Predstavljene so glavne vrste neenakosti, vključno z neenakostjo Bernoullija, Cauchyja - Bunyakovskega, Minkowskega in Čebiševa. Upoštevane so lastnosti neenačb in dejanja nanje. Podane so osnovne metode reševanja neenačb.

Formule za osnovne neenakosti

Formule za univerzalne neenakosti

Univerzalne neenakosti so izpolnjene za vse vrednosti količin, ki so vanje vključene. Glavne vrste univerzalnih neenakosti so navedene spodaj.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Enakost nastopi le, če je a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Neenakost Cauchy-Bunyakovsky

Enakost velja, če in samo če je α a k = β b k za vse k = 1, 2, ..., n in nekatere α, β, |α| + |β| > 0.

5) Neenakost Minkowskega, za p ≥ 1

Formule zadovoljivih neenakosti

Zadovoljljive neenakosti so izpolnjene za določene vrednosti količin, ki so vanje vključene.

1) Bernoullijeva neenakost:
.
V več splošni pogled:
,
kjer , številke istega predznaka in večje od -1 : .
Bernoullijeva lema:
.
Glej "Dokazi neenakosti in Bernoullijeva lema".

2)
za a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebiševljeva neenakost
pri 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n in 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
pri 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n in b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Posplošene Čebiševljeve neenakosti
pri 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n in 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n in k naravno
.
pri 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n in b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Lastnosti neenačb

Lastnosti neenakosti so niz pravil, ki so izpolnjena pri njihovem preoblikovanju. Spodaj so lastnosti neenakosti. Razume se, da so prvotne neenakosti izpolnjene za vrednosti x i (i = 1, 2, 3, 4), ki pripadajo nekemu vnaprej določenemu intervalu.

1) Ko se spremeni vrstni red stranic, se znak neenakosti spremeni v nasprotno.
Če je x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Če je x 1 ≤ x 2, potem je x 2 ≥ x 1.
Če je x 1 ≥ x 2, potem je x 2 ≤ x 1.
Če je x 1 > x 2, potem je x 2< x 1 .

2) Ena enakost je enakovredna dvema šibkima neenačbama drugačen znak.
Če je x 1 = x 2, potem je x 1 ≤ x 2 in x 1 ≥ x 2.
Če je x 1 ≤ x 2 in x 1 ≥ x 2, potem je x 1 = x 2.

3) Lastnost prehodnosti
Če je x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Če je x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Če je x 1 ≤ x 2 in x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Če je x 1 ≤ x 2 in x 2 ≤ x 3, potem je x 1 ≤ x 3.

4) Obema stranema neenakosti lahko prištejemo (odštejemo) isto število.
Če je x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Če je x 1 ≤ x 2, potem je x 1 + A ≤ x 2 + A.
Če je x 1 ≥ x 2, potem je x 1 + A ≥ x 2 + A.
Če je x 1 > x 2, potem je x 1 + A > x 2 + A.

5) Če obstajata dve ali več neenačb s predznakom iste smeri, se lahko seštejeta njihova leva in desna stran.
Če je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Če je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Če je x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Če je x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, potem je x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Podobni izrazi veljajo za znake ≥, >.
Če izvirne neenakosti vsebujejo znake nestroge neenakosti in vsaj eno strogo neenakost (vendar imajo vsi znaki isto smer), potem seštevanje povzroči strogo neenakost.

6) Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) s pozitivnim številom.
Če je x 1< x 2 и A >0, nato A x 1< A · x 2 .
Če je x 1 ≤ x 2 in A > 0, potem je A x 1 ≤ A x 2.
Če je x 1 ≥ x 2 in A > 0, potem je A x 1 ≥ A x 2.
Če je x 1 > x 2 in A > 0, potem je A · x 1 > A · x 2.

7) Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z negativno število. V tem primeru se bo znak neenakosti spremenil v nasprotno.
Če je x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Če je x 1 ≤ x 2 in A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Če je x 1 ≥ x 2 in A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Če je x 1 > x 2 in A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Če obstajata dve ali več neenačb s pozitivnimi členi, ki imajo predznak iste smeri, potem lahko njuni levi in ​​desni strani pomnožimo eno z drugo.
Če je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 nato x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Če je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 nato x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Če je x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 nato x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Če je x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, potem je x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Podobni izrazi veljajo za znake ≥, >.
Če izvirne neenakosti vsebujejo znake nestroge neenakosti in vsaj eno strogo neenakost (vendar imajo vsi znaki isto smer), potem množenje povzroči strogo neenakost.

9) Naj bo f(x) monotono naraščajoča funkcija. To pomeni, da za vsak x 1 > x 2 velja f(x 1) > f(x 2). Nato lahko to funkcijo uporabimo za obe strani neenakosti, kar ne bo spremenilo predznaka neenakosti.
Če je x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Če je x 1 ≤ x 2, potem je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Če je x 1 ≥ x 2, potem je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Če je x 1 > x 2, potem je f(x 1) > f(x 2).

10) Naj bo f(x) monotono padajoča funkcija, kar pomeni, da za vsak x 1 > x 2 velja f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Če je x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Če je x 1 ≤ x 2, potem je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Če je x 1 ≥ x 2, potem je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Če je x 1 > x 2, potem je f(x 1)< f(x 2) .

Metode reševanja neenačb

Reševanje neenačb z intervalno metodo

Intervalna metoda je uporabna, če neenakost vključuje eno spremenljivko, ki jo označimo z x in ima obliko:
f(x) > 0
kjer je f(x) - neprekinjena funkcija, ki ima končno število diskontinuitetnih točk. Znak neenakosti je lahko karkoli: >, ≥,<, ≤ .

Intervalna metoda je naslednja.

1) Poiščite definicijsko področje funkcije f(x) in ga označite z intervali na številski osi.

2) Poiščite diskontinuitetne točke funkcije f(x). Na primer, če je to ulomek, potem najdemo točke, v katerih imenovalec postane nič. Te točke označimo na številski osi.

3) Reši enačbo
f(x) = 0.
Korene te enačbe označimo na številski osi.

4) Posledično bo številska os razdeljena na intervale (segmente) s točkami. Znotraj vsakega intervala, vključenega v domeno definicije, izberemo poljubno točko in na tej točki izračunamo vrednost funkcije. Če je ta vrednost večja od nič, nad segment (interval) postavimo znak “+”. Če je ta vrednost manjša od nič, potem nad segment (interval) postavimo znak "-".

5) Če ima neenakost obliko: f(x) > 0, potem izberite intervale z znakom “+”. Rešitev neenakosti je združitev teh intervalov, ki ne vključujejo svojih meja.
Če ima neenačba obliko: f(x) ≥ 0, potem rešitvi dodamo točke, v katerih je f(x) = 0. To pomeni, da imajo lahko nekateri intervali zaprte meje (meja pripada intervalu). drugi del ima lahko odprte meje (meja ne pripada intervalu).
Podobno, če ima neenakost obliko: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Če ima neenačba obliko: f(x) ≤ 0, potem rešitvi dodamo točke, v katerih je f(x) = 0.

Reševanje neenačb z uporabo njihovih lastnosti

Ta metoda je uporabna za neenakosti katere koli kompleksnosti. Sestavljen je iz uporabe lastnosti (predstavljenih zgoraj), da zmanjšamo neenačbe na enostavnejšo obliko in dobimo rešitev. Povsem možno je, da bo posledica tega ne samo ena, ampak sistem neenakosti. To je univerzalna metoda. Velja za vse neenakosti.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Ena od tem, ki od učencev zahteva maksimalno pozornost in vztrajnost, je reševanje neenakosti. Tako podobna enačbam in hkrati zelo drugačna od njih. Kajti njihovo reševanje zahteva poseben pristop.

Lastnosti, ki bodo potrebne za iskanje odgovora

Vsi se uporabljajo za zamenjavo obstoječega vnosa z enakovrednim. Večina jih je podobnih tistim, ki so bile v enačbah. So pa tudi razlike.

• Obema stranema prvotne neenakosti je mogoče dodati funkcijo, ki je definirana v ODZ, ali poljubno število.
• Prav tako je možno množenje, vendar samo s pozitivno funkcijo ali številom.
• Če se to dejanje izvede z negativno funkcijo ali številom, je treba znak neenakosti zamenjati z nasprotnim.
• Funkcije, ki niso negativne, lahko dvignemo na pozitivno potenco.

Včasih reševanje neenakosti spremljajo dejanja, ki zagotavljajo tuje odgovore. Izključiti jih je treba s primerjavo območje ODZ in veliko rešitev.

Uporaba intervalne metode

Njegovo bistvo je zmanjšati neenakost na enačbo, v kateri je na desni strani ničla.

1. Določite območje, kjer ležijo dopustne vrednosti spremenljivk, to je ODZ.
2. Z matematičnimi operacijami preoblikujte neenačbo tako, da bo na desni strani nič.
3. Zamenjaj znak neenakosti z “=” in reši ustrezno enačbo.
4. Na številski osi označimo vse odgovore, ki smo jih dobili med reševanjem, ter OD intervale. V primeru stroge neenakosti je treba točke narisati kot preluknjane. Če je enak znak, jih je treba prebarvati.
5. Določite predznak prvotne funkcije na vsakem intervalu, pridobljenem iz točk ODZ in odgovorov, ki ga delijo. Če se predznak funkcije ne spremeni pri prehodu skozi točko, potem je vključena v odgovor. V nasprotnem primeru je izključeno.
6. Mejne točke za ODZ je treba dodatno preveriti in šele nato vključiti ali ne vključiti v odgovor.
7. Dobljeni odgovor mora biti zapisan v obliki združenih nizov.

Nekaj ​​o dvojnih neenakostih

Uporabljajo dva znaka neenakosti hkrati. To pomeni, da je neka funkcija omejena s pogoji dvakrat hkrati. Takšne neenačbe se rešujejo kot sistem dveh, ko je izvirnik razdeljen na dele. In v intervalni metodi so navedeni odgovori pri reševanju obeh enačb.

Za njihovo rešitev je dovoljeno uporabiti tudi zgoraj navedene lastnosti. Z njihovo pomočjo je priročno zmanjšati neenakost na nič.

Kaj pa neenačbe, ki imajo modul?

V tem primeru rešitev neenačb uporablja naslednje lastnosti, ki veljajo za pozitivno vrednost "a".

Če "x" sprejme algebrski izraz, potem veljajo naslednje zamenjave:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > od a do x< -a или х >a.

Če neenakosti niso stroge, so tudi formule pravilne, le da se v njih poleg znaka za večje ali manj pojavi še »=«.

Kako se reši sistem neenačb?

To znanje bo potrebno v primerih, ko je takšna naloga dana ali obstaja zapis dvojne neenakosti ali se v zapisu pojavi modul. V taki situaciji bo rešitev vrednosti spremenljivk, ki bi zadostile vsem neenakostim v zapisu. Če teh številk ni, potem sistem nima rešitev.

Načrt, po katerem se izvaja rešitev sistema neenačb:

• rešite vsako od njih posebej;
• upodabljajo vse intervale na številski osi in določajo njihova presečišča;
• zapišite odziv sistema, ki bo kombinacija tega, kar se je zgodilo v drugem odstavku.

Kaj storiti z ulomki neenakosti?

Ker lahko njihovo reševanje zahteva spremembo znaka neenakosti, morate zelo natančno in natančno slediti vsem točkam načrta. V nasprotnem primeru lahko dobite nasproten odgovor.

Reševanje ulomkov neenačb uporablja tudi intervalno metodo. In akcijski načrt bo takšen:

• S pomočjo opisanih lastnosti daj ulomku takšno obliko, da bo desno od predznaka ostala samo ničla.
• Neenakost nadomestimo z “=” in določimo točke, v katerih bo funkcija enaka nič.
• Označimo jih na koordinatni osi. V tem primeru bodo številke, dobljene kot rezultat izračunov v imenovalcu, vedno izrezane. Vsi ostali temeljijo na pogoju neenakosti.
• Določite intervale konstantnosti predznaka.
• V odgovor zapišite unijo tistih intervalov, katerih predznak ustreza tistemu v prvotni neenakosti.

Situacije, ko se v neenakosti pojavi neracionalnost

Z drugimi besedami, v zapisu je matematični koren. Od šolskega tečaja algebre večina naloge so za kvadratni koren, potem bo to upoštevano.

Rešitev iracionalnih neenakosti se zmanjša na pridobitev sistema dveh ali treh, ki bo enakovreden prvotnemu.

Prvotna neenakost	stanje	enakovreden sistem
√ n(x)< m(х)	m(x) manjše ali enako 0	brez rešitev
	m(x) večji od 0	n(x) je večji ali enak 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) večji ali enak 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) je večji ali enak 0 m(x) manj kot 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) manj kot 0	brez rešitev
	m(x) večji ali enak 0	n(x) je večji ali enak 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) večji ali enak 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) je večji ali enak 0 m(x) manj kot 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) je večji ali enak 0 n(x) manj kot m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) večji od 0 m(x) manj kot 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) večji od 0 m(x) večji od 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) večji od 0
		n(x) je enako 0 m(x) - poljubno
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) večji od 0
		n(x) je enako 0 m(x) - poljubno

Primeri reševanja različnih vrst neenačb

Da bi dodali jasnost teoriji o reševanju neenačb, so spodaj navedeni primeri.

Prvi primer. 2x - 4 > 1 + x

Rešitev: Če želite določiti ADI, morate natančno pogledati neenakost. Nastane iz linearne funkcije, torej definiran za vse vrednosti spremenljivke.

Zdaj morate od obeh strani neenakosti odšteti (1 + x). Izkaže se: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Ko odpremo oklepaje in podamo podobne izraze, bo neenakost dobila naslednjo obliko: x - 5 > 0.

Če ga enačimo z nič, je enostavno najti njegovo rešitev: x = 5.

Zdaj je treba to točko označiti s številko 5 na koordinatnem žarku. Nato preverite znake prvotne funkcije. Na prvem intervalu od minus neskončnosti do 5 lahko vzamete številko 0 in jo nadomestite v neenakost, ki jo dobite po transformacijah. Po izračunih se izkaže -7 >0. pod lokom intervala morate podpisati znak minus.

Na naslednjem intervalu od 5 do neskončnosti lahko izberete številko 6. Potem se izkaže, da je 1 > 0. Pod lokom je znak "+". Ta drugi interval bo odgovor na neenakost.

Odgovor: x leži v intervalu (5; ∞).

Drugi primer. Rešiti je treba sistem dveh enačb: 3x + 3 ≤ 2x + 1 in 3x - 2 ≤ 4x + 2.

rešitev. Tudi VA teh neenakosti leži v območju poljubnih števil, saj so podane linearne funkcije.

Druga neenakost bo v obliki naslednje enačbe: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformaciji: -x - 4 =0. To ustvari vrednost za spremenljivko, ki je enaka -4.

Ti dve številki je treba označiti na osi, ki prikazujejo intervale. Ker neenakost ni stroga, je treba vse točke osenčiti. Prvi interval je od minus neskončnosti do -4. Naj bo izbrano število -5. Prva neenakost bo dala vrednost -3, druga pa 1. To pomeni, da ta interval ni vključen v odgovor.

Drugi interval je od -4 do -2. Izberete lahko število -3 in ga nadomestite v obe neenačbi. V prvem in drugem je vrednost -1. To pomeni, da pod lokom "-".

V zadnjem intervalu od -2 do neskončnosti je najboljše število nič. Morate ga nadomestiti in poiskati vrednosti neenakosti. Prvi od njih proizvede pozitivno število, drugi pa nič. Tudi to vrzel je treba izključiti iz odgovora.

Od treh intervalov je le eden rešitev neenačbe.

Odgovor: x pripada [-4; -2].

Tretji primer. |1 - x| > 2 |x - 1|.

rešitev. Prvi korak je določiti točke, na katerih funkcije izginejo. Za levo bo ta številka 2, za desno - 1. Treba jih je označiti na žarku in določiti intervale konstantnosti znaka.

Na prvem intervalu, od minus neskončnosti do 1, ima funkcija na levi strani neenakosti pozitivne vrednosti, funkcija na desni strani pa negativne vrednosti. Pod lokom morate enega ob drugem napisati dva znaka "+" in "-".

Naslednji interval je od 1 do 2. Na njem imata obe funkciji pozitivne vrednosti. To pomeni, da sta pod lokom dva plusa.

Tretji interval od 2 do neskončnosti bo dal naslednji rezultat: levo funkcijo- negativno, desno - pozitivno.

Ob upoštevanju nastalih znakov morate izračunati vrednosti neenakosti za vse intervale.

Prva daje naslednjo neenakost: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus pred dvema v drugi neenačbi je posledica dejstva, da je ta funkcija negativna.

Po transformaciji je neenakost videti takole: x> 0. Takoj poda vrednosti spremenljivke. To pomeni, da bo iz tega intervala odgovorjen samo interval od 0 do 1.

Na drugem: 2 - x > 2 (x - 1). Transformacije bodo dale naslednjo neenakost: -3x + 4 je večje od nič. Njegova ničla bo x = 4/3. Ob upoštevanju znaka neenakosti se izkaže, da mora biti x manjši od tega števila. To pomeni, da se ta interval zmanjša na interval od 1 do 4/3.

Slednja daje naslednjo neenakost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njena transformacija vodi do naslednjega: -x > 0. To pomeni, da je enačba resnična, ko je x manjši od nič. To pomeni, da na zahtevanem intervalu neenačba ne daje rešitev.

V prvih dveh intervalih se je izkazalo, da je mejno število 1. To je treba preveriti posebej. To pomeni, da ga nadomestite z izvirno neenakostjo. Izkazalo se je: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Štetje pokaže, da je 1 večje od 0. To je resnična trditev, zato je ena vključena v odgovor.

Odgovor: x leži v intervalu (0; 4/3).

Že od pradavnine je bilo pri reševanju praktičnih problemov treba primerjati količine in količine. Hkrati so se pojavile besede, kot so več in manj, višje in nižje, lažji in težji, tišji in glasnejši, cenejši in dražji itd., ki označujejo rezultate primerjave homogenih količin.

Pojma več in manj sta nastala v povezavi s štetjem predmetov, merjenjem in primerjanjem količin. Na primer, matematiki stare Grčije so vedeli, da je stranica katerega koli trikotnika manjša od vsote drugih dveh strani in da večja stranica leži nasproti večjega kota v trikotniku. Arhimed je pri izračunu obsega ugotovil, da je obseg katerega koli kroga enak trikratnemu premeru s presežkom, ki je manjši od sedmine premera, vendar več kot deset sedemdesetkratnik premera.

Razmerja med števili in količinami simbolično zapiši z znakoma > in b. Zapisi, v katerih sta dve števili povezani z enim od predznakov: > (večji od), Na številske neenakosti ste naleteli tudi pri mlajši razredi. Veste, da so neenakosti lahko resnične ali napačne. Na primer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) je pravilna numerična neenakost, 0,23 > 0,235 je napačna numerična neenakost.

Neenakosti, ki vključujejo neznanke, so lahko resnične za nekatere vrednosti neznank in napačne za druge. Na primer, neenakost 2x+1>5 je resnična za x = 3, vendar je napačna za x = -3. Za neenačbo z eno neznanko lahko postavite nalogo: rešite neenačbo. Problemi reševanja neenačb v praksi se postavljajo in rešujejo nič manj pogosto kot problemi reševanja enačb. Številni ekonomski problemi se na primer zmanjšajo na preučevanje in rešitev sistemov linearne neenakosti. V mnogih vejah matematike so neenakosti bolj pogoste kot enačbe.

Nekatere neenakosti služijo kot edine pomožni, ki vam omogoča, da dokažete ali ovržete obstoj določenega predmeta, na primer korena enačbe.

Številske neenakosti

Ali lahko primerjate cela števila? decimalke. Poznate pravila primerjanja? navadni ulomki z enakimi imenovalci, a različnimi števci; z enakimi števniki, vendar različne imenovalce. Tukaj se boste naučili primerjati poljubni dve števili tako, da najdete predznak njune razlike.

Primerjava števil se pogosto uporablja v praksi. Na primer, ekonomist primerja načrtovane kazalnike z dejanskimi, zdravnik primerja pacientovo temperaturo z normalno, strugar primerja dimenzije obdelanega dela s standardom. V vseh takih primerih se nekatere številke primerjajo. Kot posledica primerjanja števil nastanejo številske neenakosti.

Opredelitev.Številka a več številk b, če razlika a-b pozitivno. Številka a manjše število b, če je razlika a-b negativna.

Če je a večji od b, potem pišejo: a > b; če je a manjši od b, potem pišejo: a Torej neenakost a > b pomeni, da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Neenakost a Za katerikoli dve števili a in b iz naslednjih treh razmerij a > b, a = b, a Primerjati števili a in b pomeni ugotoviti, kateri od znakov >, = oz. Izrek.Če je a > b in b > c, potem je a > c.

Izrek.Če obema stranema neenačbe prištejete enako število, se predznak neenačbe ne spremeni.
Posledica. Vsak člen lahko premaknemo iz enega dela neenačbe v drugega, tako da predznak tega člena spremenimo v nasprotno.

Izrek.Če obe strani neenačbe pomnožimo z istim pozitivnim številom, se predznak neenačbe ne spremeni. Če obe strani neenakosti pomnožimo z istim negativnim številom, se predznak neenakosti spremeni v nasprotno.
Posledica.Če obe strani neenačbe delimo z istim pozitivnim številom, se predznak neenačbe ne spremeni. Če obe strani neenakosti delimo z istim negativnim številom, se predznak neenakosti spremeni v nasprotno.

Veste, da lahko številske enakosti seštevamo in množimo člen za členom. Nato se boste naučili izvajati podobna dejanja z neenakostmi. Sposobnost seštevanja in množenja neenakosti člen za členom se pogosto uporablja v praksi. Ta dejanja pomagajo rešiti težave pri vrednotenju in primerjanju pomenov izrazov.

Pri reševanju različnih nalog je pogosto treba seštevati ali množiti levo in desno stran neenakosti člen za členom. Hkrati se včasih reče, da se neenakosti seštevajo ali množijo. Na primer, če je turist prvi dan prehodil več kot 20 km, drugi pa več kot 25 km, potem lahko rečemo, da je v dveh dneh prehodil več kot 45 km. Podobno, če je dolžina pravokotnika manjša od 13 cm in širina manjša od 5 cm, lahko rečemo, da je površina tega pravokotnika manjša od 65 cm2.

Pri obravnavi teh primerov je bilo uporabljeno naslednje: izreki o seštevanju in množenju neenačb:

Izrek. Pri seštevanju neenačb istega predznaka dobimo neenačbo istega predznaka: če a > b in c > d, potem a + c > b + d.

Izrek. Pri množenju neenačb istega predznaka, katerih leva in desna stran sta pozitivni, dobimo neenačbo istega predznaka: če so a > b, c > d in a, b, c, d pozitivna števila, potem je ac > bd.

Neenakosti z znakom > (večji od) in 1/2, 3/4 b, c Skupaj z znaki strogih neenakosti > in Na enak način neenakost \(a \geq b \) pomeni, da je število a večji ali enak b, tj. .in ne manjši od b.

Neenačbe, ki vsebujejo znak \(\geq \) ali znak \(\leq \), se imenujejo nestroge. Na primer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) niso stroge neenakosti.

Vse lastnosti strogih neenakosti veljajo tudi za nestroge neenakosti. Še več, če bi za stroge neenakosti znaki > veljali za nasprotne in veste, da morate za rešitev številnih uporabnih problemov ustvariti matematični model v obliki enačbe ali sistema enačb. Naprej boste to izvedeli matematičnih modelov Za reševanje številnih problemov obstajajo neenačbe z neznankami. Predstavljen bo koncept reševanja neenačbe in prikazano, kako preveriti, ali je dano število rešitev določene neenačbe.

Neenakosti oblike
\(ax > b, \quad ax, v katerem sta a in b dani števili in je x neznanka, imenujemo linearne neenačbe z eno neznanko.

Opredelitev. Rešitev neenačbe z eno neznanko je vrednost neznanke, pri kateri postane ta neenačba prava numerična neenakost. Rešiti neenačbo pomeni najti vse njene rešitve ali ugotoviti, da ni nobene.

Enačbe ste rešili tako, da ste jih reducirali na najpreprostejše enačbe. Podobno se pri reševanju neenačb poskuša le-te z uporabo lastnosti reducirati na obliko enostavnih neenačb.

Reševanje neenačb druge stopnje z eno spremenljivko

Neenakosti oblike
\(ax^2+bx+c >0 \) in \(ax^2+bx+c, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in \(a \neq 0 \), imenovana neenakosti druge stopnje z eno spremenljivko.

Rešitev neenakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ali \(ax^2+bx+c lahko štejemo za iskanje intervalov, v katerih je funkcija \(y= ax^2+bx+c \) pozitivna ali negativna Če želite to narediti, je dovolj analizirati, kako se graf funkcije \(y= ax^2+bx+c\) nahaja v koordinatni ravnini: kam so usmerjene veje parabole - navzgor ali navzdol, ali parabola seka os x in če seka, v katerih točkah.

Algoritem za reševanje neenačb druge stopnje z eno spremenljivko:
1) poišči diskriminant kvadratnega trinoma \(ax^2+bx+c\) in ugotovi, ali ima trinom korenine;
2) če ima trinom korenine, jih označimo na osi x in skozi označene točke narišemo shematsko parabolo, katere veje so usmerjene navzgor za a > 0 ali navzdol za a 0 ali spodaj za a 3) poiščite intervale na osi x, pri katerih se parabole točk nahajajo nad osjo x (če rešijo neenačbo \(ax^2+bx+c >0\)) ali pod osjo x (če rešijo neenakost
\(ax^2+bx+c Reševanje neenačb z intervalno metodo

Upoštevajte funkcijo
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domena te funkcije je množica vseh števil. Ničle funkcije so števila -2, 3, 5. Delijo definirano področje funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) in \( (5; +\infty)\)

Ugotovimo, kakšni so znaki te funkcije v vsakem od navedenih intervalov.

Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je zmnožek treh faktorjev. Znak vsakega od teh dejavnikov v obravnavanih intervalih je naveden v tabeli:

Na splošno naj bo funkcija podana s formulo
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
kjer je x spremenljivka, x 1, x 2, ..., x n pa so števila, ki si med seboj niso enaka. Števila x 1 , x 2 , ..., x n so ničle funkcije. V vsakem od intervalov, na katere je definicijsko področje razdeljeno z ničlami ​​funkcije, se predznak funkcije ohrani, pri prehodu skozi ničlo pa se njegov predznak spremeni.

Ta lastnost se uporablja za reševanje neenakosti oblike
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kjer so x 1, x 2, ..., x n števila, ki si med seboj niso enaka

Upoštevana metoda reševanje neenačb imenujemo intervalna metoda.

Navedimo primere reševanja neenačb z intervalno metodo.

Reši neenačbo:

\(x(0,5-x)(x+4) Očitno so ničle funkcije f(x) = x(0,5-x)(x+4) točke \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Na številsko os narišemo ničle funkcije in vsakemu intervalu izračunamo predznak:

Izberemo tiste intervale, pri katerih je funkcija manjša ali enaka nič in zapišemo odgovor.

odgovor:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \desno) \)

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami več ali enako (≥ ), manj ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pojavi v polni moči! To bomo videli spodaj v primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Ta pripravek deluje pri neenakosti vse vrste in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak značilno je, da so napake pri teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenačb, ja... Zato je treba ta dejanja ponavljati. Ta dejanja se imenujejo na naslednji način:

Identične transformacije neenačb.

Identične transformacije neenačb so zelo podobne identičnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike vam gredo čez glavo in ... evo vas.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Enako število ali izraz lahko prištejemo (odštejemo) obema stranema neenakosti. Kaj. To ne bo spremenilo znaka neenakosti.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos izrazov z leve strani neenakosti na desno (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka člena, ne neenačbe! Pravilo ena proti ena je enako pravilu za enačbe. Toda naslednje identične transformacije v neenačbah se bistveno razlikujejo od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjopozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno Ne bo spremenilo.

3. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjonegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Saj se spomniš (upam...), da se enačba lahko pomnoži/deli s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z X. Če le ne bi bila nula. Zaradi tega enačba ni niti vroča niti hladna.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Jasen primer za dolg spomin. Zapišimo neenakost vprašljivo:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Kakšni ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo obe strani prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolna laž! Zavajanje ljudstva! Toda takoj, ko spremenite znak neenakosti v nasprotno, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

Ne prisegam le na laži in prevare.) "Pozabil sem spremeniti enačaj ..."- To domov napaka pri reševanju neenačb. To trivialno in preprosto pravilo je prizadelo toliko ljudi! Kar so pozabili ...) Torej prisežem. Mogoče se spomnim ...)

Še posebej pozorni bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z X. Spoštovanje do tistih, ki so pozorni!) Zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z X ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kateri znak neenačbe postaviti za množenjem. Naj ga spremenim ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) možno zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za kaj neenakosti Zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe so neenačbe, pri katerih je x na prvi potenci in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se te neenakosti rešujejo? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je rešitev. Izpostavil bom glavne točke sklepa. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo jo na povsem enak način kot linearno enačbo. Z edino razliko:

Skrbno spremljamo znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z X-ji - v levo, brez X-jev - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti predznakov prenesenih izrazov.

Znak neenakosti ostane:

x-5x > -5-3

Tukaj so podobni.

Znak neenakosti ostane:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: delite obe strani z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti se bo spremenil v nasprotno:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje preluknjana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da se števila povečujejo v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno so dvojke, števila pa 1, 0, -1 itd. - levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. Dvomljivo število nadomestimo v neenakost in pomislimo: "Dva je manj kot dva? Ne, seveda!" točno tako. Neenakost 2 < 2 nepravilno. Dvojka v zameno ni primerna.

Je ena v redu? Vsekakor. Manj ... In ničla je dobra, pa -17 in 0,34 ... Ja, vse številke, ki so manjše od dve, so dobre! In celo 1,9999.... Vsaj malo, a manj!

Označimo torej vsa ta števila na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost je senčenje. Z miško se pomaknemo čez sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-ov, ki izpolnjujejo pogoj x, zasenčeno < 2 . To je vse.

Oglejmo si drugo možnost z uporabo drugega primera:

X ≥ -0,5

Nariši os in označi število -0,5. Všečkaj to:

Opazite razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni -0,5 je vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, lahko preverjanje koga zmede. Zamenjajmo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni več kot -0,5! Obstaja še več ikon ...

V redu je. V šibki neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. IN enako dobro, in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5, ostane še, da označimo vsa števila, ki so večja od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x lok(iz besede lok), namesto senčenja. Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo ta lok.

Med senčenjem in rokami ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če ni učitelja, narišite loke. Pri kompleksnejših nalogah je senčenje manj očitno. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Preidimo na naslednjo značilnost neenakosti.

Pisanje odgovora za neenačbe.

Enačbe so bile dobre.) Poiskali smo x in zapisali odgovor, na primer: x=3. Obstajata dve obliki zapisa odgovorov v neenačbe. Ena je v obliki končne neenakosti. Dobro za preproste primere. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih morate zapisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, v številčnih intervalih. Potem začne posnetek izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ beseda je skrita "pripada".

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko katero koli število od vseh možnih števil od minus neskončnosti do dva. Dvojnega X-a ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

In kje v odgovoru je to jasno "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru krog oklepaj takoj za dvema. Če bi bila oba vključena, bi bil oklepaj kvadrat. Kot ta: ]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 v intervalih:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Neskončnosti ni mogoče nikoli vklopiti. To ni številka, je simbol. Zato je v takih zapisih neskončnost vedno poleg oklepaja.

Ta oblika zapisa je primerna za kompleksne odgovore, sestavljene iz več presledkov. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preprosta neenakost. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Treba je bilo torej razmišljati. To, če tega niste vajeni, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je nepotrebno. In da ne bi bilo strah ob srečanju s takimi primeri. Samo malo pomislite - in preprosto je!)

1. Poiščite poljubni dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni povsem jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!)

X < 1

In kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva kajštevilke. Pravzaprav je to zmedeno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Teh parov je neskončno veliko! Kateri odgovor je pravilen?!

Odgovorim: vse! Vsak par števil, od katerih je vsako manjše od ena, bo pravilen odgovor. Napišite katero želite. Gremo naprej.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Naloge v tej obliki so redke. Toda kot pomožne neenakosti se pri iskanju ODZ, na primer, ali pri iskanju domene definicije funkcije, pojavljajo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako pristopite k odgovoru z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več zapleteni primeri, je bolje narediti stvari drugače. Iz enakosti naredi neenakost. Všečkaj to:

4x - 3 = 0

Mirno rešite, kot je naučeno, in dobite odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujete končni odgovor, ne pozabite, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X pravzaprav ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki avtomatsko rešujejo enačbe. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, neenakosti pravzaprav ne koristijo ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej enostavno rešimo neenačbo. Odpremo oklepaje, jih premaknemo, prinesemo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Ali ni šlo tako!? Ste sledili znakom!? In za znaki članov, in za znakom neenakosti ...

Pomislimo še enkrat. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva na minus šest? Vsekakor! Ali obstaja primerna manjša številka? Seveda. Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno stvar! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno iti skozi številke, kajne?)

Vzemimo številko bližje -6. Na primer, -5. Odgovor je izpolnjen, -5 > - 6. Ali je mogoče najti drugo število, manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5... Stop! Rečeno nam je cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Uh-uh! Neenakost je stroga, minus 6 nikakor ni manjše od minus 6!

Zato je pravilen odgovor -5.

Upajmo, da z izbiro vrednosti iz splošna rešitev vse jasno. Še en primer:

4. Rešite neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ta izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšana oblika sistema neenakosti. A takšne trojne neenačbe je treba še reševati pri nekaterih nalogah... Rešuje se tudi brez sistemov. Po enakih enakih transformacijah.

To neenakost moramo poenostaviti, prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj bi bilo treba kam preseliti?! Tukaj je čas, da se spomnimo, da je premikanje levo in desno kratka oblika prva transformacija identitete.

A polna oblika zveni takole: Poljubno število ali izraz lahko dodamo/odštejemo obema stranema enačbe (neenakost).

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega sredinskega dela odštejmo eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. Všečkaj to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, kajne?) Vse, kar ostane, je, da vse tri dele razdelite na tri:

2 < X < 4

To je vse. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih; taki vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri reševanju linearnih neenačb je odvisen od sposobnosti transformacije in poenostavitve linearnih enačb. Če hkrati pazi na znak neenakosti, ne bo nobenih težav. To ti želim. Brez težav.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Koncept matematične neenakosti se je pojavil v starih časih. To se je zgodilo, ko je pračlovek začel primerjati njihovo količino in velikost pri štetju in rokovanju z različnimi predmeti. Arhimed, Evklid in drugi znani znanstveniki: matematiki, astronomi, oblikovalci in filozofi so že od antičnih časov uporabljali neenakosti pri svojem razmišljanju.

Toda v svojih delih so praviloma uporabljali besedno terminologijo. V Angliji so bili prvič izumljeni in uporabljeni sodobni znaki za označevanje pojmov "več" in "manj" v obliki, v kateri jih danes pozna vsak šolar. Matematik Thomas Harriot je svojim potomcem zagotovil takšno storitev. In to se je zgodilo pred približno štirimi stoletji.

Znanih je veliko vrst neenakosti. Med njimi so preprosta, ki vsebujejo eno, dve ali več spremenljivk, kvadratna, frakcijska, kompleksna razmerja in celo tista, ki jih predstavlja sistem izrazov. Najboljši način za razumevanje reševanja neenakosti je uporaba različnih primerov.

Ne zamudite vlaka

Za začetek si predstavljajmo, da prebivalec podeželja hiti na železniško postajo, ki se nahaja 20 km od njegove vasi. Da ne bi zamudil vlaka, ki odhaja ob 11. uri, mora pravočasno zapustiti hišo. Ob kateri uri naj to stori, če je njegova hitrost 5 km/h? Rešitev za to praktični problem se zmanjša na izpolnjevanje pogojev izraza: 5 (11 - X) ≥ 20, kjer je X čas odhoda.

To je razumljivo, saj je razdalja, ki jo mora vaščan premagati do postaje, enaka hitrosti gibanja, pomnoženi s številom ur na poti. Človek lahko pride zgodaj, ne more pa zamujati. Če boste znali rešiti neenakosti in svoje veščine uporabili v praksi, boste na koncu dobili X ≤ 7, kar je odgovor. To pomeni, da naj gre vaščan na železniško postajo ob sedmih zjutraj ali malo prej.

Številski intervali na koordinatni premici

Zdaj pa poglejmo, kako preslikati opisane relacije na Zgoraj dobljena neenakost ni stroga. To pomeni, da lahko spremenljivka sprejme vrednosti, manjše od 7, ali pa je lahko enaka temu številu. Navedimo druge primere. Če želite to narediti, natančno preglejte štiri spodnje slike.

Na prvem lahko vidite grafična podoba vrzel [-7; 7]. Sestavljen je iz niza števil, postavljenih na koordinatno črto in med -7 in 7, vključno z mejami. V tem primeru so točke na grafu upodobljene kot zapolnjeni krogi, interval pa je zabeležen z uporabo

Druga slika je grafični prikaz stroge neenakosti. V tem primeru mejni števili -7 in 7, prikazani s preluknjanimi (nezapolnjenimi) pikami, nista vključeni v navedeni niz. In sam interval je zapisan v oklepajih na naslednji način: (-7; 7).

To pomeni, da ko smo ugotovili, kako rešiti neenakosti te vrste in prejeli podoben odgovor, lahko sklepamo, da je sestavljena iz števil, ki so med zadevnimi mejami, razen -7 in 7. Naslednja dva primera je treba ovrednotiti v podoben način. Tretja slika prikazuje slike intervalov (-∞; -7] U)