V prvem delu smo obravnavali nekaj teoretičnega gradiva, substitucijsko metodo, kot tudi metodo člen za členom seštevanja sistemskih enačb. Vsem, ki ste na stran prišli preko te strani, priporočam, da preberete prvi del. Morda se bo nekaterim obiskovalcem zdela snov preveč enostavna, vendar v teku reševanja sistemov linearne enačbe Podal sem številne zelo pomembne pripombe in zaključke v zvezi z reševanjem matematičnih problemov na splošno.

In zdaj bomo analizirali Cramerjevo pravilo, pa tudi rešitev sistema linearnih enačb z inverzno matriko (matrična metoda). Vsi materiali so predstavljeni preprosto, podrobno in jasno, skoraj vsi bralci se bodo lahko naučili reševati sisteme z zgornjimi metodami.

Najprej podrobno obravnavamo Cramerjevo pravilo za sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Za kaj? - Konec koncev najpreprostejši sistem se lahko reši po šolski metodi, s seštevanjem terminov!

Dejstvo je, da tudi če včasih, vendar obstaja taka naloga - rešiti sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama z uporabo Cramerjevih formul. Drugič, preprostejši primer vam bo pomagal razumeti, kako uporabiti Cramerjevo pravilo za bolj zapleten primer - sistem treh enačb s tremi neznankami.

Poleg tega obstajajo sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama, ki jih je priporočljivo reševati natančno po Cramerjevem pravilu!

Razmislite o sistemu enačb

Na prvem koraku izračunamo determinanto , imenujemo jo glavna determinanta sistema.

Gaussova metoda.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še dve determinanti:
in

V praksi lahko zgornje determinante tudi označimo latinska črka.

Korenine enačbe najdemo po formulah:
,

Primer 7

Rešite sistem linearnih enačb

rešitev: Vidimo, da so koeficienti enačbe precej veliki, na desni strani so decimalke z vejico. Vejica je precej redek gost praktičnih nalog pri matematiki, ta sistem sem vzel iz ekonometričnega problema.

Kako rešiti tak sistem? Lahko poskusite izraziti eno spremenljivko v smislu druge, vendar boste v tem primeru zagotovo dobili strašne domišljijske ulomke, s katerimi je zelo neprijetno delati, zasnova rešitve pa bo videti grozno. Drugo enačbo lahko pomnožite s 6 in odštejete člen za členom, vendar se bodo tukaj pojavili isti ulomki.

Kaj storiti? V takih primerih priskočijo na pomoč Cramerjeve formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korena imata neskončne repove in sta najdena približno, kar je povsem sprejemljivo (in celo običajno) za probleme ekonometrike.

Komentarji tukaj niso potrebni, saj je naloga rešena po že pripravljenih formulah, vendar obstaja eno opozorilo. Pri uporabi ta metoda, obvezno Fragment naloge je naslednji fragment: "tako ima sistem edinstveno rešitev". V nasprotnem primeru vas lahko recenzent kaznuje zaradi nespoštovanja Cramerjevega izreka.

Ne bo odveč preveriti, kar je priročno izvesti na kalkulatorju: približne vrednosti nadomestimo v leva stran vsako enačbo sistema. Posledično je treba z majhno napako dobiti številke, ki so na desni strani.

Primer 8

Odgovor izrazite z navadnimi nepravimi ulomki. Naredite ček.

To je primer za samostojno rešitev (primer likovnega oblikovanja in odgovor na koncu lekcije).

Preidemo na obravnavo Cramerjevega pravila za sistem treh enačb s tremi neznankami:

Najdemo glavno determinanto sistema:

Če , potem ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten (nima rešitev). V tem primeru Cramerjevo pravilo ne bo pomagalo, morate uporabiti Gaussovo metodo.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še tri determinante:
, ,

In končno, odgovor se izračuna po formulah:

Kot lahko vidite, se primer "tri za tri" bistveno ne razlikuje od primera "dva za dva", stolpec prostih izrazov zaporedno "hodi" od leve proti desni vzdolž stolpcev glavne determinante.

Primer 9

Rešite sistem z uporabo Cramerjevih formul.

rešitev: Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami.

, zato ima sistem edinstveno rešitev.

Odgovori: .

Pravzaprav tukaj spet ni kaj posebnega komentirati, glede na to, da se odloča po že pripravljenih formulah. Vendar obstaja nekaj opomb.

Zgodi se, da se kot rezultat izračunov dobijo "slabi" nezmanjšani ulomki, na primer: .
Priporočam naslednji algoritem "zdravljenja". Če pri roki ni računalnika, naredimo to:

1) Morda je prišlo do napake v izračunih. Takoj, ko naletite na "slab" strel, morate takoj preveriti, ali ali je pogoj pravilno prepisan. Če je pogoj ponovno zapisan brez napak, morate znova izračunati determinante z uporabo razširitve v drugi vrstici (stolpcu).

2) Če pri preverjanju ni bilo najdenih napak, je najverjetneje prišlo do tipkarske napake v pogoju dodelitve. V tem primeru mirno in PREVIDNO rešite nalogo do konca, nato pa preverite in ga po odločbi sestavi v čistopisu. Seveda je preverjanje ulomkov odgovora neprijetno opravilo, a bo to razorožujoč argument za učitelja, ki, no, zelo rad pristavi minus vsaki slabi stvari, kot je npr. Kako ravnati z ulomki, je podrobno opisano v odgovoru za primer 8.

Če imate pri roki računalnik, ga preverite s samodejnim programom, ki ga lahko brezplačno prenesete na samem začetku lekcije. Mimogrede, najbolj ugodno je, da program uporabite takoj (še pred začetkom rešitve), takoj boste videli vmesni korak, na katerem ste naredili napako! Isti kalkulator samodejno izračuna rešitev sistema z uporabo matrične metode.

Druga pripomba. Od časa do časa se pojavijo sistemi, v enačbah katerih nekatere spremenljivke manjkajo, na primer:

Tukaj v prvi enačbi ni spremenljivke, v drugi ni spremenljivke. V takšnih primerih je zelo pomembno, da pravilno in PREVIDNO zapišete glavno determinanto:
– namesto manjkajočih spremenljivk se vstavijo ničle.
Mimogrede, determinante z ničlami ​​je smiselno odpreti glede na vrstico (stolpec), v kateri se nahaja ničla, saj je opazno manj izračunov.

Primer 10

Rešite sistem z uporabo Cramerjevih formul.

To je primer za samoodločanje (končni vzorec in odgovor na koncu lekcije).

Za primer sistema 4 enačb s 4 neznane formule Cramerjeve so napisane po podobnih principih. Primer v živo si lahko ogledate v lekciji Determinantne lastnosti. Zmanjšanje vrstnega reda determinante - pet determinant 4. reda je povsem rešljivih. Čeprav naloga že zelo spominja na profesorjev čevelj na skrinji srečnega dijaka.

Rešitev sistema z uporabo inverzne matrike

Metoda inverzne matrike je v bistvu poseben primer matrična enačba(Glej primer št. 3 navedene lekcije).

Če želite preučiti ta razdelek, morate biti sposobni razširiti determinante, najti inverzno matriko in izvesti matrično množenje. Ustrezne povezave bodo podane, ko bo razlaga napredovala.

Primer 11

Rešite sistem z matrično metodo

rešitev: Sistem zapišemo v matrični obliki:
, Kje

Oglejte si sistem enačb in matrike. Po kakšnem principu pišemo elemente v matrike, mislim, da vsi razumejo. Edina pripomba: če bi v enačbah manjkale nekatere spremenljivke, bi bilo treba na ustrezna mesta v matriki postaviti ničle.

Inverzno matriko najdemo po formuli:
, kjer je transponirana matrika algebrski dodatki ustrezni elementi matrike.

Najprej se posvetimo determinanti:

Tukaj je determinanta razširjena s prvo vrstico.

Pozor! Če , potem inverzna matrika ne obstaja in sistema ni mogoče rešiti z matrično metodo. V tem primeru se sistem rešuje z izločitvijo neznank (Gaussova metoda).

Zdaj morate izračunati 9 minorjev in jih zapisati v matriko minorjev

Referenca: Koristno je poznati pomen dvojnih indeksov v linearni algebri. Prva številka je številka vrstice, v kateri se element nahaja. Druga številka je številka stolpca, v katerem se nahaja element:

To pomeni, da dvojni indeks označuje, da je element v prvi vrstici, tretji stolpec, medtem ko je na primer element v 3. vrstici, 2. stolpec

Pri čemer je število enačb enako številu neznank z glavno determinanto matrike, ki ni enaka nič, koeficienti sistema (rešitev za takšne enačbe obstaja in je samo ena).

Cramerjev izrek.

Če je determinanta matrike kvadratnega sistema različna od nič, je sistem kompatibilen in ima eno rešitev, ki jo je mogoče najti z Cramerjeve formule:

kjer je Δ - determinanta sistemske matrike,

Δ jaz- determinanta matrike sistema, v kateri namesto jaz stolpec je stolpec desnih delov.

Ko je determinanta sistema enaka nič, lahko sistem postane konsistenten ali nekonzistenten.

Ta metoda se običajno uporablja za majhne sisteme z izračuni prostornine in če je treba določiti eno od neznank. Kompleksnost metode je, da je treba izračunati veliko determinant.

Opis Cramerjeve metode.

Obstaja sistem enačb:

Sistem treh enačb je mogoče rešiti s Cramerjevo metodo, ki je bila obravnavana zgoraj za sistem dveh enačb.

Determinanto sestavimo iz koeficientov neznank:

Bo sistemski kvalifikator. Kdaj D≠0, zato je sistem dosleden. Zdaj bomo sestavili 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rešujemo tako, da Cramerjeve formule:

Primeri reševanja sistemov enačb po Cramerjevi metodi.

Primer 1.

Podan sistem:

Rešimo jo po Cramerjevi metodi.

Najprej morate izračunati determinanto matrike sistema:

Ker Δ≠0, torej iz Cramerjevega izreka je sistem združljiv in ima eno rešitev. Izračunamo dodatne determinante. Determinanto Δ 1 dobimo iz determinante Δ tako, da njen prvi stolpec nadomestimo s stolpcem prostih koeficientov. Dobimo:

Na enak način dobimo determinanto Δ 2 iz determinante matrike sistema, pri čemer drugi stolpec nadomestimo s stolpcem prostih koeficientov:

Cramerjeva metoda temelji na uporabi determinant pri reševanju sistemov linearnih enačb. To močno pospeši postopek rešitve.

Cramerjevo metodo lahko uporabimo za reševanje sistema toliko linearnih enačb, kolikor je neznank v vsaki enačbi. Če determinanta sistema ni enaka nič, potem lahko pri reševanju uporabimo Cramerjevo metodo, če je enaka nič, pa ne. Poleg tega se Cramerjeva metoda lahko uporablja za reševanje sistemov linearnih enačb, ki imajo edinstveno rešitev.

Opredelitev. Determinanto, sestavljeno iz koeficientov neznank, imenujemo determinanta sistema in jo označimo z (delta).

Determinante

dobimo tako, da koeficiente pri ustreznih neznankah nadomestimo s prostimi členi:

;

.

Cramerjev izrek. Če je determinanta sistema različna od nič, ima sistem linearnih enačb eno samo rešitev, neznanka pa je enaka razmerju determinant. Imenovalec je determinanta sistema, števec pa determinanta, ki jo dobimo iz determinante sistema tako, da koeficiente pri neznanki nadomestimo s prostimi členi. Ta izrek velja za sistem linearnih enačb katerega koli reda.

Primer 1 Rešite sistem linearnih enačb:

Po navedbah Cramerjev izrek imamo:

Torej, rešitev sistema (2):

spletni kalkulator, odločilna metoda Kramer.

Trije primeri pri reševanju sistemov linearnih enačb

Kot izhaja iz Cramerjevi izreki, se pri reševanju sistema linearnih enačb lahko pojavijo trije primeri:

Prvi primer: sistem linearnih enačb ima edinstveno rešitev

(sistem je dosleden in določen)

Drugi primer: sistem linearnih enačb ima neskončno število rešitev

(sistem je konsistenten in nedoločen)

** ,

tiste. koeficienti neznank in prosti členi so sorazmerni.

Tretji primer: sistem linearnih enačb nima rešitev

(sistem nedosleden)

Torej sistem m linearne enačbe z n se imenujejo spremenljivke nezdružljivoče nima rešitev, in sklepče ima vsaj eno rešitev. Skupni sistem enačb, ki ima samo eno rešitev, se imenuje določene, in več kot enega negotova.

Primeri reševanja sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi

Naj sistem

.

Na podlagi Cramerjevega izreka

………….
,

Kje
-

identifikator sistema. Preostale determinante dobimo tako, da stolpec s koeficienti ustrezne spremenljivke (neznano) nadomestimo s prostimi členi:

Primer 2

.

Zato je sistem določen. Da bi našli njegovo rešitev, izračunamo determinante

S Cramerjevimi formulami najdemo:

Torej je (1; 0; -1) edina rešitev sistema.

Za preverjanje rešitev sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4 lahko uporabite spletni kalkulator, Cramerjeva metoda reševanja.

Če v sistemu linearnih enačb v eni ali več enačbah ni spremenljivk, potem so v determinanti elementi, ki jim ustrezajo, enaki nič! To je naslednji primer.

Primer 3 Rešite sistem linearnih enačb po Cramerjevi metodi:

.

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Pozorno si oglej sistem enačb in determinanto sistema ter ponovi odgovor na vprašanje, v katerih primerih je en ali več elementov determinante enakih nič. Torej determinanta ni enaka nič, torej je sistem določen. Da bi našli njegovo rešitev, izračunamo determinante za neznanke

S Cramerjevimi formulami najdemo:

Torej je rešitev sistema (2; -1; 1).

Za preverjanje rešitev sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4 lahko uporabite spletni kalkulator, Cramerjeva metoda reševanja.

Vrh strani

Skupaj nadaljujemo z reševanjem sistemov po Cramerjevi metodi

Kot že rečeno, če je determinanta sistema enaka nič, determinante za neznanke pa niso enake nič, je sistem nekonzistenten, to pomeni, da nima rešitev. Naj ponazorimo z naslednjim primerom.

Primer 6 Rešite sistem linearnih enačb po Cramerjevi metodi:

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Determinanta sistema je enaka nič, zato je sistem linearnih enačb bodisi nekonsistenten in določen bodisi nekonsistenten, to pomeni, da nima rešitev. Za pojasnitev izračunamo determinante za neznanke

Determinante za neznanke niso enake nič, zato je sistem nekonzistenten, to pomeni, da nima rešitev.

Za preverjanje rešitev sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4 lahko uporabite spletni kalkulator, Cramerjeva metoda reševanja.

Pri nalogah o sistemih linearnih enačb so tudi takšne, kjer so poleg črk, ki označujejo spremenljivke, še druge črke. Te črke pomenijo neko število, največkrat realno število. V praksi takšne enačbe in sistemi enačb povzročajo težave pri iskanju splošnih lastnosti kakršnih koli pojavov in predmetov. Se pravi, ali ste izumili kakšno nov material ali napravo in za opis njenih lastnosti, ki so skupne ne glede na velikost ali število kopij, je treba rešiti sistem linearnih enačb, kjer so namesto nekaterih koeficientov za spremenljivke črke. Za primere vam ni treba iskati daleč.

Naslednji primer je za podoben problem, le da se poveča število enačb, spremenljivk in črk, ki označujejo neko realno število.

Primer 8 Rešite sistem linearnih enačb po Cramerjevi metodi:

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Iskanje determinant za neznanke

Da bi obvladali ta odstavek, morate znati odpreti kvalifikatorje "dva po dva" in "tri po tri". Če so kvalifikacije slabe, preučite lekcijo Kako izračunati determinanto?

Najprej podrobno obravnavamo Cramerjevo pravilo za sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Za kaj? »Navsezadnje je najenostavnejši sistem mogoče rešiti po šolski metodi, s seštevanjem po členih!

Dejstvo je, da tudi če včasih, vendar obstaja taka naloga - rešiti sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama z uporabo Cramerjevih formul. Drugič, preprostejši primer vam bo pomagal razumeti, kako uporabiti Cramerjevo pravilo za bolj zapleten primer - sistem treh enačb s tremi neznankami.

Poleg tega obstajajo sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama, ki jih je priporočljivo reševati natančno po Cramerjevem pravilu!

Razmislite o sistemu enačb

Na prvem koraku izračunamo determinanto , imenujemo jo glavna determinanta sistema.

Gaussova metoda.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še dve determinanti:
in

V praksi lahko zgornje kvalifikatorje označimo tudi z latinsko črko.

Korenine enačbe najdemo po formulah:
,

Primer 7

Rešite sistem linearnih enačb

rešitev: Vidimo, da so koeficienti enačbe precej veliki, na desni strani so decimalni ulomki z vejico. Vejica je precej redek gost praktičnih nalog pri matematiki, ta sistem sem vzel iz ekonometričnega problema.

Kako rešiti tak sistem? Lahko poskusite izraziti eno spremenljivko v smislu druge, vendar boste v tem primeru zagotovo dobili strašne domišljijske ulomke, s katerimi je zelo neprijetno delati, zasnova rešitve pa bo videti grozno. Drugo enačbo lahko pomnožite s 6 in odštejete člen za členom, vendar se bodo tukaj pojavili isti ulomki.

Kaj storiti? V takih primerih priskočijo na pomoč Cramerjeve formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korena imata neskončne repove in sta najdena približno, kar je povsem sprejemljivo (in celo običajno) za probleme ekonometrike.

Komentarji tukaj niso potrebni, saj je naloga rešena po že pripravljenih formulah, vendar obstaja eno opozorilo. Pri uporabi te metode, obvezno Fragment naloge je naslednji fragment: "tako ima sistem edinstveno rešitev". V nasprotnem primeru vas lahko recenzent kaznuje zaradi nespoštovanja Cramerjevega izreka.

Ne bo odveč preveriti, kar je priročno izvesti na kalkulatorju: približne vrednosti nadomestimo na levi strani vsake enačbe sistema. Posledično je treba z majhno napako dobiti številke, ki so na desni strani.

Primer 8

Odgovor izrazite z navadnimi nepravimi ulomki. Naredite ček.

To je primer za samostojno rešitev (primer likovnega oblikovanja in odgovor na koncu lekcije).

Preidemo na obravnavo Cramerjevega pravila za sistem treh enačb s tremi neznankami:

Najdemo glavno determinanto sistema:

Če , potem ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten (nima rešitev). V tem primeru Cramerjevo pravilo ne bo pomagalo, morate uporabiti Gaussovo metodo.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še tri determinante:
, ,

In končno, odgovor se izračuna po formulah:

Kot lahko vidite, se primer "tri za tri" bistveno ne razlikuje od primera "dva za dva", stolpec prostih izrazov zaporedno "hodi" od leve proti desni vzdolž stolpcev glavne determinante.

Primer 9

Rešite sistem z uporabo Cramerjevih formul.

rešitev: Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami.

, zato ima sistem edinstveno rešitev.

Odgovori: .

Pravzaprav tukaj spet ni kaj posebnega komentirati, glede na to, da se odloča po že pripravljenih formulah. Vendar obstaja nekaj opomb.

Zgodi se, da se kot rezultat izračunov dobijo "slabi" nezmanjšani ulomki, na primer: .
Priporočam naslednji algoritem "zdravljenja". Če pri roki ni računalnika, naredimo to:

1) Morda je prišlo do napake v izračunih. Takoj, ko naletite na "slab" strel, morate takoj preveriti, ali ali je pogoj pravilno prepisan. Če je pogoj ponovno zapisan brez napak, morate znova izračunati determinante z uporabo razširitve v drugi vrstici (stolpcu).

2) Če pri preverjanju ni bilo najdenih napak, je najverjetneje prišlo do tipkarske napake v pogoju dodelitve. V tem primeru mirno in PREVIDNO rešite nalogo do konca, nato pa preverite in ga po odločbi sestavi v čistopisu. Seveda je preverjanje ulomkov odgovora neprijetno opravilo, a bo to razorožujoč argument za učitelja, ki, no, zelo rad pristavi minus vsaki slabi stvari, kot je npr. Kako ravnati z ulomki, je podrobno opisano v odgovoru za primer 8.

Če imate pri roki računalnik, ga preverite s samodejnim programom, ki ga lahko brezplačno prenesete na samem začetku lekcije. Mimogrede, najbolj ugodno je, da program uporabite takoj (še pred začetkom rešitve), takoj boste videli vmesni korak, na katerem ste naredili napako! Isti kalkulator samodejno izračuna rešitev sistema z uporabo matrične metode.

Druga pripomba. Od časa do časa se pojavijo sistemi, v enačbah katerih nekatere spremenljivke manjkajo, na primer:

Tukaj v prvi enačbi ni spremenljivke, v drugi ni spremenljivke. V takšnih primerih je zelo pomembno, da pravilno in PREVIDNO zapišete glavno determinanto:
– namesto manjkajočih spremenljivk se vstavijo ničle.
Mimogrede, determinante z ničlami ​​je smiselno odpreti glede na vrstico (stolpec), v kateri se nahaja ničla, saj je opazno manj izračunov.

Primer 10

Rešite sistem z uporabo Cramerjevih formul.

To je primer za samoodločanje (končni vzorec in odgovor na koncu lekcije).

Za primer sistema 4 enačb s 4 neznankami so Cramerjeve formule zapisane po podobnih principih. Primer v živo si lahko ogledate v lekciji Determinantne lastnosti. Zmanjšanje vrstnega reda determinante - pet determinant 4. reda je povsem rešljivih. Čeprav naloga že zelo spominja na profesorjev čevelj na skrinji srečnega dijaka.

Rešitev sistema z uporabo inverzne matrike

Metoda inverzne matrike je v bistvu poseben primer matrična enačba(Glej primer št. 3 navedene lekcije).

Če želite preučiti ta razdelek, morate biti sposobni razširiti determinante, najti inverzno matriko in izvesti matrično množenje. Ustrezne povezave bodo podane, ko bo razlaga napredovala.

Primer 11

Rešite sistem z matrično metodo

rešitev: Sistem zapišemo v matrični obliki:
, Kje

Oglejte si sistem enačb in matrike. Po kakšnem principu pišemo elemente v matrike, mislim, da vsi razumejo. Edina pripomba: če bi v enačbah manjkale nekatere spremenljivke, bi bilo treba na ustrezna mesta v matriki postaviti ničle.

Inverzno matriko najdemo po formuli:
, kjer je transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike .

Najprej se posvetimo determinanti:

Tukaj je determinanta razširjena s prvo vrstico.

Pozor! Če , potem inverzna matrika ne obstaja in sistema ni mogoče rešiti z matrično metodo. V tem primeru se sistem rešuje z izločitvijo neznank (Gaussova metoda).

Zdaj morate izračunati 9 minorjev in jih zapisati v matriko minorjev

Referenca: Koristno je poznati pomen dvojnih indeksov v linearni algebri. Prva številka je številka vrstice, v kateri se element nahaja. Druga številka je številka stolpca, v katerem se nahaja element:

To pomeni, da dvojni indeks označuje, da je element v prvi vrstici, tretji stolpec, medtem ko je na primer element v 3. vrstici, 2. stolpec

Med reševanjem je bolje podrobno opisati izračun manjših, čeprav jih je mogoče z določenimi izkušnjami ustno prilagoditi štetju z napakami.