trikotniki

trikotnik Slika se imenuje figura, ki je sestavljena iz treh točk, ki ne ležijo na eni ravni črti, in treh segmentov, ki te točke povezujejo v parih. Točke se imenujejo vrhovi trikotnik in segmenti - njegovi stranke.

Vrste trikotnikov

Trikotnik se imenuje enakokrakiče sta njegovi strani enaki. Te enake strani se imenujejo strani, in tretja oseba je poklicana osnova trikotnik.

Trikotnik, v katerem so vse stranice enake, se imenuje enakostranični oz pravilno.

Trikotnik se imenuje pravokoten,če ima pravi kot, potem je kot 90°. Stran pravokotnega trikotnika, ki je nasprotna pravemu kotu, se imenuje hipotenuza drugi dve strani se imenujeta noge.

Trikotnik se imenuje ostrokotenče so vsi trije njegovi koti ostri, to je manj kot 90 °.

Trikotnik se imenuje topi,če je eden od njegovih kotov top, to je večji od 90°.

Glavne črte trikotnika

Mediana

Mediana trikotnik je daljica, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice tega trikotnika.

Lastnosti mediane trikotnika

Mediana deli trikotnik na dva trikotnika z enako ploščino.

Srednjici trikotnika se sekata v eni točki, ki ju deli v razmerju 2:1, šteto od vrha. Ta točka se imenuje težišče trikotnik.

Celoten trikotnik je z medianami razdeljen na šest enakih trikotnikov.

Simetrala

Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz njenega vrha, poteka med njenimi stranicami in razpolovi dani kot. Simetrala trikotnika Sesek simetrale kota trikotnika, ki povezuje oglišče s točko na nasprotni strani trikotnika, se imenuje.

Lastnosti simetrale trikotnika

Višina

Višina trikotnik imenujemo navpičnico, potegnjeno iz vrha trikotnika na premico, ki vsebuje nasprotno stran tega trikotnika.

Lastnosti višine trikotnika

IN pravokotni trikotnik višina, narisana iz vrha pravega kota, ga deli na dva trikotnika, podobno original.

IN ostrokotni trikotnik njegovi dve višini odrezani od njega podobno trikotniki.

Srednja pravokotna

Premica, ki poteka skozi razpolovišče odseka pravokotno nanj, se imenuje pravokotna simetrala na segment .

Lastnosti pravokotnih simetral trikotnika

Vsaka točka simetrale pravokotnice na odsek je enako oddaljena od koncev tega odseka. Velja tudi obratna trditev: vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna nanj.

Točka presečišča simetral, na katere je narisana stranice trikotnika, je središče okrog tega trikotnika opisana krožnica.

srednja črta

Srednja črta trikotnika Imenuje se odsek, ki povezuje razpoloviščni točki dveh njegovih stranic.

Lastnost srednje črte trikotnika

Srednja črta trikotnika je vzporedna z eno od njegovih stranic in enaka polovici te stranice.

Formule in razmerja

Znaki enakosti trikotnikov

Dva trikotnika sta skladna, če sta skladna vsak zase:

dve stranici in kot med njima;

dva vogala in stran, ki meji na njih;

tri strani.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

Dva pravokotni trikotnik enaki, če so enaki:

hipotenuza in oster kot

noga in nasprotni vogal;

noga in sosednji kot;

dva noga;

hipotenuza in noga.

podobnost trikotnikov

Dva trikotnika so podobniče je izpolnjen eden od naslednjih pogojev, poklican znaki podobnosti:

dva kota enega trikotnika sta enaka dvema kotoma drugega trikotnika;

dve stranici enega trikotnika sta sorazmerni s stranicama drugega trikotnika in kota, ki ju tvorita ti stranici, sta enaka;

tri stranice enega trikotnika so sorazmerne s tremi stranicami drugega trikotnika.

V podobnih trikotnikih so ustrezne črte ( višine, mediane, simetrale itd.) so sorazmerni.

Sinusni izrek

Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov, sorazmernostni koeficient pa je premer okrog trikotnika obkrožen krog:

Kosinusni izrek

Kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh strani minus dvakratni produkt teh stranic in kosinus kota med njima:

a 2 = b 2 + c 2 - 2pr cos

Formule ploščine trikotnika

Poljubni trikotnik

a, b, c - strani; - kot med stranicama a in b- polobod; R- polmer opisanega kroga; r- polmer včrtanega kroga; S- kvadrat; h a - višina na stran a.

Naloge:

1. Učence seznanite s različni tipi trikotniki glede na vrsto kotov (pravokotni, ostri, tupi). Naučite se poiskati trikotnike in njihove vrste na risbah. Utrditi osnovne geometrijske pojme in njihove lastnosti: premica, odsek, žarek, kot.

2. Razvoj mišljenja, domišljije, matematičnega govora.

3. Izobraževanje pozornosti, dejavnosti.

Med poukom

I. Organizacijski trenutek.

Koliko potrebujemo fantje?
Za naše spretne roke?
Narišite dva kvadrata
In imajo velik krog.
In potem še nekaj krogov
Trikotna kapica.
Izšlo je torej zelo, zelo
Veselo Čudno.

II. Najava teme lekcije.

Danes se bomo v lekciji odpravili na izlet po mestu geometrije in obiskali mikrodistrikt Trikotniki (to pomeni, da se bomo seznanili z različnimi vrstami trikotnikov glede na njihove kote, naučili se bomo najti te trikotnike na risbah.) bo izvedel lekcijo v obliki "tekmovalne igre" po ukazih.

1 ekipa - "Segment".

2 ekipa - "Ray".

Ekipa 3 - "Kotiček".

In gostje bodo predstavljali žirijo.

Na poti nas bo vodila žirija

In ne bo pustil brez pozornosti. (Oceni po točkah 5,4,3,...).

In na čem bomo potovali po mestu geometrije? Se spomnite, katere vrste potniškega prometa obstajajo v mestu? Toliko nas je, katerega izbrati? (Avtobus).

Avtobus. Jasno, na kratko. Vkrcavanje se začne.

Udobno se namestimo in začnimo pot. Vodje ekip dobijo vstopnice.

Toda te karte niso lahke, karte pa so »naloge«.

III. Ponavljanje obravnavane snovi.

Prva postaja"Ponovi."

Vprašanje za vse ekipe.

Na risbi poišči ravno črto in poimenuj njene lastnosti.

Brez konca in roba je črta ravna!
Vsaj sto let traja,
Ne boste našli konca poti!

• Ravna črta nima ne začetka ne konca – je neskončna, zato je ni mogoče izmeriti.

Začnimo naše tekmovanje.

Zaščita imen vaših ekip.

(Vse ekipe preberejo prva vprašanja in razpravljajo. Vodje ekip po vrsti preberejo vprašanja, 1 ekipa prebere 1 vprašanje).

1. Pokaži segment na risbi. Kar se imenuje rez. Poimenuj njegove lastnosti.

• Del premice, ki ga omejujejo dve točki, imenujemo odsek. Odsek ima začetek in konec, zato ga lahko merimo z ravnilom.

(Ekipa 2 prebere 1 vprašanje).

1. Na risbi pokaži žarek. Kaj se imenuje žarek. Poimenuj njegove lastnosti.

• Če označimo točko in iz nje potegnemo del premice, dobimo podobo žarka. Točka, iz katere poteka del premice, se imenuje začetek žarka.

Žarek nima konca, zato ga ni mogoče izmeriti.

(Ekipa 3 prebere 1 vprašanje).

1. Na risbi prikaži kot. Kar imenujemo kot. Poimenuj njegove lastnosti.

• Če narišemo dva žarka iz ene točke, dobimo geometrijsko figuro, ki se imenuje kot. Kot ima vrh, sami žarki pa se imenujejo stranice kota. Koti se merijo v stopinjah s pomočjo kotomera.

Fizkultminutka (na glasbo).

IV. Priprava na študij novega materiala.

Drugi postanek"Čudovito".

Na sprehodu je Svinčnik srečal različne zorne kote. Hotela sem jih pozdraviti, a sem vsakemu od njih pozabila ime. Svinčnik bo moral pomagati.

(Koti študije se preverjajo z modelom pravega kota).

Dodelitev ekipam. Preberite vprašanje št. 2 in razpravljajte.

Ekipa 1 prebere 2. vprašanje.

2. Poiščite pravi kot, podajte definicijo.

• Kot 90° imenujemo pravi kot.

Ekipa 2 prebere 2. vprašanje.

2. Poiščite oster kot, dajte definicijo.

• Kot, ki je manjši od pravega kota, imenujemo ostri kot.

Ekipa 3 prebere 2. vprašanje.

2. Poiščite top kot, podajte definicijo.

Kot, ki je večji od pravega kota, imenujemo top.

V okrožju, kjer je Pencil rad hodil, so se vsi vogali razlikovali od drugih stanovalcev po tem, da smo se mi trije vedno sprehajali, skupaj pili čaj, skupaj šli v kino. In svinčnik ni mogel razumeti, kakšno geometrijsko sliko sestavljajo trije koti skupaj?

Pesem vam bo dala namig.

Ti na meni, ti na njem
Poglej nas vse.
Vse imamo, vse imamo
Imamo samo tri!

Na katero obliko se nanaša?

• O trikotniku.

Katero obliko imenujemo trikotnik?

• Trikotnik je geometrijski lik, ki ima tri oglišča, tri kote in tri stranice.

(Učenci na risbi pokažejo trikotnik, poimenujejo oglišča, kote in stranice).

Oglišča: A, B, C (točke)

Koti: BAC, ABC, BCA.

Stranice: AB, BC, CA (segmenti).

V. Športna vzgoja:

8-krat udarite z nogo,
9-krat plosknite z rokami
10-krat bomo počepnili,
in se 6-krat upognite
skočili bomo naravnost
toliko (trikotni prikaz)
Hej, ja, računaj! Igra in še več!

VI. Učenje nove snovi.

Kmalu sta se vogala spoprijateljila in postala nerazdružljiva.

In zdaj bomo mikrodistrikt imenovali: trikotniki.

Tretja postaja je "Znayka".

Kakšna so imena teh trikotnikov?

Dajmo jim imena. In poskusimo definicijo oblikovati sami.

2. Poiščite trikotnike različnih vrst

1 ekipa najde in pokaže topokotne trikotnike.

2 ukaz bo našel in prikazal pravokotne trikotnike.

3 ukaz bo našel in prikazal ostre trikotnike.

VIII. Naslednja postaja je Razmišljanje.

Dodelitev vsem ekipam.

Ko prestavite 6 paličic, iz luči naredite 4 enake trikotnike.

Kakšni koti so trikotniki? (Ostrokotni).

IX. Povzetek lekcije.

Katero sosesko smo obiskali?

Katere vrste trikotnikov poznate?

Najenostavnejši mnogokotnik, ki se preučuje v šoli, je trikotnik. Učencem je bolj razumljiv in naleti na manj težav. Kljub temu, da obstajajo različne vrste trikotniki, ki imajo posebne lastnosti.

Katero obliko imenujemo trikotnik?

Sestavljeno iz treh točk in črt. Prve se imenujejo oglišča, druge pa stranice. Poleg tega morajo biti vsi trije segmenti povezani tako, da se med njimi oblikujejo vogali. Od tod tudi ime figure "trikotnik".

Razlike v imenih v vogalih

Ker so lahko ostri, topi in ravni, so vrste trikotnikov določene s temi imeni. V skladu s tem obstajajo tri skupine takih številk.

• najprej Če so vsi koti trikotnika ostri, potem se imenuje ostrokotni trikotnik. Vse je logično.

• drugič Eden od kotov je top, zato je trikotnik top. Lažje nikjer.

• Tretjič. Obstaja kot, enak 90 stopinj, ki se imenuje pravi kot. Trikotnik postane pravokoten.

Razlike v imenih na straneh

Glede na značilnosti stranic ločimo naslednje vrste trikotnikov:

splošni primer je vsestranski, v katerem imajo vse strani poljubno dolžino;

enakokraki, katerega stranice imajo enake številske vrednosti;

enakostranični, so dolžine vseh njegovih stranic enake.

Če naloga ni določena poseben pogled trikotnik, potem morate narisati poljuben. V katerem so vsi koti ostri, stranice pa imajo različne dolžine.

Lastnosti, ki so skupne vsem trikotnikom

1. Če seštejete vse kote trikotnika, dobite število enako 180º. In ni pomembno, kakšne vrste je. To pravilo vedno velja.
2. Številčna vrednost katere koli stranice trikotnika je manjša od drugih dveh seštetih. Poleg tega je večja od njihove razlike.
3. Vsak zunanji kot ima vrednost, ki jo dobimo tako, da seštejemo dva notranja kota, ki mu ne mejita. Poleg tega je vedno večji od sosednjega notranjega.
4. Najmanjša stranica trikotnika je vedno nasproti najmanjšega kota. Nasprotno, če je stranica velika, bo kot največji.

Te lastnosti so vedno veljavne, ne glede na to, katere vrste trikotnikov so obravnavane v težavah. Vse ostalo izhaja iz posebnih lastnosti.

Lastnosti enakokrakega trikotnika

• Kota, ki mejita na osnovo, sta enaka.
• Višina, ki je narisana osnovnici, je hkrati tudi sredina in simetrala.
• Višine, mediane in simetrale, ki so vgrajene v stranice trikotnika, so med seboj enake.

Lastnosti enakostraničnega trikotnika

Če obstaja takšna številka, bodo vse lastnosti, opisane malo zgoraj, resnične. Ker bo enakokrak vedno enakokrak. Ne pa obratno, enakokraki trikotnik ne bo nujno enakostranični.

• Vsi njegovi koti so med seboj enaki in imajo vrednost 60º.
• Vsaka mediana enakostraničnega trikotnika je njegova višina in simetrala. In vsi so enaki drug drugemu. Za določitev njihovih vrednosti obstaja formula, ki je sestavljena iz zmnožka stranice in kvadratnega korena iz 3, deljeno z 2.

Lastnosti pravokotnega trikotnika

• Seštevek dveh ostrih kotov znaša 90°.
• Dolžina hipotenuze je vedno večja od dolžine katere koli noge.
• Številska vrednost mediane, potegnjene hipotenuzi, je enaka njeni polovici.
• Krak je enak enaki vrednosti, če leži nasproti kota 30º.
• Višina, ki je narisana z vrha z vrednostjo 90º, ima določeno matematično odvisnost od nog: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / v 2. Tukaj: a, c - noge, n - višina.

Težave z različnimi vrstami trikotnikov

št. 1. Podan je enakokraki trikotnik. Njegov obseg je znan in je enak 90 cm, potrebno je poznati njegove stranice. Kot dodaten pogoj: bočna stranica je 1,2-krat manjša od baze.

Vrednost oboda je neposredno odvisna od količin, ki jih je treba najti. Vsota vseh treh strani bo dala 90 cm, zdaj pa se morate spomniti znaka trikotnika, po katerem je enakokrak. To pomeni, da sta obe strani enaki. Enačbo lahko sestavite z dvema neznankama: 2a + b \u003d 90. Tukaj je a stranica, b je osnova.

Čas je za dodaten pogoj. Po njej dobimo drugo enačbo: b \u003d 1,2a. Ta izraz lahko nadomestite s prvim. Izkazalo se je: 2a + 1,2a \u003d 90. Po transformacijah: 3,2a \u003d 90. Zato \u003d 28,125 (cm). Zdaj je preprosto ugotoviti razlog. Najbolje je, da to storite iz drugega pogoja: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Če želite preveriti, lahko seštejete tri vrednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). V redu.

Odgovor: stranice trikotnika so 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

št. 2. Stranica enakostraničnega trikotnika je 12 cm. Izračunati morate njegovo višino.

rešitev. Za iskanje odgovora je dovolj, da se vrnemo v trenutek, kjer so bile opisane lastnosti trikotnika. To je formula za iskanje višine, mediane in simetrale enakostraničnega trikotnika.

n \u003d a * √3 / 2, kjer je n višina, a je stran.

Zamenjava in izračun data naslednji rezultat: n = 6 √3 (cm).

Te formule si ni treba zapomniti. Dovolj je spomniti se, da višina deli trikotnik na dva pravokotna. Poleg tega se izkaže, da je noga, hipotenuza v njej pa je stran prvotne, druga noga je polovica znane strani. Zdaj morate zapisati Pitagorov izrek in izpeljati formulo za višino.

Odgovor: višina je 6 √3 cm.

št. 3. Podan je MKR - trikotnik, 90 stopinj v katerem tvori kot K. Stranici MP in KR sta znani, enaki sta 30 oziroma 15 cm.Ugotoviti morate vrednost kota P.

rešitev. Če narišete, postane jasno, da je MP hipotenuza. Poleg tega je dvakrat večji od noge CD-ja. Spet se morate obrniti na lastnosti. Eden izmed njih je ravno povezan z vogali. Iz tega je razvidno, da je kot KMR 30º. Torej bo želeni kot P enak 60º. To izhaja iz druge lastnosti, ki pravi, da je vsota dveh ostri koti mora biti 90º.

Odgovor: kot R je 60º.

št. 4. Najti morate vse kote enakokrakega trikotnika. O njem je znano, da je zunanji kot od kota pri dnu 110º.

rešitev. Ker je podan samo zunanji kot, je treba uporabiti tega. Oblikuje se z razvitim notranjim kotom. Torej seštejejo do 180º. To pomeni, da bo kot na dnu trikotnika enak 70 °. Ker je enakokrak, ima drugi kot enako vrednost. Ostaja še izračun tretjega kota. Po lastnosti, ki je skupna vsem trikotnikom, je vsota kotov 180°. Torej je tretji definiran kot 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: koti so 70º, 70º, 40º.

št. 5. Znano je, da je v enakokrakem trikotniku kot nasproti osnove 90º. Na podlagi je označena pika. Odsek, ki ga povezuje s pravim kotom, ga deli v razmerju 1 proti 4. Poznati morate vse kote manjšega trikotnika.

rešitev. Eden od vogalov je mogoče takoj določiti. Ker je trikotnik pravokoten in enakokrak, bodo tisti, ki ležijo na njegovem dnu, 45º, to je 90º / 2.

Drugi od njih bo pomagal najti razmerje, znano v pogoju. Ker je enak 1 do 4, je delov, na katere je razdeljen, le 5. Torej, da bi ugotovili manjši kot trikotnika, potrebujete 90º / 5 = 18º. Treba je izvedeti tretjega. Če želite to narediti, morate od 180º (vsota vseh kotov trikotnika) odšteti 45º in 18º. Izračuni so preprosti in izkaže se: 117º.

Praviloma velja, da sta dva trikotnika podobna, če imata enako obliko, tudi če sta različnih velikosti, zasukana ali celo obrnjena.

Matematični prikaz dveh podobnih trikotnikov A 1 B 1 C 1 in A 2 B 2 C 2, prikazanih na sliki, je zapisan takole:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva trikotnika sta si podobna, če:

1. Vsak kot enega trikotnika je enak ustreznemu kotu drugega trikotnika:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 in ∠C1 = ∠C2

2. Razmerja med stranicami enega trikotnika in ustreznimi stranicami drugega trikotnika so med seboj enaka:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Odnosi dve strani enega trikotnika na ustrezne stranice drugega trikotnika so med seboj enake in hkrati
kota med tema stranicama sta enaka:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ in $\kot A_1 = \kot A_2$
oz
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ in $\kot B_1 = \kot B_2$
oz
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ in $\kot C_1 = \kot C_2$

Podobnih trikotnikov ne smemo zamenjevati z enakimi trikotniki. Skladni trikotniki imajo ustrezne dolžine stranic. Torej za enake trikotnike:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iz tega sledi, da vse enaki trikotniki so podobni. Niso pa vsi podobni trikotniki enaki.

Čeprav zgornji zapis kaže, da moramo za ugotovitev, ali sta si dva trikotnika podobna ali ne, poznati vrednosti treh kotov ali dolžine treh strani vsakega trikotnika, da bi rešili težave s podobnimi trikotniki, je dovolj, da poznate katere koli tri vrednosti od zgoraj za vsak trikotnik. Te vrednosti so lahko v različnih kombinacijah:

1) tri kote vsakega trikotnika (dolžin stranic trikotnikov ni treba poznati).

Ali pa morata biti vsaj 2 kota enega trikotnika enaka 2 kotoma drugega trikotnika.
Ker če sta 2 kota enaka, bo enak tudi tretji kot (vrednost tretjega kota je 180 - kot1 - kot2)

2) dolžine strani vsakega trikotnika (ni treba poznati kotov);

3) dolžini obeh stranic in kota med njima.

Nato razmislimo o rešitvi nekaterih problemov s podobnimi trikotniki. Najprej si bomo ogledali težave, ki jih je mogoče rešiti z neposredno uporabo zgornjih pravil, nato pa bomo razpravljali o nekaterih praktične naloge, ki jih rešujemo z metodo podobnih trikotnikov.

Praktični problemi s podobnimi trikotniki

Primer #1: Pokažite, da sta si trikotnika na spodnji sliki podobna.

rešitev:
Ker sta dolžini strani obeh trikotnikov znani, lahko tukaj uporabimo drugo pravilo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Primer #2: Dokaži, da sta si podana trikotnika podobna in poišči dolžini stranic PQ in PR.

rešitev:
∠A = ∠P in ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(ker je ∠C = 180 - ∠A - ∠B in ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Iz tega sledi, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆PQR podobna. Zato:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ in
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dolarjev

Primer #3: Določite dolžino AB v tem trikotniku.

rešitev:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED in ∠A skupno => trikotniki ΔABC in ΔADE so podobni.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \desna puščica 2\krat AB = AB + 4 \desna puščica AB = 4$

Primer #4: Določite dolžino AD(x) geometrijski lik na sliki.

Trikotnika ∆ABC in ∆CDE sta si podobna, ker je AB || DE in imata skupni zgornji kot C.
Vidimo, da je en trikotnik pomanjšana različica drugega. Vendar moramo to matematično dokazati.

AB || DE, CD || AC in BC || EU
∠BAC = ∠EDC in ∠ABC = ∠DEC

Na podlagi zgoraj navedenega in ob upoštevanju prisotnosti skupnega kota C, lahko trdimo, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆CDE podobna.

Zato:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktični primeri

Primer #5: Tovarna uporablja nagnjen tekoči trak za transport izdelkov od nivoja 1 do nivoja 2, ki je 3 metre nad nivojem 1, kot je prikazano na sliki. Nagnjeni transporter se servisira od enega konca do nivoja 1 in od drugega konca do delovne postaje, ki se nahaja na razdalji 8 metrov od delovne točke nivoja 1.

Tovarna želi nadgraditi tekoči trak za dostop do novega nivoja, ki je 9 metrov nad nivojem 1, pri tem pa ohraniti kot transportnega traku.

Določite razdaljo, na kateri morate postaviti novo delovno postajo, da bo tekoči trak lahko deloval na novem koncu na ravni 2. Izračunajte tudi dodatno razdaljo, ki jo bo izdelek prevozil, ko se premaknete na novo raven.

rešitev:

Najprej označimo vsako presečišče z določeno črko, kot je prikazano na sliki.

Na podlagi sklepanja, podanega v prejšnjih primerih, lahko sklepamo, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆ADE podobna. torej

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 milijonov dolarjev
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Tako mora biti nova točka nameščena na razdalji 16 metrov od obstoječe točke.

In ker je struktura sestavljena iz pravokotnih trikotnikov, lahko izračunamo potovalno razdaljo izdelka na naslednji način:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Podobno je $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
ki je razdalja, ki jo izdelek prepotuje v trenutku, ko doseže obstoječo raven.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
To je dodatna razdalja, ki jo mora izdelek prehoditi, da doseže novo raven.

Primer #6: Steve želi obiskati svojega prijatelja, ki se je pred kratkim preselil v nova hiša. Na sliki je prikazan zemljevid poti do hiše Steva in njegovega prijatelja, skupaj z razdaljami, ki jih pozna Steve. Pomagaj Stevu priti do prijateljeve hiše po najkrajši poti.

rešitev:

Načrt lahko geometrično predstavimo v naslednji obliki, kot je prikazano na sliki.

Vidimo, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆CDE podobna, torej:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Izjava o nalogi navaja, da:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km in DE = 5 km

S pomočjo teh informacij lahko izračunamo naslednje razdalje:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve lahko pride do prijateljeve hiše po naslednjih poteh:

A -> B -> C -> E -> G, skupna razdalja je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, skupna razdalja je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, skupna razdalja je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, skupna razdalja je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Zato je pot št. 3 najkrajša in jo lahko ponudimo Stevu.

Primer 7:
Trisha želi izmeriti višino hiše, vendar nima pravega orodja. Opazila je, da pred hišo raste drevo in se odločila, da bo s svojo iznajdljivostjo in znanjem geometrije, pridobljenim v šoli, določila višino stavbe. Izmerila je razdaljo od drevesa do hiše, rezultat je bil 30 m. Nato se je postavila pred drevo in se začela umikati do zgornji rob nad vrhom drevesa so postale vidne zgradbe. Trisha je označila mesto in izmerila razdaljo od njega do drevesa. Ta razdalja je bila 5 m.

Višina drevesa je 2,8 m, višina Trishinih oči pa 1,6 m. Pomagaj Trishi določiti višino stavbe.

rešitev:

Geometrijski prikaz problema je prikazan na sliki.

Najprej uporabimo podobnost trikotnikov ∆ABC in ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \krat AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Nato lahko uporabimo podobnost trikotnika ΔACB in ΔAFG ali ΔADE in ΔAFG. Izberimo prvo možnost.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Desna puščica H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$