V tej lekciji si bomo ogledali, kako uporabiti determinanto za ustvarjanje enačba ravnine. Če ne veste, kaj je determinanta, pojdite na prvi del lekcije - "Matrike in determinante". V nasprotnem primeru tvegate, da v današnjem gradivu ne boste ničesar razumeli.

Enačba ravnine s tremi točkami

Zakaj sploh potrebujemo enačbo ravnine? Preprosto je: če ga poznamo, zlahka izračunamo kote, razdalje in druge bedarije v nalogi C2. Na splošno brez te enačbe ne gre. Zato formuliramo problem:

Naloga. V prostoru so podane tri točke, ki ne ležijo na isti premici. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Ustvariti morate enačbo za ravnino, ki poteka skozi te tri točke. Poleg tega bi morala enačba izgledati takole:

Ax + By + Cz + D = 0

kjer so števila A, B, C in D koeficienti, ki jih je dejansko treba najti.

No, kako dobiti enačbo ravnine, če so znane samo koordinate točk? Najlažji način je, da koordinate nadomestimo v enačbo Ax + By + Cz + D = 0. Dobimo sistem treh enačb, ki jih je enostavno rešiti.

Mnogi študenti menijo, da je ta rešitev izjemno dolgočasna in nezanesljiva. Lanskoletni enotni državni izpit iz matematike je pokazal, da je verjetnost računske napake res velika.

Zato so najnaprednejši učitelji začeli iskati enostavnejše in elegantnejše rešitve. In našli so ga! Res je, prejeti sprejem se bolj nanaša na višja matematika. Osebno sem moral brskati po celotnem Zveznem seznamu učbenikov, da sem se prepričal, da imamo pravico uporabljati to tehniko brez kakršne koli utemeljitve ali dokazov.

Enačba ravnine skozi determinanto

Dovolj besedil, pojdimo k poslu. Za začetek izrek o tem, kako sta determinanta matrike in enačba ravnine povezani.

Izrek. Naj bodo podane koordinate treh točk, skozi katere je treba narisati ravnino: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Potem lahko enačbo te ravnine zapišemo skozi determinanto:

Na primer, poskusimo najti par ravnin, ki se dejansko pojavljajo v problemih C2. Poglejte, kako hitro se vse izračuna:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Sestavimo determinanto in jo enačimo z ničlo:

Razširimo determinanto:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kot vidite, sem pri izračunu števila d enačbo malo "prečesal", da so bile spremenljivke x, y in z v pravilnem zaporedju. To je vse! Enačba ravnine je pripravljena!

Naloga. Zapišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Koordinate točk takoj nadomestimo v determinanto:

Spet razširimo determinanto:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Torej, spet dobimo enačbo ravnine! Še enkrat, naprej zadnji korak Moral sem spremeniti znake v njem, da sem dobil "lepšo" formulo. V tej rešitvi tega sploh ni potrebno storiti, vendar je še vedno priporočljivo - za poenostavitev nadaljnje rešitve problema.

Kot lahko vidite, je sestavljanje enačbe ravnine zdaj veliko lažje. Točke nadomestimo v matriko, izračunamo determinanto - in to je to, enačba je pripravljena.

To bi lahko končalo lekcijo. Vendar mnogi učenci nenehno pozabljajo, kaj je znotraj determinante. Na primer, katera vrstica vsebuje x 2 ali x 3 in katera vrstica vsebuje samo x. Da bi se temu res izognili, poglejmo, od kod prihaja posamezna številka.

Od kod formula z determinanto?

Torej, ugotovimo, od kod prihaja tako ostra enačba z determinanto. To vam bo pomagalo, da si ga zapomnite in ga uspešno uporabite.

Vse ravnine, ki se pojavljajo v nalogi C2, so določene s tremi točkami. Te točke so vedno označene na risbi ali celo označene neposredno v besedilu problema. V vsakem primeru bomo morali za sestavo enačbe zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Oglejmo si še eno točko na naši ravnini s poljubnimi koordinatami:

T = (x, y, z)

Vzemite katero koli točko iz prvih treh (na primer točko M) in iz nje narišite vektorje v vsako od treh preostalih točk. Dobimo tri vektorje:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Zdaj pa iz teh vektorjev sestavimo kvadratno matriko in njeno determinanto enačimo z nič. Koordinate vektorjev bodo postale vrstice matrike - in dobili bomo tisto determinanto, ki je navedena v izreku:

Ta formula pomeni, da je prostornina paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih MN, MK in MT, enaka nič. Zato vsi trije vektorji ležijo v isti ravnini. Zlasti poljubna točka T = (x, y, z) je točno to, kar smo iskali.

Zamenjava točk in premic determinante

Determinante imajo več odličnih lastnosti, zaradi katerih je še lažje rešitev problema C2. Na primer, ni nam pomembno, iz katere točke narišemo vektorje. Zato naslednje determinante dajejo enako enačbo ravnine kot zgornja:

Vrstici determinante lahko tudi zamenjate. Enačba bo ostala nespremenjena. Mnogi ljudje na primer radi napišejo črto s koordinatami točke T = (x; y; z) čisto na vrhu. Prosimo, če vam ustreza:

Nekatere ljudi zmoti dejstvo, da ena od črt vsebuje spremenljivke x, y in z, ki ne izginejo pri zamenjavi točk. Ampak ne smejo izginiti! Če številke zamenjate v determinanto, bi morali dobiti to konstrukcijo:

Nato se determinanta razširi v skladu z diagramom, podanim na začetku lekcije, in dobimo standardno enačbo ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Oglejte si primer. To je zadnja v današnji lekciji. Premici bom namerno zamenjal, da se prepričam, da bo odgovor dal isto enačbo ravnine.

Naloga. Zapišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Torej upoštevamo 4 točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najprej ustvarimo standardno determinanto in jo enačimo z nič:

Razširimo determinanto:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.

Zdaj pa preuredimo nekaj vrstic v determinanti in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Na primer, napišimo vrstico s spremenljivkami x, y, z ne na dnu, ampak na vrhu:

Ponovno razširimo nastalo determinanto:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo popolnoma enako enačbo ravnine: x + y + z − 2 = 0. To pomeni, da res ni odvisna od vrstnega reda vrstic. Preostane le še zapis odgovora.

Prepričani smo torej, da enačba ravnine ni odvisna od zaporedja premic. Izvedemo lahko podobne izračune in dokažemo, da enačba ravnine ni odvisna od točke, katere koordinate odštejemo od drugih točk.

V zgoraj obravnavanem problemu smo uporabili točko B 1 = (1, 0, 1), vendar je bilo povsem mogoče vzeti C = (1, 1, 0) ali D 1 = (0, 1, 1). Na splošno katera koli točka z znanimi koordinatami, ki leži na želeni ravnini.

Da lahko skozi poljubne tri točke prostora narišemo eno ravnino, je potrebno, da te točke ne ležijo na isti premici.

Upoštevajte točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v splošnem kartezičnem koordinatnem sistemu.

Da bi poljubna točka M(x, y, z) ležala v isti ravnini s točkami M 1, M 2, M 3, je potrebno, da sta vektorja komplanarna.

(
) = 0

torej

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke:

Enačba ravnine z dvema točkama in vektorjem, kolinearnim ravnini.

Naj sta podani točki M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) in vektor
.

Ustvarimo enačbo za ravnino, ki poteka skozi dani točki M 1 in M ​​2 ter poljubno točko M (x, y, z), ki je vzporedna z vektorjem .

Vektorji
in vektor
mora biti komplanarna, tj.

(
) = 0

Enačba ravnine:

Enačba ravnine z uporabo ene točke in dveh vektorjev,

kolinearno na ravnino.

Naj sta dana dva vektorja
in
, kolinearne ravnine. Nato za poljubno točko M(x, y, z), ki pripada ravnini, vektorji
mora biti komplanarna.

Enačba ravnine:

Enačba ravnine s točko in normalnim vektorjem .

Izrek. Če je v prostoru podana točka M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), potem enačba ravnine, ki poteka skozi točko M 0 pravokotno na normalni vektor (A, B, C) ima obliko:

A(x – x 0 ) + B(l – l 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dokaz. Za poljubno točko M(x, y, z), ki pripada ravnini, sestavimo vektor. Ker vektor je normalni vektor, potem je pravokoten na ravnino in zato pravokoten na vektor
. Nato skalarni produkt

= 0

Tako dobimo enačbo ravnine

Izrek je dokazan.

Enačba ravnine v segmentih.

Če v splošni enačbi Ax + Bi + Cz + D = 0 delimo obe strani z (-D)

,

zamenjava
, dobimo enačbo ravnine v segmentih:

Števila a, b, c so presečišča ravnine z osmi x, y, z.

Enačba ravnine v vektorski obliki.

Kje

- radij vektorja trenutne točke M(x, y, z),

Enotski vektor, ki ima smer navpičnice, spuščene na ravnino iz izhodišča.

,  in  so koti, ki jih tvori ta vektor z osemi x, y, z.

p je dolžina te navpičnice.

V koordinatah je ta enačba videti takole:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Razdalja od točke do ravnine.

Razdalja od poljubne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax+By+Cz+D=0 je:

Primer. Poiščite enačbo ravnine, pri čemer veste, da je točka P(4; -3; 12) osnova navpičnice, spuščene iz izhodišča na to ravnino.

Torej A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, uporabimo formulo:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Primer. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi dve točki P(2; 0; -1) in

Q(1; -1; 3) pravokotno na ravnino 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalni vektor na ravnino 3x + 2y – z + 5 = 0
vzporedno z želeno ravnino.

Dobimo:

Primer. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke A(2, -1, 4) in

B(3, 2, -1) pravokotno na ravnino X + pri + 2z – 3 = 0.

Zahtevana enačba ravnine ima obliko: A x+B l+C z+ D = 0, normalni vektor na to ravnino (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) pripada ravnini. Ravnina, ki nam je dana, pravokotna na želeno, ima normalni vektor (1, 1, 2). Ker točki A in B pripadata obema ravninama, ravnini pa sta medsebojno pravokotni, torej

Torej normalni vektor (11, -7, -2). Ker točka A pripada želeni ravnini, potem morajo njene koordinate zadoščati enačbi te ravnine, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Skupaj dobimo enačbo ravnine: 11 x - 7l – 2z – 21 = 0.

Primer. Poiščite enačbo ravnine, pri čemer veste, da je točka P(4, -3, 12) osnova navpičnice, spuščene iz izhodišča na to ravnino.

Iskanje koordinat normalnega vektorja
= (4, -3, 12). Zahtevana enačba ravnine ima obliko: 4 x – 3l + 12z+ D = 0. Da bi našli koeficient D, nadomestimo koordinate točke P v enačbo:

16 + 9 + 144 + D = 0

Skupaj dobimo zahtevano enačbo: 4 x – 3l + 12z – 169 = 0

Primer. Podane so koordinate oglišč piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Poišči dolžino roba A 1 A 2.

Poiščite kot med robovoma A 1 A 2 in A 1 A 4.

Poiščite kot med robom A 1 A 4 in ploskvijo A 1 A 2 A 3.

Najprej poiščemo normalni vektor na ploskev A 1 A 2 A 3 kot navzkrižni produkt vektorjev
in
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Poiščimo kot med normalnim vektorjem in vektorjem
.

-4 – 4 = -8.

Želeni kot  med vektorjem in ravnino bo enak  = 90 0 - .

Poiščite površino obraza A 1 A 2 A 3.

Poiščite prostornino piramide.

Poiščite enačbo ravnine A 1 A 2 A 3.

Uporabimo formulo za enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Pri uporabi računalniške različice » Tečaj višje matematike” lahko zaženete program, ki bo rešil zgornji primer za poljubne koordinate oglišč piramide.

Za zagon programa dvakrat kliknite na ikono:

V okno programa, ki se odpre, vnesite koordinate oglišč piramide in pritisnite Enter. Na ta način je mogoče pridobiti vse odločitvene točke eno za drugo.

Opomba: Za zagon programa mora biti v vašem računalniku nameščen program Maple ( Waterloo Maple Inc.) katere koli različice, začenši z MapleV Release 4.

Enačba ravnine. Kako napisati enačbo ravnine?
Medsebojni dogovor letala. Naloge

Prostorska geometrija ni veliko bolj zapletena kot "ravna" geometrija in naši poleti v vesolju se začnejo s tem člankom. Če želite obvladati temo, morate dobro razumeti vektorji, poleg tega je priporočljivo poznati geometrijo letala - veliko bo podobnosti, veliko analogij, zato bodo informacije veliko bolje prebavljene. V nizu mojih lekcij se 2D svet odpre s člankom Enačba premice na ravnini. Toda zdaj je Batman zapustil ploski TV zaslon in se izstreli s kozmodroma Baikonur.

Začnimo z risbami in simboli. Shematsko lahko ravnino narišemo v obliki paralelograma, ki ustvarja vtis prostora:

Letalo je neskončno, vendar imamo možnost upodobiti le delček tega. V praksi se poleg paralelograma nariše tudi oval ali celo oblak. Zaradi tehničnih razlogov mi bolj ustreza, da letalo upodobim točno na ta način in v točno tem položaju. Prava letala, ki jih bomo obravnavali v praktični primeri, lahko postavite na kakršen koli način - miselno vzemite risbo v roke in jo zavrtite v prostoru, tako da ravnini daste kakršen koli naklon, kateri koli kot.

Poimenovanja: letala so običajno označena z malimi grškimi črkami, očitno zato, da jih ne bi zamenjali z premica na ravnini ali z ravna črta v prostoru. Navajen sem uporabljati pismo. Na risbi je črka "sigma" in sploh ne luknja. Čeprav je luknjasto letalo zagotovo precej smešno.

V nekaterih primerih je priročno uporabiti iste grške črke z nižjimi indeksi za označevanje ravnin, na primer .

Očitno je, da ravnino enolično določajo tri različne točke, ki ne ležijo na isti premici. Zato so tričrkovne oznake ravnin zelo priljubljene - na primer po točkah, ki jim pripadajo itd. Črke so pogosto v oklepajih: , da ne bi zamenjali ravnine z drugim geometrijskim likom.

Za izkušene bralce bom dal meni za hitri dostop:

• Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in dveh vektorjev?
• Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

in ne bomo dolgo čakali:

Splošna enačba ravnine

Splošna enačba ravnine ima obliko , kjer koeficienti niso hkrati enaki nič.

Številni teoretični izračuni in praktični problemi velja tako za običajno ortonormirano bazo kot za afino bazo prostora (če je olje olje, se vrnite k lekciji Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev). Zaradi poenostavitve bomo predpostavili, da se vsi dogodki zgodijo v ortonormirani bazi in kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zdaj pa malo vadimo našo prostorsko domišljijo. Nič hudega, če je vaš slab, zdaj ga bomo malo razvili. Tudi igranje na živce zahteva trening.

V najbolj splošnem primeru, ko števila niso enaka nič, ravnina seka vse tri koordinatne osi. Na primer takole:

Še enkrat ponavljam, da se ravnina nadaljuje v nedogled v vse smeri in imamo možnost upodobiti le njen del.

Razmislimo o najpreprostejših enačbah ravnin:

Kako razumeti to enačbo? Pomislite: »Z« je VEDNO enak nič, za vse vrednosti »X« in »Y«. To je enačba "domače" koordinatne ravnine. Pravzaprav je formalno enačbo mogoče prepisati na naslednji način: , od koder lahko jasno vidite, da nam ni vseeno, kakšne vrednosti imata "x" in "y", pomembno je, da je "z" enak nič.

Enako:
– enačba koordinatne ravnine;
– enačba koordinatne ravnine.

Malo zakomplicirajmo problem, razmislimo o ravnini (tu in naprej v odstavku predpostavimo, da numerični koeficienti niso enaki nič). Zapišimo enačbo v obliki: . Kako to razumeti? "X" je VEDNO, za vse vrednosti "Y" in "Z", enako določenemu številu. Ta ravnina je vzporedna s koordinatno ravnino. Na primer, ravnina je vzporedna z ravnino in poteka skozi točko.

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino.

Dodajmo člane: . Enačbo lahko prepišemo na naslednji način: , to pomeni, da je »zet« lahko karkoli. Kaj to pomeni? “X” in “Y” sta povezana z relacijo, ki nariše določeno premico v ravnini (izvedeli boste enačba premice v ravnini?). Ker je "z" lahko karkoli, se ta ravna črta "replicira" na kateri koli višini. Tako enačba določa ravnino, vzporedno s koordinatno osjo

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo.

Če so prosti členi enaki nič, bodo ravnine neposredno prehajale skozi ustrezne osi. Na primer, klasična "neposredna sorazmernost": . Narišite ravno črto v ravnini in jo mentalno pomnožite navzgor in navzdol (ker je "Z" karkoli). Sklep: ravnina, ki jo določa enačba, poteka skozi koordinatno os.

Zaključimo pregled: enačba ravnine prehaja skozi izvor. No, tukaj je povsem očitno, da točka izpolnjuje to enačbo.

In končno primer, prikazan na risbi: – ravnina je prijateljska z vsemi koordinatnimi osemi, medtem ko vedno »odseka« trikotnik, ki se lahko nahaja v katerem koli od osmih oktantov.

Linearne neenakosti v prostoru

Če želite razumeti informacije, jih morate dobro preučiti linearne neenakosti v ravnini, saj bo marsikaj podobno. Odstavek bo kratkega preglednega značaja z več primeri, saj je gradivo v praksi precej redko.

Če enačba določa ravnino, potem neenakosti
vprašaj polprostori. Če neenačba ni stroga (zadnji dve na seznamu), potem rešitev neenačbe poleg polprostora vključuje tudi samo ravnino.

Primer 5

Poiščite enotski normalni vektor ravnine .

rešitev: Enotski vektor je vektor, katerega dolžina je ena. Označimo ta vektor z . Popolnoma jasno je, da so vektorji kolinearni:

Najprej odstranimo normalni vektor iz enačbe ravnine: .

Kako najti enotski vektor? Če želite najti enotski vektor, potrebujete vsak vektorsko koordinato delimo z vektorsko dolžino.

Prepišimo normalni vektor v obliki in poiščimo njegovo dolžino:

Glede na zgoraj navedeno:

Odgovori:

Preverjanje: kaj je bilo potrebno preveriti.

Bralci, ki so natančno preučili zadnji odstavek lekcije, so to verjetno opazili koordinate enotskega vektorja so točno smerni kosinusi vektorja:

Oddahnimo si od obravnavane težave: ko vam je dan poljuben vektor, ki ni nič, glede na pogoj pa je treba najti njegove smerne kosinuse (glej zadnje naloge lekcije Točkovni produkt vektorjev), potem dejansko najdete enotski vektor, kolinearen temu. Pravzaprav dve nalogi v eni steklenici.

Potreba po iskanju enotskega normalnega vektorja se pojavi pri nekaterih problemih matematične analize.

Ugotovili smo, kako najti normalni vektor, zdaj pa odgovorimo na nasprotno vprašanje:

Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

Ta toga konstrukcija normalnega vektorja in točke je dobro znana igralcem pikada. Iztegnite roko naprej in v mislih izberite poljubno točko v prostoru, na primer majhno mačko v kredenci. Očitno skozi to točko lahko narišete eno samo ravnino, pravokotno na vašo roko.

Enačba ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na vektor, je izražena s formulo:

V tem gradivu si bomo ogledali, kako najti enačbo ravnine, če poznamo koordinate treh različnih točk, ki ne ležijo na isti ravnini. Za to se moramo spomniti, kaj je pravokotni koordinatni sistem v tridimenzionalnem prostoru. Za začetek bomo predstavili osnovni princip te enačbe in natančno pokazali, kako jo uporabiti za reševanje specifičnih problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej se moramo spomniti enega aksioma, ki zveni takole:

Definicija 1

Če tri točke ne sovpadajo med seboj in ne ležijo na isti premici, potem v tridimenzionalnem prostoru skozi njih poteka samo ena ravnina.

Z drugimi besedami, če imamo tri različne točke, katerih koordinate ne sovpadajo in jih ni mogoče povezati z ravno črto, potem lahko določimo ravnino, ki poteka skozi to.

Recimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem. Označimo ga z O x y z. Vsebuje tri točke M s koordinatami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ki jih ni mogoče povezati. ravna črta. Na podlagi teh pogojev lahko zapišemo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo. Obstajata dva pristopa k reševanju tega problema.

1. Prvi pristop uporablja splošna enačba letalo. V obliki črk je zapisano kot A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Z njegovo pomočjo lahko v pravokotnem koordinatnem sistemu določimo določeno alfa ravnino, ki poteka skozi prvo dano točko M 1 (x 1, y 1, z 1). Izkazalo se je, da bo normalni vektor ravnine α imel koordinate A, B, C.

Opredelitev N

Če poznamo koordinate normalnega vektorja in koordinate točke, skozi katero poteka ravnina, lahko zapišemo splošno enačbo te ravnine.

Iz tega bomo izhajali tudi v prihodnje.

Tako imamo glede na pogoje problema koordinate želene točke (tudi treh), skozi katero poteka ravnina. Če želite najti enačbo, morate izračunati koordinate njenega normalnega vektorja. Označimo ga z n → .

Spomnimo se pravila: vsak neničelni vektor dane ravnine je pravokoten na normalni vektor iste ravnine. Potem imamo, da bo n → pravokoten na vektorje, sestavljene iz prvotnih točk M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 → . Potem lahko n → označimo kot vektorski produkt oblike M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Ker je M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) in M ​​1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi teh enakosti so podani v članku, posvečenem izračunu koordinat vektorja iz koordinat točk), potem se izkaže, da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Če izračunamo determinanto, dobimo koordinate normalnega vektorja n → potrebujemo. Zdaj lahko zapišemo enačbo, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri podane točke.

2. Drugi pristop k iskanju enačbe, ki poteka skozi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), temelji na konceptu koplanarnosti vektorjev.

Če imamo množico točk M (x, y, z), potem v pravokotnem koordinatnem sistemu določajo ravnino za dane točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo v primeru, ko so vektorji M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) in M ​​1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bosta komplanarna .

V diagramu bo videti takole:

To bo pomenilo, da bo mešani produkt vektorjev M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → enak nič: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , ker je to glavni pogoj komplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) in M ​​1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapišimo dobljeno enačbo v koordinatni obliki:

Ko izračunamo determinanto, lahko dobimo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo za tri točke, ki ne ležijo na isti premici M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Iz dobljene enačbe lahko preidete na enačbo ravnine v segmentih ali na normalno enačbo ravnine, če to zahtevajo pogoji problema.

V naslednjem odstavku bomo navedli primere, kako se pristopi, ki smo jih navedli, izvajajo v praksi.

Primeri nalog za sestavljanje enačbe ravnine, ki poteka skozi 3 točke

Prej smo identificirali dva pristopa, ki ju je mogoče uporabiti za iskanje želene enačbe. Oglejmo si, kako se uporabljajo za reševanje problemov in kdaj morate izbrati katerega od njih.

Primer 1

Obstajajo tri točke, ki ne ležijo na isti premici, s koordinatami M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi njih.

rešitev

Oba načina uporabljamo izmenično.

1. Poiščite koordinate dveh vektorjev, ki jih potrebujemo M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Zdaj pa izračunajmo njihov vektorski produkt. Izračunov determinante ne bomo opisovali:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo normalni vektor ravnine, ki poteka skozi tri zahtevane točke: n → = (- 5, 30, 2) . Nato moramo vzeti eno od točk, na primer M 1 (- 3, 2, - 1), in zapisati enačbo za ravnino z vektorjem n → = (- 5, 30, 2). Dobimo, da je: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To je enačba, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri točke.

2. Izberimo drugačen pristop. Zapišimo enačbo za ravnino s tremi točkami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v naslednji obrazec:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tukaj lahko nadomestite podatke iz izjave o problemu. Ker je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kot rezultat dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo enačbo, ki smo jo potrebovali.

odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Kaj pa, če dane točke še vedno ležijo na isti premici in moramo zanje sestaviti enačbo ravnine? Tukaj je treba takoj povedati, da ta pogoj ne bo povsem pravilen. Skozi takšne točke lahko poteka neskončno število ravnin, zato je nemogoče izračunati enoten odgovor. Razmislimo o takem problemu, da dokažemo nepravilnost takšne formulacije vprašanja.

Primer 2

V tridimenzionalnem prostoru imamo pravokotni koordinatni sistem, v katerem so postavljene tri točke s koordinatami M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Treba je napisati enačbo za ravnino, ki poteka skozi njo.

rešitev

Uporabimo prvo metodo in začnimo z izračunom koordinat dveh vektorjev M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Navzkrižni produkt bo enak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Ker je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, bodo naši vektorji kolinearni (ponovno preberite članek o njih, če ste pozabili definicijo tega pojma). Tako so začetne točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na isti premici in naš problem ima neskončno veliko možnosti odgovora.

Če uporabimo drugo metodo, dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz dobljene enakosti tudi sledi, da so dane točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na isti premici.

Če želite najti vsaj en odgovor na to težavo med neskončnim številom njenih možnosti, potem morate slediti tem korakom:

1. Zapišite enačbo premice M 1 M 2, M 1 M 3 ali M 2 M 3 (če je potrebno, si oglejte gradivo o tem dejanju).

2. Vzemimo točko M 4 (x 4, y 4, z 4), ki ne leži na premici M 1 M 2.

3. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri različne točke M 1, M 2 in M ​​4, ki ne ležijo na isti premici.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Recimo, da moramo najti enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici. Če njihove radijske vektorje označimo z in trenutni radijski vektor z , zlahka dobimo zahtevano enačbo v vektorski obliki. Pravzaprav morajo biti vektorji komplanarni (vsi ležijo v želeni ravnini). Zato mora biti vektorsko-skalarni produkt teh vektorjev enak nič:

To je enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke v vektorski obliki.

Če preidemo na koordinate, dobimo enačbo v koordinatah:

Če bi tri dane točke ležale na isti premici, bi bili vektorji kolinearni. Zato bi bili ustrezni elementi zadnjih dveh vrstic determinante v enačbi (18) sorazmerni in bi bila determinanta identično enaka nič. Posledično bi enačba (18) postala enaka za vse vrednosti x, y in z. Geometrijsko to pomeni, da skozi vsako točko v prostoru poteka ravnina, v kateri ležijo tri dane točke.

Opomba 1. Isti problem je mogoče rešiti brez uporabe vektorjev.

Če označimo koordinate treh danih točk, bomo zapisali enačbo katere koli ravnine, ki poteka skozi prvo točko:

Za pridobitev enačbe želene ravnine je potrebno zahtevati, da enačbi (17) zadostijo koordinate dveh drugih točk:

Iz enačb (19) je treba določiti razmerje med dvema koeficientoma in tretjim in ugotovljene vrednosti vnesti v enačbo (17).

Primer 1. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke.

Enačba ravnine, ki poteka skozi prvo od teh točk, bo:

Pogoji, da letalo (17) preleti še dve drugi točki in prvo točko, so:

Če dodamo drugo enačbo prvi, ugotovimo:

Če nadomestimo v drugo enačbo, dobimo:

Če nadomestimo v enačbo (17) namesto A, B, C oziroma 1, 5, -4 (števila, sorazmerna z njimi), dobimo:

Primer 2. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Enačba katere koli ravnine, ki poteka skozi točko (0, 0, 0), bo]

Pogoji za prehod te ravnine skozi točke (1, 1, 1) in (2, 2, 2) so:

Če drugo enačbo zmanjšamo za 2, vidimo, da za določitev dveh neznank obstaja ena enačba z

Od tu dobimo. Sedaj nadomestimo vrednost ravnine v enačbo in ugotovimo:

To je enačba želene ravnine; odvisno od poljubnega

količine B, C (in sicer iz relacije tj. skozi tri dane točke poteka neskončno število ravnin (tri dane točke ležijo na isti premici).

Opomba 2. Problem risanja ravnine skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici, zlahka rešimo v splošni pogled, če uporabimo determinante. Dejansko, ker v enačbah (17) in (19) koeficienti A, B, C ne morejo biti hkrati enaki nič, potem te enačbe obravnavamo kot homogeni sistem s tremi neznankami A, B, C zapišemo nujni in zadostni pogoj za obstoj rešitve tega sistema, ki je različna od nič (1. del, VI. poglavje, 6. odstavek):

Ko to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enačbo prve stopnje glede na trenutne koordinate, ki jo bodo zadovoljile zlasti koordinate treh danih točk.

To slednje lahko preverite tudi neposredno tako, da nadomestite koordinate katere koli od teh točk namesto . Na levi strani dobimo determinanto, v kateri so bodisi elementi prve vrstice ničle bodisi sta dve enaki vrstici. Tako sestavljena enačba predstavlja ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.