Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov"). Najtežji trenutek v teh akcijah je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo lažje kot seštevanje in odštevanje. Za začetek razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim.

Oznaka:

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite obrniti ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo celotno lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot posledica množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšan ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se je po vseh zmanjšanjih ulomek izkazal za napačnega, je treba v njem ločiti celoten del. Toda tisto, kar se točno ne bo zgodilo z množenjem, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, maksimalnih faktorjev in najmanjših skupnih večkratnikov.

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celim delom in negativnimi ulomki

Če je v ulomkih celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko vzamemo iz meja množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus krat minus daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej smo ta pravila srečali le pri seštevanju in odštevanju. negativni ulomki ko se je bilo treba znebiti celotnega dela. Za izdelek jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več minusov hkrati:

1. Minuse v parih prečrtamo, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnem primeru lahko preživi en minus - tisti, ki ni našel ujemanja;
2. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker ni našel para, ga vzamemo iz meja množenja. Dobiš negativni ulomek.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Vse ulomke prevedemo v neprave, nato pa minuse izločimo izven meja množenja. Kar ostane, se pomnoži po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da se minus pred ulomkom s poudarjenim celim delom nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov celoštevilski del (to velja za zadnja dva primera).

Bodite pozorni tudi na negativna števila: Pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo naporna operacija. Številke tukaj so precej velike in za poenostavitev naloge lahko poskusite ulomek še bolj zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na svojem mestu so ostale enote, ki jih na splošno lahko izpustimo. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike v nobenem primeru ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Napaka nastane zaradi dejstva, da se pri seštevanju ulomka v števcu ulomka pojavi vsota in ne produkt števil. Zato je nemogoče uporabiti glavno lastnost ulomka, saj v tej lastnosti pogovarjamo se Gre za množenje števil.

Preprosto ni drugega razloga za zmanjševanje ulomkov, zato je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:

Pravilna rešitev:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

Vsakdanji ulomkov se prvič srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba obravnavati ali uporabiti kakšen predmet ne v celoti, ampak v ločenih delih. Začetek študija te teme - delite. Deleži so enaki na katere je predmet razdeljen. Navsezadnje ni vedno mogoče izraziti na primer dolžine ali cene izdelka kot celega števila; treba je upoštevati dele ali deleže katere koli mere. Nastala iz glagola "zdrobiti" - razdeliti na dele in z arabskimi koreninami se je v VIII stoletju sama beseda "frakcija" pojavila v ruščini.

Ulomki so že dolgo veljali za najtežji del matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki matematike, so jih imenovali "zlomljene številke", kar je bilo ljudem zelo težko prikazati.

moderen videz enostavne ulomke, katerih deli so ločeni natančno z vodoravno črto, je prvi prispeval k Fibonacciju - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi so datirani iz leta 1202. Toda namen tega članka je preprosto in jasno razložiti bralcu, kako poteka množenje mešanih ulomkov različne imenovalce.

Množenje ulomkov z različnimi imenovalci

Na začetku je treba določiti sorte ulomkov:

• pravilno;
• narobe;
• mešano.

Nato se morate spomniti, kako se množijo delna števila z enakimi imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja preprostih ulomkov z enakimi imenovalci je izraz v ulomku, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa produkt imenovalcev teh ulomkov. . To pomeni, da je novi imenovalec kvadrat enega od prvotno obstoječih.

Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Edina razlika je v tem, da bo nastalo število pod ulomkovo zmnožek različnih števil in seveda kvadrata enega številski izraz nemogoče ga je poimenovati.

Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primeri uporabljajo načine za zmanjševanje ulomkov. S števili imenovalca lahko zmanjšate le števila števca, sosednjih faktorjev nad ali pod ulomkovo palico pa ni mogoče zmanjšati.

Poleg preprostih ulomkov obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in delnega dela, to je vsota teh števil:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako deluje množenje?

Za razmislek je na voljo več primerov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primer uporablja množenje števila s navaden ulomek, lahko zapišete pravilo za to dejanje s formulo:

a* b/c = a*b /c.

Pravzaprav je tak izdelek vsota enakih frakcijskih ostankov in število členov to kaže naravno število. poseben primer:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Obstaja še ena možnost za reševanje množenja števila z delnim ostankom. Preprosto delite imenovalec s tem številom:

d* e/f = e/f: d.

Koristno je uporabiti to tehniko, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, popolnoma.

Mešana števila pretvorite v neprave ulomke in dobite zmnožek na prej opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ta primer vključuje metodo predstavitve mešana frakcija v napačno, se lahko predstavi tudi kot splošna formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemer se imenovalec novega ulomka tvori tako, da se celoštevilski del pomnoži z imenovalcem in ga doda števcu prvotnega ulomkovega ostanka, imenovalec pa ostane enak.

Ta postopek deluje tudi v hrbtna stran. Če želite izbrati celoštevilski del in delni ostanek, morate števec nepravilnega ulomka razdeliti na njegov imenovalec z "vogalom".

Množenje nepravih ulomkov proizvedeno na običajen način. Ko gre vnos pod eno samo ulomkovo črto, morate po potrebi zmanjšati ulomke, da s to metodo zmanjšate števila in lažje izračunate rezultat.

Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje celo zapletenih matematičnih problemov v različnih različicah programa. Zadostno število takih storitev ponuja svojo pomoč pri štetju množenja ulomkov različne številke v imenovalcih – tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne le množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste računske operacije z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Z njim je enostavno delati, na strani spletnega mesta so izpolnjena ustrezna polja, izbran je znak matematično dejanje in kliknite "izračunaj". Program samodejno šteje.

Tema aritmetičnih operacij z ulomki je pomembna v celotnem izobraževanju srednješolskih in višjih šolarjev. V srednji šoli ne obravnavajo več najpreprostejše vrste, ampak celi ulomki, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračune, pridobljeno prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro pridobljeno osnovno znanje daje popolno zaupanje v uspešno reševanje najzahtevnejših nalog.

Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je delček. Ni v moči človeka, da poveča svoj števec - svoje zasluge, lahko pa vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.

Prej ali slej se vsi otroci v šoli začnejo učiti ulomke: njihovo seštevanje, deljenje, množenje in vse možna dejanja, kar je mogoče izvesti samo z ulomki. Da bi otroku zagotovili ustrezno pomoč, starši sami ne bi smeli pozabiti, kako so cela števila razdeljena na ulomke, sicer mu ne boste mogli nikakor pomagati, ampak ga samo zmedite. Če si morate zapomniti to dejanje, vendar ne morete združiti vseh informacij v svoji glavi v eno pravilo, vam bo ta članek pomagal: naučili se boste, kako število deliti z ulomkom, in si oglejte ilustrativne primere.

Kako razdeliti število na ulomek

Zapišite svoj primer na osnutek, da si boste lahko delali zapiske in madeže. Ne pozabite, da je celo število zapisano med celicami, tik ob njihovem presečišču, in ulomki - vsako v svoji celici.

• IN ta metoda ulomek morate obrniti na glavo, to je, da zapišete imenovalec v števec in števec v imenovalec.
• Znak deljenja je treba spremeniti v množenje.
• Zdaj morate le izvesti množenje v skladu s pravili, ki ste jih že preučili: števec se pomnoži s celim številom, imenovalec pa se ne dotika.

Seveda boste zaradi takšnega dejanja dobili zelo velika številka v števniku. V tem stanju je nemogoče pustiti delček - učitelj preprosto ne bo sprejel tega odgovora. Zmanjšajte ulomek tako, da števec delite z imenovalcem. Nastalo celo število zapišite levo od ulomka na sredino celic, ostanek pa bo nov števec. Imenovalec ostane nespremenjen.

Ta algoritem je precej preprost, tudi za otroka. Ko ga opravi pet ali šestkrat, si bo dojenček zapomnil postopek in ga bo lahko uporabil za poljubne ulomke.

Kako deliti število z decimalko

Obstajajo še druge vrste ulomkov - decimalke. Razdelitev nanje poteka po popolnoma drugačnem algoritmu. Če se soočite s takim primerom, sledite navodilom:

• Najprej pretvorite obe števili v decimalke. To je preprosto narediti: vaš delitelj je že predstavljen kot ulomek, deljivo naravno število pa ločite z vejico in tako dobite decimalni ulomek. To pomeni, da če je dividenda številka 5, dobite delček 5,0. Število morate ločiti s toliko ciframi, kolikor jih stoji za decimalno vejico in deliteljem.
• Nato morate oba decimalna ulomka narediti naravna števila. Sprva se vam bo to morda zdelo nekoliko zmedeno, vendar je najbolj hiter način delitev, ki vam bo po nekaj vadbah vzela nekaj sekund. Ulomek 5,0 bo postal številka 50, ulomek 6,23 pa 623.
• Naredi delitev. Če se je izkazalo, da so številke velike ali pa se bo delitev zgodila z ostankom, jo ​​izvedite v stolpcu. Tako boste jasno videli vsa dejanja tega primera. Ni vam treba posebej postaviti vejice, saj se bo pojavila v procesu delitve v stolpec.

Tovrstno deljenje se na začetku zdi preveč zmedeno, saj morate dividendo in delitelj spremeniti v ulomek in nato nazaj v naravna števila. Toda po kratkem treningu boste takoj začeli videti tiste številke, ki jih morate le deliti med seboj.

Ne pozabite, da je sposobnost pravilne delitve ulomkov in celih števil nanje lahko uporabna večkrat v življenju, zato mora otrok ta pravila in preprosta načela popolnoma poznati, da v starejših razredih ne postanejo kamen spotike, zaradi katerega otrok se ne more odločiti za zahtevnejše naloge.

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomnim vas: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Na primer:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ne potrebujem ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Na primer:

Če je ujeto množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju iz celega števila z enoto v imenovalcu naredimo ulomek - in gremo! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako ta ulomek spraviti v spodobno obliko? Da, zelo enostavno! Uporabite delitev na dve točki:

Ne pozabite pa na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Občutite razliko? 4 in 1/9!

Kakšen je vrstni red delitve? Ali oklepaji ali (kot tukaj) dolžina vodoravnih pomišljajev. Razviti oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli-množi po vrsti, od leve proti desni!

In še en zelo preprost in pomemben trik. Pri akcijah z diplomami vam bo prišel prav! Enoto delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In vedno se zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le obrnjen.

To so vsa dejanja z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Opomba praktičen nasvet, pa jih (napak) bo manj!

Praktični nasveti:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso običajne besede, ne dobre želje! To je huda potreba! Vse izračune na izpitu opravite kot popolno nalogo, zbrano in jasno. Bolje je, da napišete dve dodatni vrstici v osnutku, kot da se motite pri računanju v glavi.

2. V primerih z različni tipi ulomki - pojdite na navadne ulomke.

3. Vse ulomke zmanjšamo do konca.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

5. Enoto v mislih razdelimo na ulomek, preprosto tako, da ulomek obrnemo.

Tukaj so naloge, ki jih morate opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale te teme in praktične nasvete. Ocenite, koliko primerov bi lahko rešili pravilno. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...

Zapomni si pravilen odgovor pridobljeno iz drugega (predvsem tretjega) časa - ne šteje! Tako je kruto življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je priprava na izpit. Rešimo primer, preverimo, rešimo naslednji. Odločili smo se za vse – ponovno smo preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.

Izračunajte:

Ste se odločili?

Iščete odgovore, ki ustrezajo vašim. Zapisal sem jih posebej v zmešnjavi, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

In zdaj sklepamo. Če je vse uspelo - veselo za vas! Elementarni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne...

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak to rešljiv Težave.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Za reševanje različnih nalog iz tečaja matematike mora fizika deliti ulomke. To je zelo enostavno narediti, če veste določena pravila izvede to matematično operacijo.

Preden nadaljujemo z oblikovanjem pravila o tem, kako deliti ulomke, se spomnimo nekaj matematičnih izrazov:

1. Zgornji del ulomka se imenuje števec, spodnji pa imenovalec.
2. Pri deljenju se števila imenujejo takole: dividenda: delitelj \u003d količnik

Kako deliti ulomke: preprosti ulomki

Če želite razdeliti dva preprosta ulomka, pomnožite dividendo z recipročno vrednostjo delitelja. Ta ulomek se imenuje tudi obrnjen na drug način, ker ga dobimo kot rezultat zamenjave števca in imenovalca. Na primer:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kako delimo ulomke: mešani ulomki

Če moramo razdeliti mešane frakcije, potem je tudi tukaj vse precej preprosto in jasno. Najprej pretvorite mešani ulomek v navadni nepravi ulomek. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec takega ulomka s celim številom in dobljenemu produktu dodamo števec. Posledično smo dobili nov števec mešanega ulomka, njegov imenovalec pa bo ostal nespremenjen. Nadaljnja delitev ulomkov bo izvedena na enak način kot delitev preprostih ulomkov. Na primer:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kako deliti ulomek s številom

Da bi delili enostavni ulomek na število, naj bo slednje zapisano kot ulomek (nepravilno). To je zelo enostavno narediti: to število je napisano namesto števca, imenovalec takega ulomka pa je enak eni. Nadaljnja delitev se izvede na običajen način. Poglejmo si to na primeru:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kako deliti decimalke

Odrasla oseba ima pogosto težave, če je potrebno, brez pomoči kalkulatorja, da celo število ali decimalni ulomek razdeli na decimalni ulomek.

Torej narediti delitev decimalni ulomki, morate le prečrtati vejico v delilniku in nehati biti pozoren na to. V delitelju je treba vejico premakniti v desno natanko za toliko znakov, kot je bilo v ulomku delitelja, po potrebi dodati ničle. In nato naredite običajno deljenje s celim številom. Da bo to bolj jasno, vzemimo naslednji primer.