domov

Načini dokazovanja Pitagorovega izreka.

G. Glaser,
Akademik Ruske akademije za izobraževanje v Moskvi

O Pitagorovem izreku in kako ga dokazati

Ploščina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enaka vsoti ploščin kvadratov, zgrajenih na njegovih krakih ...

To je eden najbolj znanih geometrijskih izrekov antike, imenovan Pitagorov izrek. Še vedno jo poznajo skoraj vsi, ki so se kdaj učili planimetrije. Zdi se mi, da če vam želimo sporočiti nezemeljske civilizacije o obstoju inteligentnega življenja na Zemlji, potem je treba v vesolje poslati sliko Pitagorejskega lika. Mislim, da če bodo razmišljujoča bitja lahko sprejela to informacijo, bodo brez kompleksnega dekodiranja signala razumela, da je na Zemlji dokaj razvita civilizacija.

Slavni grški filozof in matematik Pitagora s Samosa, po katerem je izrek poimenovan, je živel pred približno 2,5 tisoč leti. Biografski podatki o Pitagori, ki so prišli do nas, so fragmentarni in daleč od zanesljivih. Z njegovim imenom je povezanih veliko legend. Verodostojno je znano, da je Pitagora veliko potoval po državah vzhoda, obiskal Egipt in Babilon. V eni od grških kolonij Južna Italija je ustanovil znamenito "pitagorejsko šolo", ki je imela pomembno vlogo v znanstveni in politično življenje Antična grčija. Prav Pitagora je zaslužen za dokaz znanega geometrijskega izreka. Na podlagi legend, ki so jih širili slavni matematiki (Proklo, Plutarh itd.), dolgo časa Veljalo je, da pred Pitagoro ta izrek ni bil znan, od tod tudi ime - Pitagorov izrek.

Vendar ni dvoma, da je bil ta izrek znan mnogo let pred Pitagoro. Torej, 1500 let pred Pitagoro so stari Egipčani vedeli, da je trikotnik s stranicami 3, 4 in 5 pravokoten, in uporabili to lastnost (tj. izrek, obratni izrek Pitagora) za konstruiranje pravih kotov pri načrtovanju zemljiške parcele in gradbenih konstrukcij. In še danes podeželski gradbeniki in tesarji, ki postavljajo temelje koče, izdelujejo njene podrobnosti, narišejo ta trikotnik, da dobijo pravi kot. Enako so storili pred tisočletji pri gradnji veličastnih templjev v Egiptu, Babilonu, na Kitajskem in verjetno v Mehiki. V najstarejšem kitajskem matematičnem in astronomskem delu, ki je prišlo do nas, Zhou-bi, napisanem približno 600 let pred Pitagoro, je med drugimi stavki, povezanimi s pravokotnim trikotnikom, tudi Pitagorov izrek. Še prej so ta izrek poznali Hindujci. Pitagora torej te lastnosti pravokotnega trikotnika ni odkril, verjetno jo je prvi posplošil in dokazal ter s tem prenesel s področja prakse na področje znanosti. Ne vemo, kako mu je to uspelo. Nekateri zgodovinarji matematike domnevajo, da kljub temu Pitagorov dokaz ni bil temeljen, ampak le potrditev, preverjanje te lastnosti na številnih posebnih vrstah trikotnikov, začenši z enakokrakim pravokotnim trikotnikom, za katerega očitno izhaja iz sl. 1.

Z Od antičnih časov so matematiki našli vse več dokazov Pitagorovega izreka, vedno več idej za njegove dokaze. Znanih je več kot sto in pol takšnih dokazov - bolj ali manj strogih, bolj ali manj vizualnih -, vendar se je ohranila želja po povečanju njihovega števila. Mislim, da bo samostojno "odkrivanje" dokazov Pitagorovega izreka koristno za sodobne šolarje.

Oglejmo si nekaj primerov dokazov, ki lahko nakazujejo smer takih iskanj.

Dokaz Pitagore

"Kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na njegovih katetah." Najenostavnejši dokaz izreka dobimo v najpreprostejšem primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika. Verjetno se je teorem začel z njim. Dejansko je dovolj samo pogledati razporeditev enakokrakih pravokotnih trikotnikov, da vidimo, da je izrek resničen. Na primer za DABC: kvadrat, zgrajen na hipotenuzi AU, vsebuje 4 začetne trikotnike in kvadrate, zgrajene na krakih po dva. Izrek je dokazan.

Dokazi, ki temeljijo na uporabi koncepta enake površine figur.

Hkrati lahko upoštevamo dokaze, v katerih je kvadrat, zgrajen na hipotenuzi danega pravokotnega trikotnika, "sestavljen" iz istih likov kot kvadrati, zgrajeni na katetah. Upoštevamo lahko tudi takšne dokaze, v katerih je uporabljena permutacija členov slik in upoštevane številne nove zamisli.

Na sl. 2 prikazuje dva enaka kvadrata. Dolžine stranic vsakega kvadrata so a + b. Vsak od kvadratov je razdeljen na dele, sestavljene iz kvadratov in pravokotnih trikotnikov. Jasno je, da če štirikratno površino pravokotnega trikotnika s kraki a, b odštejemo od površine kvadrata, potem enake površine, tj. c 2 \u003d a 2 + b 2. Vendar pa starodavni hindujci, ki jim pripada to razmišljanje, tega običajno niso zapisali, ampak so risbo pospremili z eno samo besedo: "poglej!" Povsem mogoče je, da je enak dokaz ponudil tudi Pitagora.

dodatni dokazi.

Ti dokazi temeljijo na razgradnji kvadratov, zgrajenih na katetah, na številke, iz katerih je mogoče sešteti kvadrat, zgrajen na hipotenuzi.

Tukaj: ABC je pravokotni trikotnik s pravim kotom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Sami dokažite parno enakost trikotnikov, ki jih dobite z razdelitvijo kvadratov, zgrajenih na katetah in hipotenuzi.

Dokažite izrek z uporabo te particije.

 Na podlagi al-Nairizijevega dokaza je bila narejena še ena razgradnja kvadratov na po paru enake like (sl. 5, tukaj je ABC pravokotni trikotnik s pravim kotom C).

 Drugi dokaz z metodo razgradnje kvadratov na enake dele, imenovan "kolo z rezili", je prikazan na sl. 6. Tukaj: ABC je pravokotni trikotnik s pravim kotom C; O - središče kvadrata, zgrajenega na veliki nogi; črtkane črte, ki potekajo skozi točko O, so pravokotne ali vzporedne s hipotenuzo.

 Ta dekompozicija kvadratov je zanimiva, ker je mogoče njegove po paru enake štirikotnike preslikati drug na drugega z vzporednim prevajanjem. Z razgradnjo kvadratov na številke je mogoče ponuditi številne druge dokaze Pitagorovega izreka.

Dokazi z razširitveno metodo.

Bistvo te metode je, da na kvadrate, zgrajene na katetah, in na kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, pritrdimo enake figure tako, da dobimo enake figure.

Veljavnost Pitagorovega izreka izhaja iz enake velikosti šestkotnikov AEDFPB in ACBNMQ. Tukaj CEP, premica EP deli šestkotnik AEDFPB na dva enakoplošna štirikotnika, premica CM deli šestkotnik ACBNMQ na dva enakopovršinska štirikotnika; 90° rotacija ravnine okoli središča A preslika štirikotnik AEPB v štirikotnik ACMQ.

Na sl. 8 Pitagorov lik je dopolnjen v pravokotnik, katerega stranice so vzporedne z ustreznimi stranicami kvadratov, zgrajenih na krakih. Razčlenimo ta pravokotnik na trikotnike in pravokotnike. Najprej od dobljenega pravokotnika odštejemo vse mnogokotnike 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tako da ostane kvadrat, zgrajen na hipotenuzi. Nato iz istega pravokotnika odštejemo pravokotnike 5, 6, 7 in osenčene pravokotnike dobimo kvadrate, zgrajene na krakih.

Sedaj dokažimo, da so številke, odštete v prvem primeru, enake velikosti številkam, odštetim v drugem primeru.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

torej c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebrska metoda dokazovanja.

	riž. 12 ponazarja dokaz velikega indijskega matematika Bhaskarija (slavnega avtorja Lilavati, X 2. stoletje). Risbo je pospremila le ena beseda: GLEJ! Med dokazi Pitagorovega izreka algebrska metoda prvo mesto (morda najstarejše) zaseda dokaz s podobnostjo.
	Naj v sodobni predstavitvi predstavimo enega od takih dokazov, ki pripada Pitagori.

H in fig. 13 ABC - pravokotnik, C - pravi kot, CMAB, b 1 - projekcija kraka b na hipotenuzo, a 1 - projekcija kraka a na hipotenuzo, h - višina trikotnika, narisana na hipotenuzo.

Iz dejstva, da je ABC podoben ACM sledi

b 2 \u003d cb 1; (1)

iz dejstva, da je ABC podoben BCM sledi

a 2 = približno 1 . (2)

Če seštejemo enakosti (1) in (2) člen za členom, dobimo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Če je Pitagora res ponudil tak dokaz, potem je poznal tudi številne pomembne geometrijske izreke, ki jih sodobni zgodovinarji matematike običajno pripisujejo Evklidu.

Möllmannov dokaz (slika 14). Območje tega pravokotnega trikotnika je na eni strani enako na drugi strani, kjer je p polobod trikotnika, r je polmer kroga, vpisanega v njem Imamo:

od koder sledi c 2 =a 2 +b 2 .

v drugem

Z enačenjem teh izrazov dobimo Pitagorov izrek.

Kombinirana metoda

Enakost trikotnikov

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Če primerjamo razmerja (3) in (4), dobimo to

c 1 2 = c 2 ali c 1 = c.

Tako sta trikotnika - dani in zgrajeni - enaka, saj imata tri oz enake stranice. Kot C 1 je pravi, torej je tudi kot C tega trikotnika pravi.

Starodavni indijski dokazi.

Matematiki starodavne Indije so opazili, da je za dokaz Pitagorovega izreka dovolj uporabiti notranji del starodavna kitajska risba. V razpravi »Siddhanta Shiromani« (»Krona znanja«), ki jo je na palmovih listih napisal največji indijski matematik 20. stol. Bha-skara je postavil risbo (slika 4)

značilnost indijskih dokazov l beseda "poglej!". Kot lahko vidite, so pravokotni trikotniki tukaj zloženi s hipotenuzo navzven in kvadratom z 2 prestavljen na "bride-lo stol" z 2 -b 2 . Upoštevajte, da posebni primeri Pitagorovega izreka (na primer konstrukcija kvadrata, katerega površina je dvakrat večja sl.4 območje tega trga) najdemo v starodavni indijski razpravi "Sulva"

Reševali so pravokotni trikotnik in na njegovih krakih zgrajene kvadrate ali z drugimi besedami figure, ki so sestavljene iz 16 enakih enakokrakih pravokotnih trikotnikov in se zato prilegajo kvadratu. To je lilija. majhen delček bogastva, ki se skriva v biseru starodavne matematike – Pitagorovem izreku.

Stari kitajski dokazi.

Matematične razprave Starodavna Kitajska so prišle do nas v izdaji 1. stoletja. pr. n. št. Dejstvo je, da je leta 213 pr. Kitajski cesar Shi Huang-di, ki je želel odpraviti stara izročila, je ukazal zažgati vse starodavne knjige. V P c. pr. n. št. na Kitajskem so izumili papir in hkrati se je začela rekonstrukcija starodavnih knjig. Ključa do tega dokaza ni težko najti. Dejansko so na starodavni kitajski risbi štirje enaki pravokotni trikotniki s katetri a, b in hipotenuzo z zložene G) tako da njihov zunanji obris tvori Slika 2 kvadrat s stranicami a + b, in notranji je kvadrat s stranico c, zgrajen na hipotenuzi (slika 2, b). Če izrežete kvadrat s stranico c in preostale 4 osenčene trikotnike postavite v dva pravokotnika (slika 2, V), jasno je, da je nastala praznina po eni strani enaka Z 2 , in na drugi strani - z 2 +b 2 , tiste. c 2 \u003d  2 + b 2. Izrek je dokazan. Upoštevajte, da se s takim dokazom ne uporabljajo konstrukcije znotraj kvadrata na hipotenuzi, ki jih vidimo na starodavni kitajski risbi (slika 2, a). Očitno so stari kitajski matematiki imeli drugačen dokaz. Natančno, če je v kvadratu s stranico z dva zasenčena trikotnika (slika 2, b) odrežite in pritrdite hipotenuzi na drugi dve hipotenuzi (slika 2, G), to je enostavno najti

Nastala figura, včasih imenovana "nevestin stol", je sestavljena iz dveh kvadratov s stranicami A in b, tiste. c 2 == a 2 +b 2 .

H Slika 3 reproducira risbo iz razprave "Zhou-bi ...". Tu je Pitagorov izrek obravnavan za egiptovski trikotnik s 3, 4 krakoma in 5 hipotenuzo. Kvadrat na hipotenuzi vsebuje 25 celic, vanj včrtan kvadrat na večjem kraku pa 16. Jasno je, da preostali del vsebuje 9 celic. To bo kvadrat na manjši nogi.

Potencial za ustvarjalnost se običajno pripisuje humanistične vede, naravno znanstveno zapušča analizo, praktični pristop in suhoparen jezik formul in številk. Matematika do humanitarni predmeti sploh ne moreš vzeti. Toda brez ustvarjalnosti v "kraljici vseh znanosti" ne boste prišli daleč - ljudje to vedo že dolgo. Od Pitagorovih časov npr.

Šolski učbeniki na žalost običajno ne pojasnjujejo, da pri matematiki ni pomembno le strpati izreke, aksiome in formule. Pomembno je razumeti in čutiti njena temeljna načela. In hkrati poskusite osvoboditi svoj um klišejev in elementarnih resnic – samo v takšnih razmerah se rodijo vsa velika odkritja.

Takšna odkritja vključujejo tisto, ki ga danes poznamo kot Pitagorov izrek. Z njeno pomočjo bomo poskušali pokazati, da matematika ne le zmore, ampak mora biti zabavna. In da ta dogodivščina ni primerna samo za piflarje z debelimi očali, ampak za vse, ki so močni v umu in močni v duhu.

Iz zgodovine vprašanja

Strogo gledano, čeprav se izrek imenuje "Pitagorov izrek", ga Pitagora sam ni odkril. Pravokotni trikotnik in njegove posebne lastnosti so preučevali že dolgo pred njim. O tem vprašanju obstajata dve polarni stališči. Po eni različici je Pitagora prvi našel popoln dokaz teorema. Po drugem mnenju dokaz ne pripada avtorstvu Pitagore.

Danes ne moreš več preverjati, kdo ima prav in kdo ne. Znano je le, da se dokaz Pitagore, če je sploh obstajal, ni ohranil. Obstajajo pa domneve, da bi lahko slavni dokaz iz Evklidovih Elementov pripadal Pitagori, Evklid pa ga je le posnel.

Danes je tudi znano, da probleme o pravokotnem trikotniku najdemo v egipčanskih virih iz časa faraona Amenemheta I., na babilonskih glinenih ploščah iz obdobja vladavine kralja Hamurabija, v staroindijski razpravi Sulva sutra in starokitajskem delu Zhou -bi suan jin.

Kot lahko vidite, je Pitagorov izrek okupiral misli matematikov že od antičnih časov. Približno 367 različnih dokazov, ki obstajajo danes, služi kot potrditev. Noben drug izrek se mu v tem pogledu ne more kosati. Pomembna avtorja dokazov sta Leonardo da Vinci in 20. predsednik Združenih držav Amerike James Garfield. Vse to govori o izjemnem pomenu tega izreka za matematiko: večina geometrijskih izrekov izhaja iz njega ali pa je tako ali drugače z njim povezana.

Dokazi Pitagorovega izreka

Šolski učbeniki večinoma podajajo algebraične dokaze. Toda bistvo izreka je v geometriji, zato najprej razmislimo o tistih dokazih slavnega izreka, ki temeljijo na tej znanosti.

Dokaz 1

Za najenostavnejši dokaz Pitagorovega izreka za pravokotni trikotnik morate nastaviti idealne razmere: naj trikotnik ni samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Obstaja razlog za domnevo, da so starodavni matematiki prvotno obravnavali takšen trikotnik.

Izjava "kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na njegovih katetah" lahko ponazorimo z naslednjo risbo:

Poglejte enakokraki pravokotnik trikotnik ABC: Na hipotenuzi AC lahko sestavite kvadrat, sestavljen iz štirih trikotnikov, ki so enaki prvotnemu ABC. In na nogah AB in BC, zgrajenih na kvadratu, od katerih vsaka vsebuje dva podobna trikotnika.

Mimogrede, ta risba je bila osnova številnih anekdot in risank, posvečenih Pitagorejskemu izreku. Morda najbolj znan je "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh":

Dokaz 2

Ta metoda združuje algebro in geometrijo in jo lahko razumemo kot različico starodavnega indijskega dokaza matematika Bhaskarija.

Sestavite pravokotni trikotnik s stranicami a, b in c(slika 1). Nato zgradite dva kvadrata s stranicami, enakimi vsoti dolžin obeh krakov - (a+b). V vsakem od kvadratov naredite konstrukcije, kot na slikah 2 in 3.

V prvem kvadratu zgradite štiri enake trikotnike kot na sliki 1. Kot rezultat dobimo dva kvadrata: enega s stranico a, drugega s stranico b.

V drugem kvadratu tvorijo štirje sestavljeni analogni trikotniki kvadrat s stranicami enaka hipotenuzi c.

Vsota ploščin sestavljenih kvadratov na sliki 2 je enaka ploščini kvadrata, ki smo ga sestavili s stranico c na sliki 3. To lahko enostavno preverimo z izračunom površin kvadratov na sl. 2 po formuli. In ploščino včrtanega kvadrata na sliki 3. tako, da od ploščine velikega kvadrata s stranico odštejemo ploščine štirih enakih pravokotnih trikotnikov, včrtanih v kvadrat. (a+b).

Če vse to zapišemo, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Razširite oklepaje, naredite vse potrebne algebraične izračune in dobite to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Hkrati je območje vpisanega na sl.3. kvadrat se lahko izračuna tudi po tradicionalni formuli S=c2. Tisti. a2+b2=c2 Dokazali ste Pitagorov izrek.

Dokaz 3

Isti starodavni indijski dokaz je opisan v 12. stoletju v traktatu »Krona znanja« (»Siddhanta Shiromani«), kot glavni argument pa avtor uporablja apel, naslovljen na matematični talent in sposobnost opazovanja učencev in sledilci: "Poglej!".

Toda ta dokaz bomo podrobneje analizirali:

Znotraj kvadrata sestavite štiri pravokotne trikotnike, kot je prikazano na risbi. Označena je stranica velikega kvadrata, ki je tudi hipotenuza z. Poimenujmo noge trikotnika A in b. Po risbi je stranica notranjega kvadrata (a-b).

Uporabite formulo kvadratne površine S=c2 za izračun površine zunanjega kvadrata. In istočasno izračunajte isto vrednost tako, da seštejete ploščino notranjega kvadrata in ploščino vseh štirih pravokotnih trikotnikov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Za izračun površine kvadrata lahko uporabite obe možnosti, da zagotovite enak rezultat. In to vam daje pravico, da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kot rezultat rešitve boste dobili formulo Pitagorovega izreka c2=a2+b2. Izrek je dokazan.

Dokaz 4

Ta nenavaden starodavni kitajski dokaz so poimenovali "Nevestin stol" - zaradi figure, podobne stolu, ki izhaja iz vseh konstrukcij:

Uporablja risbo, ki smo jo že videli na sliki 3 v drugem dokazu. Notranji kvadrat s stranico c je sestavljen na enak način kot v starodavnem indijskem dokazu, ki je naveden zgoraj.

Če v mislih odrežete dva zelena pravokotna trikotnika z risbe na sliki 1, ju premaknite na nasprotnih straneh pritrdite kvadrat s stranico c in hipotenuzami na hipotenuze lila trikotnikov, dobite figuro, imenovano "nevestin stol" (slika 2). Zaradi jasnosti lahko storite enako s papirnatimi kvadrati in trikotniki. Videli boste, da je "nevestin stol" sestavljen iz dveh kvadratov: majhnih s stranico b in velik s stranico a.

Te konstrukcije so omogočile starim kitajskim matematikom in nam, ki smo jim sledili, da smo prišli do zaključka, da c2=a2+b2.

Dokaz 5

To je še en način za iskanje rešitve Pitagorovega izreka, ki temelji na geometriji. Imenuje se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokotni trikotnik ABC. To moramo dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Če želite to narediti, nadaljujte z nogo AU in zgradite segment CD, ki je enak kraku AB. Spodnja pravokotna AD odsek črte ED. Segmenti ED in AU so enaki. poveži pike E in IN, in E in Z in dobite risbo, kot je spodnja slika:

Da bi dokazali stolp, se spet zatečemo k metodi, ki smo jo že preizkusili: površino dobljene figure poiščemo na dva načina in izraze enačimo med seboj.

Poiščite območje mnogokotnika POSTELJA lahko naredite tako, da seštejete površine treh trikotnikov, ki ga tvorijo. In eden izmed njih ERU, ni samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Tudi tega ne pozabimo AB=CD, AC=ED in BC=CE- to nam bo omogočilo, da poenostavimo snemanje in ga ne preobremenimo. Torej, S LEŽIŠČE \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ob tem je očitno, da POSTELJA je trapez. Zato njegovo površino izračunamo po formuli: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše izračune je bolj priročno in jasneje predstaviti segment AD kot vsota segmentov AU in CD.

Zapišimo oba načina za izračun ploščine figure tako, da med njima postavimo enačaj: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Za poenostavitev uporabimo že znano in zgoraj opisano enakost segmentov desna stran zapisi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. In zdaj odpremo oklepaje in transformiramo enakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Ko končamo vse transformacije, dobimo točno tisto, kar potrebujemo: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Izrek smo dokazali.

Seveda ta seznam dokazov še zdaleč ni popoln. Pitagorov izrek je mogoče dokazati tudi z uporabo vektorjev, kompleksnih števil, diferencialnih enačb, stereometrije itd. In celo fiziki: če na primer tekočino vlijemo v kvadratne in trikotne volumne, podobne tistim na risbah. S prelivanjem tekočine je mogoče dokazati enakost ploščin in posledično sam izrek.

Nekaj ​​besed o pitagorejskih trojčkih

To vprašanje se v šolskem kurikulumu malo ali sploh ne obravnava. Medtem pa je zelo zanimivo in ima velik pomen v geometriji. Pitagorejske trojke se uporabljajo za reševanje številnih matematičnih problemov. Ideja o njih vam lahko koristi pri nadaljnjem izobraževanju.

Kaj so torej pitagorejski trojčki? Tako pravijo cela števila, zbranih v treh, pri čemer je vsota kvadratov dveh enaka tretjemu številu v kvadratu.

Pitagorejske trojke so lahko:

• primitivna (vsa tri števila so relativno pra);
• neprimitivna (če vsako število trojke pomnožimo z istim številom, dobimo novo trojko, ki ni primitivna).

Že pred našim štetjem je stare Egipčane navdušila manija števil pitagorejskih trojčkov: v nalogah so obravnavali pravokotni trikotnik s stranicami 3,4 in 5 enot. Mimogrede, vsak trikotnik, katerega stranice so enake številkam iz pitagorejske trojke, je privzeto pravokoten.

Primeri pitagorejskih trojk: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična uporaba izreka

Pitagorov izrek se uporablja ne le v matematiki, ampak tudi v arhitekturi in gradbeništvu, astronomiji in celo literaturi.

Prvič, o konstrukciji: Pitagorov izrek se v njem pogosto uporablja pri problemih različnih stopenj kompleksnosti. Poglejte na primer romansko okno:

Označimo širino okna kot b, potem lahko polmer velikega polkroga označimo kot R in izraziti skozi b: R=b/2. Polmer manjših polkrogov lahko izrazimo tudi z b: r=b/4. V tem problemu nas zanima polmer notranjega kroga okna (recimo mu str).

Pitagorov izrek pride prav pri računanju R. Za to uporabimo pravokotni trikotnik, ki je na sliki označen s pikčasto črto. Hipotenuza trikotnika je sestavljena iz dveh radijev: b/4+str. En krak je polmer b/4, drugo b/2-str. Z uporabo Pitagorovega izreka zapišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Nato odpremo oklepaje in dobimo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Pretvorimo ta izraz v bp/2=b 2 /4-bp. In potem vse izraze razdelimo na b, podarimo podobne 3/2*p=b/4. In na koncu to ugotovimo p=b/6- kar smo potrebovali.

S pomočjo teorema lahko izračunate dolžino špirovcev za dvokapno streho. Določite višino stolpa mobilne komunikacije potrebno, da signal doseže določeno kraj. In celo stabilno namestiti božična jelka na mestnem trgu. Kot lahko vidite, ta izrek ne živi samo na straneh učbenikov, ampak je pogosto uporaben v resničnem življenju.

Kar zadeva literaturo, je Pitagorov izrek navdihoval pisce že od antike in še danes. Na primer, nemškega pisatelja iz devetnajstega stoletja Adelberta von Chamissa je navdihnila, da je napisal sonet:

Luč resnice se ne bo kmalu razblinila,
Toda, ko je zasijal, je malo verjetno, da se bo razblinil
In kot pred tisočletji,
Ne bo povzročal dvomov in sporov.

Najbolj modro, ko se dotakne očesa
Luč resnice, hvala bogovom;
In sto bikov, zabodenih, laži -
Povratno darilo srečnega Pitagore.

Od takrat biki obupano rjovejo:
Za vedno vzbudil pleme bikov
tukaj omenjen dogodek.

Mislijo, da je že skrajni čas
In spet bodo žrtvovani
Nekaj ​​velikega izreka.

(prevedel Viktor Toporov)

In v dvajsetem stoletju je sovjetski pisatelj Jevgenij Veltistov v svoji knjigi "Pustolovščine elektronike" celo poglavje posvetil dokazom Pitagorovega izreka. In pol poglavja zgodbe o dvodimenzionalnem svetu, ki bi lahko obstajal, če bi Pitagorov izrek postal temeljni zakon in celo religija za en sam svet. V njej bi bilo veliko lažje živeti, a tudi veliko bolj dolgočasno: tam na primer nihče ne razume pomena besed "okrogel" in "puhast".

In v knjigi »Pustolovščine elektronike« avtor skozi usta učitelja matematike Taratare pravi: »Glavna stvar v matematiki je gibanje misli, nove ideje.« Prav ta ustvarjalni polet misli ustvarja Pitagorov izrek - ni zaman, da ima toliko različnih dokazov. Pomaga preseči običajno in na znane stvari pogledati na nov način.

Zaključek

Ta članek je bil ustvarjen, da lahko pogledate dlje šolski kurikulum v matematiki in se naučite ne le tistih dokazov Pitagorovega izreka, ki so podani v učbenikih "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) in "Geometrija 7-11" (A.V. Pogorelov), temveč tudi druge radovedne načine dokazovanja znameniti izrek. Oglejte si tudi primere uporabe Pitagorovega izreka v vsakdanjem življenju.

Prvič, te informacije vam bodo omogočile, da zahtevate višje ocene pri pouku matematike - informacije o tej temi iz dodatnih virov so vedno zelo cenjene.

Drugič, želeli smo vam pomagati pridobiti občutek, kako je matematika zanimiva znanost. Prepričajte se o konkretni primeri da je vedno prostor za ustvarjalnost. Upamo, da vas bosta Pitagorov izrek in ta članek navdihnila za lastno raziskovanje in vznemirljiva odkritja v matematiki in drugih vedah.

Povejte nam v komentarjih, če so se vam zdeli dokazi, predstavljeni v članku, zanimivi. So vam bile te informacije v pomoč pri študiju? Zaupajte nam, kaj menite o Pitagorovem izreku in tem članku – o vsem tem se bomo z veseljem pogovorili z vami.

blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Pitagorov izrek je najpomembnejša izjava geometrije. Izrek je formuliran na naslednji način: površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na njegovih nogah.

Običajno se odkritje te izjave pripisuje starogrški filozof in matematik Pitagora (VI. stol. pr. n. št.). Toda študija babilonskih klinopisnih ploščic in starodavnih kitajskih rokopisov (kopije še starejših rokopisov) je pokazala, da je bila ta izjava znana veliko pred Pitagoro, morda tisočletje pred njim. Zasluga Pitagore je bila, da je odkril dokaz tega izreka.

Verjetno je bilo dejstvo, navedeno v Pitagorejskem izreku, prvič ugotovljeno za enakokrake pravokotne trikotnike. Dovolj je pogledati mozaik črnih in svetlih trikotnikov, prikazan na sl. 1 za preverjanje veljavnosti izreka o trikotniku: kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, vsebuje 4 trikotnike, kvadrat, ki vsebuje 2 trikotnika, pa je zgrajen na vsakem kraku. Za dokaz splošnega primera v starodavni Indiji so imeli dve metodi: v kvadratu s stranico so bili upodobljeni štirje pravokotni trikotniki s kraki dolžin in (sl. 2, a in 2, b), po katerih so zapisali eno beseda "Poglej!". In res, če pogledamo te figure, vidimo, da je na levi figura brez trikotnikov, sestavljena iz dveh kvadratov s stranicami in je njena površina enaka, na desni pa kvadrat s stranico - njena površina je enaka. Torej, , kar je izjava Pitagorovega izreka.

Vendar dve tisočletji ni bil uporabljen ta vizualni dokaz, ampak bolj zapleten dokaz, ki ga je izumil Evklid in ki je umeščen v njegovo znamenito knjigo "Začetki" (glej Evklid in njegovi "Začetki"), Evklid je znižal višino od vrh pravi kot na hipotenuzi in dokazal, da njeno nadaljevanje deli kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, na dva pravokotnika, katerih ploščini sta enaki ploščinam ustreznih kvadratov, zgrajenih na katetah (slika 3). Risba, uporabljena pri dokazu tega izreka, se v šali imenuje "Pitagorejske hlače". Dolgo časa je veljal za enega od simbolov matematične znanosti.

Danes je znanih več deset različnih dokazov Pitagorovega izreka. Nekateri od njih temeljijo na particiji kvadratov, pri kateri je kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, sestavljen iz delov, vključenih v particije kvadratov, zgrajenih na nogah; drugi - na komplement do enakih številk; tretji - na dejstvu, da višina, spuščena od vrha pravega kota do hipotenuze, deli pravi trikotnik na dva trikotnika, ki sta mu podobna.

Pitagorov izrek je osnova večine geometrijskih izračunov. Že v starem Babilonu so jo uporabljali za izračun dolžine višine enakokrakega trikotnika z dolžino osnove in stranice, puščico segmenta s premerom kroga in dolžino tetive ter ugotavljanje razmerja med elementi nekaterih pravilnih mnogokotnikov. S pomočjo Pitagorovega izreka je dokazana njegova posplošitev, ki omogoča izračun dolžine stranice, ki leži nasproti ostrega ali topega kota:

Iz te posplošitve sledi, da prisotnost pravega kota v ni le zadosten, ampak tudi nujen pogoj za izpolnitev enakosti . Formula (1) implicira relacijo med dolžinami diagonal in stranic paralelograma, s katerim zlahka najdemo dolžino mediane trikotnika iz dolžin njegovih stranic.

Na podlagi Pitagorovega izreka je izpeljana tudi formula, ki izraža površino katerega koli trikotnika glede na dolžine njegovih strani (glej Heronovo formulo). Seveda je bil Pitagorov izrek uporabljen tudi za reševanje različnih praktičnih problemov.

Namesto kvadratov na straneh pravokotnega trikotnika lahko zgradite poljubne med seboj podobne oblike (enakostranične trikotnike, polkroge itd.). V tem primeru je površina figure, zgrajene na hipotenuzi, enaka vsoti površin številk, zgrajenih na nogah. Druga posplošitev je povezana s prehodom iz ravnine v prostor. Formulirano je takole: kvadrat dolžine diagonale pravokotnega paralelopipeda je enaka vsoti kvadratov njegovih mer (dolžine, širine in višine). Podoben izrek velja tudi v večdimenzionalnih in celo neskončnodimenzionalnih primerih.

Pitagorov izrek obstaja le v evklidski geometriji. Ne dogaja se ne v geometriji Lobačevskega ne v drugih neevklidskih geometrijah. Tudi na krogli ni analoga Pitagorovega izreka. Dva poldnevnika, ki tvorita kot 90°, in ekvator omejujejo na kroglo enakostranični sferični trikotnik, vsi trije pa so pravokotni. Zanj ne kot na letalu.

S pomočjo Pitagorovega izreka se razdalja med točkami in koordinatno ravnino izračuna po formuli

.

Po odkritju Pitagorovega izreka se je pojavilo vprašanje, kako najti vse trojke naravnih števil, ki so lahko stranice pravokotnega trikotnika (glej veliki Fermatov izrek). Odkrili so jih Pitagorejci, nekatere splošne metode za iskanje takih trojčkov števil pa so poznali celo Babilonci. Ena od klinopisnih ploščic vsebuje 15 trojčkov. Med njimi so trojčki, sestavljeni iz tako velike številke da ne more biti govora o iskanju s selekcijo.

HIPOKRATOV PEKEL

Hipokratove lune so figure, ki jih omejujejo loki dveh krogov in so poleg tega takšne, da lahko z uporabo polmerov in dolžine skupne tetive teh krogov, s šestilom in ravnilom sestavite kvadrate enake velikosti.

Iz posplošitve Pitagorovega izreka na polkroge sledi, da je vsota površin rožnatih lukenj, prikazanih na sliki na levi, enaka površini modrega trikotnika. Torej, če vzamemo enakokraki pravokotni trikotnik, potem dobimo dve luknji, od katerih bo površina vsake enaka polovici površine trikotnika. Starogrški matematik Hipokrat (5. stoletje pr. n. št.) je poskušal rešiti problem kvadrature kroga (glej Klasični problemi antike) našel še več lukenj, katerih površine so izražene s ploščinami premočrtnih likov.

Popoln seznam hipomarginalnih lukenj je bil pridobljen šele v 19.-20. stoletju. z uporabo metod Galoisove teorije.

Prepričajte se, da je trikotnik, ki vam je dan, pravokoten trikotnik, saj Pitagorov izrek velja samo za pravokotne trikotnike. V pravokotnih trikotnikih je eden od treh kotov vedno 90 stopinj.

• Pravi kot v pravokotnem trikotniku je označen s kvadratom namesto s krivuljo, ki predstavlja neprave kote.

Označite stranice trikotnika. Označite noge kot "a" in "b" (katete so stranice, ki se sekajo pod pravim kotom), hipotenuzo pa kot "c" (hipotenuza je največja stranica pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti pravega kota).

Določite, katero stran trikotnika želite najti. Pitagorov izrek vam omogoča, da najdete katero koli stran pravokotnega trikotnika (če sta drugi dve strani znani). Ugotovite, katero stran (a, b, c) je treba najti.

• Na primer, glede na hipotenuzo, ki je enaka 5, in glede na nogo, ki je enaka 3. V tem primeru morate najti drugo nogo. K temu primeru se bomo vrnili kasneje.
• Če drugi dve strani nista neznani, je treba najti dolžino ene od neznanih strani, da bi lahko uporabili Pitagorov izrek. Če želite to narediti, uporabite osnovno trigonometrične funkcije(če vam je podana vrednost enega od nepravih kotov).

V formuli a 2 + b 2 \u003d c 2 nadomestite vrednosti, ki ste jih dali (ali vrednosti, ki ste jih našli). Ne pozabite, da sta a in b kateta, c pa hipotenuza.

• V našem primeru zapišite: 3² + b² = 5².

Vsako znano stran kvadrirajte. Ali pa pustite stopinje - številke lahko kvadrirate pozneje.

• V našem primeru zapišite: 9 + b² = 25.

Izolirajte neznano stran na eni strani enačbe.Če želite to narediti, se premaknite znane vrednosti na drugo stran enačbe. Če najdete hipotenuzo, potem je v Pitagorejskem izreku že izolirana na eni strani enačbe (zato ni treba storiti ničesar).

• V našem primeru premaknite 9 na desna stran enačbe za izolacijo neznanke b². Dobili boste b² = 16.

Izvleček Kvadratni koren z obeh strani enačbe, potem ko je neznanka (na kvadrat) prisotna na eni strani enačbe in prosti člen (število) na drugi strani.

• V našem primeru je b² = 16. Izvlecite kvadratni koren obeh strani enačbe in dobite b = 4. Drugi krak je torej 4.

Uporabite Pitagorov izrek v Vsakdanje življenje, saj se lahko uporablja v velike številke praktične situacije. Če želite to narediti, se naučite prepoznati pravokotne trikotnike v vsakdanjem življenju – v kateri koli situaciji, v kateri se dva predmeta (ali črti) sekata pod pravim kotom in tretji predmet (ali črta) povezuje (diagonalno) vrhova prvih dveh predmetov (ali črte), lahko uporabite Pitagorov izrek za iskanje neznane strani (če sta drugi strani znani).

• Primer: podana je lestev, prislonjena na zgradbo. Spodnji del stopnic je 5 metrov od podnožja stene. Zgornji del stopnice se nahaja 20 metrov od tal (navzgor po steni). Kakšna je dolžina lestve?
  • "5 metrov od podnožja stene" pomeni, da je a = 5; "je 20 metrov od tal" pomeni, da je b = 20 (to pomeni, da imate dva kraka pravokotnega trikotnika, saj se stena zgradbe in površina Zemlje sekata pod pravim kotom). Dolžina lestve je dolžina hipotenuze, ki ni znana.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Tako je približna dolžina stopnic 20,6 metra.

MERJENJE PLOŠČINE GEOMETRIJSKIH LIK.

§ 58. PITAGOROV IZREK 1 .

__________
1 Pitagora je grški znanstvenik, ki je živel pred približno 2500 leti (564-473 pr. n. št.).
_________

Naj je podan pravokotni trikotnik, katerega stranice A, b in z(razl. 267).

Na njegovih stranicah sestavimo kvadratke. Območji teh kvadratov so oz A 2 , b 2 in z 2. Dokažimo to z 2 = a 2 +b 2 .

Zgradimo dva kvadrata MKOR in M"K"O"R" (sl. 268, 269), pri čemer za stran vsakega od njiju vzamemo segment, ki je enak vsoti krakov pravokotnega trikotnika ABC.

Po dokončanju konstrukcij, prikazanih na risbah 268 in 269 v teh kvadratih, bomo videli, da je kvadrat MKOR razdeljen na dva kvadrata s ploščinami A 2 in b 2 in štiri enake pravokotne trikotnike, od katerih je vsak enak pravokotnemu trikotniku ABC. Kvadrat M"K"O"R" je razdeljen na štirikotnik (na risbi 269 je osenčen) in štiri pravokotne trikotnike, od katerih je vsak enak tudi trikotniku ABC. Osenčen štirikotnik je kvadrat, saj sta njegovi stranici enaki (vsaka je enaka hipotenuzi trikotnika ABC, tj. z) in koti so pravi / 1 + / 2 = 90°, od koder je / 3 = 90°).

Tako je vsota ploščin kvadratov, zgrajenih na nogah (na risbi 268 so ti kvadrati osenčeni) enaka ploščini kvadrata MKOR brez vsote ploščin štirih enakih trikotnikov in ploščini ​​kvadrat, zgrajen na hipotenuzi (na risbi 269 je ta kvadrat tudi osenčen) je enak ploščini kvadrata M "K" O "R", enak kvadratu MKOR, brez vsote ploščin štirje enaki trikotniki. Zato je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah.

Dobimo formulo z 2 = a 2 +b 2, kjer z- hipotenuza, A in b- noge pravokotnega trikotnika.

Pitagorov izrek lahko povzamemo takole:

Kvadrat hipotenuze pravokotnega trikotnika je enak vsoti kvadratov katet.

Iz formule z 2 = a 2 +b 2 lahko dobite naslednje formule:

A 2 = z 2 - b 2 ;
b 2 = z 2 - A 2 .

Te formule je mogoče uporabiti za iskanje neznane stranice pravokotnega trikotnika glede na dve njegovi strani.
Na primer:

a) če so podane noge A= 4 cm, b\u003d 3 cm, potem lahko najdete hipotenuzo ( z):
z 2 = a 2 +b 2, tj. z 2 = 4 2 + 3 2 ; z 2 = 25, od koder z= √25 =5 (cm);

b) če je podana hipotenuza z= 17 cm in nogo A= 8 cm, potem lahko najdete drugo nogo ( b):

b 2 = z 2 - A 2, tj. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, od koder b= √225 = 15 (cm).

Posledica: Če je v dveh pravokotnih trikotnikih ABC in A 1 B 1 C 1 hipotenuza z in z 1 sta enaka in krak b trikotnik ABC je večji od kraka b 1 trikotnik A 1 B 1 C 1,
nato noga A trikotnik ABC manjši od kraka A 1 trikotnik A 1 B 1 C 1 . (Naredite risbo, ki ponazarja to posledico.)

Dejansko na podlagi Pitagorovega izreka dobimo:

A 2 = z 2 - b 2 ,
A 1 2 = z 1 2 - b 1 2

V zapisanih formulah sta odštevanca enaka, odštevanec v prvi formuli pa je večji od odštevalca v drugi formuli, zato je prva razlika manjša od druge,
tj. A 2 < A 12. Kje A< A 1 .

vaje.

1. Z risbo 270 dokaži Pitagorov izrek za enakokraki pravokotni trikotnik.

2. En krak pravokotnega trikotnika je dolg 12 cm, drugi pa 5 cm Izračunaj dolžino hipotenuze tega trikotnika.

3. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 10 cm, eden od krakov 8 cm Izračunaj dolžino drugega kraka tega trikotnika.

4. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 37 cm, eden od njegovih krakov 35 cm Izračunaj dolžino drugega kraka tega trikotnika.

5. Konstruirajte kvadrat, dvakrat večji od danega.

6. Konstruirajte kvadrat, dvakrat večji od danega. Navodilo. Narišite diagonale v tem kvadratu. Kvadrati, zgrajeni na polovicah teh diagonal, bodo želeni.

7. Kraki pravokotnega trikotnika so dolgi 12 cm oziroma 15 cm Izračunaj dolžino hipotenuze tega trikotnika z natančnostjo 0,1 cm.

8. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 20 cm, eden od njegovih krakov 15 cm Izračunaj dolžino drugega kraka na 0,1 cm natančno.

9. Kako dolga naj bo lestev, da jo je mogoče pritrditi na okno, ki se nahaja na višini 6 m, če naj bo spodnji konec lestve 2,5 m od stavbe? (Prekleto. 271.)