Sinus ostri kotα pravokotnega trikotnika je razmerje nasprotje krak na hipotenuzo.
Označeno je takole: sin α.
Kosinus Ostri kot α pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Označen je na naslednji način: cos α.
Tangenta ostri kot α je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Označen je na naslednji način: tg α.
Kotangens ostri kot α je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico.
Označen je na naslednji način: ctg α.
Sinus, kosinus, tangens in kotangens kota so odvisni le od velikosti kota.
Pravila:
Osnovne trigonometrične identitete v pravokotnem trikotniku:
(α – ostri kot nasproti noge b in ob nogi a . Stran z – hipotenuza. β – drugi ostri kot).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
Ko se ostri kot povečasin α intan α povečanje incos α se zmanjša.
Za vsak ostri kot α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Primer-razlaga:
Naj bo v pravokotnem trikotniku ABC
AB = 6,
BC = 3,
kot A = 30º.
Ugotovimo sinus kota A in kosinus kota B.
rešitev
1) Najprej najdemo vrednost kota B. Tukaj je vse preprosto: ker je v pravokotnem trikotniku vsota ostrih kotov 90º, potem je kot B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Izračunajmo sin A. Vemo, da je sinus enak razmerju nasprotne stranice proti hipotenuzi. Za kot A je nasprotna stran stranica BC. Torej:
BC 3 1
greh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Zdaj pa izračunajmo cos B. Vemo, da je kosinus enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo. Za kot B je sosednji krak enaka stranica BC. To pomeni, da moramo ponovno deliti BC z AB - to je, izvesti enaka dejanja kot pri izračunu sinusa kota A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iz tega sledi, da je v pravokotnem trikotniku sinus enega ostrega kota enako kosinusu drug ostri kot - in obratno. Točno to pomenita naši dve formuli:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Prepričajmo se o tem še enkrat:
1) Naj bo α = 60º. Če nadomestimo vrednost α v sinusno formulo, dobimo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Naj bo α = 30º. Če nadomestimo vrednost α v formulo kosinusa, dobimo:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Za več informacij o trigonometriji glejte razdelek Algebra)
Kjer so bile obravnavane težave pri reševanju pravokotnega trikotnika, sem obljubil, da bom predstavil tehniko za pomnjenje definicij sinusa in kosinusa. Z njegovo uporabo se boste vedno hitro spomnili, katera stran pripada hipotenuzi (sosednja ali nasprotna). Odločil sem se, da tega ne bom dolgo odlašal, potrebno gradivo je spodaj, preberite ga 😉
Dejstvo je, da sem večkrat opazil, kako si učenci v 10.-11. razredu težko zapomnijo te definicije. Dobro se spomnijo, da se noga nanaša na hipotenuzo, a katero- pozabijo in zmeden. Cena napake je, kot veste na izpitu, izgubljena točka.
Informacije, ki jih bom neposredno predstavil, nimajo nobene zveze z matematiko. Povezana je z domiselno razmišljanje, in z metodami verbalno-logične komunikacije. Točno tako se spomnim, enkrat za vselejdefinicijski podatki. Če jih pozabite, se jih lahko vedno zlahka spomnite z uporabo predstavljenih tehnik.
Naj vas spomnim na definiciji sinusa in kosinusa v pravokotnem trikotniku:
Kosinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:
Torej, kakšne asociacije imate ob besedi kosinus?
Verjetno ima vsak svojega 😉Zapomni si povezavo:
Tako se bo izraz takoj pojavil v vašem spominu -
«… razmerje SODNJEGA kraka in hipotenuze».
Problem z določanjem kosinusa je rešen.
Če se morate spomniti definicije sinusa v pravokotnem trikotniku, potem ko se spomnite definicije kosinusa, lahko zlahka ugotovite, da je sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo. Navsezadnje sta samo dve nogi; če je sosednja noga "zasedena" s kosinusom, potem s sinusom ostane samo nasprotna noga.
Kaj pa tangens in kotangens? Zmeda je enaka. Učenci vedo, da gre za razmerje krakov, a težava je, da si zapomnijo, katera se nanaša na katero – ali nasprotno od sosednjega ali obratno.
Definicije:
Tangenta Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno in sosednjo stranjo:
Kotangens Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo:
Kako si zapomniti? Obstajata dva načina. Ena uporablja tudi besedno-logično povezavo, druga matematično.
MATEMATIČNA METODA
Obstaja taka definicija - tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:
*Ko si zapomnite formulo, lahko vedno ugotovite, da je tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Prav tako.Kotangens ostrega kota je razmerje med kosinusom kota in njegovim sinusom:
torej! Če se spomnite teh formul, lahko vedno ugotovite, da:
- tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranico in sosednjo stranjo
— kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico.
BESEDO-LOGIČNA METODA
O tangenti. Zapomni si povezavo:
Se pravi, če si morate zapomniti definicijo tangente, se z uporabo te logične povezave zlahka spomnite, kaj je
"... razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo"
Če govorimo o kotangensu, potem ko se spomnimo definicije tangensa, lahko zlahka izrazimo definicijo kotangensa -
"... razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno stranjo"
Na spletni strani je zanimiv trik za zapomnitev tangensa in kotangensa " Matematični tandem " , poglej.
UNIVERZALNA METODA
Lahko si ga samo zapomniš.Toda kot kaže praksa, si človek zaradi verbalno-logičnih povezav dolgo zapomni informacije, ne le matematične.
Upam, da vam je bil material koristen.
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Sinus je ena od osnovnih trigonometričnih funkcij, katere uporaba ni omejena le na geometrijo. Tabele za izračun trigonometričnih funkcij, kot so inženirski kalkulatorji, niso vedno pri roki, izračun sinusa pa je včasih potreben za reševanje različnih problemov. Na splošno bo izračun sinusa pomagal pri utrjevanju risarskih veščin in znanja o trigonometričnih identitetah.
Igre z ravnilom in svinčnikom
Preprosta naloga: kako najti sinus kota, narisanega na papir? Za rešitev boste potrebovali običajno ravnilo, trikotnik (ali šestilo) in svinčnik. Sinus kota najenostavneje izračunamo tako, da skrajni krak trikotnika s pravim kotom delimo z daljšo stranjo - hipotenuzo. Tako morate najprej dopolniti ostri kot do oblike pravokotnega trikotnika, tako da narišete črto, pravokotno na enega od žarkov na poljubni razdalji od vrha kota. Ohraniti bomo morali kot točno 90°, za kar potrebujemo klerikalni trikotnik.
Uporaba kompasa je nekoliko natančnejša, vendar bo trajalo več časa. Na enem od žarkov morate na določeni razdalji označiti 2 točki, na kompasu nastaviti polmer, ki je približno enak razdalji med točkama, in narisati polkroge s središči na teh točkah, dokler ne dobite presečišč teh črt. S povezovanjem presečišč naših krogov med seboj dobimo strogo pravokotno na žarek našega kota; ostane le, da podaljšamo črto, dokler se ne seka z drugim žarkom.
V dobljenem trikotniku morate z ravnilom izmeriti stran nasproti vogala in dolgo stran na enem od žarkov. Razmerje med prvo dimenzijo in drugo bo želena vrednost sinusa ostrega kota.
Poiščite sinus za kot, večji od 90°
Za tupi kot naloga ni veliko težja. Žarek morate narisati od vrha do nasprotna stran z ravnilom tvorimo premico z enim od žarkov kota, ki nas zanima. Nastali ostri kot je treba obravnavati, kot je opisano zgoraj, sinusi sosednji vogali, ki skupaj tvorita vzvratni kot 180°, sta enaka.
Računanje sinusa z uporabo drugih trigonometričnih funkcij
Prav tako je izračun sinusa možen, če so znane vrednosti drugih trigonometričnih funkcij kota ali vsaj dolžine stranic trikotnika. Pri tem nam bodo pomagale trigonometrične identitete. Poglejmo pogoste primere.
Kako najti sinus z znanim kosinusom kota? Prva trigonometrična istovetnost, ki temelji na Pitagorovem izreku, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota enaka ena.
Kako najti sinus z znanim tangensom kota? Tangens dobimo tako, da oddaljeno stran delimo z bližnjo stranjo ali sinus delimo s kosinusom. Tako bo sinus produkt kosinusa in tangensa, kvadrat sinusa pa kvadrat tega produkta. Kvadrat kosinusa nadomestimo z razliko med ena in kvadratnim sinusom po prvem trigonometrična identiteta in s preprostimi manipulacijami zmanjšamo enačbo na izračun kvadratnega sinusa skozi tangento; v skladu s tem boste morali za izračun sinusa izvleči koren dobljenega rezultata.
Kako najti sinus z znanim kotangensom kota? Vrednost kotangensa lahko izračunate tako, da dolžino kraka, ki je najbližje kotu, delite z dolžino oddaljenega kraka, pa tudi kosinus delite s sinusom, to pomeni, da je kotangens funkcija, inverzna relativnemu tangentu na število 1. Za izračun sinusa lahko izračunate tangens z uporabo formule tg α = 1 / ctg α in uporabite formulo v drugi možnosti. Po analogiji s tangento lahko izpeljete tudi direktno formulo, ki bo videti takole.
Kako najti sinus treh strani trikotnika
Obstaja formula za iskanje dolžine neznane stranice katerega koli trikotnika, ne le pravokotnega trikotnika, iz dveh znanih strani z uporabo trigonometrične funkcije kosinusa nasprotnega kota. Izgleda takole.
Kaj je sinus, kosinus, tangens, kotangens kota, vam bo pomagalo razumeti pravokotni trikotnik.
Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stranica, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica \(AC\)); kraka sta dve preostali stranici \(AB\) in \(BC\) (tisti, ki mejita na pravi kot), in če upoštevamo krake glede na kot \(BC\), potem je krak \(AB\) sosednji krak, krak \(BC\) pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?
Sinus kota– to je razmerje med nasprotnim (oddaljenim) krakom in hipotenuzo.
V našem trikotniku:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus kota– to je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.
V našem trikotniku:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangens kota– to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).
V našem trikotniku:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens kota– to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).
V našem trikotniku:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:
Kosinus→dotik→dotik→sosednji;
Kotangens→dotik→dotik→sosednji.
Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). Ne verjemi? Nato se prepričajte z ogledom slike:
Upoštevajte na primer kosinus kota \(\beta \) . Po definiciji iz trikotnika \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lahko pa izračunamo kosinus kota \(\beta \) iz trikotnika \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.
Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!
Za trikotnik \(ABC \), prikazan na spodnji sliki, najdemo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(matrika) \)
No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot \(\beta \) .
odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Enotni (trigonometrični) krog
Če razumemo koncepte stopinj in radianov, smo obravnavali krog s polmerom \(1\) . Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.
Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču koordinat, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi \(x\) (v našem primeru je to je polmer \(AB\)).
Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati vzdolž osi \(x\) in koordinati vzdolž osi \(y\). Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku \(ACG\). Pravokoten je, ker je \(CG\) pravokoten na os \(x\).
Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trikotnika \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Poleg tega vemo, da je \(AC\) polmer enotskega kroga, kar pomeni \(AC=1\) . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Takole se zgodi:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Čemu je enako \(\sin \ \alpha \) iz trikotnika \(ACG \)? No, seveda, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Nadomestite vrednost polmera \(AC\) v to formulo in dobite:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka \(C\), ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če ugotovite, da sta \(\cos \ \alpha \) in \(\sin \alpha \) samo številki? Kateri koordinati ustreza \(\cos \alpha \)? No, seveda, koordinata \(x\)! In kateri koordinati ustreza \(\sin \alpha \)? Tako je, koordiniraj \(y\)! Torej bistvo \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Čemu sta potem enaka \(tg \alpha \) in \(ctg \alpha \)? Tako je, uporabimo ustrezni definiciji tangensa in kotangensa in dobimo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:
Kaj se je v tem primeru spremenilo? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kot (kot sosednji kotu \(\beta \) ). Kakšna je vrednost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kot ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kot ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrika) \)
No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati \(y\) ; vrednost kosinusa kota - koordinata \(x\) ; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijnega vektorja.
Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi \(x\). Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca – negativno.
Torej vemo, da je celoten obrat vektorja radija okoli kroga \(360()^\circ \) ali \(2\pi \) . Ali je možno zasukati vektor polmera za \(390()^\circ \) ali za \(-1140()^\circ \)? No, seveda lahko! V prvem primeru, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tako bo polmerni vektor naredil en polni obrat in se ustavil na položaju \(30()^\circ \) ali \(\dfrac(\pi )(6) \) .
V drugem primeru \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), kar pomeni, da bo polmerni vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju \(-60()^\circ \) ali \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za \(360()^\circ \cdot m \) ali \(2\pi \cdot m \) (kjer je \(m \) poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju vektorja radija.
Spodnja slika prikazuje kot \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika ustreza kotu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ali \(\beta +2\pi \cdot m \) (kjer je \(m \) poljubno celo število)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(matrika) \)
Zdaj pa poznamo definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in jih uporabljamo enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\besedilo(tg)\ 180()^\circ =\besedilo(tg)\ \pi =?\\\besedilo(ctg)\ 180()^\circ =\besedilo(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\besedilo(tg)\ 270()^\circ =?\\\besedilo (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(matrika) \)
Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:
Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(matrika)\)
Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kotiček v \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) ustreza točki s koordinatami \(\left(0;1 \right) \), torej:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne obstaja;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Nadalje, ob upoštevanju iste logike, ugotovimo, da so vogali v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) ustrezajo točkam s koordinatami \(\levo(-1;0 \desno),\besedilo( )\levo(0;-1 \desno),\besedilo( )\levo(1;0 \desno),\besedilo( )\levo(0 ;1 \desno) \), oz. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.
odgovori:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne obstaja
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne obstaja
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne obstaja
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne obstaja
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:
Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:
\(\levo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate si ga zapomniti ali biti sposobni prikazati!! \) !}
Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) navedene v spodnji tabeli, si morate zapomniti:
Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer dokaj preprostega pomnjenja ustreznih vrednosti:
Za uporabo te metode je nujno, da si zapomnite sinusne vrednosti za vse tri mere kota ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kot tudi vrednost tangensa kota v \(30()^\circ \) . Če poznate te \(4\) vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(matrika) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), če to veste, lahko obnovite vrednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Števec "\(1 \)" bo ustrezal \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) in imenovalec "\(\sqrt(\text(3)) \)" bo ustrezal \(\besedilo (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite samo \(4\) vrednosti iz tabele.
Koordinate točke na krožnici
Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, če poznamo koordinate središča kroga, njegov polmer in kot vrtenja? No, seveda lahko! Izpeljimo splošno formulo za iskanje koordinat točke. Na primer, tukaj je krog pred nami:
Ta točka nam je dana \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- središče kroga. Polmer kroga je \(1,5\) . Treba je najti koordinate točke \(P\), ki jih dobimo z vrtenjem točke \(O\) za \(\delta \) stopinj.
Kot je razvidno iz slike, koordinata \(x\) točke \(P\) ustreza dolžini odseka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dolžina odseka \(UK\) ustreza koordinati \(x\) središča kroga, kar pomeni, da je enaka \(3\) . Dolžino odseka \(KQ\) lahko izrazimo z definicijo kosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Potem imamo to za točko \(P\) koordinato \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko \(P\) . torej
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Torej, v splošni pogled koordinate točk so določene s formulami:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \konec(matrika) \), Kje
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središča kroga,
\(r\) - polmer kroga,
\(\delta \) - rotacijski kot polmera vektorja.
Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(matrika) \)
Javascript je onemogočen v vašem brskalniku.Za izvajanje izračunov morate omogočiti kontrolnike ActiveX!
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () so neločljivo povezani s pojmom kota. Da bi te na prvi pogled dobro razumeli, zapleteni pojmi(ki pri mnogih šolarjih povzročijo stanje groze), in da se prepričamo, da "hudič ni tako strašen, kot je naslikan", začnimo od samega začetka in razumemo koncept kota.
Koncept kota: radian, stopinja
Poglejmo sliko. Vektor se je glede na točko "obrnil" za določeno količino. Torej bo mera tega vrtenja glede na začetni položaj kotiček.
Kaj še morate vedeti o pojmu kot? No, seveda, kotne enote!
Kot v geometriji in trigonometriji se lahko meri v stopinjah in radianih.
Imenuje se kot (ena stopinja). središčni kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, ki je enak delu kroga. Tako je celoten krog sestavljen iz »koščkov« krožnih lokov oziroma je kot, ki ga opisuje krog, enak.
To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot, ki je enak, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku velikosti obsega.
Kot v radianih je središčni kot v krogu, ki ga povezuje krožni lok, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. No, si ugotovil? Če ne, potem to ugotovimo iz risbe.
Torej, slika prikazuje kot, ki je enak radianu, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina je enaka dolžini ali polmer je enak polmeru kroga). dolžina loka). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:
Kje je središčni kot v radianih.
No, če to veste, ali lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to se morate spomniti formule za obseg. Tukaj je:
No, zdaj pa povežimo ti dve formuli in ugotovimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak. To pomeni, da s korelacijo vrednosti v stopinjah in radianih to dobimo. Oziroma,. Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno razvidna iz konteksta.
Koliko radianov je tam? Tako je!
Razumem? Potem nadaljujte in popravite:
Imate težave? Potem poglej odgovori:
Pravokotni trikotnik: sinus, kosinus, tangens, kotangens kota
Tako smo razumeli koncept kota. Toda kaj je sinus, kosinus, tangens in kotangens kota? Ugotovimo. Pri tem nam bo pomagal pravokotni trikotnik.
Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stranica, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica); kraka sta dve preostali strani in (tisti, ki mejita na pravi kot), in če upoštevamo krake glede na kot, potem je krak sosednji krak, krak pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?
Sinus kota- to je razmerje med nasprotno (oddaljeno) nogo in hipotenuzo.
V našem trikotniku.
Kosinus kota- to je razmerje med sosednjo (tesno) nogo in hipotenuzo.
V našem trikotniku.
Tangens kota- to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).
V našem trikotniku.
Kotangens kota- to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).
V našem trikotniku.
Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:
Kosinus→dotik→dotik→sosednji;
Kotangens→dotik→dotik→sosednji.
Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). Ne verjemi? Nato se prepričajte z ogledom slike:
Upoštevajte na primer kosinus kota. Po definiciji iz trikotnika: , lahko pa izračunamo kosinus kota iz trikotnika: . Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.
Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!
Za trikotnik, prikazan na spodnji sliki, najdemo.
No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot.
Enotni (trigonometrični) krog
Ob razumevanju pojmov stopinj in radianov smo obravnavali krog s polmerom, ki je enak. Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.
Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču koordinat, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).
Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati osi in koordinati osi. Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Pravokotna je, ker je pravokotna na os.
Čemu je enak trikotnik? Tako je. Poleg tega vemo, da je to polmer enotskega kroga, kar pomeni . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Takole se zgodi:
Čemu je enak trikotnik? No, seveda! Nadomestite vrednost polmera v to formulo in dobite:
Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka, ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če se tega zavedate in ste le številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinate! In kateri koordinati ustreza? Tako je, koordinate! Torej pika.
Čemu sta torej enaka in ? Tako je, uporabimo ustrezne definicije tangensa in kotangensa in dobimo to, a.
Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:
Kaj se je v tem primeru spremenilo? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kot (kot sosednji kotu). Kakšne so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:
No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijnega vektorja.
Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.
Torej, vemo, da je cel obrat vektorja radija okoli kroga oz. Ali je mogoče zasukati radijski vektor na ali na? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej radius vektor naredil en polni obrat in se ustavil na položaju oz.
V drugem primeru, torej bo radius vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju oz.
Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju radijnega vektorja.
Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je poljubno celo število)
Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:
Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:
Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:
Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kot pri ustreza točki s koordinatami, torej:
Ne obstaja;
Nadalje, z upoštevanjem iste logike, ugotovimo, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.
odgovori:
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:
Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:
Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, je treba zapomniti:
Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer zelo enostavno zapomniti ustrezne vrednosti:
Za uporabo te metode je ključnega pomena, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangensa kota. Če poznate te vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:
Če to veste, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite vse vrednosti iz tabele.
Koordinate točke na krožnici
Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in rotacijskega kota?
No, seveda lahko! Spravimo ga ven splošna formula za iskanje koordinat točke.
Na primer, tukaj je krog pred nami:
Podano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.
Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:
Potem imamo to za koordinato točke.
Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko. torej
Torej so na splošno koordinate točk določene s formulami:
Koordinate središča kroga,
polmer kroga,
Kot vrtenja vektorskega radija.
Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:
No, poskusimo te formule z vadbo iskanja točk na krogu?
1. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
2. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
3. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
4. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
5. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
Imate težave z iskanjem koordinat točke na krogu?
Rešite teh pet primerov (ali pa jih rešite dobro) in naučili se jih boste najti!
1.
To lahko opazite. Vemo pa, kaj ustreza polnemu obratu začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če vemo to, najdemo zahtevane koordinate točke:
2. Enotski krog ima središče v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
To lahko opazite. Vemo, kaj ustreza dvema polnima obratoma začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če vemo to, najdemo zahtevane koordinate točke:
Sinus in kosinus sta tabelarni vrednosti. Spomnimo se njihovih pomenov in dobimo:
Tako ima želena točka koordinate.
3. Enotski krog ima središče v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
To lahko opazite. Upodabljajmo zadevni primer na sliki:
Polmer tvori kote, ki so enaki osi in z osjo. Če vemo, da sta vrednosti kosinusa in sinusa v tabeli enaki in ugotovimo, da ima kosinus tukaj negativno vrednost, sinus pa pozitivno vrednost, imamo:
Takšni primeri so podrobneje obravnavani pri preučevanju formul za zmanjšanje trigonometričnih funkcij v temi.
Tako ima želena točka koordinate.
4.
Kot vrtenja polmera vektorja (po pogoju)
Za določitev ustreznih predznakov sinusa in kosinusa sestavimo enotski krog in kot:
Kot lahko vidite, je vrednost, tj., pozitivna, vrednost, tj., pa negativna. Če poznamo tabelarične vrednosti ustreznih trigonometričnih funkcij, dobimo, da:
Nadomestimo dobljene vrednosti v našo formulo in poiščemo koordinate:
Tako ima želena točka koordinate.
5. Za rešitev tega problema uporabljamo formule v splošni obliki, kjer
Koordinate središča kroga (v našem primeru
Polmer kroga (glede na pogoje)
Kot zasuka polmera vektorja (po pogoju).
Zamenjajmo vse vrednosti v formulo in dobimo:
in - tabele vrednosti. Spomnimo se in jih nadomestimo v formulo:
Tako ima želena točka koordinate.
POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE
Sinus kota je razmerje med nasprotnim (skrajnim) krakom in hipotenuzo.
Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.
Tangens kota je razmerje med nasprotno (skrajno) stranjo in sosednjo (bližnjo) stranjo.
Kotangens kota je razmerje med sosednjo (bližnjo) stranjo in nasprotno (skrajno) stranjo.
