Poiščite definicijo vsake matrike 2x2. Vsak element katere koli matrike, vključno s transponirano, je povezan z ustrezno matriko 2x2. Če želite najti matriko 2x2, ki ustreza določenemu elementu, prečrtajte vrstico in stolpec, v katerih se nahaja dani element, to pomeni, da morate prečrtati pet elementov prvotne matrike 3x3. Neprečrtani bodo ostali štirje elementi, ki so elementi ustrezne matrike 2x2.

• Če želite na primer najti matriko 2x2 za element, ki se nahaja na presečišču druge vrstice in prvega stolpca, prečrtajte pet elementov, ki so v drugi vrstici in prvem stolpcu. Preostali štirje elementi so elementi ustrezne matrike 2x2.
• Poiščite determinanto vsake matrike 2x2. Če želite to narediti, odštejte produkt elementov sekundarne diagonale od produkta elementov glavne diagonale (glejte sliko).
• Podrobne informacije o matrikah 2x2, ki ustrezajo določenim elementom matrike 3x3, lahko najdete na internetu.

Ustvarite matriko kofaktorjev. Prej pridobljene rezultate zapišite v obliki nove kofaktorske matrike. Če želite to narediti, zapišite najdeno determinanto vsake matrike 2x2, kjer se je nahajal ustrezni element matrike 3x3. Na primer, če razmišljate o matriki 2x2 za element (1,1), zapišite njegovo determinanto na položaj (1,1). Nato spremenite znake ustreznih elementov po določeni shemi, ki je prikazana na sliki.

• Shema za spreminjanje znakov: znak prvega elementa prve vrstice se ne spremeni; predznak drugega elementa prve vrstice je obrnjen; predznak tretjega elementa prve vrstice se ne spremeni in tako naprej vrstico za vrstico. Upoštevajte, da znaka "+" in "-", ki sta prikazana na diagramu (glejte sliko), ne pomenita, da bo ustrezni element pozitiven ali negativen. V tem primeru znak "+" pomeni, da se predznak elementa ne spremeni, znak "-" pa spremembo predznaka elementa.
• Podrobne informacije o kofaktorskih matrikah najdete na internetu.
• Tako boste našli pridruženo matriko izvirne matrike. Včasih se imenuje kompleksna konjugirana matrika. Takšna matrika je označena kot adj(M).

Vsak element adjungirane matrike razdelite z njegovo determinanto. Da bi to preverili, smo na samem začetku izračunali determinanto matrike M inverzna matrika obstaja. Sedaj razdelite vsak element adjungirane matrike s to determinanto. Rezultat vsake operacije deljenja zapišite tam, kjer se nahaja ustrezni element. Tako boste našli matriko, inverzno izvirni.

• Determinanta matrike, ki je prikazana na sliki, je 1. Tako je tukaj pridružena matrika inverzna matrika (ker se katero koli število deli z 1, se ne spremeni).
• V nekaterih virih je operacija deljenja nadomeščena z operacijo množenja z 1/det(M). Vendar se končni rezultat ne spremeni.

Zapišite inverzno matriko. Elemente, ki se nahajajo na desni polovici velike matrike, zapišite kot ločeno matriko, ki je inverzna matrika.

Vnesite izvirno matriko v pomnilnik kalkulatorja.Če želite to narediti, kliknite gumb Matrix, če je na voljo. Pri kalkulatorju Texas Instruments boste morda morali pritisniti gumba 2nd in Matrix.

Izberite meni Uredi. To storite s puščičnimi gumbi ali ustreznim funkcijskim gumbom na vrhu tipkovnice kalkulatorja (mesto gumba se razlikuje glede na model kalkulatorja).

Vnesite zapis matrike. Večina grafičnih kalkulatorjev lahko deluje s 3-10 matricami, ki jih je mogoče določiti črke A-J. Običajno preprosto izberite [A], da označite izvirno matriko. Nato pritisnite gumb Enter.

Vnesite velikost matrice. Ta članek govori o matricah 3x3. Toda grafični kalkulatorji lahko delajo z matrikami velike velikosti. Vnesite število vrstic, pritisnite Enter, nato vnesite število stolpcev in ponovno pritisnite Enter.

Vnesite vsak element matrike. Na zaslonu kalkulatorja bo prikazana matrika. Če ste predhodno vnesli matriko v kalkulator, se bo prikazala na zaslonu. Kazalec bo osvetlil prvi element matrike. Vnesite vrednost za prvi element in pritisnite Enter. Kazalec se bo samodejno premaknil na naslednji element matrike.

Definicija 1: matrika se imenuje singularna, če je njena determinanta nič.

Definicija 2: matrika se imenuje nesingularna, če njena determinanta ni enaka nič.

Imenuje se matrika "A". inverzna matrika, če je izpolnjen pogoj A*A-1 = A-1 *A = E (enotska matrika).

Kvadratna matrika je invertibilna le, če ni singularna.

Shema za izračun inverzne matrike:

1) Izračunajte determinanto matrike "A", če ∆ A = 0, potem inverzna matrika ne obstaja.

2) Poiščite vse algebraične komplemente matrike "A".

3) Ustvarite matriko algebraičnih dodatkov (Aij)

4) Transponirajte matriko algebrskih komplementov (Aij )T

5) Transponirano matriko pomnožimo z inverzno determinanto te matrike.

6) Izvedite preverjanje:

Na prvi pogled se morda zdi zapleteno, v resnici pa je vse zelo preprosto. Vse rešitve temeljijo na preprostih aritmetičnih operacijah, glavna stvar pri reševanju je, da se ne zamenjate z znaki "-" in "+" in jih ne izgubite.

Zdaj pa skupaj rešimo praktično nalogo z izračunom inverzne matrike.

Naloga: poiščite inverzno matriko "A", prikazano na spodnji sliki:

1. Najprej morate najti determinanto matrike "A":

Pojasnilo:

Našo determinanto smo poenostavili z uporabo njenih osnovnih funkcij. Najprej smo 2. in 3. vrstici dodali elemente prve vrstice, pomnožene z enim številom.

Drugič, spremenili smo 2. in 3. stolpec determinante in glede na njene lastnosti spremenili predznak pred njo.

Tretjič, izločili smo skupni faktor (-1) druge vrstice, s čimer smo spet spremenili predznak in postal je pozitiven. Tudi vrstico 3 smo poenostavili na enak način kot na samem začetku primera.

Imamo trikotno determinanto, katere elementi pod diagonalo so enaki nič, po lastnosti 7 pa je enaka produktu diagonalnih elementov. Na koncu smo dobili ∆ A = 26, torej inverzna matrika obstaja.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Naslednji korak je sestavljanje matrike iz nastalih dodatkov:

5. To matriko pomnožite z inverzno determinanto, to je z 1/26:

6. Zdaj moramo samo še preveriti:

Med preizkusom smo prejeli identitetno matriko, zato je bila rešitev izvedena popolnoma pravilno.

2 način za izračun inverzne matrike.

1. Elementarna matrična transformacija

2. Inverzna matrika preko elementarnega pretvornika.

Osnovna matrična transformacija vključuje:

1. Množenje niza s številom, ki ni enako nič.

2. Dodajanje katere koli vrstice druge vrstice, pomnožene s številom.

3. Zamenjaj vrstici matrike.

4. Z uporabo verige elementarnih transformacij dobimo drugo matriko.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Poglejmo si to praktični primer z realnimi številkami.

Vaja: Poiščite inverzno matriko.

rešitev:

Preverimo:

Majhno pojasnilo rešitve:

Najprej smo preuredili vrstici 1 in 2 matrike, nato pa prvo vrstico pomnožili z (-1).

Nato smo prvo vrstico pomnožili z (-2) in jo sešteli z drugo vrstico matrike. Nato smo vrstico 2 pomnožili z 1/4.

Zadnja stopnja transformacije je bila pomnožitev druge vrstice z 2 in seštevanje s prvo. Posledično imamo identitetno matriko na levi, zato je inverzna matrika matrika na desni.

Po preverjanju smo se prepričali, da je bila odločitev pravilna.

Kot lahko vidite, je izračun inverzne matrike zelo preprost.

Na koncu tega predavanja bi se rad nekaj časa posvetil tudi lastnostim takšne matrike.

Inverzna matrika za dano matriko je taka matrika, ki pomnoži prvotno, s katero dobimo identitetno matriko: Obvezen in zadosten pogoj za prisotnost inverzne matrike je, da je determinanta izvirne matrike ni enako nič (kar pomeni, da mora biti matrika kvadratna). Če je determinanta matrike enaka nič, se imenuje singularna in taka matrika nima inverzne. IN višja matematika inverzne matrike so pomembne in se uporabljajo za reševanje številnih problemov. Na primer, na iskanje inverzne matrike konstruirana je bila matrična metoda za reševanje sistemov enačb. Naše storitveno mesto omogoča izračunajte inverzno matriko na spletu dve metodi: Gauss-Jordanova metoda in uporaba matrike algebraičnih dodatkov. Prekinitev pomeni veliko število elementarne transformacije znotraj matrike, drugi pa je izračun determinante in algebrskih dodatkov vsem elementom. Za izračun determinante matrike na spletu lahko uporabite našo drugo storitev - Izračun determinante matrike na spletu

Poiščite inverzno matriko za mesto

Spletna stran vam omogoča, da najdete inverzna matrika na spletu hitro in brezplačno. Na spletnem mestu so izračuni narejeni z uporabo naše storitve in rezultat je podan s podrobno rešitvijo za iskanje inverzna matrika. Strežnik vedno poda le točen in pravilen odgovor. V nalogah po definiciji inverzna matrika na spletu, je nujno, da determinanta matrice sicer ni bilo nič Spletna stran bo poročal o nemožnosti iskanja inverzne matrike zaradi dejstva, da je determinanta izvirne matrike enaka nič. Naloga iskanja inverzna matrika Najdemo ga v mnogih vejah matematike, saj je eden najosnovnejših konceptov algebre in matematično orodje pri uporabnih problemih. Neodvisen definicija inverzne matrike zahteva veliko truda, veliko časa, izračunov in veliko pozornosti, da se izognete tipkarskim napakam ali manjšim napakam v izračunih. Zato naša storitev iskanje inverzne matrike na spletu vam bo močno olajšal nalogo in postal nepogrešljiv pripomoček pri reševanju matematičnih problemov. Tudi če ti poiščite inverzno matriko sami, priporočamo, da svojo rešitev preverite na našem strežniku. Vnesite svojo izvirno matriko na naše spletno mesto Izračunajte inverzno matriko na spletu in preverite svoj odgovor. Naš sistem se nikoli ne zmoti in ne najde inverzna matrika dano dimenzijo v načinu na spletu takoj! Na strani Spletna stran vnos znakov je dovoljen v elementih matrice, v tem primeru inverzna matrika na spletu bodo predstavljeni v splošni simbolni obliki.

Podobno obratnemu v mnogih lastnostih.

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Kako najti inverz matrike - bezbotvy

✪ Inverzna matrika (2 načina iskanja)

✪ Inverzna matrika #1

✪ 2015-01-28. Inverzna matrika 3x3

✪ 2015-01-27. Inverzna matrika 2x2

Podnapisi

Lastnosti inverzne matrike

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Kje det (\displaystyle \\det) označuje determinanto.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) za dve kvadratni invertibilni matriki A (\displaystyle A) in B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Kje (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) označuje transponirano matriko.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) za kateri koli koeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Če je treba rešiti sistem linearnih enačb, (b je neničelni vektor), kjer je x (\displaystyle x) je želeni vektor in če A − 1 (\displaystyle A^(-1)) obstaja, torej x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). V nasprotnem primeru je dimenzija prostora rešitev večja od nič ali pa rešitev sploh ni.

Metode iskanja inverzne matrike

Če je matrika obrnljiva, lahko za iskanje inverzne matrike uporabite eno od naslednjih metod:

Eksaktne (direktne) metode

Gauss-Jordanova metoda

Vzemimo dve matriki: A in samski E. Predstavimo matrico A na identitetno matriko z uporabo Gauss-Jordanove metode z uporabo transformacij vzdolž vrstic (transformacije lahko uporabite tudi vzdolž stolpcev, vendar ne medsebojno). Po uporabi vsake operacije na prvi matriki, uporabite isto operacijo na drugi. Ko je redukcija prve matrike na obliko enote končana, bo druga matrika enaka A−1.

Pri uporabi Gaussove metode bo prva matrika na levi pomnožena z eno od osnovnih matrik Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcijska ali diagonalna matrika z enotami na glavni diagonali, razen ene pozicije):

Druga matrika po uporabi vseh operacij bo enaka Λ (\displaystyle \Lambda), torej bo želeno. Kompleksnost algoritma - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Uporaba algebraične komplementarne matrike

Matrika inverzna matriki A (\displaystyle A), je mogoče predstaviti v obliki

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Kje adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjungirana matrika;

Kompleksnost algoritma je odvisna od kompleksnosti algoritma za izračun determinante O det in je enaka O(n²)·O det.

Uporaba razgradnje LU/LUP

Matrična enačba A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) za inverzno matriko X (\displaystyle X) lahko obravnavamo kot zbirko n (\displaystyle n) sistemi oblike A x = b (\displaystyle Ax=b). Označimo i (\displaystyle i) stolpec matrike X (\displaystyle X) skozi X i (\displaystyle X_(i)); Potem A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),zaradi i (\displaystyle i) stolpec matrike I n (\displaystyle I_(n)) je enotski vektor e i (\displaystyle e_(i)). z drugimi besedami, iskanje inverzne matrike se zmanjša na reševanje n enačb z isto matriko in različnimi desnimi stranmi. Po izvedbi dekompozicije LUP (O(n³) časa) reševanje vsake od n enačb traja O(n²) časa, tako da tudi ta del dela zahteva O(n³) časa.

Če je matrika A nesingularna, potem lahko zanjo izračunamo dekompozicijo LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Pustiti P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Potem lahko iz lastnosti inverzne matrike zapišemo: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Če to enakost pomnožite z U in L, lahko dobite dve enakosti oblike U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) in D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prva od teh enačb predstavlja sistem n² linearne enačbe Za n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) iz katerega poznamo desne strani (iz lastnosti trikotnih matrik). Drugi predstavlja tudi sistem n² linearnih enačb za n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) iz katerega poznamo desne strani (tudi iz lastnosti trikotnih matrik). Skupaj predstavljajo sistem n² enačb. S pomočjo teh enačb lahko rekurzivno določimo vseh n² elementov matrike D. Nato iz enačbe (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. dobimo enakost A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

V primeru uporabe LU dekompozicije ni potrebna nobena permutacija stolpcev matrike D, lahko pa se rešitev razhaja tudi, če je matrika A nesingularna.

Kompleksnost algoritma je O(n³).

Iterativne metode

Schultzove metode

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\vsota _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\konec(primeri)))

Ocena napake

Izbira začetnega približka

Problem izbire začetnega približka v tukaj obravnavanih iterativnih procesih inverzije matrike nam ne dovoljuje, da bi jih obravnavali kot neodvisne univerzalne metode, ki tekmujejo z metodami neposredne inverzije, ki temeljijo na primer na LU dekompoziciji matrik. Obstaja nekaj priporočil za izbiro U 0 (\displaystyle U_(0)), zagotavljanje izpolnjevanja pogoja ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (spektralni polmer matrike je manjši od enote), kar je potrebno in zadostno za konvergenco procesa. Vendar je v tem primeru najprej treba poznati oceno od zgoraj za spekter invertibilne matrike A ali matrike A A T (\displaystyle AA^(T))(namreč, če je A simetrična pozitivno določena matrika in ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), potem lahko vzamete U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Kje ; če je A poljubna nesingularna matrika in ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), potem verjamejo U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), kjer tudi α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\desno)); Situacijo lahko seveda poenostavite in izkoristite dejstvo, da ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), postavite U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Drugič, pri določanju začetne matrike na ta način ni nobenega zagotovila, da ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bo majhna (mogoče se bo celo izkazala). ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), visoka stopnja konvergence pa ne bo razkrita takoj.

Primeri

Matrica 2x2

Inverzija matrike 2x2 je možna samo pod pogojem, da a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).