V tem videu si bomo ogledali celoten komplet. linearne enačbe, ki jih rešuje isti algoritem – zato jih imenujemo najpreprostejši.

Za začetek opredelimo: kaj je linearna enačba in katero od njih bi morali imenovati najpreprostejšo?

Linearna enačba je tista, v kateri je samo ena spremenljivka in le na prvi stopnji.

Najenostavnejša enačba pomeni konstrukcijo:

Vse ostale linearne enačbe so reducirane na najpreprostejše z uporabo algoritma:

1. odprti oklepaji, če obstajajo;
2. Premakni izraze, ki vsebujejo spremenljivko, na eno stran znaka enačaja, izraze brez spremenljivke pa na drugo;
3. Podobne izraze postavite levo in desno od znaka enačaja;
4. Dobljeno enačbo delite s koeficientom spremenljivke $x$ .

Seveda ta algoritem ne pomaga vedno. Dejstvo je, da se včasih po vseh teh mahinacijah izkaže, da je koeficient spremenljivke $x$ enak nič. V tem primeru sta možni dve možnosti:

1. Enačba sploh nima rešitev. Na primer, ko dobite nekaj takega kot $0\cdot x=8$, tj. na levi je nič, na desni pa je število, ki ni nič. V spodnjem videoposnetku si bomo ogledali več razlogov, zakaj je to stanje možno.
2. Rešitev so vse številke. Edini primer, ko je to mogoče, je, ko je enačba reducirana na konstrukcijo $0\cdot x=0$. Povsem logično je, da ne glede na to, kateri $x$ zamenjamo, se bo še vedno izkazalo, da je "nič enaka nič", tj. pravilna številčna enakost.

In zdaj poglejmo, kako vse deluje na primeru resničnih težav.

Primeri reševanja enačb

Danes se ukvarjamo z linearnimi enačbami, in to samo z najpreprostejšimi. V splošnem linearna enačba pomeni vsako enakost, ki vsebuje natanko eno spremenljivko in gre samo na prvo stopnjo.

Takšne konstrukcije so rešene na približno enak način:

1. Najprej morate odpreti oklepaje, če obstajajo (kot v našem zadnjem primeru);
2. Potem prinesite podobno
3. Na koncu izolirajte spremenljivko, tj. vse, kar je povezano s spremenljivko - izrazi, v katerih je vsebovana - se prenese na eno stran, vse, kar ostane brez nje, pa se prenese na drugo stran.

Potem morate praviloma prinesti podobno na vsaki strani nastale enakosti, nato pa ostane samo deliti s koeficientom pri "x" in dobili bomo končni odgovor.

V teoriji je to videti lepo in preprosto, v praksi pa lahko celo izkušeni srednješolci naredijo žaljive napake v precej preprostih linearnih enačbah. Običajno pride do napak ali pri odpiranju oklepajev ali pri štetju "plusov" in "minusov".

Poleg tega se zgodi, da linearna enačba sploh nima rešitev ali pa je rešitev celotna številska premica, tj. poljubno število. Te podrobnosti bomo analizirali v današnji lekciji. Začeli pa bomo, kot ste že razumeli, z največ preproste naloge.

Shema za reševanje preprostih linearnih enačb

Za začetek naj še enkrat napišem celotno shemo za reševanje najenostavnejših linearnih enačb:

1. Razširite oklepaje, če obstajajo.
2. Ločite spremenljivke, tj. vse, kar vsebuje "x", se prenese na eno stran in brez "x" - na drugo.
3. Predstavljamo podobne izraze.
4. Vse delimo s koeficientom pri "x".

Seveda ta shema ne deluje vedno, ima določene tankosti in trike, zdaj pa jih bomo spoznali.

Reševanje realnih primerov enostavnih linearnih enačb

Naloga #1

V prvem koraku moramo odpreti oklepaje. Vendar jih v tem primeru ni, zato ta korak preskočimo. V drugem koraku moramo izolirati spremenljivke. Opomba: pogovarjamo se le o posameznih terminih. Zapišimo:

Na levi in ​​desni podajamo podobne izraze, vendar je bilo to že narejeno tukaj. Zato nadaljujemo s četrtim korakom: delimo s faktorjem:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tukaj smo dobili odgovor.

Naloga št. 2

Pri tej nalogi lahko opazimo oklepaje, zato jih razširimo:

Tako na levi kot na desni vidimo približno enako konstrukcijo, vendar ravnajmo po algoritmu, tj. sekvestrske spremenljivke:

Tukaj je nekaj podobnih:

Pri katerih koreninah to deluje? Odgovor: za katero koli. Zato lahko zapišemo, da je $x$ poljubno število.

Naloga #3

Tretja linearna enačba je že bolj zanimiva:

\[\levo(6-x \desno)+\levo(12+x \desno)-\levo(3-2x \desno)=15\]

Tukaj je več oklepajev, ki pa niso pomnoženi z ničemer, imajo le različne znake pred seboj. Razčlenimo jih:

Izvedemo drugi korak, ki nam je že znan:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvajamo zadnji korak- vse delite s koeficientom pri "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari, ki si jih morate zapomniti pri reševanju linearnih enačb

Če zanemarimo preveč preproste naloge, bi rad povedal naslednje:

• Kot sem rekel zgoraj, vsaka linearna enačba nima rešitve - včasih preprosto ni korenin;
• Tudi če obstajajo korenine, lahko nič pride mednje - s tem ni nič narobe.

Ničla je enaka številki kot ostale, ne smete je nekako razlikovati ali domnevati, da ste, če dobite ničlo, naredili nekaj narobe.

Druga značilnost je povezana z razširitvijo oklepajev. Upoštevajte: ko je pred njimi "minus", ga odstranimo, vendar v oklepaju spremenimo znake v nasprotje. In potem ga lahko odpremo po standardnih algoritmih: dobili bomo tisto, kar smo videli v zgornjih izračunih.

Razumevanje tega preprostega dejstva vam bo pomagalo, da se izognete neumnim in škodljivim napakam v srednji šoli, ko so takšna dejanja samoumevna.

Reševanje kompleksnih linearnih enačb

Pojdimo na več kompleksne enačbe. Zdaj bodo konstrukcije postale bolj zapletene in pri izvajanju različnih transformacij se bo pojavila kvadratna funkcija. Vendar se tega ne smete bati, ker če po avtorjevem namenu rešimo linearno enačbo, se bodo v procesu transformacije vsi monomi, ki vsebujejo kvadratno funkcijo, nujno zmanjšali.

Primer #1

Očitno je prvi korak odpiranje oklepajev. Naredimo to zelo previdno:

Zdaj pa vzemimo zasebnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tukaj je nekaj podobnih:

Očitno ta enačba nima rešitev, zato v odgovor zapišemo takole:

\[\sorta \]

ali brez korenin.

Primer #2

Izvajamo iste korake. Prvi korak:

Premaknimo vse s spremenljivko v levo in brez nje - v desno:

Tukaj je nekaj podobnih:

Očitno je, da ta linearna enačba nima rešitve, zato jo zapišemo takole:

\[\varnič\],

ali brez korenin.

Nianse rešitve

Obe enačbi sta popolnoma rešeni. Na primeru teh dveh izrazov smo se še enkrat prepričali, da tudi v najpreprostejših linearnih enačbah ni vse tako preprosto: lahko je ena ali nobena ali neskončno veliko. V našem primeru smo upoštevali dve enačbi, v obeh preprosto ni korenin.

Toda rad bi vas opozoril na drugo dejstvo: kako delati z oklepaji in kako jih razširiti, če je pred njimi znak minus. Razmislite o tem izrazu:

Preden odprete, morate vse pomnožiti z "x". Prosimo, upoštevajte: pomnožite vsak posamezen termin. V notranjosti sta dva izraza - oziroma dva izraza in se pomnoži.

In šele ko so te na videz elementarne, a zelo pomembne in nevarne preobrazbe končane, se lahko odpre oklepaj z vidika, da je za njim znak minus. Da, da: šele zdaj, ko so transformacije opravljene, se spomnimo, da je pred oklepajem znak minus, kar pomeni, da vse spodaj samo spreminja predznak. Hkrati izginejo sami oklepaji in, kar je najpomembneje, izgine tudi sprednji "minus".

Enako naredimo z drugo enačbo:

Ni naključje, da sem pozoren na ta majhna, na videz nepomembna dejstva. Ker je rešitev enačb vedno zaporedje elementarnih transformacij, kjer je nezmožnost jasne in kompetentne izvedbe preprosti koraki pripelje do tega, da srednješolci pridejo k meni in se ponovno naučijo reševati tako preproste enačbe.

Seveda bo prišel dan, ko boste te veščine izpilili do avtomatizma. Ni vam več treba vsakič izvajati toliko transformacij, vse boste zapisali v eno vrstico. Medtem ko se šele učite, morate vsako dejanje napisati posebej.

Reševanje tudi bolj zapletenih linearnih enačb

To, kar bomo zdaj rešili, težko imenujemo najpreprostejša naloga, vendar pomen ostaja enak.

Naloga #1

\[\levo(7x+1 \desno)\levo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo vse elemente v prvem delu:

Naredimo umik:

Tukaj je nekaj podobnih:

Naredimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tukaj je naš končni odgovor. In kljub temu, da smo imeli v procesu reševanja koeficiente s kvadratno funkcijo, pa so se ti med seboj izničili, zaradi česar je enačba ravno linearna, ne kvadratna.

Naloga št. 2

\[\levo(1-4x \desno)\levo(1-3x \desno)=6x\levo(2x-1 \desno)\]

Prvi korak naredimo previdno: vsak element v prvem oklepaju pomnožimo z vsakim elementom v drugem. Skupno bi morali po transformacijah pridobiti štiri nove izraze:

In zdaj previdno izvedite množenje v vsakem izrazu:

Premaknimo izraze z "x" v levo in brez - v desno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tukaj so podobni izrazi:

Prejeli smo dokončen odgovor.

Nianse rešitve

Najpomembnejša opomba o teh dveh enačbah je naslednja: takoj ko začnemo množiti oklepaje, v katerih je več kot en člen, potem to storimo po naslednjem pravilu: vzamemo prvi člen iz prvega in pomnožimo z vsakim elementom od drugega; potem vzamemo drugi element iz prvega in podobno pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Kot rezultat dobimo štiri izraze.

O algebraični vsoti

V zadnjem primeru bi rad študente spomnil, kaj je algebraična vsota. V klasični matematiki z $1-7$ mislimo na preprosto konstrukcijo: od ena odštejemo sedem. V algebri s tem mislimo naslednje: številu "ena" dodamo drugo število, in sicer "minus sedem." Ta algebraična vsota se razlikuje od običajne aritmetične vsote.

Takoj, ko pri izvajanju vseh transformacij, vsakega seštevanja in množenja začnete videti konstrukcije, podobne zgoraj opisanim, preprosto ne boste imeli nobenih težav v algebri pri delu s polinomi in enačbami.

Za zaključek si poglejmo še nekaj primerov, ki bodo še bolj zapleteni od teh, ki smo si jih pravkar ogledali, in da bi jih rešili, bomo morali nekoliko razširiti naš standardni algoritem.

Reševanje enačb z ulomkom

Za rešitev takšnih nalog bo treba našemu algoritmu dodati še en korak. Najprej pa bom spomnil na naš algoritem:

1. Odprti oklepaji.
2. Ločene spremenljivke.
3. Prinesite podobno.
4. Deli s faktorjem.

Žal, ta čudoviti algoritem kljub vsej svoji učinkovitosti ni povsem primeren, ko imamo pred seboj ulomke. In v tem, kar bomo videli spodaj, imamo ulomek na levi in ​​na desni v obeh enačbah.

Kako delati v tem primeru? Da, zelo preprosto je! Če želite to narediti, morate algoritmu dodati še en korak, ki ga je mogoče izvesti pred prvim dejanjem in po njem, in sicer, da se znebite ulomkov. Tako bo algoritem naslednji:

1. Znebite se ulomkov.
2. Odprti oklepaji.
3. Ločene spremenljivke.
4. Prinesite podobno.
5. Deli s faktorjem.

Kaj pomeni "znebiti se ulomkov"? In zakaj je to mogoče storiti po in pred prvim standardnim korakom? Pravzaprav so v našem primeru vsi ulomki številski glede na imenovalec, tj. povsod je imenovalec samo število. Če torej oba dela enačbe pomnožimo s tem številom, se bomo znebili ulomkov.

Primer #1

\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]

Znebimo se ulomkov v tej enačbi:

\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Prosimo, upoštevajte: vse se enkrat pomnoži s "štiri", tj. samo zato, ker imate dva oklepaja, ne pomeni, da morate vsakega od njih pomnožiti s "štiri". Zapišimo:

\[\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Zdaj pa ga odpremo:

Izvedemo izločitev spremenljivke:

Izvajamo znižanje podobnih pogojev:

\[-4x=-1\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Prejeli smo končno rešitev, preidemo na drugo enačbo.

Primer #2

\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]

Tukaj izvajamo vsa ista dejanja:

\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem rešen.

To je pravzaprav vse, kar sem danes hotela povedati.

Ključne točke

Ključne ugotovitve so naslednje:

• Poznati algoritem za reševanje linearnih enačb.
• Možnost odpiranja oklepajev.
• Ne skrbite, če imate nekje kvadratne funkcije, najverjetneje se bodo v procesu nadaljnjih transformacij zmanjšale.
• Korenine v linearnih enačbah, tudi najpreprostejših, so treh vrst: en sam koren, celotna številska premica je koren, korenin sploh ni.

Upam, da vam bo ta lekcija pomagala obvladati preprosto, a zelo pomembno temo za nadaljnje razumevanje celotne matematike. Če nekaj ni jasno, pojdite na spletno mesto in rešite tam predstavljene primere. Ostanite z nami, čaka vas še veliko zanimivega!

Ta del enačbe je izraz v oklepaju. Če želite odpreti oklepaj, poglejte znak pred oklepajem. Če je znak plus, se pri razširitvi oklepajev v zapisu izraza ne bo nič spremenilo: samo odstranite oklepaje. Če je znak minus, je treba pri odpiranju oklepajev spremeniti vse znake, ki so na začetku v oklepajih, v nasprotne. Na primer -(2x-3)=-2x+3.

Množenje dveh oklepajev.
Če enačba vsebuje produkt dveh oklepajev, razširite oklepaje v skladu s standardnim pravilom. Vsak člen prvega oklepaja se pomnoži z vsakim členom drugega oklepaja. Dobljene številke se seštejejo. V tem primeru zmnožek dveh "plusov" ali dveh "minusov" daje izrazu predznak "plus", in če imata faktorja različna predznaka, dobi predznak "minus".
Razmislite.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Z razširitvijo oklepajev, včasih povišanjem izraza v . Formule za kvadriranje in kockanje je treba poznati na pamet in si jih zapomniti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formule za povečanje izraza, večjega od tri, je mogoče narediti z uporabo Pascalovega trikotnika.

Viri:

• formula za odpiranje oklepaja

V oklepaju matematične operacije lahko vsebuje spremenljivke in izraze različne stopnje težave. Za množenje takih izrazov bo treba rešitev iskati v splošni pogled, razširitev oklepajev in poenostavitev rezultata. Če oklepaji vsebujejo operacije brez spremenljivk, samo s številčne vrednosti, potem ni treba odpreti oklepajev, saj če je računalnik na voljo uporabniku, so na voljo zelo pomembni računalniški viri - lažje jih je uporabiti kot poenostaviti izraz.

Navodilo

Če želite dobiti splošen rezultat, zaporedoma pomnožite vse (ali zmanjšajte) vsebovane v enem oklepaju z vsebino vseh drugih oklepajev. Na primer, naj bo izvirni izraz zapisan takole: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Potem bo zaporedno množenje (to je razširitev oklepajev) dalo naslednji rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Poenostavite po rezultatu s skrajšanjem izrazov. Na primer, izraz, dobljen v prejšnjem koraku, lahko poenostavimo na naslednji način: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Uporabite kalkulator, če morate pomnožiti x, ki je enak 4,75, to je (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Če želite izračunati to vrednost, pojdite na spletno mesto iskalnika Google ali Nigma in v polje za poizvedbo vnesite izraz v izvirni obliki (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google bo prikazal 82.265625 takoj, brez pritiska na gumb, medtem ko mora Nigma poslati podatke na strežnik s pritiskom na gumb.

Zdaj bomo samo prešli na odpiranje oklepajev v izrazih, v katerih je izraz v oklepajih pomnožen s številom ali izrazom. Oblikujmo pravilo za odpiranje oklepajev pred znakom minus: oklepaje skupaj z znakom minus izpustimo, znake vseh izrazov v oklepajih pa nadomestimo z nasprotnimi znaki.

Ena vrsta transformacije izraza je razširitev oklepajev. številčno, dobesedni izrazi in izrazi s spremenljivkami so sestavljeni z uporabo oklepajev, ki lahko nakazujejo vrstni red izvajanja dejanj, vsebujejo negativno število itd. Predpostavimo, da so lahko v zgoraj opisanih izrazih namesto števil in spremenljivk poljubni izrazi.

In bodimo pozorni na še eno točko glede posebnosti pisanja rešitve pri odpiranju oklepajev. V prejšnjem odstavku smo obravnavali tako imenovano razširitev oklepajev. Če želite to narediti, obstajajo pravila za odpiranje oklepajev, ki jih zdaj pregledujemo. To pravilo narekuje dejstvo, da je običajno pozitivna števila pisati brez oklepajev, oklepaji v tem primeru niso potrebni. Izraz (−3,7)−(−2)+4+(−9) lahko zapišemo brez oklepaja kot −3,7+2+4−9.

Nazadnje, tretji del pravila je preprosto posledica posebnosti zapisa negativna števila, ki stoji na levi v izrazu (ki smo ga omenili v razdelku z oklepaji za pisanje negativnih števil). Morda boste naleteli na izraze, sestavljene iz števila, znakov minus in več parov oklepajev. Če razširite oklepaje in se premikate od notranjih k zunanjim, bo rešitev: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Kako odpreti oklepaje?

Tukaj je razlaga: −(−2 x) je +2 x, in ker je ta izraz prvi, potem lahko +2 x zapišemo kot 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x in −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi del zapisanega pravila za odpiranje oklepajev neposredno izhaja iz pravila za množenje negativnih števil. Drugi del tega je posledica pravila za množenje števil z različna znamenja. Preidimo na primere razširitve oklepajev v zmnožkih in količnikih dveh števil z različnimi predznaki.

Odpiranje oklepaja: pravila, primeri, rešitve.

Zgornje pravilo upošteva celotno verigo teh dejanj in znatno pospeši postopek odpiranja oklepajev. Isto pravilo vam omogoča, da odprete oklepaje v izrazih, ki so zmnožki, in zasebnih izrazih z znakom minus, ki niso vsote in razlike.

Razmislite o primerih uporabe tega pravila. Ponujamo ustrezno pravilo. Zgoraj smo že srečali izraza v obliki −(a) in −(−a), ki ju brez oklepaja zapišemo kot −a oziroma a. Na primer −(3)=3 in. Gre za posebne primere navedenega pravila. Sedaj si oglejmo primere odpiranja oklepajev, ko so vanje zaprte vsote ali razlike. Pokazali bomo primere uporabe tega pravila. Izraz (b1+b2) označimo z b, nakar uporabimo pravilo za množenje oklepaja z izrazom iz prejšnjega odstavka, imamo (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Z indukcijo lahko to izjavo razširimo na poljubno število členov v vsakem oklepaju. Ostaja, da odpremo oklepaje v nastalem izrazu z uporabo pravil iz prejšnjih odstavkov, kot rezultat dobimo 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Pravilo v matematiki je odpiranje oklepajev, če je pred oklepajem (+) in (-), zelo potrebno pravilo

Ta izraz je produkt treh faktorjev (2+4), 3 in (5+7 8). Oklepaje je treba odpreti zaporedno. Zdaj uporabimo pravilo za množenje oklepaja s številom, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Potence, katerih osnova so nekateri izrazi, zapisani v oklepaju, z naravni indikatorji si lahko predstavljamo kot produkt več oklepajev.

Na primer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Najprej ga zapišemo kot zmnožek dveh oklepajev (a + b + c) (a + b + c), zdaj oklepaj pomnožimo z oklepajem, dobimo a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Pravimo tudi, da je za povišanje vsot in razlik dveh števil na naravno potenco priporočljivo uporabiti Newtonovo binomsko formulo. Na primer (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nič manj priročno ni, če deljenje predhodno zamenjate z množenjem in nato uporabite ustrezno pravilo za odpiranje oklepajev v produktu.

Še vedno je treba ugotoviti vrstni red odpiranja oklepajev s pomočjo primerov. Vzemite izraz (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Te rezultate nadomestite z izvirnim izrazom: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Ostaja le še dokončati odpiranje oklepajev, kot rezultat imamo −5+3 2:4+6 7. To pomeni, da so se pri prehodu z leve strani enakosti na desno stran odprli oklepaji.

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Najprej dodajte 445 k 889. To mentalno dejanje je mogoče izvesti, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjen vrstni red operacij močno poenostavil izračune.

Kako odpreti oklepaje v drugačni stopnji

Ilustrativen primer in pravilo. Razmislite o primeru: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da seštejete 2 in 5, nato pa dobljeno število vzamete z nasprotnim predznakom. Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov. Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi. Da bi odprli oklepaje, se moramo v tem primeru spomniti lastnosti distribucije.

Posamezne številke v oklepaju

Vaša napaka ni v znakih, ampak v napačnem delu z ulomki? V 6. razredu smo se seznanili s pozitivnimi in negativnimi števili. Kako bomo reševali primere in enačbe?

Koliko je v oklepajih? Kaj lahko rečemo o teh izrazih? Seveda je rezultat prvega in drugega primera enak, zato lahko med njima postavite enačaj: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Kaj smo torej naredili z oklepaji?

Predstavitev diapozitiva 6 s pravili za odpiranje oklepajev. Tako nam bodo pravila za odpiranje oklepajev pomagala rešiti primere, poenostaviti izraze. Nato so učenci povabljeni k delu v parih: s puščicami je treba povezati izraz, ki vsebuje oklepaje, z ustreznim izrazom brez oklepaja.

Slide 11 Ko sta bila v Sončnem mestu, sta se Znayka in Dunno prepirala, kdo od njiju je pravilno rešil enačbo. Nato učenci samostojno rešijo enačbo ob upoštevanju pravil za odpiranje oklepajev. Reševanje enačb »Cilji lekcije: izobraževalni (pritrjevanje ZUN-jev na temo:« Odpiranje oklepajev.

Tema lekcije: »Odpiranje oklepajev. V tem primeru morate vsak izraz iz prvih oklepajev pomnožiti z vsakim členom iz drugega oklepaja in nato sešteti rezultate. Najprej se vzameta prva dva faktorja, ki ju zadamo še v en oklepaj, znotraj teh oklepajev pa se oklepaja odpreta po enem od že znanih pravil.

rawalan.freezeet.ru

Odpiranje oklepaja: pravila in primeri (7. razred)

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti številski izrazi . Na primer, bo v številskem izrazu \(5 3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5 3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Če pa imamo opravka s algebrski izraz ki vsebuje spremenljivka- na primer tako: \ (2 (x-3) \) - potem ni mogoče izračunati vrednosti v oklepaju, spremenljivka moti. Zato se v tem primeru oklepaji »odprejo« z uporabo ustreznih pravil za to.

Pravila razširitve oklepaja

Če je pred oklepajem znak plus, se oklepaj preprosto odstrani, izraz v njem ostane nespremenjen. Z drugimi besedami:

Tukaj je treba pojasniti, da je v matematiki za zmanjšanje vnosov običajno, da se znaka plus ne piše, če je prvi v izrazu. Na primer, če seštejemo dve pozitivni števili, na primer sedem in tri, potem ne pišemo \(+7+3\), ampak preprosto \(7+3\), kljub temu, da je tudi sedem pozitivno število . Podobno, če vidite na primer izraz \((5+x)\) - vedite to pred oklepajem je plus, ki se ne piše.

Primer . Odprite oklepaj in podajte podobne izraze: \((x-11)+(2+3x)\).
rešitev : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Če je pred oklepajem znak minus, potem ko oklepaj odstranimo, vsak član izraza v njem spremeni predznak v nasprotno:

Tukaj je treba pojasniti, da je a, medtem ko je bil v oklepaju, imel znak plus (le da ga niso zapisali), po odstranitvi oklepaja pa se je ta plus spremenil v minus.

Primer : Poenostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
rešitev : v oklepaju sta dva izraza: \(-7\) in \(x\), pred oklepajem pa je minus. To pomeni, da se bosta predznaka spremenila – in sedmica bo zdaj s plusom, x pa z minusom. odprite oklepaj in prinašajo podobne pogoje .

Primer. Razširite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Če je pred oklepajem faktor, se vsak člen oklepaja pomnoži z njim, to je:

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\) ter petico pred oklepajem. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \ (5 \) - na to vas spominjam znaka za množenje med številom in oklepajem v matematiki ne pišejo zaradi zmanjšanja velikosti zapisov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se oklepaja \(-3x\) in \(5\) pomnožita z \(-2\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj odpreti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranimo prvi oklepaj - vsak njegov član se pomnoži z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite izdelke nosilca s faktorjem, kot je opisano zgoraj:
- prva prva...

Korak 3. Zdaj pomnožimo in prinesemo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba podrobno slikati, lahko jih takoj pomnožite. Če pa se šele učiš odpirati oklepaje - piši podrobno, bo manj možnosti za napako.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjamo eno, dobimo pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Če želite biti uspešni pri teh nalogah, morate:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Vzemimo za primer zgornjo nalogo.

Primer. Odprite oklepaje in podajte podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Začnimo nalogo z odpiranjem notranjega oklepaja (tistega znotraj). Ko ga odpremo, se ukvarjamo le z dejstvom, da je neposredno povezan z njim - to je sam oklepaj in minus pred njim (označeno zeleno). Vse ostalo (neizbrano) je prepisano, kot je bilo.

Reševanje nalog iz matematike na spletu

Spletni kalkulator.
Polinomska poenostavitev.
Množenje polinomov.

S tem matematičnim programom lahko poenostavite polinom.
Medtem ko program teče:
- množi polinome
- sešteva monome (da enake)
- odpre oklepaje
- Dvigne polinom na potenco

Program za poenostavljanje polinomov ne poda le odgovora na problem, temveč poda podrobno rešitev z razlago, tj. prikaže postopek reševanja, tako da lahko preverite svoje znanje matematike in/ali algebre.

Ta program je lahko koristen za študente splošne šole v pripravah na kontrolno delo in izpite, pri preverjanju znanja pred izpitom, staršem za kontrolo reševanja številnih nalog pri matematiki in algebri. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitvijo.

Na ta način lahko izvajate svoje usposabljanje in/ali usposabljanje svojega mlajši bratje ali sestre, medtem ko se raven izobrazbe na področju nalog, ki jih rešuje, zvišuje.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo rešiti težavo, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Po nekaj sekundah se spodaj prikaže rešitev.
Počakajte sekundo.

Malo teorije.

Produkt monoma in polinoma. Koncept polinoma

Med različnimi izrazi, ki jih obravnava algebra, pomembno mesto so vsote monomov. Tu so primeri takih izrazov:

Vsoto monomov imenujemo polinom. Člene v polinomu imenujemo člani polinoma. Mononome imenujemo tudi polinomi, pri čemer monom obravnavamo kot polinom, sestavljen iz enega člena.

Vse člene predstavimo kot monome standardne oblike:

V dobljenem polinomu podamo podobne izraze:

Rezultat je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

zadaj stopnja polinoma standardni obliki prevzamejo največje pristojnosti svojih članov. Torej ima binom tretjo stopnjo, trinom pa drugo.

Običajno so členi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu njenih eksponentov. Na primer:

Vsoto več polinomov lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člane polinoma razdeliti v skupine in vsako skupino zapreti v oklepaj. Ker so oklepaji nasprotje oklepajem, jih je enostavno formulirati pravila odpiranja oklepajev:

Če je pred oklepajem znak +, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi znaki.

Če je pred oklepajem znak »-«, so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo distribucijske lastnosti množenja lahko transformiramo (poenostavimo) produkt monoma in polinoma v polinom. Na primer:

Produkt monoma in polinoma je identično enak vsoti zmnožkov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno oblikovan kot pravilo.

Če želimo pomnožiti monom s polinomom, moramo ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Produkt polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je zmnožek dveh polinomov identično enak vsoti zmnožka vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno uporabite naslednje pravilo.

Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Formule za skrajšano množenje. Vsota, razlika in diferenčni kvadrati

Nekatere izraze v algebrskih transformacijah je treba obravnavati pogosteje kot druge. Morda najpogostejši izrazi so in, torej kvadrat vsote, kvadrat razlike in razlika kvadratov. Opazili ste, da se imena teh izrazov zdijo nepopolna, zato na primer - to seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b. Vendar pa kvadrat vsote a in b ni tako pogost, praviloma namesto črk a in b vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze je enostavno pretvoriti (poenostaviti) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste se že srečali s takšno nalogo pri množenju polinomov:

Dobljene identitete si je koristno zapomniti in uporabiti brez vmesnih izračunov. K temu pomagajo kratke besedne formulacije.

je kvadrat vsote je enaka vsoti kvadrati in dvojni produkt.

- kvadrat razlike je enak vsoti kvadratov brez dvojnega produkta.

- razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike z vsoto.

Te tri identitete omogočajo v preobrazbah zamenjavo svojih levih delov z desnimi in obratno - desne dele z levimi. Najtežje v tem primeru je videti ustrezne izraze in razumeti, kaj sta spremenljivki a in b v njih zamenjani. Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za skrajšano množenje.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testov OGE Spletne igre, uganke Graf funkcij Pravopisni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Imenik ruskih šol Imenik srednjih šol v Rusiji Katalog univerz v Rusiji Seznam nalog Iskanje GCD in LCM številski ulomki Reševanje nalog za odstotke Kompleksna števila: vsota, razlika, produkt in količnik Sistemi 2 linearnih enačb z dvema spremenljivkama Rešitev kvadratna enačba Izbira kvadrata binoma in faktorizacija kvadratnega trinoma Reševanje neenačb Reševanje sistemov neenačb Risanje grafa kvadratna funkcija Risanje linearno-frakcijske funkcije Reševanje aritmetike in geometrijsko napredovanje Reševanje trigonometričnih, eksponentnih, logaritemske enačbe Računanje mej, odvod, tangenta Integral, antiderivacija Reševanje trikotnikov Računanje dejanj z vektorji Računanje dejanj s premicami in ravninami Površina geometrijskih likov Obseg geometrijskih oblik Prostornina geometrijskih teles Površina geometrijskih teles
Konstruktor prometnih situacij
Vreme - novice - horoskopi

www.mathsolution.ru

Razširitev nosilca

Nadaljujemo z učenjem osnov algebre. V tej lekciji se bomo naučili odpirati oklepaje v izrazih. Razširiti oklepaje pomeni znebiti se izraza teh oklepajev.

Če želite odpreti oklepaje, se morate na pamet naučiti le dve pravili. Z redno vadbo lahko odprete oklepaje z zaprte oči in tista pravila, ki si jih je bilo treba zapomniti, lahko varno pozabite.

Prvo pravilo razširitve oklepaja

Razmislite o naslednjem izrazu:

Vrednost tega izraza je 2 . Odprimo oklepaje v tem izrazu. Razširiti oklepaje pomeni, da se jih znebite, ne da bi to vplivalo na pomen izraza. To je, potem ko se znebite oklepajev, vrednost izraza 8+(−9+3) mora biti še vedno enako dvema.

Prvo pravilo razširitve oklepaja je videti takole:

Pri odpiranju oklepajev, če je pred oklepajem plus, se ta plus izpusti skupaj z oklepaji.

Torej to vidimo v izrazu 8+(−9+3) pred oklepajem je plus. Ta plus je treba izpustiti skupaj z oklepaji. Z drugimi besedami, oklepaji bodo izginili skupaj s plusom, ki je stal pred njimi. In kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

8−9+3 . Ta izraz je enak 2 , kot je bil prejšnji izraz v oklepaju enak 2 .

8+(−9+3) in 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Primer 2 Razširite oklepaje v izrazu 3 + (−1 − 4)

Pred oklepajem je plus, zato ta plus skupaj z oklepajem izpustimo. Kar je bilo v oklepaju, bo ostalo nespremenjeno:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Primer 3 Razširite oklepaje v izrazu 2 + (−1)

V tem primeru je razširitev oklepajev postala nekakšna inverzna operacija zamenjave odštevanja s seštevanjem. Kaj to pomeni?

V izrazu 2−1 pride do odštevanja, vendar ga je mogoče nadomestiti s seštevanjem. Potem dobite izraz 2+(−1) . Če pa v izrazu 2+(−1) odprite oklepaje, dobite original 2−1 .

Zato se lahko pravilo razširitve prvega oklepaja uporabi za poenostavitev izrazov po nekaterih transformacijah. Se pravi, znebite se oklepajev in olajšajte.

Na primer, poenostavimo izraz 2a+a−5b+b .

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze. Spomnimo se, da morate za zmanjšanje podobnih členov sešteti koeficiente podobnih členov in rezultat pomnožiti s skupnim delom črke:

Dobil izraz 3a+(−4b). V tem izrazu odprite oklepaje. Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, to je, da oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji:

Torej izraz 2a+a−5b+b poenostavljeno na 3a−4b .

Ko odpremo en oklepaj, se lahko drugi srečajo na poti. Zanje veljajo enaka pravila kot za prve. Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu:

Obstajata dve mesti, kjer morate razširiti oklepaje. V tem primeru velja prvo pravilo za razširitev oklepajev, in sicer izpuščanje oklepajev skupaj s plusom pred temi oklepaji:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Primer 3 Razširite oklepaje v izrazu 6+(−3)+(−2)

Na obeh mestih, kjer so oklepaji, je pred njimi znak plus. Tukaj spet velja prvo pravilo razširitve oklepaja:

Včasih je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka. Na primer v izrazu 1+(2+3−4) prvi izraz v oklepaju 2 napisano brez znaka. Postavlja se vprašanje, kakšen znak bo pred dvojko po izpustitvi oklepaja in plusa pred oklepajem? Odgovor se nakazuje sam - pred dvojko bo plus.

Pravzaprav je tudi v oklepaju plus pred dvojko, vendar ga ne vidimo, ker ni zapisan. Rekli smo že, da izgleda celoten zapis pozitivnih števil +1, +2, +3. Toda plusi niso tradicionalno zapisani, zato vidimo pozitivna števila, ki so nam znana. 1, 2, 3 .

Zato, če želite odpreti oklepaje v izrazu 1+(2+3−4) , morate kot običajno izpustiti oklepaje skupaj s plusom pred temi oklepaji, vendar prvi izraz, ki je bil v oklepaju, zapisati z znakom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Primer 4 Razširite oklepaje v izrazu −5 + (2 − 3)

Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji. Toda prvi izraz, ki je zapisan v oklepaju z znakom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Primer 5 Razširite oklepaje v izrazu (−5)

Pred oklepajem je plus, vendar ni zapisan, ker pred njim ni bilo drugih števil ali izrazov. Naša naloga je, da odstranimo oklepaje tako, da uporabimo prvo pravilo za razširitev oklepajev, namreč izpustimo oklepaje skupaj s tem plusom (tudi če je neviden)

Primer 6 Razširite oklepaje v izrazu 2a + (−6a + b)

Pred oklepajem je plus, zato ta plus skupaj z oklepajem izpustimo. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Primer 7 Razširite oklepaje v izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

V tem izrazu morate na dveh mestih odpreti oklepaje. V obeh razdelkih je pred oklepajem plus, zato ta plus skupaj z oklepajem izpustimo. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Drugo pravilo za odpiranje oklepajev

Zdaj pa poglejmo drugo pravilo razširitve oklepaja. Uporablja se, kadar je pred oklepajem minus.

Če je pred oklepajem minus, potem ta minus skupaj z oklepajem izpustimo, izrazi, ki so bili v oklepaju, pa spremenijo predznak v nasprotno.

Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu

Vidimo, da je pred oklepajem minus. Zato morate uporabiti drugo razširitveno pravilo, in sicer izpustiti oklepaje skupaj z minusom pred temi oklepaji. V tem primeru bodo izrazi, ki so bili v oklepajih, spremenili predznak v nasprotno:

Dobili smo izraz brez oklepaja 5+2+3 . Ta izraz je enak 10, tako kot je bil prejšnji izraz z oklepaji enak 10.

Tako med izrazi 5−(−2−3) in 5+2+3 lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Primer 2 Razširite oklepaje v izrazu 6 − (−2 − 5)

Pred oklepajem je minus, zato uporabimo drugo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj z minusom, ki je pred temi oklepaji. V tem primeru so izrazi, ki so bili v oklepaju, zapisani z nasprotnimi predznaki:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Primer 3 Razširite oklepaje v izrazu 2 − (7 + 3)

Pred oklepajem je minus, zato za odpiranje oklepajev uporabimo drugo pravilo:

Primer 4 Razširite oklepaje v izrazu −(−3 + 4)

Primer 5 Razširite oklepaje v izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Obstajata dve mesti, kjer morate razširiti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev in ko pride na vrsto izraz +(−9−2) morate uporabiti prvo pravilo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Primer 6 Razširite oklepaje v izrazu −(−a−1)

Primer 7 Razširite oklepaje v izrazu −(4a + 3)

Primer 8 Razširite oklepaje v izrazu a −(4b + 3) + 15

Primer 9 Razširite oklepaje v izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Obstajata dve mesti, kjer morate razširiti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti prvo pravilo za razširitev oklepajev in ko pride na vrsto izraz −(3c+5) morate uporabiti drugo pravilo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Primer 10 Razširite oklepaje v izrazu -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Obstajajo tri mesta, kjer morate razširiti oklepaje. Najprej morate uporabiti drugo pravilo za razširitev oklepajev, nato prvo in nato spet drugo:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mehanizem za razširitev oklepajev

Pravila za odpiranje oklepajev, ki smo jih zdaj obravnavali, temeljijo na distribucijskem zakonu množenja:

Pravzaprav odpiranje oklepajev pokličite postopek, ko je skupni faktor pomnožen z vsakim členom v oklepaju. Zaradi takšnega množenja oklepaji izginejo. Na primer, razširimo oklepaje v izrazu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Torej, če morate pomnožiti število z izrazom v oklepaju (ali pomnožiti izraz v oklepaju s številom), morate reči odprite oklepaje.

Toda kako je distribucijski zakon množenja povezan s pravili za odpiranje oklepajev, ki smo jih obravnavali prej?

Dejstvo je, da je pred vsakim oklepajem skupni faktor. V primeru 3×(4+5) skupni faktor je 3 . In v primeru a(b+c) skupni faktor je spremenljivka a.

Če pred oklepaji ni števil ali spremenljivk, potem je skupni faktor 1 oz −1 , odvisno od tega, kateri znak je pred oklepajem. Če je pred oklepajem plus, potem je skupni faktor 1 . Če je pred oklepajem minus, potem je skupni faktor −1 .

Na primer, razširimo oklepaje v izrazu −(3b−1). Pred oklepajem je minus, zato morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev, to je, da oklepaje izpustite skupaj z minusom pred oklepajem. In izraz, ki je bil v oklepaju, zapišite z nasprotnimi znaki:

Oklepaj smo razširili s pravilom za razširitev oklepaja. Toda te iste oklepaje je mogoče odpreti z uporabo distribucijskega zakona množenja. Za to najprej pred oklepaje zapišemo skupni faktor 1, ki ni bil zapisan:

Minus, ki je stal pred oklepajem, se je nanašal na to enoto. Zdaj lahko odprete oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. Za to je skupni dejavnik −1 morate pomnožiti z vsakim izrazom v oklepajih in sešteti rezultate.

Za udobje zamenjamo razliko v oklepajih z vsoto:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Kot zadnjič smo dobili izraz −3b+1. Vsi se bodo strinjali, da je bilo tokrat za reševanje tako preprostega primera porabljenega več časa. Zato je bolj smiselno uporabiti že pripravljena pravila za odpiranje oklepajev, ki smo jih obravnavali v tej lekciji:

Vendar ne škodi vedeti, kako ta pravila delujejo.

V tej lekciji smo se naučili še eno enako transformacijo. Skupaj z odpiranjem oklepajev, dajanjem splošnega iz oklepaja in prinašanjem podobnih izrazov je mogoče nekoliko razširiti obseg nalog, ki jih je treba rešiti. Na primer:

Tukaj morate izvesti dve dejanji - najprej odpreti oklepaje in nato prinesti podobne pogoje. Torej po vrsti:

1) Razširite oklepaje:

2) Podajamo podobne pogoje:

V dobljenem izrazu −10b+(−1) lahko odprete oklepaje:

Primer 2 Odprite oklepaje in dodajte podobne izraze v naslednjem izrazu:

1) Razširite oklepaje:

2) Predstavljamo podobne pogoje. Zaradi prihranka časa in prostora tokrat ne bomo zapisali, kako se koeficienti množijo z navadnim črkovnim delom

Primer 3 Poenostavite izraz 8m+3m in poiščite njegovo vrednost pri m=−4

1) Najprej poenostavimo izraz. Da poenostavimo izraz 8m+3m, lahko izločite skupni faktor m za oklepaje:

2) Poiščite vrednost izraza m(8+3) pri m=−4. Za to, v izrazu m(8+3) namesto spremenljivke m zamenjajte številko −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti. Na primer, bo v številskem izrazu \(5 3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5 3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primer. Razširite oklepaj: \(-(4m+3)\).
rešitev : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primer. Razširite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa pet. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \ (5 \) - na to vas spominjam znaka za množenje med številom in oklepajem v matematiki ne pišejo zaradi zmanjšanja velikosti zapisov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se oklepaja \(-3x\) in \(5\) pomnožita z \(-2\).

Primer. Poenostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
rešitev : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj odpreti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj - vsak njegov član se pomnoži z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite izdelke nosilca s faktorjem, kot je opisano zgoraj:
- prva prva...

Potem drugi.

Korak 3. Zdaj pomnožimo in prinesemo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba podrobno slikati, lahko jih takoj pomnožite. Če pa se šele učiš odpirati oklepaje - piši podrobno, bo manj možnosti za napako.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjamo eno, dobimo pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Če želite biti uspešni pri teh nalogah, morate:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Vzemimo za primer zgornjo nalogo.

Primer. Odprite oklepaje in podajte podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Primer. Razširite oklepaje in podajte podobne izraze \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
rešitev :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		To je trojno gnezdenje oklepajev. Začnemo z najbolj notranjim (označeno z zeleno). Pred oklepajem je plus, zato ga preprosto odstranimo.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Zdaj morate odpreti drugi nosilec, vmesni. Pred tem pa bomo izraz poenostavili tako, da bomo podobne izraze dodali v ta drugi oklepaj.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Zdaj odpremo drugi oklepaj (označen z modro). Pred oklepajem je množitelj - torej je vsak člen v oklepaju pomnožen z njim.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		In odprite zadnji oklepaj. Pred oklepajem minus - torej so vsi predznaki obrnjeni.

Odpiranje oklepajev je osnovna veščina pri matematiki. Brez te veščine je v 8. in 9. razredu nemogoče imeti oceno nad tri. Zato priporočam dobro razumevanje te teme.

A + (b + c) lahko zapišemo brez oklepajev: a + (b + c) \u003d a + b + c. Ta operacija se imenuje razširitev oklepaja.

Primer 1 Odprimo oklepaje v izrazu a + (- b + c).

rešitev. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Če je pred oklepajem znak “+”, potem lahko oklepaje in ta znak “+” izpustite, znake izrazov v oklepajih pa obdržite. Če je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka, mora biti zapisan z znakom “+”.

Primer 2 Poiščimo vrednost izraza -2,87+ (2,87-7,639).

rešitev.Če odpremo oklepaje, dobimo - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.

Če želite najti vrednost izraza - (- 9 + 5), morate dodati številke-9 in 5 ter poiščite število nasproti prejetemu znesku: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Enako vrednost lahko dobite na drugačen način: najprej zapišite številke, ki so nasprotne tem izrazom (tj. Spremenite njihove znake), nato pa dodajte: 9 + (- 5) = 4. Tako je - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Če želite zapisati vsoto nasproti vsote več členov, je treba spremeniti predznake teh členov.

Torej - (a + b) \u003d - a - b.

Primer 3 Poiščite vrednost izraza 16 - (10 -18 + 12).

rešitev. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Če želite odpreti oklepaje, pred katerimi je znak "-", morate ta znak zamenjati z "+", spremeniti znake vseh izrazov v oklepajih v nasprotne, nato pa odpreti oklepaje.

Primer 4 Poiščimo vrednost izraza 9,36-(9,36 - 5,48).

rešitev. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Odpiranje oklepaja in uporaba komutativnih in asociativnih lastnosti dodatki olajšati izračune.

Primer 5 Poiščite vrednost izraza (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

rešitev. Najprej odpremo oklepaje, nato pa posebej poiščemo vsoto vseh pozitivnih in posebej vsoto vseh negativnih števil ter na koncu seštejemo rezultate:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Primer 6 Poiščite vrednost izraza

rešitev. Najprej predstavimo vsak člen kot vsoto njegovih celih in ulomkov, nato odpremo oklepaje, nato dodamo celoto in ločeno ulomek deli in na koncu povzamemo rezultate:

Kako odprete oklepaje, pred katerimi je znak "+"? Kako lahko najdete vrednost izraza, ki je nasproten vsoti več števil? Kako odpreti oklepaje, pred katerimi je znak "-"?

1218. Razširite oklepaj:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Poišči vrednost izraza:

1220. Razširite oklepaj:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Razširi oklepaj in poišči vrednost izraza:

1222. Poenostavi izraz:

1223. Napiši znesek dva izraza in ju poenostavite:

a) - 4 - m in m + 6,4; d) a + b in p - b
b) 1,1+a in -26-a; e) - m + n in -k - n;
c) a + 13 in -13 + b; e) m - n in n - m.

1224. Zapiši razliko dveh izrazov in jo poenostavi:

1226. Za rešitev naloge uporabi enačbo:

a) Na eni polici je 42 knjig, na drugi pa 34. Z druge police so odstranili več knjig, s prve pa toliko, kolikor jih je ostalo na drugi. Po tem je na prvi polici ostalo 12 knjig. Koliko knjig je bilo vzetih z druge police?

b) V prvem razredu je 42 učencev, v drugem 3 učenci manj kot v tretjem. Koliko učencev je v tretjem razredu, če je v teh treh razredih 125 učencev?

1227. Poišči vrednost izraza:

1228. Ustno izračunaj:

1229. Najdi najvišjo vrednost izrazi:

1230. Vnesite 4 zaporedna cela števila, če:

a) manjši od njih je enak -12; c) manjši od njih je enak n;
b) večji od njih je enak -18; d) večji izmed njih je enak k.

Vsebina lekcije povzetek lekcije podporni okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samopreizkus delavnice, treningi, primeri, naloge domače naloge diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedija fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripi prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki izvlečkičlanki žetoni za radovedne goljufije učbeniki osnovni in dodatni slovarček pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodobitev fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti pri pouku zamenjava zastarelega znanja z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za eno leto smernice diskusijski programi Integrirane lekcije