Navodila

10, 30, 90, 270...

Najti moramo imenovalec geometrijsko napredovanje.
rešitev:

Možnost 1. Vzemimo poljuben člen progresije (na primer 90) in ga delimo s prejšnjim (30): 90/30=3.

Če je znana vsota več členov geometrijskega napredovanja ali vsota vseh členov padajočega geometrijskega napredovanja, potem za iskanje imenovalca napredovanja uporabite ustrezne formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kjer je Sn vsota prvih n členov geometrijske progresije in
S = b1/(1-q), kjer je S vsota neskončno padajoče geometrijske progresije (vsota vseh členov progresije z imenovalcem, manjšim od ena).
Primer.

Prvi člen padajoče geometrijske progresije je enak ena, vsota vseh njegovih členov pa je enaka dve.

Treba je določiti imenovalec tega napredovanja.
rešitev:

V formulo nadomestite podatke iz naloge. Izkazalo se bo:
2=1/(1-q), od koder je – q=1/2.

Progresija je zaporedje številk. V geometrijskem napredovanju dobimo vsak naslednji člen tako, da prejšnjega pomnožimo z določenim številom q, ki ga imenujemo imenovalec napredovanja.

Navodila

Če sta znana dva sosednja geometrijska člena b(n+1) in b(n), morate za pridobitev imenovalca število deliti z večjim s tistim pred njim: q=b(n+1)/b (n). To izhaja iz definicije progresije in njenega imenovalca. Pomemben pogoj je, da prvi člen in imenovalec progresije nista enaka nič, sicer se šteje za nedefinirano.

Tako so med členi progresije vzpostavljene naslednje zveze: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Z uporabo formule b(n)=b1 q^(n-1) je mogoče izračunati kateri koli člen geometrijske progresije, v katerem sta znana imenovalec q in člen b1. Prav tako je vsaka progresija po modulu enaka povprečju svojih sosednjih členov: |b(n)|=√, kjer je progresija dobila svoj .

Analog geometrijskega napredovanja je najpreprostejši eksponentna funkcija y=a^x, kjer je x eksponent, a je določeno število. V tem primeru imenovalec napredovanja sovpada s prvim izrazom in enako številu a. Vrednost funkcije y lahko razumemo kot n-ti izraz progresijo, če je argument x vzet kot naravno število n (števec).

Obstaja za vsoto prvih n členov geometrijske progresije: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ta formula velja za q≠1. Če je q=1, se vsota prvih n členov izračuna po formuli S(n)=n b1. Mimogrede, napredovanje se imenuje naraščajoče, ko je q večji od ena in je b1 pozitiven. Če imenovalec progresije v absolutni vrednosti ne presega ena, se progresija imenuje padajoča.

Poseben primer geometrijska progresija – neskončno padajoča geometrijska progresija (b.u.g.p.). Dejstvo je, da se bodo členi padajoče geometrijske progresije vedno znova zmanjševali, vendar nikoli ne bodo dosegli ničle. Kljub temu je mogoče najti vsoto vseh členov takšnega napredovanja. Določena je s formulo S=b1/(1-q). Skupaj n članov je neskončno.

Če želite vizualizirati, kako lahko seštejete neskončno število števil, ne da bi dobili neskončnost, specite torto. Odrežite polovico. Nato odrežite polovico 1/2 in tako naprej. Kosi, ki jih boste dobili, niso nič drugega kot člani neskončno padajoče geometrijske progresije z imenovalcem 1/2. Če seštejete vse te kose, dobite izvirno torto.

Geometrijske naloge so posebna vrsta vaj, ki zahtevajo prostorsko razmišljanje. Če ne morete rešiti geometrijske naloga, poskusite upoštevati spodnja pravila.

Navodila

Zelo natančno preberite pogoje naloge; če se nečesa ne spomnite ali ne razumete, preberite še enkrat.

Poskusite ugotoviti, za katero vrsto geometrijskih problemov gre, na primer: računski, ko morate ugotoviti neko količino, problemi, ki vključujejo , ki zahtevajo logično verigo sklepanja, problemi, ki vključujejo konstrukcijo s šestilom in ravnilom. Več nalog mešani tip. Ko ugotovite vrsto težave, poskusite razmišljati logično.

Uporabite potreben izrek za dano nalogo, če pa dvomite ali sploh ni možnosti, se poskusite spomniti teorije, ki ste jo študirali o ustrezni temi.

V osnutek zapišite tudi rešitev problema. Poskusite z znanimi metodami preveriti pravilnost svoje rešitve.

Rešitev naloge natančno izpolnite v zvezku, ne da bi jo izbrisali ali prečrtali, in kar je najpomembnejše - .Rešitev prvih geometrijskih nalog lahko zahteva čas in trud. Vendar pa boste takoj, ko obvladate ta proces, začeli klikati naloge kot orehe in uživati!

Geometrična progresija je zaporedje števil b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), tako da je b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Z drugimi besedami, vsak člen progresije dobimo iz prejšnjega tako, da ga pomnožimo z nekim neničelnim imenovalcem progresije q.

Navodila

Probleme progresije največkrat rešujemo tako, da sestavimo in nato sledimo sistemu glede na prvi člen progresije b1 in imenovalec progresije q. Za ustvarjanje enačb si je koristno zapomniti nekaj formul.

Kako izraziti n-ti člen progresije skozi prvi člen progresije in imenovalec progresije: b(n)=b1*q^(n-1).

Oglejmo si posebej primer |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Lekcija in predstavitev na temo: "Številska zaporedja. Geometrijsko napredovanje"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 9. razred
Potence in koreni. Funkcije in grafi

Fantje, danes se bomo seznanili z drugo vrsto napredovanja.
Tema današnje lekcije je geometrijsko napredovanje.

Geometrijsko napredovanje

Opredelitev. Številsko zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak zmnožku prejšnjega in nekega fiksnega števila, se imenuje geometrijsko napredovanje.
Definirajmo naše zaporedje rekurzivno: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kjer sta b in q določeni dani števili. Število q imenujemo imenovalec progresije.

Primer. 1,2,4,8,16... Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak ena in $q=2$.

Primer. 8,8,8,8 ... Geometrijsko napredovanje, v katerem je prvi člen enak osmici,
in $q=1$.

Primer. 3,-3,3,-3,3... Geometrijsko napredovanje, v katerem je prvi člen enak tri,
in $q=-1$.

Geometrijsko napredovanje ima lastnosti monotonije.
Če $b_(1)>0$, $q>1$,
potem se zaporedje povečuje.
Če $b_(1)>0$, $0 Zaporedje je običajno označeno v obliki: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Tako kot pri aritmetičnem napredovanju, če je v geometrijskem napredovanju število elementov končno, se napredovanje imenuje končno geometrijsko napredovanje.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Upoštevajte, da če je zaporedje geometrijsko napredovanje, potem je tudi zaporedje kvadratov členov geometrijsko napredovanje. V drugem zaporedju je prvi člen enak $b_(1)^2$, imenovalec pa je enak $q^2$.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije

Geometrijsko progresijo lahko podamo tudi v analitični obliki. Poglejmo, kako to storiti:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Z lahkoto opazimo vzorec: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Naša formula se imenuje "formula n-tega člena geometrijske progresije."

Vrnimo se k našim primerom.

Primer. 1,2,4,8,16... Geometrijsko napredovanje, v katerem je prvi člen enak ena,
in $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Primer. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak šestnajst in $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Primer. 8,8,8,8... Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak osem in $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Primer. 3,-3,3,-3,3... Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak tri in $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Primer. Glede na geometrijsko progresijo $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Znano je, da je $b_(1)=6, q=3$. Poiščite $b_(5)$.
b) Znano je, da je $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Najdi n.
c) Vemo, da je $q=-2, b_(6)=96$. Poiščite $b_(1)$.
d) Znano je, da je $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Poiščite q.

rešitev.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, ker $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Primer. Razlika med sedmim in petim členom geometrijske progresije je 192, vsota petega in šestega člena progresije je 192. Poiščite deseti člen te progresije.

rešitev.
Vemo, da: $b_(7)-b_(5)=192$ in $b_(5)+b_(6)=192$.
Vemo tudi: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Nato:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dobili smo sistem enačb:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Z enačenjem naših enačb dobimo:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dobili smo dve rešitvi q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zaporedoma nadomestite v drugo enačbo:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ni rešitev.
Dobili smo to: $b_(1)=4, q=2$.
Poiščimo deseti člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Vsota končne geometrijske progresije

Naj imamo končno geometrijsko progresijo. Tako kot pri aritmetični progresiji izračunajmo vsoto njenih členov.

Naj bo podana končna geometrijska progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Vpišimo oznako za vsoto njegovih členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V primeru, ko je $q=1$. Vsi členi geometrijske progresije so enaki prvemu členu, potem je očitno $S_(n)=n*b_(1)$.
Oglejmo si sedaj primer $q≠1$.
Zgornji znesek pomnožimo s q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Opomba:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Dobili smo formulo za vsoto končne geometrijske progresije.

Primer.
Poiščite vsoto prvih sedmih členov geometrijske progresije, katere prvi člen je 4 in imenovalec 3.

rešitev.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Primer.
Poiščite peti člen geometrijske progresije, ki je znan: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

rešitev.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Značilna lastnost geometrijske progresije

Fantje, dana je geometrijska progresija. Poglejmo njegove tri zaporedne člane: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vemo, da:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Nato:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Če je progresija končna, potem ta enakost velja za vse člene razen za prvega in zadnjega.
Če ni vnaprej znano, kakšno obliko ima zaporedje, je pa znano, da: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Potem lahko mirno rečemo, da je to geometrijsko napredovanje.

Številsko zaporedje je geometrijsko napredovanje le, če je kvadrat vsakega člena enak zmnožku dveh sosednjih členov napredovanja. Ne pozabite, da za končno napredovanje ta pogoj ni izpolnjen za prvi in ​​zadnji člen.

Poglejmo to identiteto: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se imenuje geometrična sredina števil a in b.

Modul katerega koli člena geometrijske progresije je enak geometrični sredini njegovih dveh sosednjih členov.

Primer.
Poiščite x tako, da $x+2; 2x+2; 3x+3$ so bili trije zaporedni členi geometrijske progresije.

rešitev.
Uporabimo značilno lastnost:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ in $x_(2)=-1$.
Zaporedoma nadomestimo naše rešitve v prvotni izraz:
Z $x=2$ smo dobili zaporedje: 4;6;9 – geometrijska progresija z $q=1,5$.
Za $x=-1$ dobimo zaporedje: 1;0;0.
Odgovor: $x=2.$

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

1. Poiščite osmi prvi člen geometrijske progresije 16;-8;4;-2….
2. Poiščite deseti člen geometrijske progresije 11,22,44….
3. Znano je, da je $b_(1)=5, q=3$. Poišči $b_(7)$.
4. Znano je, da je $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Najdi n.
5. Poiščite vsoto prvih 11 členov geometrijske progresije 3;12;48….
6. Poiščite x tako, da je $3x+4; 2x+4; x+5$ so trije zaporedni členi geometrijske progresije.

Geometrična progresija je poleg aritmetične progresije pomemben številski niz, ki se preučuje v šolskem tečaju algebre v 9. razredu. V tem članku si bomo ogledali imenovalec geometrijske progresije in kako njegova vrednost vpliva na njene lastnosti.

Opredelitev geometrijske progresije

Najprej dajmo definicijo te številske serije. Tak niz se imenuje geometrijska progresija racionalna števila, ki nastane z zaporednim množenjem prvega elementa s konstantnim številom, imenovanim imenovalec.

Na primer, števila v nizu 3, 6, 12, 24, ... so geometrijsko napredovanje, ker če pomnožite 3 (prvi element) z 2, dobite 6. Če pomnožite 6 z 2, dobite 12 in tako naprej.

Člani obravnavanega zaporedja so običajno označeni s simbolom ai, kjer je i celo število, ki označuje številko elementa v nizu.

Zgornjo definicijo napredovanja lahko v matematičnem jeziku zapišemo takole: an = bn-1 * a1, kjer je b imenovalec. To formulo je enostavno preveriti: če je n = 1, potem je b1-1 = 1 in dobimo a1 = a1. Če je n = 2, potem je an = b * a1 in spet pridemo do definicije zadevnega niza števil. Podobno razmišljanje je mogoče nadaljevati velike vrednosti n.

Imenovalec geometrijske progresije

Število b popolnoma določa, kakšen znak bo imela celotna številska serija. Imenovalec b je lahko pozitiven, negativen ali večji ali manjši od ena. Vse zgornje možnosti vodijo do različnih zaporedij:

• b > 1. Obstaja naraščajoča vrsta racionalnih števil. Na primer 1, 2, 4, 8, ... Če je element a1 negativen, se bo celotno zaporedje povečalo le v absolutni vrednosti, zmanjšalo pa se bo odvisno od predznaka števil.
• b = 1. Pogosto se ta primer ne imenuje progresija, saj obstaja običajna serija enakih racionalnih števil. Na primer -4, -4, -4.

Formula za znesek

Preden preidemo na obravnavo specifičnih problemov z uporabo imenovalca vrste obravnavanega napredovanja, je treba dati pomembna formula za vsoto svojih prvih n elementov. Formula je videti takole: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ta izraz lahko dobite sami, če upoštevate rekurzivno zaporedje členov napredovanja. Upoštevajte tudi, da je v zgornji formuli dovolj poznati samo prvi element in imenovalec, da bi našli vsoto poljubnega števila členov.

Neskončno padajoče zaporedje

Zgoraj je bilo razloženo, kaj je to. Zdaj, ko poznamo formulo za Sn, jo uporabimo za to številsko vrsto. Ker se vsako število, katerega modul ne presega 1, nagiba k ničli, ko je povišano na velike potence, to je b∞ => 0, če je -1

Ker bo razlika (1 - b) vedno pozitivna, ne glede na vrednost imenovalca, je predznak vsote neskončno padajoče geometrijske progresije S∞ enolično določen s predznakom njenega prvega elementa a1.

Zdaj pa si oglejmo več problemov, kjer bomo pokazali, kako pridobljeno znanje uporabiti na določenih številkah.

Naloga št. 1. Izračun neznanih elementov progresije in vsote

Pri podani geometrijski progresiji je imenovalec progresije 2, njen prvi element pa 3. Čemu bosta enaka njen 7. in 10. člen in kakšna je vsota njenih sedmih začetnih elementov?

Pogoj problema je precej preprost in vključuje neposredno uporabo zgornjih formul. Torej, za izračun številke elementa n uporabimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, če nadomestimo znane podatke, dobimo: a7 = 26 * 3 = 192. Enako naredimo za 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Uporabimo dobro znano formulo za vsoto in določimo to vrednost za prvih 7 elementov serije. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem št. 2. Določanje vsote poljubnih elementov progresije

Naj bo -2 enako imenovalcu geometrijske progresije bn-1 * 4, kjer je n celo število. Določiti je treba vsoto od vključno 5. do 10. elementa te serije.

Zastavljenega problema ni mogoče rešiti neposredno z znanimi formulami. Lahko se reši na 2 načina različne metode. Za popolnost predstavitve teme predstavljamo oboje.

Metoda 1. Ideja je preprosta: izračunati morate dve ustrezni vsoti prvih členov in nato od enega odšteti drugega. Izračunamo manjši znesek: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Zdaj izračunamo večjo vsoto: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Upoštevajte, da so bili v zadnjem izrazu sešteti samo 4 členi, saj je 5. že vključen v znesek, ki ga je treba izračunati glede na pogoje problema. Na koncu vzamemo razliko: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. način. Pred zamenjavo števil in štetjem lahko dobite formulo za vsoto med m in n členom zadevne serije. Delamo popolnoma enako kot pri 1. metodi, le da najprej delamo s simboličnim prikazom zneska. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . V nastali izraz lahko nadomestite znana števila in izračunate končni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Naloga št. 3. Kaj je imenovalec?

Naj bo a1 = 2, poiščite imenovalec geometrijske progresije, če je njegov neskončno veliko je 3 in vemo, da je to padajoči niz števil.

Na podlagi pogojev problema ni težko uganiti, katero formulo je treba uporabiti za njegovo rešitev. Seveda za vsoto progresije, ki neskončno pada. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Od koder izrazimo imenovalec: b = 1 - a1 / S∞. Vse, kar ostane, je zamenjava znane vrednosti in dobimo zahtevano število: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ali -0,333(3). Ta rezultat lahko kvalitativno preverimo, če se spomnimo, da za to vrsto zaporedja modul b ne sme preseči 1. Kot lahko vidite, |-1 / 3|

Naloga št. 4. Obnovitev niza številk

Naj sta podana 2 elementa številske serije, na primer 5. je enak 30, 10. pa 60. Iz teh podatkov je treba rekonstruirati celotno vrsto, saj vemo, da izpolnjuje lastnosti geometrijske progresije.

Za rešitev naloge morate najprej zapisati ustrezen izraz za vsak znani izraz. Imamo: a5 = b4 * a1 in a10 = b9 * a1. Zdaj delimo drugi izraz s prvim, dobimo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Od tu določimo imenovalec tako, da vzamemo peti koren razmerja členov, znanih iz izjave problema, b = 1,148698. Dobljeno število nadomestimo z enim od izrazov za znani element, dobimo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo našli imenovalec progresije bn in geometrijsko progresijo bn-1 * 17,2304966 = an, kjer je b = 1,148698.

Kje se uporabljajo geometrijske progresije?

Če ne bi bilo praktične uporabe te številske serije, bi bila njena študija zmanjšana na čisto teoretični interes. Toda takšna aplikacija obstaja.

Spodaj so 3 najbolj znani primeri:

• Zenonov paradoks, v katerem spretni Ahil ne more dohiteti počasne želve, je rešen s konceptom neskončno padajočega zaporedja števil.
• Če za vsako celico šahovnica postavite pšenična zrna tako, da na 1. celico postavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 in tako naprej, potem boste za zapolnitev vseh celic na plošči potrebovali 18446744073709551615 zrn!
• V igri "Hanojski stolp" je za premikanje diskov z ene palice na drugo potrebno izvesti 2n - 1 operacij, kar pomeni, da njihovo število eksponentno raste s številom n uporabljenih diskov.

Če za vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da se da številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi člen zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako naprej. številka a n klical n-ti izraz zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Iz dveh sosednjih členov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 klical naknadno (proti a n ), A a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite definirati zaporedje, morate podati metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje določeno z uporabo formule n-tega člena , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , nato prvih sedem članov številčno zaporedje namestite na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni , če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno , če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano enako število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če obstaja naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - določeno število.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za določitev aritmetične progresije je dovolj, da navedete njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eden od njih enak aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Upoštevajte to n Člen aritmetičnega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se da zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

a n=	a n-k + a n+k
	2

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote enako razmaknjenih členov tega aritmetičnega napredovanja.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja naslednja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetičnega napredovanja je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov in števila členov:

Od tod zlasti sledi, da če morate sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je dano aritmetična progresija, nato pa količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - določeno število.

Tako je razmerje med naslednjim členom dane geometrijske progresije in prejšnjim konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijske progresije.

Za določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ti izraz je mogoče najti s formulo:

b n = b 1 · qn -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (proporcionalni) predhodnega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak produktu drugih dveh, to pomeni, da je eno od števil geometrična sredina drugih dveh.

na primer

Dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje želeno trditev. ◄

Upoštevajte to n Th člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · qn - k.

na primer

Za b 5 se da zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

v geometrijski progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če morate izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

na primer

v geometrijski progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje izmenično: njegovi členi z lihimi števili imajo enak predznak kot prvi člen, členi s sodimi števili pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člene geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Primerno je za priložnost

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu je zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki se mu vsota prvih neomejeno približuje n člani progresije z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Geometrijsko napredovanje v matematiki nič manj pomembna kot aritmetika. Geometrijska progresija je zaporedje števil b1, b2,..., b[n], katerega vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s stalnim številom. Ta številka, ki označuje tudi stopnjo rasti ali zmanjšanja napredovanja, se imenuje imenovalec geometrijske progresije in označujejo

Za popolno določitev geometrijske progresije je poleg imenovalca potrebno poznati oziroma določiti njen prvi člen. Pri pozitivni vrednosti imenovalca je progresija monotono zaporedje in če je to zaporedje števil monotono padajoče in če monotono naraščajoče. Primera, ko je imenovalec enak ena, v praksi ne upoštevamo, saj imamo zaporedje enakih števil, njihovo seštevanje pa praktično ni zanimivo.

Splošni izraz geometrijske progresije izračunano po formuli

Vsota prvih n členov geometrijske progresije določeno s formulo

Oglejmo si rešitve klasičnih problemov geometrijske progresije. Začnimo z najpreprostejšimi za razumevanje.

Primer 1. Prvi člen geometrijske progresije je 27, njen imenovalec pa 1/3. Poiščite prvih šest členov geometrijskega napredovanja.

Rešitev: Zapišimo pogoj problema v obrazec

Za izračun uporabljamo formulo za n-ti člen geometrijske progresije

Na podlagi tega najdemo neznane člene napredovanja

Kot lahko vidite, izračunavanje pogojev geometrijske progresije ni težko. Samo napredovanje bo izgledalo takole

Primer 2. Podani so prvi trije členi geometrijske progresije: 6; -12; 24. Poišči imenovalec in njegov sedmi člen.

Rešitev: Izračunamo imenovalec geometrične progresije na podlagi njene definicije

Dobili smo izmenično geometrijsko progresijo, katere imenovalec je enak -2. Sedmi člen se izračuna po formuli

To reši problem.

Primer 3. Geometrična progresija je podana z dvema členoma . Poiščite deseti člen napredovanja.

rešitev:

Zapišimo dane vrednosti s formulami

Po pravilih bi morali poiskati imenovalec in nato iskati želeno vrednost, vendar imamo za deseti člen

Enako formulo lahko dobimo na podlagi preprostih manipulacij z vhodnimi podatki. Šesti člen serije razdelite na drugega in kot rezultat dobimo

Če dobljeno vrednost pomnožimo s šestim členom, dobimo desetega

Tako za takšne naloge z uporabo preprostih transformacij v hiter način lahko najdete pravo rešitev.

Primer 4. Geometrijsko napredovanje je podano s ponavljajočimi se formulami

Poiščite imenovalec geometrijske progresije in vsoto prvih šestih členov.

rešitev:

Zapišimo podane podatke v obliki sistema enačb

Izrazite imenovalec tako, da drugo enačbo delite s prvo

Poiščimo prvi člen napredovanja iz prve enačbe

Izračunajmo naslednjih pet členov, da bi našli vsoto geometrijske progresije