobimo enačbo, ki je enaka dani.

odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

Obrnimo se na definicijo kvadratne enačbe. V njem smo to navedli a ≠ 0. Podoben pogoj je potreben za enačbo a x 2 + b x + c = 0 je bil ravno kvadraten, saj a = 0 v bistvu se spremeni v linearno enačbo b x + c = 0.

V primeru koeficientov b in c enake nič (kar je možno tako posamično kot skupaj), se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Definicija 4

Nepopolna kvadratna enačba je kvadratna enačba a x 2 + b x + c \u003d 0, kjer je vsaj eden od koeficientov b in c(ali oboje) je nič.

Popolna kvadratna enačba je kvadratna enačba, v kateri vsi numerični koeficienti niso enaki nič.

Razpravljajmo o tem, zakaj so vrste kvadratnih enačb dobile natanko taka imena.

Za b = 0 dobi kvadratna enačba obliko a x 2 + 0 x + c = 0, kar je enako kot a x 2 + c = 0. pri c = 0 kvadratna enačba je zapisana kot a x 2 + b x + 0 = 0, kar je enakovredno a x 2 + b x = 0. pri b = 0 in c = 0 enačba bo dobila obliko a x 2 = 0. Enačbe, ki smo jih dobili, se od polne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega hkrati. Pravzaprav je to dejstvo dalo ime tej vrsti enačb - nepopolne.

Na primer, x 2 + 3 x + 4 = 0 in − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sta popolni kvadratni enačbi; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Zgornja definicija omogoča razlikovanje naslednjih vrst nepopolnih kvadratnih enačb:

• a x 2 = 0, koeficienti ustrezajo taki enačbi b = 0 in c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 za c = 0.

Zaporedoma razmislite o rešitvi vsake vrste nepopolne kvadratne enačbe.

Rešitev enačbe a x 2 \u003d 0

Kot že omenjeno zgoraj, taka enačba ustreza koeficientom b in c, enako nič. Enačba a x 2 = 0 lahko pretvorimo v enakovredno enačbo x2 = 0, ki ga dobimo tako, da obe strani prvotne enačbe delimo s številom a, ni enako nič. Očitno dejstvo je, da je koren enačbe x2 = 0 je nič, ker 0 2 = 0 . Ta enačba nima drugih korenin, kar je razloženo z lastnostmi stopnje: za poljubno število p, ni enako nič, neenakost velja p2 > 0, iz česar izhaja, da ko p ≠ 0 enakost p2 = 0 nikoli ne bo dosežen.

Definicija 5

Tako je za nepopolno kvadratno enačbo a x 2 = 0 en sam koren x=0.

Primer 2

Na primer, rešimo nepopolno kvadratno enačbo − 3 x 2 = 0. Enakovredno je enačbi x2 = 0, njegov edini koren je x=0, potem ima izvirna enačba en sam koren - nič.

Rešitev je povzeta na naslednji način:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rešitev enačbe a x 2 + c \u003d 0

Naslednja na vrsti je rešitev nepopolnih kvadratnih enačb, kjer je b \u003d 0, c ≠ 0, to je enačb oblike a x 2 + c = 0. Preoblikujemo to enačbo tako, da člen prenesemo z ene strani enačbe na drugo, spremenimo predznak v nasprotno in obe strani enačbe delimo s številom, ki ni enako nič:

• potrpeti c na desno stran, kar daje enačbo a x 2 = − c;
• delite obe strani enačbe z a, dobimo kot rezultat x = - c a .

Naše transformacije so enakovredne oziroma je nastala enačba enakovredna izvirni in to dejstvo omogoča sklepanje o koreninah enačbe. Od tega, kaj so vrednote a in c odvisno od vrednosti izraza - c a: lahko ima znak minus (na primer če a = 1 in c = 2, nato - c a = - 2 1 = - 2) ali znak plus (na primer, če a = -2 in c=6, potem - c a = - 6 - 2 = 3); ni enako nič, ker c ≠ 0. Oglejmo si podrobneje situacije, ko - c a< 0 и - c a > 0 .

V primeru, ko - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str enakost p 2 = - c a ne more biti resnična.

Vse je drugače, ko - c a > 0: zapomnite si kvadratni koren in postalo bo očitno, da bo koren enačbe x 2 \u003d - c a število - c a, saj je - c a 2 \u003d - c a. Zlahka je razumeti, da je število - - c a - tudi koren enačbe x 2 = - c a: res je - - c a 2 = - c a .

Enačba ne bo imela drugih korenin. To lahko dokažemo z nasprotno metodo. Najprej nastavimo zapis zgoraj najdenih korenov kot x 1 in − x 1. Predpostavimo, da ima tudi enačba x 2 = - c a koren x2, ki se razlikuje od korenin x 1 in − x 1. To vemo s substitucijo v enačbo namesto x njenih korenin, transformiramo enačbo v pošteno numerično enakost.

Za x 1 in − x 1 zapiši: x 1 2 = - c a , in za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na podlagi lastnosti številskih enakosti odštejemo eno pravo enakost od drugega člena za členom, kar nam bo dalo: x 1 2 − x 2 2 = 0. Uporabite lastnosti številskih operacij, da prepišete zadnjo enakost kot (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Znano je, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od števil nič. Iz povedanega izhaja, da x1 − x2 = 0 in/ali x1 + x2 = 0, kar je enako x2 = x1 in/ali x 2 = − x 1. Nastalo je očitno protislovje, ker je bilo sprva dogovorjeno, da je koren enačbe x2 razlikuje od x 1 in − x 1. Torej smo dokazali, da enačba nima drugih korenin kot x = - c a in x = - - c a .

Povzemamo vse zgornje argumente.

Opredelitev 6

Nepopolna kvadratna enačba a x 2 + c = 0 je enakovredna enačbi x 2 = - c a , ki:

• ne bo imel korenin na - c a< 0 ;
• bo imela dva korena x = - c a in x = - - c a, ko je - c a > 0 .

Navedimo primere reševanja enačb a x 2 + c = 0.

Primer 3

Podana je kvadratna enačba 9 x 2 + 7 = 0 . Treba je najti njeno rešitev.

rešitev

Prosti člen prenesemo na desno stran enačbe, potem bo enačba dobila obliko 9 x 2 \u003d - 7.
Obe strani dobljene enačbe delimo z 9 , pridemo do x 2 = - 7 9 . Na desni strani vidimo številko z znakom minus, kar pomeni: dana enačba je brez korenin. Potem izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 + 7 = 0 ne bo imel korenin.

odgovor: enačba 9 x 2 + 7 = 0 nima korenin.

Primer 4

Treba je rešiti enačbo − x2 + 36 = 0.

rešitev

Premaknimo 36 na desno stran: − x 2 = − 36.
Oba dela razdelimo na − 1 , dobimo x2 = 36. Na desni strani je pozitivno število, iz katerega lahko sklepamo, da x = 36 oz x = - 36 .
Izluščimo koren in zapišemo končni rezultat: nepopolna kvadratna enačba − x2 + 36 = 0 ima dve korenini x=6 oz x = -6.

odgovor: x=6 oz x = -6.

Rešitev enačbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo tretjo vrsto nepopolnih kvadratnih enačb, ko c = 0. Iskanje rešitve nepopolne kvadratne enačbe a x 2 + b x = 0, uporabljamo metodo faktorizacije. Polinom, ki je na levi strani enačbe, razložimo na faktorje, skupni faktor vzamemo iz oklepaja x. Ta korak bo omogočil pretvorbo izvirne nepopolne kvadratne enačbe v njen ekvivalent x (a x + b) = 0. In ta enačba je enakovredna nizu enačb x=0 in a x + b = 0. Enačba a x + b = 0 linearna in njen koren: x = − b a.

Opredelitev 7

Torej nepopolna kvadratna enačba a x 2 + b x = 0 bo imel dve korenini x=0 in x = − b a.

Utrdimo snov s primerom.

Primer 5

Najti je treba rešitev enačbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

rešitev

Vzemimo ven x zunaj oklepaja in dobimo enačbo x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ta enačba je enakovredna enačbam x=0 in 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Zdaj bi morali rešiti nastalo linearno enačbo: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Rešitev enačbe na kratko zapišemo takole:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ali 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ali x = 3 3 7

odgovor: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminanta, formula korenov kvadratne enačbe

Za iskanje rešitve kvadratnih enačb obstaja korenska formula:

Opredelitev 8

x = - b ± D 2 a, kjer je D = b 2 − 4 a c je tako imenovana diskriminanta kvadratne enačbe.

Pisanje x \u003d - b ± D 2 a v bistvu pomeni, da x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Koristno bo razumeti, kako je bila navedena formula izpeljana in kako jo uporabiti.

Izpeljava formule korenov kvadratne enačbe

Recimo, da imamo nalogo rešiti kvadratno enačbo a x 2 + b x + c = 0. Izvedimo več enakovrednih transformacij:

• delite obe strani enačbe s številom a, drugačen od nič, dobimo zmanjšano kvadratno enačbo: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• izberite polni kvadrat na levi strani dobljene enačbe:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Po tem bo enačba dobila obliko: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• zdaj je mogoče zadnja dva člena prenesti na desno stran, spremeniti predznak v nasprotno, nakar dobimo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• končno transformiramo izraz, zapisan na desni strani zadnje enakosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tako smo prišli do enačbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , ki je enakovredna prvotni enačbi a x 2 + b x + c = 0.

Rešitev takih enačb smo obravnavali v prejšnjih odstavkih (rešitev nepopolnih kvadratnih enačb). Že pridobljene izkušnje omogočajo zaključek o koreninah enačbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ima enačba obliko x + b 2 · a 2 = 0, potem je x + b 2 · a = 0.

Od tod je očiten edini koren x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 velja naslednje: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ali x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kar je enako kot x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ali x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. enačba ima dva korena.

Možno je sklepati, da je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (in s tem prvotne enačbe) odvisna od predznaka izraza b 2 - 4 a c 4 · a 2 napisano na desni strani. In znak tega izraza je podan z znakom števca (imenovalec 4 a 2 bo vedno pozitiven), to je znak izraza b 2 − 4 a c. Ta izraz b 2 − 4 a c podano je ime - diskriminanta kvadratne enačbe in črka D definirana kot njena oznaka. Tukaj lahko zapišete bistvo diskriminanta - po njegovi vrednosti in znaku sklepajo, ali bo kvadratna enačba imela prave korenine, in če da, koliko korenin - eno ali dve.

Vrnimo se k enačbi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Zapišimo jo z diskriminantnim zapisom: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Povzemimo zaključke:

Opredelitev 9

• pri D< 0 enačba nima pravih korenin;
• pri D=0 enačba ima en sam koren x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 enačba ima dva korena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ali x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na podlagi lastnosti radikalov lahko te korenine zapišemo kot: x \u003d - b 2 a + D 2 a ali - b 2 a - D 2 a. In ko odpremo module in zmanjšamo ulomke na skupni imenovalec, dobimo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Torej, rezultat našega razmišljanja je bila izpeljava formule za korenine kvadratne enačbe:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunano po formuli D = b 2 − 4 a c.

Te formule omogočajo določitev obeh realnih korenov, kadar je diskriminanta večja od nič. Ko je diskriminant enak nič, bo uporaba obeh formul dala isti koren kot edino rešitev kvadratne enačbe. V primeru, ko je diskriminanta negativna, se bomo pri poskusu uporabe formule kvadratnega korena soočili s potrebo po izluščitvi kvadratnega korena negativno število, ki nas bo popeljal onkraj realnih številk. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba ne bo imela pravih korenin, vendar je možen par kompleksno konjugiranih korenin, določenih z enakimi korenskimi formulami, kot smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

Kvadratno enačbo je mogoče rešiti s takojšnjo uporabo korenske formule, vendar se v bistvu to naredi, ko je treba najti kompleksne korene.

V večini primerov iskanje običajno ni namenjeno iskanju kompleksnih, temveč realnih korenin kvadratne enačbe. Potem je optimalno, da pred uporabo formul za korenine kvadratne enačbe najprej določimo diskriminanco in se prepričamo, da ni negativna (sicer bomo sklepali, da enačba nima pravih korenin), nato pa nadaljujemo z izračunom vrednost korenin.

Zgornje sklepanje omogoča oblikovanje algoritma za reševanje kvadratne enačbe.

Opredelitev 10

Rešiti kvadratno enačbo a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• po formuli D = b 2 − 4 a c poišči vrednost diskriminante;
• pri D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0 poiščite edini koren enačbe s formulo x = - b 2 · a ;
• za D > 0 določi dva realna korena kvadratne enačbe s formulo x = - b ± D 2 · a.

Upoštevajte, da ko je diskriminant nič, lahko uporabite formulo x = - b ± D 2 · a , dala bo enak rezultat kot formula x = - b 2 · a .

Razmislite o primerih.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Naj navedemo primer rešitve za različne vrednosti diskriminator.

Primer 6

Treba je najti korenine enačbe x 2 + 2 x - 6 = 0.

rešitev

Zapišemo numerične koeficiente kvadratne enačbe: a \u003d 1, b \u003d 2 in c = − 6. Nato ravnamo po algoritmu, tj. Začnimo z izračunom diskriminante, za katero nadomestimo koeficiente a , b in c v diskriminantno formulo: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Torej, dobili smo D > 0, kar pomeni, da bo izvirna enačba imela dva realna korena.
Da jih najdemo, uporabimo korensko formulo x \u003d - b ± D 2 · a in z zamenjavo ustreznih vrednosti dobimo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Dobljeni izraz poenostavimo tako, da faktor vzamemo iz predznaka korena, čemur sledi redukcija ulomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ali x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ali x = - 1 - 7

odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Primer 7

Rešiti je treba kvadratno enačbo − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

rešitev

Določimo diskriminanco: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. S to vrednostjo diskriminanta bo izvirna enačba imela samo en koren, določen s formulo x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

odgovor: x = 3, 5.

Primer 8

Treba je rešiti enačbo 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

rešitev

Numerični koeficienti te enačbe bodo: a = 5 , b = 6 in c = 2 . Te vrednosti uporabimo za iskanje diskriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunana diskriminanta je negativna, zato izvirna kvadratna enačba nima pravih korenin.

V primeru, ko je naloga navesti kompleksne korenine, uporabimo korensko formulo z izvajanjem operacij s kompleksnimi števili:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ali x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ali x = - 3 5 - 1 5 i .

odgovor: ni pravih korenin; kompleksni koreni so: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN šolski kurikulum privzeto ni potrebe po iskanju kompleksnih korenin, zato se, če je diskriminanta med reševanjem določena kot negativna, takoj zabeleži odgovor, da pravih korenin ni.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Korenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogoča pridobitev druge formule, bolj kompaktne, ki vam omogoča iskanje rešitev kvadratnih enačb s sodim koeficientom pri x (ali s koeficientom v obliki 2 a n, na primer 2 3 ali 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo, kako je ta formula izpeljana.

Recimo, da imamo nalogo najti rešitev kvadratne enačbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ravnamo po algoritmu: določimo diskriminanco D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , nato pa uporabimo korensko formulo:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Naj bo izraz n 2 − a c označen kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem bo formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n imela obliko:

x \u003d - n ± D 1 a, kjer je D 1 \u003d n 2 - a c.

Lahko vidimo, da je D = 4 · D 1 ali D 1 = D 4 . Z drugimi besedami, D 1 je četrtina diskriminante. Očitno je predznak D 1 enak predznaku D, kar pomeni, da lahko predznak D 1 služi tudi kot indikator prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Opredelitev 11

Tako je za iskanje rešitve kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n potrebno:

• poišči D 1 = n 2 − a c ;
• pri D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• za D 1 = 0 določimo edini koren enačbe s formulo x = - n a ;
• za D 1 > 0 določite dva realna korena z uporabo formule x = - n ± D 1 a.

Primer 9

Rešiti je treba kvadratno enačbo 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

rešitev

Drugi koeficient dane enačbe lahko predstavimo kot 2 · (− 3) . Nato dano kvadratno enačbo prepišemo kot 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kjer je a = 5 , n = − 3 in c = − 32 .

Izračunajmo četrti del diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobljena vrednost je pozitivna, kar pomeni, da ima enačba dva realna korena. Definiramo jih z ustrezno formulo korenin:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ali x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ali x = - 2

Možno bi bilo izvesti izračune z uporabo običajne formule za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bila v tem primeru rešitev bolj okorna.

odgovor: x = 3 1 5 ali x = - 2 .

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih je možno optimizirati obliko izvirne enačbe, kar bo poenostavilo postopek izračunavanja korenin.

Na primer, kvadratna enačba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 je očitno bolj primerna za reševanje kot 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Pogosteje se poenostavitev oblike kvadratne enačbe izvaja z množenjem ali deljenjem njenih obeh delov z določenim številom. Na primer, zgoraj smo prikazali poenostavljen zapis enačbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, ki jo dobimo tako, da oba njena dela delimo s 100.

Takšna transformacija je mogoča, kadar koeficienti kvadratne enačbe niso medsebojni praštevila. Potem je običajno, da obe strani enačbe delimo z največjim skupni delilnik absolutne vrednosti njegovih koeficientov.

Kot primer uporabimo kvadratno enačbo 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Določimo gcd absolutnih vrednosti njegovih koeficientov: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Oba dela prvotne kvadratne enačbe delimo s 6 in dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Z množenjem obeh strani kvadratne enačbe se delni koeficienti običajno odpravijo. V tem primeru pomnožite z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev njegovih koeficientov. Na primer, če vsak del kvadratne enačbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnožimo z LCM (6, 3, 1) \u003d 6, potem bo zapisan v enostavnejši obliki x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koncu omenimo, da se skoraj vedno znebimo minusa pri prvem koeficientu kvadratne enačbe, tako da spremenimo predznake vsakega člena enačbe, kar dosežemo z množenjem (ali deljenjem) obeh delov z −1. Na primer, iz kvadratne enačbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, lahko preidete na njeno poenostavljeno različico 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Razmerje med koreni in koeficienti

Že znana formula za korene kvadratnih enačb x = - b ± D 2 · a izraža korene enačbe z njenimi numeričnimi koeficienti. Na podlagi te formule imamo možnost nastaviti druge odvisnosti med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne so formule izreka Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a in x 2 \u003d c a.

Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin drugi koeficient z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Na primer, z obliko kvadratne enačbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 je mogoče takoj ugotoviti, da je vsota njenih korenin 7 3, produkt korenin pa 22 3.

Najdete lahko tudi številne druge povezave med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazimo s koeficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

S tem matematičnim programom lahko rešiti kvadratno enačbo.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja na dva načina:
- z uporabo diskriminatorja
- z uporabo izreka Vieta (če je mogoče).

Poleg tega je odgovor prikazan natančen, ne približen.
Na primer, za enačbo \(81x^2-16x-1=0\) je odgovor prikazan v tej obliki:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ namesto tega: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Ta program je lahko koristen za srednješolce splošne šole v pripravah na kontrolno delo in izpite, pri preverjanju znanja pred izpitom, staršem za kontrolo reševanja številnih nalog pri matematiki in algebri. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitvijo.

Na ta način lahko izvajate svoje usposabljanje in/ali usposabljanje svojega mlajši bratje ali sestre, medtem ko se raven izobrazbe na področju nalog, ki jih rešuje, zvišuje.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega polinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos kvadratnega polinoma

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Številke lahko vnesete kot cela števila ali ulomke.
Še več, ulomkov lahko vnesete ne samo kot decimalni, ampak tudi kot navadni ulomek.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celega števila ločen s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke torej: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen.

Ko vstopiš številski ulomekŠtevec je od imenovalca ločen z znakom za deljenje: /
Celo število je od ulomka ločeno z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju kvadratne enačbe vvedeni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odločite se

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te naloge, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

V brskalniku imate onemogočen JavaScript.
Za prikaz rešitve mora biti omogočen JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo rešiti težavo, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Po nekaj sekundah se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije .
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Kvadratna enačba in njeni koreni. Nepopolne kvadratne enačbe

Vsaka od enačb
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima obliko
\(ax^2+bx+c=0, \)
kjer je x spremenljivka, a, b in c so števila.
V prvi enačbi a = -1, b = 6 in c = 1,4, v drugi a = 8, b = -7 in c = 0, v tretji a = 1, b = 0 in c = 4/9. Take enačbe imenujemo kvadratne enačbe.

Opredelitev.
kvadratna enačba imenuje se enačba oblike ax 2 +bx+c=0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in \(a \neq 0 \).

Števila a, b in c so koeficienti kvadratne enačbe. Število a imenujemo prvi koeficient, število b drugi koeficient in število c presečišče.

V vsaki od enačb oblike ax 2 +bx+c=0, kjer \(a \neq 0 \), je največja potenca spremenljivke x kvadrat. Od tod tudi ime: kvadratna enačba.

Upoštevajte, da kvadratno enačbo imenujemo tudi enačba druge stopnje, saj je njena leva stran polinom druge stopnje.

Kvadratno enačbo, v kateri je koeficient pri x 2 enak 1, imenujemo reducirana kvadratna enačba. Na primer, dane kvadratne enačbe so enačbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Če je v kvadratni enačbi ax 2 +bx+c=0 vsaj eden od koeficientov b ali c enak nič, se taka enačba imenuje nepopolna kvadratna enačba. Torej so enačbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 nepopolne kvadratne enačbe. V prvem izmed njih b=0, v drugem c=0, v tretjem b=0 in c=0.

Nepopolne kvadratne enačbe so treh vrst:
1) ax 2 +c=0, kjer \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kjer \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Razmislite o rešitvi enačb vsake od teh vrst.

Za rešitev nepopolne kvadratne enačbe oblike ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \) se njen prosti člen prenese na desno stran in oba dela enačbe delimo z a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ker \(c \neq 0 \), potem \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Če \(-\frac(c)(a)>0 \), ima enačba dva korena.

Če \(-\frac(c)(a) Za rešitev nepopolne kvadratne enačbe oblike ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktoriziramo njeno levo stran in dobimo enačbo
\(x(ax+b)=0 \desna puščica \levo\( \begin(matrika)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(matrika) \desno. \desna puščica \levo\( \begin (matrika)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrika) \desno. \)

Zato ima nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) vedno dva korena.

Nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 \u003d 0 je enakovredna enačbi x 2 \u003d 0 in ima zato en sam koren 0.

Formula za korenine kvadratne enačbe

Oglejmo si sedaj, kako se rešujejo kvadratne enačbe, v katerih sta oba koeficienta neznank in prosti člen različna od nič.

Kvadratno enačbo rešimo v splošni obliki in kot rezultat dobimo formulo korenin. Nato lahko to formulo uporabimo za rešitev katere koli kvadratne enačbe.

Rešite kvadratno enačbo ax 2 +bx+c=0

Če oba njena dela delimo z a, dobimo ekvivalentno zmanjšano kvadratno enačbo
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

To enačbo transformiramo tako, da označimo kvadrat binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\levo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \levo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna puščica \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\levo(\frac(b)(2a)\desno)^2 = \levo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 - \frac(c)(a) \desna puščica \) \(\levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \desna puščica \levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \desna puščica \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Desna puščica x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Desna puščica \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Korenski izraz se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" v latinščini - razlikovalec). Označujemo ga s črko D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Zdaj z uporabo zapisa diskriminante prepišemo formulo za korenine kvadratne enačbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kjer \(D= b^2-4ac \)

Očitno je, da:
1) Če je D>0, ima kvadratna enačba dva korena.
2) Če je D=0, ima kvadratna enačba en koren \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Če D Torej ima lahko kvadratna enačba, odvisno od vrednosti diskriminante, dva korena (za D > 0), en koren (za D = 0) ali nobenih korenin (za D. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo , je priporočljivo narediti na naslednji način:
1) izračunajte diskriminanco in jo primerjajte z ničlo;
2) če je diskriminanta pozitivna ali enaka nič, potem uporabite korensko formulo, če je diskriminanta negativna, potem zapišite, da ni korenin.

Vietov izrek

Dana kvadratna enačba ax 2 -7x+10=0 ima korena 2 in 5. Vsota korenin je 7, produkt pa 10. Vidimo, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotni predznak, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Vsaka reducirana kvadratna enačba, ki ima korene, ima to lastnost.

Vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.

Tisti. Vietov izrek pravi, da imata korena x 1 in x 2 reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 lastnost:
\(\levo\( \begin(matrika)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(matrika) \desno. \)