V petem stoletju pr starogrški filozof Zenon iz Eleje je oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija "Ahil in želva". Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ko Ahil preteče to razdaljo, se želva plazi sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, bo želva prilezla še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval v nedogled, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert ... Vsi so tako ali drugače upoštevali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, kaj je prevara.

Z vidika matematike je Zenon v svoji aporiji nazorno prikazal prehod od vrednote k. Ta prehod pomeni uporabo namesto konstant. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen za Zenonove aporije. Uporaba naše običajne logike nas vodi v past. Mi, po inerciji razmišljanja, uporabljamo stalne enote časa za recipročne. S fizičnega vidika je videti, kot da se čas upočasni in popolnoma ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo logiko, ki smo je vajeni, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo "Ahil neskončno hitro prehitel želvo."

Kako se izogniti tej logični pasti? ostani notri stalne enote meritve časa in ne skačite na vzajemnosti. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče tisoč korakov, se želva plazi sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, enakem prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev Težave. Einsteinova izjava o nepremostljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo šele preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija pripoveduje o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tu je treba opozoriti še na eno točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Za določitev dejstva gibanja avtomobila sta potrebni dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ju ni mogoče uporabiti za določitev razdalje. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru hkrati, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala). Na kaj se želim osredotočiti Posebna pozornost, je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Zelo dobro so razlike med množico in množico opisane v Wikipediji. Gledamo.

Kot lahko vidite, »množica ne more imeti dveh enakih elementov«, če pa so v množici enaki elementi, se taka množica imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne logike absurda. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, pri katerih je um odsoten od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom med preizkusi mostu. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo "pozor, jaz sem v hiši", oziroma "matematika preučuje abstraktne pojme", obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Matematiko smo učili zelo dobro in zdaj sedimo za blagajno in izplačujemo plače. Tukaj pride matematik k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en bankovec in damo matematiku njegov "matematični plačni niz". Matematiko razložimo, da bo ostale račune dobil šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala poslanska logika: »za druge lahko, zame pa ne!« Nadalje se bodo začela zagotavljanja, da so na bankovcih istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za enake elemente. No, plačo štejemo v kovancih - na kovancih ni številk. Tukaj se bo matematik mrzlično spomnil fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov za vsak kovanec je edinstvena ...

In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je meja, za katero se elementi množice spreminjajo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanosti tu ni niti blizu.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območje polj je enako, kar pomeni, da imamo multiset. Če pa upoštevamo imena istih stadionov, dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Kako prav? In tukaj matematik-šaman-šuler vzame iz rokava adutnega asa in nam začne pripovedovati bodisi o množici bodisi o množici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnega koli "predstavljivo kot neenotna celota" ali "nepredstavljivo kot ena sama celota".

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a za to so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran »Vsota števk števila«. Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so števila grafični simboli, s katerimi zapisujemo števila, v jeziku matematike pa naloga zveni takole: "Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število." Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa ga elementarno zmorejo.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako, recimo, da imamo številko 12345. Kaj je treba narediti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v številčni grafični simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno prejeto sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo ločene številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštejte dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so "tečaji krojenja in šivanja" šamanov, ki jih uporabljajo matematiki. A to še ni vse.

Z vidika matematike ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme pri obračunu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, razmislite o številki 26 iz članka o. Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo obravnavali pod drobnogledom, to smo že storili. Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je tako, kot da bi iskanje ploščine pravokotnika v metrih in centimetrih dalo popolnoma drugačne rezultate.

Ničla v vseh številskih sistemih izgleda enako in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označuje tisto, kar ni število? Kaj, za matematike ne obstaja nič drugega kot številke? Za šamane to lahko dovolim, za znanstvenike pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote števil. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je, ko je rezultat matematično dejanje ni odvisen od vrednosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo izvaja to dejanje.

Znak na vratih Odpre vrata in reče:

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje neomejene svetosti duš ob vnebohodu v nebesa! Nimbus na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol je moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan vrti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se potrudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (sestav več slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In tega dekleta nimam za norca, ki ne pozna fizike. Ima samo lok stereotipa dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "pokakajoči moški" ali številka "šestindvajset" v heksadecimalni sistem obračunavanje. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Potenciranje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila samega s seboj. Predstavimo formulo: a1 * a2 * ... * an = an.

Na primer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Na splošno se potenciranje pogosto uporablja v različnih formulah v matematiki in fiziki. Ta funkcija ima bolj znanstveni namen kot štiri osnovne: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.

Dvig števila na potenco

Dvig števila na potenco ni težka operacija. Povezan je z množenjem kot razmerje med množenjem in seštevanjem. Zapis an - kratek zapis n-tega števila števil "a", pomnoženih med seboj.

Upoštevajte kvečjemu potenciranje preprosti primeri prehajamo na zapletene.

Na primer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Štiri na kvadrat (na drugo potenco) je enako šestnajst. Če ne razumete množenja 4 * 4, potem preberite naš članek o množenju.

Poglejmo še en primer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubičnih (na tretjo potenco) je enako sto petindvajset.

Drug primer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubnih je sedemsto devetindvajset.

Formule za potenciranje

Za pravilno povišanje na potenco si morate zapomniti in poznati spodnje formule. V tem ni nič drugega kot naravno, glavna stvar je razumeti bistvo in potem si jih ne bodo le zapomnili, ampak se bodo tudi zdeli enostavni.

Dvig monoma na potenco

Kaj je monom? To je zmnožek števil in spremenljivk v kateri koli količini. Na primer, dva je monom. In ta članek govori o dvigu takšnih monomov na potenco.

S pomočjo formul za potenciranje ne bo težko izračunati stopnjevanja monoma na potenco.

na primer (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Če monom dvignemo na potenco, potem se vsaka komponenta monoma dvigne na potenco.

Ko spremenljivko, ki že ima stopnjo, dvignemo na potenco, se stopnje pomnožijo. Na primer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Dvig na negativno potenco

Negativni eksponent je recipročna vrednost števila. Kaj je recipročnost? Za poljubno število X je recipročna vrednost 1/X. To je X-1=1/X. To je bistvo negativne stopnje.

Razmislite o primeru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Zakaj? Ker je v stopnji minus, ta izraz preprosto prenesemo na imenovalec in ga nato dvignemo na tretjo potenco. Ravno prav?

Dvig na ulomek

Začnimo razpravo o konkreten primer. 43/2. Kaj pomeni moč 3/2? 3 - števec, pomeni dvig števila (v tem primeru 4) na kocko. Število 2 je imenovalec, to je ekstrakcija drugega korena števila (v tem primeru 4).

Nato dobimo kvadratni koren iz 43 = 2^3 = 8 . Odgovor: 8.

Torej je imenovalec delne stopnje lahko 3 ali 4 in do neskončnosti poljubno število, to število pa določa stopnjo kvadratni koren izvlečeno iz dane številke. Seveda imenovalec ne more biti nič.

Dvigovanje korena na moč

Če je koren dvignjen na potenco, ki je enaka potenci samega korena, potem je odgovor radikalni izraz. Na primer, (√x)2 = x. In tako v vsakem primeru enakosti stopnje korena in stopnje dviga korena.

Če (√x)^4. Potem (√x)^4=x^2. Za preverjanje rešitve prevedemo izraz v izraz z delno stopnjo. Ker je koren kvadraten, je imenovalec 2. In če koren dvignemo na četrto potenco, je števec 4. Dobimo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

Kakorkoli že najboljša možnost preprosto pretvorite izraz v izraz z ulomkom. Če se ulomek ne zmanjša, potem bo tak odgovor, pod pogojem, da koren danega števila ni dodeljen.

Potenciranje kompleksnega števila

Kaj je kompleksno število? Kompleksno število je izraz, ki ima formulo a + b * i; a, b sta realna števila. i je število, ki pri kvadriranju da število -1.

Razmislite o primeru. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na tečaj »Pospešite mentalno štetje, NE mentalno aritmetiko«, da se naučite hitro in pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadrirati števila in celo vaditi koren. V 30 dneh se boste naučili z enostavnimi triki poenostaviti aritmetične operacije. Vsaka lekcija vsebuje nove tehnike, jasne primere in uporabne naloge.

Potenciranje na spletu

S pomočjo našega kalkulatorja lahko izračunate potenciranje števila na potenco:

Potenciranje 7. razred

Dvig na moč začne prehajati šolarje šele v sedmem razredu.

Potenciranje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila samega s seboj. Predstavimo formulo: a1 * a2 * … * an=an .

na primer a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primeri rešitev:

Predstavitev stopnjevanja

Predstavitev o potenciranju, namenjena sedmošolcem. Predstavitev bo morda razjasnila nekatere nerazumljive točke, vendar jih po zaslugi našega članka verjetno ne bo.

Izid

Upoštevali smo le vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - prijavite se na naš tečaj: Pospešite mentalno štetje - NE mentalno aritmetiko.

Na tečaju se ne boste le naučili na desetine trikov za poenostavljeno in hitro množenje, seštevanje, množenje, deljenje, računanje odstotkov, rešili pa jih boste tudi v posebnih nalogah in poučnih igrah! Tudi miselno štetje zahteva veliko pozornosti in koncentracije, ki se aktivno urita pri reševanju zanimivih problemov.

Ena glavnih značilnosti v algebri in pravzaprav v vsej matematiki je diploma. Seveda je v 21. stoletju vse izračune mogoče izvesti na spletnem kalkulatorju, vendar je za razvoj možganov bolje, da se naučite, kako to narediti sami.

V tem članku si bomo ogledali največ pomembna vprašanja v zvezi s to opredelitvijo. Razumeli bomo namreč, kaj sploh je in katere so njegove glavne funkcije, katere lastnosti obstajajo v matematiki.

Poglejmo primere, kako izgleda izračun, katere so osnovne formule. Analizirajmo glavne vrste količin in kako se razlikujejo od drugih funkcij.

Razumeli bomo, kako rešiti različne probleme s to vrednostjo. S primeri bomo pokazali, kako dvigniti na nič stopinjo, iracionalno, negativno itd.

Spletni kalkulator stopnjevanja

Kaj je stopnja števila

Kaj je mišljeno z izrazom "povečanje števila na potenco"?

Stopnja n števila a je n-krat zaporedni produkt faktorjev velikosti a.

Matematično je to videti takole:

a n = a * a * a * …a n .

Na primer:

• 2 3 = 2 v tretjem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 v koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 v koraku. štiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 v 5 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 v 4 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Spodaj je tabela kvadratov in kock od 1 do 10.

Tabela stopinj od 1 do 10

Spodaj so rezultati gradnje naravna števila na pozitivne moči - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. razred	3. razred
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Lastnosti stopnje

Kaj je značilno za takšno matematično funkcijo? Poglejmo si osnovne lastnosti.

Znanstveniki so ugotovili naslednje znaki, značilni za vse stopnje:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Preverimo s primeri:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Po drugi strani pa je 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Podobno: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. V nasprotnem primeru je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Kaj pa, če je drugače? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kot lahko vidite, pravila delujejo.

Toda kako biti s seštevanjem in odštevanjem? Vse je preprosto. Najprej se izvede potenciranje, šele nato seštevanje in odštevanje.

Poglejmo si primere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Toda v tem primeru morate najprej izračunati dodatek, saj so dejanja v oklepajih: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvajati izračuni v zahtevnejših primerih? Vrstni red je enak:

• če obstajajo oklepaji, morate začeti z njimi;
• nato potenciranje;
• nato izvajajo operacije množenja, deljenja;
• po seštevanju, odštevanju.

Obstajajo posebne lastnosti, ki niso značilne za vse stopnje:

1. Koren n-te stopnje iz števila a v stopnjo m bo zapisan kot: a m / n .
2. Pri dvigovanju ulomka na potenco: temu postopku veljata tako števec kot njegov imenovalec.
3. Pri gradnji dela različne številke na potenco bo izraz ustrezal produktu teh števil na dano potenco. To je: (a * b) n = a n * b n.
4. Ko dvignete število na negativno potenco, morate 1 deliti s številom v istem koraku, vendar z znakom "+".
5. Če je imenovalec ulomka v negativni potenci, bo ta izraz enak zmnožku števca in imenovalca v pozitivni potenci.
6. Poljubno število na potenco 0 = 1 in na korak. 1 = sebi.

Ta pravila so pomembna v posameznih primerih, podrobneje jih bomo obravnavali v nadaljevanju.

Stopnja z negativnim eksponentom

Kaj storiti, ko minus stopinja, tj. kdaj je eksponent negativen?

Na podlagi lastnosti 4 in 5(glej točko zgoraj) Izkazalo se je:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

In obratno:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Kaj pa če je ulomek?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopnja z naravnim indikatorjem

Razume se kot stopnja z eksponenti, ki so enaki celim številom.

Stvari, ki si jih morate zapomniti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… itd.

Poleg tega, če je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... potem bo rezultat z znakom "+". Če negativno število dvignemo na liho potenco, potem obratno.

Zanje so značilne tudi splošne lastnosti in vse zgoraj opisane posebnosti.

Delna stopnja

Ta pogled lahko zapišemo kot shemo: A m / n. Bere se kot: koren n-te stopnje števila A na potenco m.

Z delnim indikatorjem lahko naredite karkoli: zmanjšate, razstavite na dele, dvignete na drugo stopnjo itd.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Naj bo α iracionalno število in A ˃ 0.

Da bi razumeli bistvo diplome s takim indikatorjem, Poglejmo različne možne primere:

• A \u003d 1. Rezultat bo enak 1. Ker obstaja aksiom - 1 je enako ena v vseh potencah;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 so racionalna števila;

• 0˂A˂1.

V tem primeru velja obratno: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 pod enakimi pogoji kot v drugem odstavku.

Na primer, eksponent je število π. To je racionalno.

r 1 - v tem primeru je enako 3;

r 2 - bo enako 4.

Potem je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, potem 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, potem (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Za takšne stopnje so značilne vse zgoraj opisane matematične operacije in specifične lastnosti.

Zaključek

Povzemimo - za kaj so te vrednosti, kakšne so prednosti takšnih funkcij? Seveda v prvi vrsti poenostavijo življenje matematikov in programerjev pri reševanju primerov, saj omogočajo minimiziranje izračunov, redukcijo algoritmov, sistematizacijo podatkov in še veliko več.

Kje drugje je lahko to znanje koristno? V kateri koli delovni specialnosti: medicina, farmakologija, zobozdravstvo, gradbeništvo, tehnologija, inženiring, oblikovanje itd.

lahko najdete z množenjem. Na primer: 5+5+5+5+5+5=5x6. O takem izrazu pravijo, da je bila vsota enakih členov zložena v produkt. In obratno, če to enakost beremo od desne proti levi, dobimo, da smo razširili vsoto enakih členov. Podobno lahko zložite produkt več enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5=5 6 .

To pomeni, da namesto množenja šestih enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 napišejo 5 6 in rečejo "pet na šesto potenco."

Izraz 5 6 je potenca števila, kjer je:

5 - osnova diplome;

6 - eksponent.

Imenujemo operacije, s katerimi zmnožek enakih faktorjev zložimo v potenco potenciranje.

IN splošni pogled stopnja z osnovo "a" in eksponentom "n" je zapisana kot

Povečanje števila a na potenco n pomeni iskanje produkta n faktorjev, od katerih je vsak enak a

Če je osnova stopnje "a" 1, potem bo vrednost stopnje za kateri koli naravni n enaka 1. Na primer, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Če povečate številko "a", povečajte na prve stopnje, potem dobimo samo število a: a 1 = a

Če katero koli številko dvignete na nič stopinje, potem kot rezultat izračunov dobimo enega. a 0 = 1

Druga in tretja potenca števila veljata za posebne. Izmislili so jim imena: druga stopnja se imenuje kvadrat števila, tretji - kocka to številko.

Vsako število je mogoče dvigniti na potenco - pozitivno, negativno ali nič. Vendar se naslednja pravila ne uporabljajo:

Pri iskanju stopnje pozitivnega števila dobimo pozitivno število.

Pri izračunu nič v naravi dobimo nič.

x m h n = x m + n

na primer: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Za deliti diplome z iste podlage osnove ne spreminjamo, ampak eksponente odštejemo:

x m / x n \u003d x m - n , Kje, m > n

na primer: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Pri izračunu potenciranje Osnove ne spreminjamo, ampak eksponente med seboj pomnožimo.

(pri m )n = y m n

na primer: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

na primer: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Pri izvajanju izračunov za potenciranje ulomkaštevec in imenovalec ulomka dvignemo na dano potenco

(x/y)n = x n / y n

na primer: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Zaporedje izvajanja izračunov pri delu z izrazi, ki vsebujejo stopnjo.

Pri izvajanju izračunov izrazov brez oklepajev, ki vsebujejo potence, se najprej izvede potenciranje, nato operacije množenja in deljenja in šele nato operacije seštevanja in odštevanja.

Če je treba ovrednotiti izraz, ki vsebuje oklepaje, potem najprej v zgoraj navedenem vrstnem redu izvedemo izračune v oklepajih, nato pa preostala dejanja v istem vrstnem redu od leve proti desni.

Zelo široko v praktičnih izračunih se za poenostavitev izračunov uporabljajo že pripravljene tabele stopinj.

Kot veste, v matematiki ne obstajajo samo pozitivna števila, ampak tudi negativna. Če se seznanitev s pozitivnimi stopinjami začne z določitvijo površine kvadrata, potem je z negativnimi vse nekoliko bolj zapleteno.

To bi moralo biti znano:

1. Dvig števila na naravna stopnja množenje števila se imenuje (koncept števila in številke v članku bosta obravnavana kot enakovredna) samo po sebi v takšni količini kot eksponent (v nadaljevanju bomo vzporedno uporabljali preprosto besedo indikator). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Na splošno je videti takole: m^n = m*m*m*…*m (n-krat).
2. Upoštevati je treba, da ko negativno število dvignemo na naravno potenco, bo postalo pozitivno, če je eksponent sod.
3. Z dvigom števila na eksponent 0 dobimo enoto, pod pogojem, da ni enaka nič. Nič na ničelno potenco velja za nedefinirano. 17^0 = 1.
4. Izvleček korena določene stopnje iz števila se imenuje iskanje števila, ki bo, ko bo dvignjeno na ustrezen indikator, dalo želeno vrednost. Torej je kubični koren iz 125 5, ker je 5^3 = 125.
5. Če želite število dvigniti na pozitivno delno potenco, morate število dvigniti na imenovalec in iz njega izluščiti koren števca. 6^5/7 = 7. koren iz 6*6*6*6*6.
6. Če želite število povečati na negativni eksponent, morate najti njegovo recipročno vrednost. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Dvig števila na negativno potenco po modulu od nič do ena

Najprej se moramo spomniti kaj je modul. To je razdalja na koordinatni premici od vrednosti, ki smo jo izbrali, do izhodišča (nič koordinatne premice). Po definiciji nikoli ne more biti negativna.

Vrednost večja od nič

Z vrednostjo števke v razponu od nič do ena negativni indikator povzroči povečanje same števke. To se zgodi, ker se imenovalec zmanjša, medtem ko ostane pozitiven.

Poglejmo si primere:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Poleg tega večji kot je modul indikatorja, bolj aktivno raste številka. Ko se imenovalec nagiba k nič, se sam ulomek nagiba k plus neskončnosti.

Vrednost manjša od nič

Zdaj razmislite, kako povišati število na negativno potenco manj kot nič. Načelo je enako kot v prejšnjem delu, vendar je tu pomemben predznak eksponenta.

Poglejmo še enkrat primere:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

V tem primeru to vidimo modul še naprej raste, vendar je predznak odvisen od tega, ali je eksponent sod ali lih.

Treba je opozoriti, da če zgradimo enoto, bo vedno ostala sama. Če morate povečati število minus ena, se bo s sodim eksponentom spremenilo v eno, z lihim pa bo ostalo minus ena.

Dvigovanje na negativno celo potenco, če je modul večji od ena

Za števke, katerih modul je večji od ena, imajo svoje značilnosti delovanja. Najprej morate celoten del ulomka pretvoriti v števec, torej ga pretvoriti v nepravilen ulomek. Če imamo decimalno, potem ga je treba pretvoriti v običajnega. To se naredi na naslednji način:

• 6 celih števil 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Zdaj razmislite, kako povišati število na negativno potenco pod temi pogoji. Že iz navedenega lahko domnevamo, kaj naj pričakujemo od rezultata izračunov. Ker se dvojni ulomek med poenostavitvami obrne, se bo modul števke zmanjšal tem hitreje, čim večji je modul indikatorja.

Najprej razmislite o situaciji, v kateri dano število je pozitivno.

Najprej postane jasno, da bo končni rezultat večji od nič, saj deljenje dveh pozitivnih vrednosti vedno daje pozitivno. Spet si poglejmo primere, kako se to naredi:

• 6 celo število 1/20 na minus peto potenco = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kot lahko vidite, dejanja ne povzročajo posebnih težav in vse naše začetne domneve so se izkazale za resnične.

Zdaj se obrnemo na primer negativne števke.

Za začetek lahko domnevamo, da če je kazalnik sodo, bo rezultat pozitiven, če je indikator lih, bo rezultat negativen. Vsi naši prejšnji izračuni v tem delu bodo zdaj veljavni. Ponovno si oglejmo primere:

• -3 celo število 1/2 na minus šesto potenco = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako se je vse naše sklepanje izkazalo za pravilno.

Dvigovanje v primeru negativnega delnega eksponenta

Tukaj se morate spomniti, da takšna erekcija obstaja izločanje korena stopnje imenovalca iz števila v stopnji števca. Vsa naša dosedanja razmišljanja ostajajo resnična tudi tokrat. Razložimo naša dejanja s primerom:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

V tem primeru, morate imeti v mislih, da pridobivanje korenin visoka stopnja možno je le v posebej izbrani obliki in najverjetneje se z natančnimi izračuni ne boste mogli znebiti znaka radikala (kvadratni koren, kubični koren itd.).

Kljub temu, ko smo podrobno preučili prejšnja poglavja, ne smemo pričakovati težav pri šolskih izračunih.

Opozoriti je treba, da opis tega poglavja vključuje tudi erekcija z namenoma iracionalnim eksponentom, na primer, če je indikator minus PI. Delovati morate v skladu z zgoraj opisanimi načeli. Vendar izračuni v takih primerih postanejo tako zapleteni, da jih zmorejo le zmogljivi elektronski računalniki.

Zaključek

Dejanje, ki smo ga preučevali je ena najtežjih nalog v matematiki(zlasti v primeru delno racionalne ali iracionalne vrednosti). Vendar po podrobnem študiju in korak za korakom ta priročnik, se lahko brez težav naučite, kako to storiti na popolnoma avtomatskem.