Naj sistem linearnih enačb vsebuje toliko enačb, kolikor je neodvisnih spremenljivk, tj. izgleda kot

Takšni sistemi linearne enačbe se imenujejo kvadratni. Determinanto, sestavljeno iz koeficientov za neodvisne spremenljivke sistema (1.5), imenujemo glavna determinanta sistema. Označili ga bomo z grško črko D. Tako

. (1.6)

Če glavna determinanta vsebuje poljuben ( j th) stolpec zamenjajte s stolpcem brezplačnih pogojev sistema (1.5), potem lahko dobite n pomožni kvalifikatorji:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerjevo pravilo reševanje kvadratnih sistemov linearnih enačb je naslednje. Če je glavna determinanta D sistema (1.5) različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s formulami:

(1.8)

Primer 1.5. Rešite sistem enačb po Cramerjevi metodi

.

Izračunajmo glavno determinanto sistema:

Od D¹0 ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s formulami (1.8):

torej

Dejanja na matricah

1. Množenje matrike s številom. Operacija množenja matrike s številom je definirana na naslednji način.

2. Če želite pomnožiti matriko s številom, morate vse njene elemente pomnožiti s to številko. To je

. (1.9)

Primer 1.6. .

Dodatek matrike.

Ta operacija je uvedena samo za matrike istega reda.

Da bi sešteli dve matriki, je treba elementom ene matrike dodati ustrezne elemente druge matrike:

(1.10)
Operacija seštevanja matrik ima lastnosti asociativnosti in komutativnosti.

Primer 1.7. .

Matrično množenje.

Če je število stolpcev matrike A sovpada s številom vrstic matrike IN, potem je za takšne matrike uvedena operacija množenja:

2

Tako pri množenju matrike A dimenzije m´ n na matrico IN dimenzije n´ k dobimo matrico Z dimenzije m´ k. V tem primeru matrični elementi Z se izračunajo po naslednjih formulah:

Problem 1.8. Poiščite, če je mogoče, produkt matrik AB in B.A.:

rešitev. 1) Da bi našel delo AB, potrebujete matrične vrstice A pomnožite s stolpci matrike B:

2) Delo B.A. ne obstaja, ker število stolpcev matrike B se ne ujema s številom vrstic matrike A.

Inverzna matrika. Reševanje sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrix A- 1 se imenuje inverz kvadratne matrike A, če je izpolnjena enakost:

kje skozi jaz označuje identitetno matriko istega reda kot matrika A:

.

Da ima kvadratna matrika inverz, je nujno in zadostno, da je njena determinanta različna od nič. Inverzno matriko najdemo po formuli:

, (1.13)

Kje A ij- algebrski dodatki k elementom a ij matrice A(upoštevajte, da algebraični dodatki k vrsticam matrike A se nahajajo v inverzni matriki v obliki ustreznih stolpcev).

Primer 1.9. Poiščite inverzno matriko A- 1 v matrico

.

Inverzno matriko najdemo s formulo (1.13), ki za primer n= 3 ima obliko:

.

Poiščimo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Ker je determinanta prvotne matrike različna od nič, obstaja inverzna matrika.

1) Poiščite algebraične komplemente A ij:

Za udobje pri iskanju inverzne matrike smo algebraične dodatke v vrsticah izvirne matrike postavili v ustrezne stolpce.

Od prejetega algebrski dodatki ustvarimo novo matriko in jo delimo z determinanto det A. Tako dobimo inverzno matriko:

Kvadratne sisteme linearnih enačb z glavno determinanto, ki ni nič, je mogoče rešiti z uporabo inverzne matrike. Da bi to naredili, je sistem (1.5) zapisan v matrični obliki:

Kje

Pomnožimo obe strani enakosti (1.14) z leve A- 1 dobimo rešitev sistema:

, kje

Torej, da bi našli rešitev kvadratnega sistema, morate najti inverzno matriko glavne matrike sistema in jo na desni pomnožiti s stolpčno matriko prostih členov.

Problem 1.10. Rešite sistem linearnih enačb

z uporabo inverzne matrike.

rešitev. Zapišimo sistem v matrični obliki: ,

Kje - glavno matriko sistema, - stolpec neznank in - stolpec prostih členov. Ker je glavna determinanta sistema , potem glavna matrika sistema A ima inverzno matriko A-1 . Za iskanje inverzne matrike A-1 , izračunamo algebraične komplemente vsem elementom matrike A:

Iz dobljenih števil bomo sestavili matriko (in algebraične dodatke v vrsticah matrike A zapišemo v ustrezne stolpce) in delimo z determinanto D. Tako smo našli inverzno matriko:

Rešitev sistema najdemo s formulo (1.15):

torej

Reševanje sistemov linearnih enačb z navadno Jordanovo eliminacijsko metodo

Naj bo podan poljuben (ne nujno kvadraten) sistem linearnih enačb:

(1.16)

Potrebno je najti rešitev sistema, tj. tak nabor spremenljivk, ki zadošča vsem enakostim sistema (1.16). V splošnem primeru ima sistem (1.16) lahko ne samo eno rešitev, ampak tudi nešteto rešitev. Morda tudi sploh nima rešitev.

Pri reševanju tovrstnih problemov se uporablja znana šolska metoda izločanja neznank, ki jo imenujemo tudi navadna Jordanova metoda izločanja. Bistvo te metode je, da je v eni od enačb sistema (1.16) ena od spremenljivk izražena z drugimi spremenljivkami. Ta spremenljivka se nato nadomesti z drugimi enačbami v sistemu. Rezultat je sistem, ki vsebuje eno enačbo in eno spremenljivko manj kot prvotni sistem. Enačba, iz katere je bila izražena spremenljivka, se spomni.

Ta postopek se ponavlja, dokler v sistemu ne ostane zadnja enačba. S postopkom izločanja neznank lahko nekatere enačbe postanejo prave identitete, npr. Takšne enačbe so izključene iz sistema, saj so izpolnjene za vse vrednosti spremenljivk in zato ne vplivajo na rešitev sistema. Če v procesu izločanja neznank vsaj ena enačba postane enakost, ki je ni mogoče izpolniti za nobeno vrednost spremenljivk (na primer), potem sklepamo, da sistem nima rešitve.

Če med reševanjem ne nastanejo protislovne enačbe, se ena od preostalih spremenljivk v njej najde iz zadnje enačbe. Če v zadnji enačbi ostane samo ena spremenljivka, je ta izražena kot število. Če druge spremenljivke ostanejo v zadnji enačbi, potem se štejejo za parametre, spremenljivka, izražena z njimi, pa bo funkcija teh parametrov. Nato pride do tako imenovane "obratne poteze". Najdeno spremenljivko nadomestimo z zadnjo zapomnjeno enačbo in najdemo drugo spremenljivko. Nato dve najdeni spremenljivki zamenjamo v predzadnjo shranjeno enačbo in poiščemo tretjo spremenljivko in tako naprej do prve shranjene enačbe.

Kot rezultat dobimo rešitev sistema. Ta rešitev bo edinstvena, če so najdene spremenljivke števila. Če je prva najdena spremenljivka in nato vse ostale odvisne od parametrov, potem bo imel sistem neskončno število rešitev (vsak niz parametrov ustreza novi rešitvi). Formule, ki vam omogočajo, da najdete rešitev sistema glede na določen niz parametrov, se imenujejo splošna rešitev sistema.

Primer 1.11.

x

Ko si zapomnimo prvo enačbo in s podobnimi členi v drugi in tretji enačbi pridemo do sistema:

Izrazimo se l iz druge enačbe in jo nadomestite v prvo enačbo:

Spomnimo se druge enačbe in iz prve najdemo z:

Če delamo nazaj, dosledno najdemo l in z. Da bi to naredili, najprej nadomestimo v zadnjo zapomnjeno enačbo, od koder najdemo l:

.

Nato ga bomo nadomestili s prvo zapomnili enačbo kje ga lahko najdemo x:

Problem 1.12. Rešite sistem linearnih enačb z izločanjem neznank:

. (1.17)

rešitev. Izrazimo spremenljivko iz prve enačbe x in ga nadomestimo v drugo in tretjo enačbo:

.

Spomnimo se prve enačbe

V tem sistemu si prva in druga enačba nasprotujeta. Dejansko izražanje l , dobimo, da je 14 = 17. Ta enakost ne velja za nobeno vrednost spremenljivk x, l, In z. Posledično je sistem (1.17) nekonzistenten, tj. nima rešitve.

Bralce vabimo, da sami preverijo, ali je glavna determinanta izvirnega sistema (1.17) enaka nič.

Oglejmo si sistem, ki se od sistema (1.17) razlikuje le po enem prostem členu.

Problem 1.13. Rešite sistem linearnih enačb z izločanjem neznank:

. (1.18)

rešitev. Kot prej izrazimo spremenljivko iz prve enačbe x in ga nadomestimo v drugo in tretjo enačbo:

.

Spomnimo se prve enačbe in predstavi podobne člene v drugi in tretji enačbi. Pridemo do sistema:

Izražanje l iz prve enačbe in jo nadomestimo z drugo enačbo , dobimo identiteto 14 = 14, ki ne vpliva na rešitev sistema, zato jo lahko izločimo iz sistema.

V zadnji zapomnjeni enakosti spremenljivka z obravnavali ga bomo kot parameter. Verjamemo. Potem

Zamenjajmo l in z v prvo zapomnjeno enakost in poiščite x:

.

Tako ima sistem (1.18) neskončno število rešitev in katero koli rešitev je mogoče najti z uporabo formul (1.19) z izbiro poljubne vrednosti parametra t:

(1.19)
Tako so rešitve sistema na primer naslednji nizi spremenljivk (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražajo splošno (poljubno) rešitev sistema (1.18). ).

V primeru, ko ima izvorni sistem (1.16) dovolj veliko število enačb in neznank se zdi navedena metoda navadne Jordanove eliminacije okorna. Vendar pa ni. Dovolj je izpeljati algoritem za preračun sistemskih koeficientov v enem koraku v splošni pogled in oblikovati rešitev problema v obliki posebnih Jordanovih tabel.

Naj bo podan sistem linearnih oblik (enačb):

, (1.20)
Kje x j- neodvisne (iskane) spremenljivke, a ij- konstantni koeficienti
(jaz = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni deli sistema y i (jaz = 1, 2,…, m) so lahko spremenljivke (odvisne) ali konstante. Rešitve tega sistema je treba poiskati z odpravo neznank.

Oglejmo si naslednjo operacijo, odslej imenovano "en korak navadnih Jordanovih izločitev". Iz poljubnega ( r th) enakost izražamo poljubno spremenljivko ( xs) in nadomestite v vse druge enakosti. Seveda je to mogoče le, če a rs¹ 0. Koeficient a rs imenujemo reševalni (včasih vodilni ali glavni) element.

Dobili bomo naslednji sistem:

. (1.21)

Od s- enakost sistema (1.21), naknadno poiščemo spremenljivko xs(potem ko so bile najdene preostale spremenljivke). S-ta vrstica se zapomni in nato izloči iz sistema. Preostali sistem bo vseboval eno enačbo in eno manj neodvisno spremenljivko kot prvotni sistem.

Izračunajmo koeficiente nastalega sistema (1.21) preko koeficientov izvirnega sistema (1.20). Začnimo z r th enačbe, ki po izražanju spremenljivke xs skozi preostale spremenljivke bo videti takole:

Tako novi koeficienti r te enačbe se izračunajo po naslednjih formulah:

(1.23)
Izračunajmo zdaj nove koeficiente b ij(jaz¹ r) poljubne enačbe. Da bi to naredili, zamenjajmo spremenljivko, izraženo v (1.22) xs V jaz enačba sistema (1.20):

Po vnosu podobnih pogojev dobimo:

(1.24)
Iz enačbe (1.24) dobimo formule, s katerimi izračunamo preostale koeficiente sistema (1.21) (z izjemo r enačba):

(1.25)
Transformacija sistemov linearnih enačb z metodo navadne Jordanove eliminacije je predstavljena v obliki tabel (matrik). Te tabele se imenujejo jordanske tabele.

Tako je problem (1.20) povezan z naslednjo Jordanovo tabelo:

Tabela 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
l 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a je		a v
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Jordanova tabela 1.1 vsebuje levi stolpec glave, v katerem so zapisani desni deli sistema (1.20), in zgornjo vrstico glave, v kateri so zapisane neodvisne spremenljivke.

Preostali elementi tabele tvorijo glavno matriko koeficientov sistema (1.20). Če pomnožite matriko A na matriko, sestavljeno iz elementov zgornje naslovne vrstice, dobite matriko, sestavljeno iz elementov levega naslovnega stolpca. To pomeni, da je Jordanova tabela v bistvu matrična oblika zapisa sistema linearnih enačb: . Sistem (1.21) ustreza naslednji Jordanovi tabeli:

Tabela 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
l 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b v
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivni element a rs Označili jih bomo s krepkim tiskom. Spomnimo se, da mora biti za izvedbo enega koraka izločitve Jordana razločevalni element različen od nič. Vrstica tabele, ki vsebuje omogočitveni element, se imenuje omogočitvena vrstica. Stolpec, ki vsebuje element za omogočanje, se imenuje stolpec za omogočanje. Pri premikanju iz dane tabele v naslednjo tabelo se ena spremenljivka ( xs) iz zgornje naslovne vrstice tabele se premakne v levi naslovni stolpec in, nasprotno, eden od prostih članov sistema ( y r) premakne iz levega stolpca glave tabele v zgornjo vrstico glave.

Opišimo algoritem za preračun koeficientov pri prehodu iz Jordanove tabele (1.1) v tabelo (1.2), ki izhaja iz formul (1.23) in (1.25).

1. Razločevalni element se nadomesti z obratnim številom:

2. Preostale elemente razrešitvenega niza razdelimo na razrešitveni element in spremenimo predznak v nasprotno:

3. Preostali elementi stolpca resolucije so razdeljeni na element resolucije:

4. Elementi, ki niso vključeni v dovoljeno vrstico in dovoljevalni stolpec, se preračunajo po formulah:

Zadnjo formulo si je enostavno zapomniti, če opazite, da so elementi, ki sestavljajo ulomek , so na križišču jaz-oh in r vrstice in j th in s th stolpcev (razrešljiva vrstica, razločujoči stolpec ter vrstica in stolpec, na presečišču katerih se nahaja preračunani element). Natančneje, pri pomnjenju formule lahko uporabite naslednji diagram:

-21 -26 -13 -37

Ko izvajate prvi korak Jordanovih izjem, lahko kot razreševalni element izberete kateri koli element tabele 1.3, ki se nahaja v stolpcih x 1 ,…, x 5 (vsi navedeni elementi niso nič). Samo ne izberite omogočitvenega elementa v zadnjem stolpcu, ker najti morate neodvisne spremenljivke x 1 ,…, x 5. Na primer, izberemo koeficient 1 s spremenljivo x 3 v tretji vrstici tabele 1.3 (element za omogočanje je prikazan krepko). Pri prehodu na tabelo 1.4 se spremenljivka x 3 iz zgornje vrstice glave se zamenja s konstanto 0 levega stolpca glave (tretja vrstica). V tem primeru spremenljivka x 3 je izražen s preostalimi spremenljivkami.

Vrvica x 3 (tabela 1.4) lahko, po predhodnem spominu, izločimo iz tabele 1.4. Iz tabele 1.4 je izključen tudi tretji stolpec z ničlo v zgornji naslovni vrstici. Bistvo je, da ne glede na koeficiente danega stolpca b i 3 vsi ustrezni členi vsake enačbe 0 b i 3 sistemi bodo enaki nič. Zato teh koeficientov ni treba izračunati. Odprava ene spremenljivke x 3 in se spomnimo ene od enačb, pridemo do sistema, ki ustreza tabeli 1.4 (s prečrtano črto x 3). Izbira v tabeli 1.4 kot razrešitveni element b 14 = -5, pojdite na tabelo 1.5. V tabeli 1.5 si zapomnite prvo vrstico in jo izključite iz tabele skupaj s četrtim stolpcem (z ničlo na vrhu).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Iz zadnje tabele 1.7 najdemo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Z dosledno zamenjavo že najdenih spremenljivk v zapomnjene vrstice najdemo preostale spremenljivke:

Tako ima sistem neskončno veliko rešitev. Spremenljivka x 5, lahko dodelite poljubne vrednosti. Ta spremenljivka deluje kot parameter x 5 = t. Dokazali smo združljivost sistema in jo našli skupna odločitev:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Dajanje parametra t različne pomene, bomo dobili neskončno število rešitev izvirnega sistema. Tako je na primer rešitev sistema naslednji niz spremenljivk (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Metode Kramer in Gauss- ena izmed najbolj priljubljenih metod rešitve SLAU. Poleg tega je v nekaterih primerih priporočljivo uporabiti posebne metode. Seja je blizu in zdaj je čas, da jih ponovite ali obvladate iz nič. Danes si bomo ogledali rešitev po Cramerjevi metodi. Navsezadnje je reševanje sistema linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode zelo koristna veščina.

Sistemi linearnih algebrskih enačb

Linearni sistem algebraične enačbe– sistem enačb oblike:

Nastavljena vrednost x , v katerem se enačbe sistema spremenijo v identitete, imenujemo rešitev sistema, a in b so realni koeficienti. Preprost sistem, sestavljen iz dveh enačb z dvema neznankama, lahko rešite v svoji glavi ali tako, da eno spremenljivko izrazite z drugo. Toda v SLAE je lahko veliko več kot dve spremenljivki (xes) in tu preproste šolske manipulacije niso dovolj. Kaj storiti? Na primer, rešite SLAE z uporabo Cramerjeve metode!

Torej, naj sistem sestavljajo n enačbe z n neznano.

Tak sistem je mogoče prepisati v matrično obliko

Tukaj A – glavna matrika sistema, X in B matrike stolpcev neznanih spremenljivk in prostih členov.

Reševanje SLAE z uporabo Cramerjeve metode

Če determinanta glavne matrike ni enaka nič (matrika je nesingularna), je sistem mogoče rešiti s Cramerjevo metodo.

Po Cramerjevi metodi se rešitev najde po formulah:

Tukaj delta je determinanta glavne matrike in delta x nth – determinanta, dobljena iz determinante glavne matrike z zamenjavo n-tega stolpca s stolpcem prostih členov.

To je celotno bistvo metode Cramer. Zamenjava vrednosti, ugotovljenih z zgornjimi formulami x v želeni sistem, smo prepričani o pravilnosti (ali obratno) naše rešitve. Da boste hitro dojeli bistvo, spodaj podajamo primer podrobne rešitve SLAE po Cramerjevi metodi:

Tudi če vam prvič ne uspe, naj vas ne obupa! Z malo vaje boste SLAU začeli lomiti kot orehe. Poleg tega zdaj absolutno ni potrebno brskati po zvezku, reševati okorne izračune in zapisovati jedro. SLAE lahko preprosto rešite z uporabo Cramerjeve metode na spletu, tako da koeficiente zamenjate v končni obrazec. Poskusi spletni kalkulator Rešitve po Cramerjevi metodi najdete na primer na tej spletni strani.

In če se sistem izkaže za trmast in ne odneha, se lahko vedno obrnete po pomoč na naše avtorje, npr. Če je v sistemu vsaj 100 neznank, jih bomo zagotovo pravilno in pravočasno rešili!

V prvem delu smo si ogledali nekaj teoretičnega gradiva, substitucijsko metodo, pa tudi metodo člennega seštevanja sistemskih enačb. Priporočam vsem, ki ste do strani dostopali preko te strani, da preberete prvi del. Morda se bo nekaterim obiskovalcem zdelo gradivo preveč preprosto, vendar sem v procesu reševanja sistemov linearnih enačb podal vrsto zelo pomembnih pripomb in sklepov glede reševanja matematičnih problemov na splošno.

Zdaj bomo analizirali Cramerjevo pravilo, pa tudi reševanje sistema linearnih enačb z inverzno matriko (matrična metoda). Vsi materiali so predstavljeni preprosto, podrobno in jasno; skoraj vsi bralci se bodo lahko naučili reševati sisteme z zgornjimi metodami.

Najprej si bomo podrobneje ogledali Cramerjevo pravilo za sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Za kaj? - Konec koncev najpreprostejši sistem lahko rešujemo s šolsko metodo, metodo seštevanja po členih!

Dejstvo je, da se, čeprav včasih, zgodi taka naloga - rešiti sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama z uporabo Cramerjevih formul. Drugič, preprostejši primer vam bo pomagal razumeti, kako uporabiti Cramerjevo pravilo za bolj zapleten primer - sistem treh enačb s tremi neznankami.

Poleg tega obstajajo sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama, ki jih je priporočljivo reševati z uporabo Cramerjevega pravila!

Razmislite o sistemu enačb

Na prvem koraku izračunamo determinanto, imenujemo jo glavna determinanta sistema.

Gaussova metoda.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še dve determinanti:
in

V praksi lahko zgornje kvalifikatorje tudi označimo latinska črka.

Korenine enačbe najdemo z uporabo formul:
,

Primer 7

Rešite sistem linearnih enačb

rešitev: Vidimo, da so koeficienti enačbe precej veliki, na desni strani so decimalke z vejico. Vejica je precej redek gost praktičnih nalog pri matematiki, ta sistem sem vzel iz ekonometričnega problema.

Kako rešiti tak sistem? Lahko poskusite izraziti eno spremenljivko v terminih druge, vendar boste v tem primeru verjetno na koncu dobili strašne modne ulomke, s katerimi je zelo neprijetno delati, in zasnova rešitve bo videti preprosto grozna. Drugo enačbo lahko pomnožite s 6 in odštejete člen za členom, vendar bodo tudi tukaj nastali isti ulomki.

Kaj storiti? V takih primerih priskočijo na pomoč Cramerjeve formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korena imata neskončne repove in sta najdena približno, kar je povsem sprejemljivo (in celo običajno) za probleme ekonometrike.

Komentarji tukaj niso potrebni, saj je naloga rešena z že pripravljenimi formulami, vendar obstaja eno opozorilo. Kdaj uporabiti ta metoda, obvezno Delček zasnove naloge je naslednji fragment: "To pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev". V nasprotnem primeru vas lahko ocenjevalec kaznuje zaradi nespoštovanja Cramerjevega izreka.

Ne bi bilo odveč preveriti, kar je priročno izvesti na kalkulatorju: približne vrednosti nadomestimo v leva stran vsako enačbo sistema. Kot rezultat, z majhno napako, bi morali dobiti številke, ki so na desni strani.

Primer 8

Odgovor predstavi v navadnih nepravilnih ulomkih. Naredite pregled.

To je primer, ki ga lahko rešite sami (primer končne zasnove in odgovor na koncu lekcije).

Preidimo k obravnavanju Cramerjevega pravila za sistem treh enačb s tremi neznankami:

Najdemo glavno determinanto sistema:

Če , potem ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten (nima rešitev). V tem primeru Cramerjevo pravilo ne bo pomagalo, morate uporabiti Gaussovo metodo.

Če , potem ima sistem enolično rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še tri determinante:
, ,

In končno, odgovor se izračuna po formulah:

Kot lahko vidite, se primer "tri za tri" v osnovi ne razlikuje od primera "dva za dva", stolpec prostih izrazov zaporedno "hodi" od leve proti desni vzdolž stolpcev glavne determinante.

Primer 9

Rešite sistem z uporabo Cramerjevih formul.

rešitev: Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami.

, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

Odgovori: .

Pravzaprav tudi tukaj ni kaj posebnega komentirati, saj rešitev sledi že pripravljenim formulam. Je pa par komentarjev.

Zgodi se, da se kot rezultat izračunov dobijo "slabi" nezmanjšani ulomki, na primer: .
Priporočam naslednji algoritem "zdravljenja". Če nimate računalnika pri roki, naredite to:

1) Morda je prišlo do napake v izračunih. Takoj, ko naletite na "slabo" frakcijo, morate takoj preveriti Ali je pogoj pravilno prepisan?. Če je pogoj prepisan brez napak, morate determinante znova izračunati z razširitvijo v drugo vrstico (stolpec).

2) Če med preverjanjem ni ugotovljena nobena napaka, je najverjetneje prišlo do tipkarske napake v pogojih naloge. V tem primeru mirno in PREVIDNO opravite nalogo do konca, nato pa obvezno preverite in ga po odločitvi sestavimo na čist list. Seveda je preverjanje ulomkov odgovora neprijetno opravilo, a bo to razorožujoč argument za učitelja, ki zelo rad daje minus vsaki bedariji, kot je . Kako ravnati z ulomki, je podrobno opisano v odgovoru na primer 8.

Če imate pri roki računalnik, potem za preverjanje uporabite avtomatiziran program, ki ga lahko brezplačno prenesete na samem začetku lekcije. Mimogrede, program je najbolj donosno uporabiti takoj (še pred začetkom rešitve), takoj boste videli vmesni korak, kjer ste naredili napako! Isti kalkulator samodejno izračuna rešitev sistema z uporabo matrične metode.

Druga pripomba. Od časa do časa se pojavijo sistemi, v enačbah katerih nekatere spremenljivke manjkajo, na primer:

Tukaj v prvi enačbi ni spremenljivke, v drugi ni spremenljivke. V takšnih primerih je zelo pomembno, da pravilno in PREVIDNO zapišete glavno determinanto:
– namesto manjkajočih spremenljivk so postavljene ničle.
Mimogrede, determinante z ničlami ​​je smiselno odpreti glede na vrstico (stolpec), v kateri se nahaja ničla, saj je opazno manj izračunov.

Primer 10

Rešite sistem z uporabo Cramerjevih formul.

To je primer za samostojno rešitev (vzorec končne zasnove in odgovor na koncu lekcije).

Za primer sistema 4 enačb s 4 neznane formule Po podobnih načelih so napisani Kramerjevi zapisi. Primer v živo si lahko ogledate v lekciji Lastnosti determinant. Zmanjšanje vrstnega reda determinante - pet determinant 4. reda je povsem rešljivih. Čeprav naloga že zelo spominja na profesorjev čevelj na prsi srečnega študenta.

Reševanje sistema z inverzno matriko

Metoda inverzne matrike je v bistvu poseben primer matrična enačba(Glej primer št. 3 navedene lekcije).

Če želite preučiti ta razdelek, morate biti sposobni razširiti determinante, najti obrat matrike in izvesti množenje matrike. Ko bodo razlage napredovale, bodo na voljo ustrezne povezave.

Primer 11

Rešite sistem z matrično metodo

rešitev: Zapišimo sistem v matrični obliki:
, Kje

Oglejte si sistem enačb in matrik. Mislim, da vsi razumejo princip, po katerem zapisujemo elemente v matrike. Edina pripomba: če bi v enačbah manjkale nekatere spremenljivke, bi bilo treba na ustrezna mesta v matriki postaviti ničle.

Inverzno matriko najdemo po formuli:
, kjer je transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.

Najprej si poglejmo determinanto:

Tukaj je determinanta razširjena v prvi vrstici.

Pozor! Če je , potem inverzna matrika ne obstaja in sistema ni mogoče rešiti z matrično metodo. V tem primeru se sistem rešuje z metodo izločanja neznank (Gaussova metoda).

Zdaj moramo izračunati 9 minorjev in jih zapisati v matriko minorjev

Referenca: Koristno je poznati pomen dvojnih indeksov v linearni algebri. Prva številka je številka vrstice, v kateri se element nahaja. Druga številka je številka stolpca, v katerem se nahaja element:

To pomeni, da dvojni indeks označuje, da je element v prvi vrstici, tretjem stolpcu, element pa je na primer v 3 vrstici, 2 stolpcu

Z enakim številom enačb kot je število neznank z glavno determinanto matrike, ki ni enaka nič, koeficienti sistema (za takšne enačbe obstaja rešitev in je samo ena).

Cramerjev izrek.

Če je determinanta matrike kvadratnega sistema različna od nič, to pomeni, da je sistem konsistenten in ima eno rešitev in jo je mogoče najti z Cramerjeve formule:

kjer je Δ - determinanta sistemske matrike,

Δ jaz je determinanta sistemske matrike, v kateri namesto jaz Stolpec vsebuje stolpec desnih strani.

Ko je determinanta sistema nič, to pomeni, da lahko sistem postane kooperativen ali nekompatibilen.

Ta metoda se običajno uporablja za majhne sisteme z obsežnimi izračuni in če je treba določiti eno od neznank. Kompleksnost metode je v tem, da je treba izračunati veliko determinant.

Opis Cramerjeve metode.

Obstaja sistem enačb:

Sistem treh enačb je mogoče rešiti z uporabo Cramerjeve metode, ki je bila obravnavana zgoraj za sistem dveh enačb.

Iz koeficientov neznank sestavimo determinanto:

Bo sistemska determinanta. Kdaj D≠0, kar pomeni, da je sistem konsistenten. Zdaj pa ustvarimo 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rešujemo tako, da Cramerjeve formule:

Primeri reševanja sistemov enačb po Cramerjevi metodi.

Primer 1.

Podan sistem:

Rešimo jo s Cramerjevo metodo.

Najprej morate izračunati determinanto sistemske matrike:

Ker Δ≠0, kar pomeni, da je iz Cramerjevega izreka sistem konsistenten in ima eno rešitev. Izračunamo dodatne determinante. Determinanto Δ 1 dobimo iz determinante Δ tako, da njen prvi stolpec nadomestimo s stolpcem prostih koeficientov. Dobimo:

Na enak način dobimo determinanto Δ 2 iz determinante sistemske matrike tako, da drugi stolpec nadomestimo s stolpcem prostih koeficientov: