kotiček med vrsticami v prostoru bomo imenovali katero koli od sosednji vogali, ki ga tvorita dve ravni črti, narisani skozi poljubno točko, vzporedno s podatki.

Naj sta v prostoru podani dve ravni črti:

Očitno lahko kot φ med premicami vzamemo kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , potem po formuli za kosinus kota med vektorjema dobimo

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh premic so enakovredni pogojem vzporednosti in pravokotnosti njunih smernih vektorjev in:

Dva naravnost so vzporedniče in samo če so njihovi ustrezni koeficienti sorazmerni, tj. l 1 vzporednik l 2 če in samo če je vzporeden .

Dva naravnost pravokotnoče in samo če je vsota produktov ustreznih koeficientov enaka nič: .

pri cilj med premico in ravnino

Pusti črto d- ni pravokotna na ravnino θ;
d′− projekcija premice d na ravnino θ;
Najmanjši kot med ravnimi črtami d in d'poklicali bomo kot med premico in ravnino.
Označimo ga kot φ=( d,θ)
če d⊥θ , potem ( d,θ)=π/2

oi→j→k→− pravokotni koordinatni sistem.
Enačba ravnine:

θ: sekira+Avtor:+cz+D=0

Menimo, da je premica podana s točko in smernim vektorjem: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Nato je treba ugotoviti kot med vektorji n→ in str→, označimo kot γ=( n→,str→).

Če je kot γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Če je kot γ>π/2 , potem je zahtevani kot φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

potem, kot med premico in ravnino se lahko izračuna po formuli:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

29. vprašanje. Koncept kvadratne oblike. Predznak določenosti kvadratnih oblik.

Kvadratna oblika j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih spremenljivk x 1, x 2, ..., x n se imenuje vsota oblike
, (1)

Kje aij so nekatera števila, imenovana koeficienti. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da aij = a ji.

Kvadratna oblika se imenuje veljavno,če aij О GR. Matrika kvadratne oblike se imenuje matrika, sestavljena iz njegovih koeficientov. Kvadratna oblika (1) ustreza edinstveni simetrični matriki
tj. A T = A. Zato lahko kvadratno obliko (1) zapišemo v matrični obliki j ( X) = x T Ah, Kje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

In obratno, vsaka simetrična matrika (2) ustreza edinstveni kvadratni obliki do zapisa spremenljivk.

Rang kvadratne oblike se imenuje rang njene matrike. Kvadratna oblika se imenuje nedegeneriran,če je njegova matrika nesingularna A. (spomnite se, da je matrika A se imenuje nedegeneriran, če je njegova determinanta različna od nič). V nasprotnem primeru je kvadratna oblika degenerirana.

pozitivno določeno(ali strogo pozitivno), če

j ( X) > 0 , za kogarkoli X = (X 1 , X 2 , …, x n), razen X = (0, 0, …, 0).

Matrix A pozitivno določena kvadratna oblika j ( X) imenujemo tudi pozitivno določeno. Zato pozitivno določena kvadratna oblika ustreza edinstveni pozitivno določeni matriki in obratno.

Kvadratna oblika (1) se imenuje negativno določeno(ali strogo negativno), če

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), razen X = (0, 0, …, 0).

Podobno kot zgoraj se negativno določena kvadratna matrika imenuje tudi negativno določena.

Zato je pozitivno (negativno) določena kvadratna oblika j ( X) doseže najmanjšo (največjo) vrednost j ( X*) = 0 za X* = (0, 0, …, 0).

Upoštevajte to večina kvadratne oblike niso predznakovno določene, to pomeni, da niso niti pozitivne niti negativne. Takšne kvadratne oblike ne izginejo le v izhodišču koordinatnega sistema, ampak tudi na drugih točkah.

Kdaj n> 2 so potrebni posebni kriteriji za preverjanje predznakovne določnosti kvadratne oblike. Upoštevajmo jih.

Major Minors kvadratne oblike imenujemo minori:

to so minori reda 1, 2, …, n matrice A, ki se nahaja v zgornjem levem kotu, zadnji od njih sovpada z determinanto matrike A.

Kriterij pozitivne določnosti (Sylvestrovo merilo)

X) = x T Ah je pozitivno določena, je nujno in zadostno, da so vsi glavni minori matrike A so bili pozitivni, to je: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne gotovosti Da bi bila kvadratna oblika j ( X) = x T Ah je negativno določen, je nujno in zadostno, da so njegovi glavni minori sodega reda pozitivni, lihega reda pa negativni, tj. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Oh-oh-oh-oh-oh ... no, malenkost je, kot da bi si prebral stavek =) Vendar bo potem sprostitev pomagala, sploh ker sem danes kupila primerne dodatke. Zato pojdimo na prvi del, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.

Medsebojna razporeditev dveh ravnih črt

Primer, ko dvorana poje v zboru. Dve vrstici lahko:

1) ujemanje;

2) biti vzporedna: ;

3) ali sekajo v eni točki: .

Pomoč za telebane : prosim zapomni si matematični znak križišču, se bo pojavljalo zelo pogosto. Vnos pomeni, da se premica seka s premico v točki.

Kako določiti relativni položaj dveh črt?

Začnimo s prvim primerom:

Dve premici sovpadata, če in samo če sta njuna koeficienta sorazmerna, to pomeni, da obstaja takšno število "lambda", da so enakosti

Oglejmo si premice in iz pripadajočih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.

Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe pomnožite z -1 (spremenite predznak) in vse koeficiente enačbe zmanjšamo za 2, dobimo isto enačbo: .

Drugi primer, ko sta črti vzporedni:

Dve premici sta vzporedni, če in samo če sta njuna koeficienta pri spremenljivkah sorazmerna: , Ampak.

Kot primer razmislite o dveh ravnih črtah. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke:

Vendar pa je jasno, da.

In tretji primer, ko se črte sekajo:

Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, to pomeni, da NI takšne vrednosti "lambda", da bi bile enakosti izpolnjene

Torej, za ravne črte bomo sestavili sistem:

Iz prve enačbe sledi, da , in iz druge enačbe: , torej, sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti pri spremenljivkah niso sorazmerni.

Zaključek: črte se sekajo

IN praktične naloge ah, lahko uporabite pravkar obravnavano shemo rešitev. Mimogrede, zelo je podoben algoritmu za preverjanje vektorjev za kolinearnost, ki smo ga obravnavali v lekciji. Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Vektorska osnova. Vendar obstaja bolj civiliziran paket:

Primer 1

Ugotovite relativni položaj črt:

rešitev na podlagi preučevanja usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

a) Iz enačb poiščemo smerne vektorje premic: .

, torej vektorji niso kolinearni in se premice sekajo.

Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen s kazalci:

Ostali skočijo čez kamen in sledijo naravnost do Kaščeja Nesmrtnega =)

b) Poiščite smerne vektorje premic:

Premici imata enak smerni vektor, kar pomeni, da sta vzporedni ali enaki. Tu determinanta ni potrebna.

Očitno je, da so koeficienti neznank sorazmerni, medtem ko .

Ugotovimo, ali enakost velja:

torej

c) Poiščite smerne vektorje premic:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev:
, zato so smerni vektorji kolinearni. Črte so vzporedne ali pa sovpadajo.

Faktor sorazmernosti "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja vektorjev kolinearne smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: .

Zdaj pa ugotovimo, ali enakost drži. Oba brezplačna izraza sta nič, torej:

Dobljena vrednost ustreza tej enačbi (na splošno jo izpolnjuje katero koli število).

Tako črte sovpadajo.

Odgovori:

Kmalu se boste naučili (ali ste se že naučili) rešiti obravnavani problem ustno dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim razloga, da bi ponudil nekaj za neodvisno rešitev, bolje je postaviti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:

Kako narisati premico, ki je vzporedna z dano?

Zaradi nevednosti tega najpreprostejša naloga ostro kaznuje Slavca razbojnika.

Primer 2

Ravna črta je podana z enačbo . Napišite enačbo za vzporedno premico, ki poteka skozi točko.

rešitev: Neznano vrstico označimo s črko . Kaj o tem pravi stanje? Premica poteka skozi točko. In če sta premici vzporedni, potem je očitno, da je usmerjevalni vektor premice "ce" primeren tudi za konstrukcijo premice "de".

Iz enačbe vzamemo smerni vektor:

Odgovori:

Geometrija primera je videti preprosta:

Analitično preverjanje je sestavljeno iz naslednjih korakov:

1) Preverimo, ali imata premici enak smerni vektor (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bosta vektorja kolinearna).

2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi.

Analitično preverjanje je v večini primerov preprosto ustno. Poglejte obe enačbi in mnogi boste hitro ugotovili, kako vzporedni sta črti brez risbe.

Primeri za samostojno reševanje danes bodo ustvarjalni. Ker še vedno moraš tekmovati z Babo Yago, in ona, veste, je ljubiteljica vseh vrst ugank.

Primer 3

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, ki je vzporedna s premico

Obstaja racionalen in ne zelo racionalen način reševanja. večina kratki rez- na koncu lekcije.

Z vzporednimi premicami smo malo delali in se bomo k njim vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt ni zanimiv, zato razmislite o problemu, ki vam je dobro znan iz šolski kurikulum:

Kako najti presečišče dveh črt?

Če naravnost sekata v točki , potem so njegove koordinate rešitev sistemi linearnih enačb

Kako najti presečišče črt? Reši sistem.

Tukaj je za vas geometrijski smisel dva linearne enačbe z dvema neznankama sta dve (najpogosteje) sekajoči se premici na ravnini.

Primer 4

Poiščite presečišče črt

rešitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.

Grafični način je, da preprosto narišete dane črte in ugotovite presečišče neposredno iz risbe:

Tukaj je naša poanta: . Če želite preveriti, morate njene koordinate nadomestiti z vsako enačbo ravne črte, prilegati bi se morali tam in tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema . Pravzaprav smo razmišljali o grafičnem načinu reševanja sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.

Grafična metoda seveda ni slaba, vendar obstajajo opazne pomanjkljivosti. Ne, ne gre za to, da se sedmošolci tako odločijo, gre za to, da bo potreben čas, da se naredi pravilna in NATANČNA risba. Poleg tega nekaterih črt ni tako enostavno zgraditi, presečišče pa je lahko nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.

Zato je bolj smiselno iskati presečišče analitična metoda. Rešimo sistem:

Za rešitev sistema je bila uporabljena metoda počlenskega seštevanja enačb. Če želite razviti ustrezne veščine, obiščite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?

Odgovori:

Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo zadostiti vsaki enačbi sistema.

Primer 5

Poiščite presečišče premic, če se sekajo.

To je primer "naredi sam". Težavo je priročno razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Zapišite enačbo premice.
2) Zapišite enačbo premice.
3) Ugotovite relativni položaj črt.
4) Če se črti sekata, poiščite točko presečišča.

Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.

Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije:

Par čevljev še ni bil obrabljen, saj smo prišli do drugega dela lekcije:

Pravokotne črte. Razdalja od točke do črte.
Kot med črtami

Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili zgraditi ravno črto, vzporedno z dano, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:

Kako narisati črto pravokotno na dano?

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo . Napišite enačbo za pravokotno premico, ki poteka skozi točko.

rešitev: Po predpostavki je znano, da . Lepo bi bilo najti smerni vektor premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:

Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.

Enačbo premice sestavimo s točko in usmerjevalnim vektorjem:

Odgovori:

Razgrnimo geometrijsko skico:

Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.

Analitično preverjanje rešitve:

1) Iz enačb izvlecite smerne vektorje in s pomočjo pikčasti produkt vektorjev sklepamo, da sta premici res pravokotni: .

Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.

2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi .

Preverjanje je ponovno enostavno izvesti ustno.

Primer 7

Poiščite presečišče pravokotnih črt, če je enačba znana in pika.

To je primer "naredi sam". V nalogi je več dejanj, zato je priročno urediti rešitev po točkah.

Naše razburljivo potovanje se nadaljuje:

Razdalja od točke do črte

Pred nami je raven pas reke in naša naloga je, da ga dosežemo po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo gibanje vzdolž pravokotnice. To pomeni, da je razdalja od točke do črte dolžina pravokotnega segmenta.

Razdalja v geometriji se tradicionalno označuje z grško črko "ro", na primer: - razdalja od točke "em" do premice "de".

Razdalja od točke do črte je izražena s formulo

Primer 8

Poiščite razdaljo od točke do črte

rešitev: vse, kar morate, je, da natančno vstavite številke v formulo in naredite izračune:

Odgovori:

Izvedimo risbo:

Najdena razdalja od točke do črte je natanko dolžina rdečega segmenta. Če naredite risbo na karirastem papirju v merilu 1 enote. \u003d 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.

Razmislite o drugi nalogi po isti risbi:

Naloga je najti koordinate točke , ki je simetrična točki glede na premico . Predlagam, da dejanja izvedete sami, vendar bom orisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:

1) Poišči premico, ki je pravokotna na premico.

2) Poiščite presečišče črt: .

Oba dejanja sta podrobno obravnavana v tej lekciji.

3) Točka je razpolovna točka odseka. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor: formule za koordinate sredine segmenta najti .

Ne bo odveč preveriti, ali je tudi razdalja enaka 2,2 enoti.

Tukaj lahko nastanejo težave pri izračunih, vendar v stolpu veliko pomaga mikrokalkulator, ki vam omogoča štetje navadni ulomki. Večkrat sem svetoval in bom ponovno priporočil.

Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?

Primer 9

Poišči razdaljo med dvema vzporednima premicama

To je še en primer neodvisne rešitve. Majhen namig: načinov za rešitev je neskončno veliko. Povzetek na koncu lekcije, vendar raje poskusite uganiti sami, mislim, da vam je uspelo dobro razpršiti svojo iznajdljivost.

Kot med dvema premicama

Kar vogal, pa podboj:


Kot med dvema premicama se v geometriji šteje za MANJŠI kot, iz česar samodejno sledi, da ne more biti top. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočima se črtama. In njen “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeniškrlatni kotiček.

Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.

Kako se koti razlikujejo? Orientacija. Prvič, smer "drsenja" vogala je bistveno pomembna. Drugič, negativno usmerjen kot je zapisan z znakom minus, na primer, če .

Zakaj sem to rekel? Zdi se, da lahko preživite z običajnim konceptom kota. Dejstvo je, da lahko v formulah, s katerimi bomo iskali kote, zlahka dobimo negativen rezultat, kar vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi za negativni kot je obvezno s puščico označiti njegovo usmeritev (v smeri urinega kazalca).

Kako najti kot med dvema premicama? Obstajata dve delovni formuli:

Primer 10

Poiščite kot med črtami

rešitev in Prva metoda

Razmislite o dveh ravnih črtah, podanih z enačbami v splošni pogled:

Če naravnost ne pravokotno, To usmerjeno kot med njima lahko izračunamo po formuli:

Bodimo pozorni na imenovalec – točno to je skalarni produkt smerni vektorji ravnih črt:

Če , potem imenovalec formule izgine in vektorji bodo pravokotni, premice pa pravokotne. Zato je bil v formulaciji narejen pridržek glede nepravokotnosti črt.

Na podlagi zgoraj navedenega je rešitev priročno formalizirana v dveh korakih:

1) Izračunajte skalarni produkt usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
torej črte niso pravokotne.

2) Kot med črtami najdemo po formuli:

Z uporabo inverzna funkcija enostavno najti sam kotiček. V tem primeru uporabimo neparnost arc tangente (glej sl. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):

Odgovori:

V odgovoru navedite točna vrednost, kot tudi približno vrednost (po možnosti v stopinjah in radianih), izračunano s kalkulatorjem.

No, minus, torej minus, ni kaj. Tukaj je geometrijska ilustracija:

Ni presenetljivo, da se je izkazalo, da je kot negativne usmeritve, saj je v pogoju problema prva številka ravna črta in "zvijanje" kota se je začelo prav od nje.

Če res želite dobiti pozitiven kot, morate ravne črte zamenjati, to je vzeti koeficiente iz druge enačbe in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim .

Opredelitev.Če sta podani dve premici y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , potem oster kot med temi vrsticami bo definiran kot

Dve premici sta vzporedni, če je k 1 = k 2 . Premici sta pravokotni, če je k 1 = -1/ k 2 .

Izrek. Ravne črte Ax + Vy + C \u003d 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 so vzporedne, ko so koeficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sorazmerni. Če je tudi С 1 = λС, potem premice sovpadajo. Koordinate presečišča dveh premic najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko

Pravokotno na to črto

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in je pravokotna na premico y \u003d kx + b, je predstavljena z enačbo:

Razdalja od točke do črte

Izrek.Če je podana točka M(x 0, y 0), potem je razdalja do črte Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kot

.

Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščene iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M ​​1:

(1)

Koordinati x 1 in y 1 je mogoče najti kot rešitev sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 je pravokotna na dano premico. Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Primer. Določite kot med premicama: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primer. Dokaži, da sta premici 3x - 5y + 7 = 0 in 10x + 6y - 3 = 0 pravokotni.

rešitev. Najdemo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, torej so črte pravokotne.

Primer. Podana so oglišča trikotnika A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite enačbo za višino, narisano iz oglišča C.

rešitev. Najdemo enačbo stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Želena enačba višine je: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b. k = . Potem je y = . Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate zadovoljujejo to enačbo: od koder je b = 17. Skupaj: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema premicama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh premic. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , l 1) v dani smeri, določeni z naklonom k,

l - l 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira svinčnik črt, ki potekajo skozi točko A(x 1 , l 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , l 1) in B(x 2 , l 2) je zapisano takole:

Naklon premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo premico A okrog presečišča teh črt v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve premici podani z enačbami naklona

l = k 1 x + B 1 ,

l = k 2 x + B 2 , (4)

potem je kot med njima določen s formulo

Upoštevati je treba, da se v števcu ulomka naklon prve premice odšteje od naklona druge premice.

Če so enačbe premice podane v splošni obliki

A 1 x + B 1 l + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 l + C 2 = 0, (6)

kot med njima je določen s formulo

4. Pogoji za vzporednost dveh premic:

a) Če so premice podane z enačbami (4) z naklonom, potem je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost enakost njihovih naklonov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za primer, ko so premice podane z enačbami v splošni obliki (6), je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost ta, da so koeficienti pri pripadajočih trenutnih koordinatah v njihovih enačbah sorazmerni, tj.

5. Pogoji za pravokotnost dveh črt:

a) V primeru, ko so premice podane z enačbami (4) z naklonom, je nujen in zadosten pogoj za njihovo pravokotnost ta, da so njihovi nakloni recipročni po velikosti in nasprotni predznaki, tj.

Ta pogoj lahko zapišemo tudi v obrazec

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Če so enačbe premic podane v splošni obliki (6), potem je pogoj za njihovo pravokotnost (potrebno in zadostno) izpolnjena enakost

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinate presečišča dveh premic najdemo z reševanjem sistema enačb (6). Premice (6) se sekajo, če in samo če

1. Napišite enačbe premic, ki potekajo skozi točko M, od katerih je ena vzporedna, druga pa pravokotna na dano premico l.

To gradivo je posvečeno konceptu kota med dvema sekajočima se ravnima črtama. V prvem odstavku bomo pojasnili, kaj to je, in to prikazali v ilustracijah. Nato bomo analizirali, kako lahko najdete sinus, kosinus tega kota in sam kot (ločeno bomo obravnavali primere z ravnino in tridimenzionalnim prostorom), dali bomo potrebne formule in s primeri pokazali, kako natančno se uporabljajo v praksi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bi razumeli, kaj je kot, ki nastane v presečišču dveh premic, se moramo spomniti same definicije kota, pravokotnosti in presečišča.

Definicija 1

Dve premici pravimo sekajoči se, če imata eno skupna točka. To točko imenujemo točka presečišča obeh premic.

Vsaka črta je s točko presečišča razdeljena na žarke. V tem primeru obe črti tvorita 4 kote, od katerih sta dva navpična in dva sosednja. Če poznamo mero enega od njih, potem lahko določimo ostale preostale.

Recimo, da vemo, da je eden od kotov enak α. V tem primeru bo tudi kot, ki je navpičen nanj, enak α. Da bi našli preostale kote, moramo izračunati razliko 180 ° - α . Če je α enako 90 stopinj, bodo vsi koti pravi. Črte, ki se sekajo pod pravim kotom, imenujemo pravokotne (konceptu pravokotnosti je posvečen ločen članek).

Oglejte si sliko:

Nadaljujemo z oblikovanjem glavne definicije.

Definicija 2

Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se premici, je mera manjšega od 4 kotov, ki tvorita ti dve premici.

Iz definicije je treba potegniti pomemben zaključek: velikost kota bo v tem primeru izražena s poljubnim realnim številom v intervalu (0 , 90 ] . Če so črte pravokotne, bo kot med njima v vsakem primeru enak enako 90 stopinj.

Sposobnost iskanja mere kota med dvema sekajočima se premicama je uporabna za reševanje številnih praktičnih problemov. Metodo rešitve lahko izberete med več možnostmi.

Za začetek lahko vzamemo geometrijske metode. Če vemo nekaj o dodatnih kotih, jih lahko z lastnostmi enakih ali podobnih oblik povežemo s kotom, ki ga potrebujemo. Na primer, če poznamo stranice trikotnika in moramo izračunati kot med premicami, na katerih se te stranice nahajajo, potem je kosinusni izrek primeren za reševanje. Če imamo v stanju pravokotni trikotnik, potem bomo za izračune potrebovali tudi poznavanje sinusa, kosinusa in tangensa kota.

Tudi koordinatna metoda je zelo priročna za reševanje tovrstnih problemov. Razložimo, kako ga pravilno uporabljati.

Imamo pravokotni (kartezični) koordinatni sistem O x y z dvema premicama. Označimo jih s črkama a in b. V tem primeru lahko ravne črte opišemo s poljubnimi enačbami. Prvotne črte imajo presečišče M . Kako določiti želeni kot (označimo ga z α) med temi premicami?

Začnimo s formulacijo osnovnega principa iskanja kota pod danimi pogoji.

Vemo, da sta koncepta, kot sta usmerjanje in normalni vektor, tesno povezana s pojmom ravne črte. Če imamo enačbo neke premice, lahko iz nje vzamemo koordinate teh vektorjev. To lahko naredimo za dve sekajoči se premici hkrati.

Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se premici, lahko najdete z:

• kot med smernimi vektorji;
• kot med normalnimi vektorji;
• kot med normalnim vektorjem ene premice in smernim vektorjem druge.

Zdaj pa si poglejmo vsako metodo posebej.

1. Recimo, da imamo premico a s smernim vektorjem a → = (a x , a y) in premico b s smernim vektorjem b → (b x , b y) . Sedaj odložimo dva vektorja a → in b → iz presečišča. Po tem bomo videli, da se bodo nahajali vsak na svoji liniji. Potem imamo štiri možnosti za njih relativni položaj. Glej sliko:

Če kot med dvema vektorjema ni top, potem bo to kot, ki ga potrebujemo med sekajočima se premicama a in b. Če je top, bo želeni kot enak kotu, ki meji na kot a → , b → ^ . Tako je α = a → , b → ^, če je a → , b → ^ ≤ 90 ° , in α = 180 ° - a → , b → ^, če je a → , b → ^ > 90 ° .

Od kosinusov enaki koti enaki, lahko nastale enakosti prepišemo takole: cos α = cos a → , b → ^ če je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ če je a → , b → ^ > 90 ° .

V drugem primeru so bile uporabljene redukcijske formule. torej

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapišimo zadnjo formulo z besedami:

Definicija 3

Kosinus kota, ki ga tvorita dve sekajoči se črti, bo enak modulu kosinusa kota med njunima smernima vektorjema.

Splošna oblika formule za kosinus kota med dvema vektorjema a → = (a x, a y) in b → = (b x, b y) je videti takole:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz nje lahko izpeljemo formulo za kosinus kota med dvema danima premicama:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Nato lahko sam kot najdete z naslednjo formulo:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja danih premic.

Naj navedemo primer rešitve problema.

Primer 1

V pravokotnem koordinatnem sistemu sta na ravnini dani sekajoči se premici a in b. Lahko jih opišemo s parametričnimi enačbami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R in x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte kot med tema premicama.

rešitev

V pogoju imamo parametrično enačbo, kar pomeni, da lahko za to premico takoj zapišemo koordinate njenega smernega vektorja. Da bi to naredili, moramo vzeti vrednosti koeficientov pri parametru, tj. premica x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bo imela smerni vektor a → = (4 , 1) .

Druga premica je opisana s kanonično enačbo x 5 = y - 6 - 3 . Tukaj lahko vzamemo koordinate iz imenovalcev. Tako ima ta premica smerni vektor b → = (5 , - 3) .

Nato nadaljujemo neposredno z iskanjem kota. Če želite to narediti, preprosto nadomestite razpoložljive koordinate obeh vektorjev v zgornjo formulo α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobimo naslednje:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odgovori: Te črte tvorijo kot 45 stopinj.

Podoben problem lahko rešimo tako, da poiščemo kot med normalnimi vektorji. Če imamo premico a z normalnim vektorjem n a → = (n a x , n a y) in premico b z normalnim vektorjem n b → = (n b x , n b y) , potem bo kot med njima enak kotu med n a → in n b → ali kot, ki meji na n a → , n b → ^ . Ta metoda je prikazana na sliki:

Formule za izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami in tega kota s pomočjo koordinat normalnih vektorjev izgledajo takole:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tukaj n a → in n b → označujeta normalna vektorja dveh danih premic.

Primer 2

Dve ravni črti sta podani v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbama 3 x + 5 y - 30 = 0 in x + 4 y - 17 = 0 . Poiščite sinus, kosinus kota med njima in velikost tega kota.

rešitev

Izvirne premice so podane z enačbami normalnih premic v obliki A x + B y + C = 0 . Označimo normalni vektor n → = (A , B) . Poiščimo koordinate prvega normalnega vektorja za eno premico in jih zapišimo: n a → = (3 , 5) . Za drugo premico x + 4 y - 17 = 0 bo normalni vektor imel koordinate n b → = (1 , 4) . Zdaj dodajte dobljene vrednosti v formulo in izračunajte skupno:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Če poznamo kosinus kota, potem lahko izračunamo njegov sinus z uporabo osnove trigonometrična identiteta. Ker kot α, ki ga tvorijo ravne črte, ni top, potem je sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tem primeru je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo zadnji primer - iskanje kota med premicami, če poznamo koordinate usmerjevalnega vektorja ene premice in normalnega vektorja druge.

Predpostavimo, da ima premica a smerni vektor a → = (a x , a y) , premica b pa normalni vektor n b → = (n b x , n b y) . Te vektorje moramo odložiti od presečišča in upoštevati vse možnosti za njihov relativni položaj. Glej sliko:

Če kot med danima vektorjema ni večji od 90 stopinj, se izkaže, da bo dopolnil kot med a in b do pravega kota.

a →, n b → ^ = 90° - α, če je a →, n b → ^ ≤ 90°.

Če je manj kot 90 stopinj, dobimo naslednje:

a → , n b → ^ > 90 ° , potem a → , n b → ^ = 90 ° + α

S pravilom enakosti kosinusov enakih kotov zapišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

torej

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Oblikujmo zaključek.

Definicija 4

Če želite najti sinus kota med dvema premicama, ki se sekata v ravnini, morate izračunati modul kosinusa kota med smernim vektorjem prve črte in normalnim vektorjem druge.

Zapišimo potrebne formule. Iskanje sinusa kota:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Iskanje samega kotička:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu je a → smerni vektor prve črte, n b → normalni vektor druge.

Primer 3

Dve sekajoči se premici sta podani z enačbama x - 5 = y - 6 3 in x + 4 y - 17 = 0 . Poiščite kot presečišča.

rešitev

Iz podanih enačb vzamemo koordinate smernega in normalnega vektorja. Izkazalo se je a → = (- 5 , 3) ​​​​in n → b = (1 , 4) . Vzamemo formulo α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 in upoštevamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Upoštevajte, da smo vzeli enačbe iz prejšnjega problema in dobili popolnoma enak rezultat, vendar na drugačen način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Tukaj je še en način za iskanje želenega kota z uporabo koeficientov naklona danih črt.

Imamo premico a, ki je definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbo y = k 1 · x + b 1, in premico b, definirano kot y = k 2 · x + b 2. To so enačbe premic z naklonom. Če želite najti kot presečišča, uporabite formulo:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kjer sta k 1 in k 2 faktorji naklona dane vrstice. Za pridobitev tega zapisa so bile uporabljene formule za določanje kota skozi koordinate normalnih vektorjev.

Primer 4

V ravnini se sekata dve premici, podani z enačbama y = - 3 5 x + 6 in y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte presečni kot.

rešitev

Nakloni naših premic so enaki k 1 = - 3 5 in k 2 = - 1 4 . Prištejmo jih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 in izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

V sklepih tega odstavka je treba opozoriti, da se tukaj podanih formul za iskanje kota ni treba naučiti na pamet. Če želite to narediti, zadostuje, da poznate koordinate vodil in/ali normalnih vektorjev danih črt in jih znate določiti iz različni tipi enačbe. Toda formule za izračun kosinusa kota je bolje zapomniti ali zapisati.

Kako izračunati kot med sekajočimi se črtami v prostoru

Izračun takšnega kota se lahko zmanjša na izračun koordinat smernih vektorjev in določitev velikosti kota, ki ga tvorijo ti vektorji. Za takšne primere se uporabljajo isti argumenti, kot smo jih navedli prej.

Recimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem v 3D prostoru. Vsebuje dve premici a in b s presečiščem M . Za izračun koordinat smernih vektorjev moramo poznati enačbe teh premic. Označimo smerne vektorje a → = (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kota med njima uporabimo formulo:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Za iskanje samega kota potrebujemo to formulo:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primer 5

Imamo ravno črto, definirano v 3D prostoru z enačbo x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Znano je, da seka z osjo O z. Izračunajte presečni kot in kosinus tega kota.

rešitev

Kot, ki ga izračunamo, označimo s črko α. Zapišimo koordinate vektorja smeri za prvo premico - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za aplicirano os lahko kot vodilo vzamemo koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1). Prejeli smo potrebne podatke in jih lahko dodamo želeni formuli:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kot rezultat smo dobili, da bo kot, ki ga potrebujemo, enak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Vsakemu študentu, ki se pripravlja na izpit iz matematike, bo koristno ponoviti temo "Iskanje kota med črtami". Kot kažejo statistični podatki, pri opravljanju certifikacijskega preizkusa naloge v tem delu stereometrije povzročajo težave veliko številoštudenti. Hkrati so naloge, ki zahtevajo iskanje kota med ravnimi črtami, v USE na osnovni in profilni ravni. To pomeni, da bi jih moral vsak znati rešiti.

Osnovni trenutki

Obstajajo 4 vrste medsebojne razporeditve črt v prostoru. Lahko sovpadajo, sekajo, so vzporedne ali se sekajo. Kot med njima je lahko oster ali raven.

Da bi našli kot med črtami v Enotnem državnem izpitu ali na primer v rešitvi, lahko šolarji v Moskvi in ​​drugih mestih uporabijo več metod za reševanje problemov v tem delu stereometrije. Nalogo lahko dokončate s klasičnimi konstrukcijami. Da bi to naredili, se je vredno naučiti osnovnih aksiomov in izrekov stereometrije. Študent mora biti sposoben logično sklepati in ustvarjati risbe, da nalogo pripelje do planimetričnega problema.

Uporabite lahko tudi metodo vektorskih koordinat z uporabo preprostih formul, pravil in algoritmov. Glavna stvar v tem primeru je pravilno izvesti vse izračune. Izobraževalni projekt Shkolkovo vam bo pomagal izpopolniti svoje sposobnosti pri reševanju problemov v stereometriji in drugih delih šolskega tečaja.